El sombrero dorado de Schifferstadt

A las puertas de la Selva Negra y al sur de la maravillosa región vinícola de la Mosela en Alemania se encuentra la cuidad de Schifferstadt. A las afueras de Schifferstadt un campesino encontró un sombrero dorado enterrado en el campo en el que trabajaba un 29 de abril de 1835. Fué el primero de cuatro sombreros de oro encontrados en Alemania y Francia. Tras el sobrero de Schifferstadt vinieron el sombrero de d'Avanton en 1844, el de Ezelsdorf-Buch en 1953 y más recientemente el conocido como sombrero dorado de Berlín.



El sombrero dorado de Schifferstadt data de los siglos diecinueve o veinte antes de Cristo. A los sombreros se los considera un símbolo religioso usado por los sacerdotes de una a finales de la Edad de Bronce en Europa Central. El culto al sol estaba entonces muy extendido en Europa Central. Tres de los cuatro sombreros tienen un pedestal como ampliación en la parte inferior del cono y sus aberturas son ovaladas (no redondas), con diámetros y formas más o menos equivalentes a las de un cráneo humano.

La representación figural de un objeto parecido a un sombrero cónico sobre una losa de piedra de la tumba del Rey en el pueblo de Kivik, en el sur de Suecia, apoya firmemente su asociación con la religión y de culto, así como el hecho de que los conocidos ejemplos parecen haber sido depositados (enterrados) cuidadosamente (véase wikipedia).



Esta conexión con escandinavia la muestra también la relación con el culto al sol que muestra el carro de Trundholm:



Lo espectacular de los sombreros de oro es que en diferentes alturas tienen marcas que permiten la determinación de calendarios y la conversión entre ellos. No necesariamente fueron usados como tales, pero sí parece claro que al menos reflejan los conocimientos de la época, quizás sólo como adorno.

En esta entrada en este blog: Glaubendorf 2 y el orígen de la astronomía en Europa reflexionaba sobre los conocimientos astronómicos de los antiguos pobladores europeos quizás plasmados en los círculos existentes en el centro de Europa. Tanto los sombreros de oro como el disco celeste de Nebra muestran que los conocimientos astronómicos entre los europeos eran considerables en el segundo milenio antes de Cristo. Está por ver en qué medida parte de estos conocimientos estaban existentes ya varios milenios antes. Los círculos en el centro de Europa son un indicio de ello, aunque pruebas definitivas con descripciones detalladas evidentamente faltan.

En cualquier caso es bonito ver como estos objetos - los círculos, los sombreros dorados, el disco de Nebra - nos marcan el inicio en la línea del desarrollo del conocimiento astronómico. La historia está viva en nosotros mismos y esos objetos son en definitiva un instrumento para conocernos mejor y aprender a valorar nuestro pasado.

El átomo de hidrógeno - Christie Jeyaratnam Eliezer

El día 12 de junio hizo noventa años del nacimiento de Christie Jeyaratnam Eliezer, un físico matemático prácticamente desconocido pero de interesante biografía. Eliezer murió en marzo del 2001 y dejó tras de si una larga trayectoria científica en Inglaterra, Sri Lanka y Australia. La entrada de wikipedia sobre Eliezer nos da una breve esbozo de su vida.



Su identidad tamil determió gran parte de su actividad, apoyando el movimiento pacífico para la independencia tamil en Sri Lanka. Eliezer estudió en Cambrige, donde su tesis doctoral fue dirigida por Dirac. Más tarde regresó a Sri Lanka donde ocupó la cátedra de matemáticas de la Universidad de Ceylon de entonces separada en varias universidades en 1978. Desde finales de los cincuenta hasta finales de los sesenta estuvo al frente de la facultad de ciencias de la universidad de Malasia en Kuala Lumpur. Por último, fue profesor de matemáticas en La Trobe University de Victoria en Austrialia.

El aspecto de su trayectoria que más nos interesa en esta entrada de mi blog es su trabajo sobre la estabilidad del átomo de hidrógeno con Dirac. El mismo Eliezer lo describía así (de aquí):

After months of my preliminary reading, Dirac suggested that I look into the hydrogen atom problem, with radiation taken into account. From the family of mathematical solutions, one had to select a physically acceptable solution.

I first tried the three-dimensional case, then the two-dimensional and finally the straight line case where an electron is projected towards a stationary proton. I had expected (and so had Dirac) that one would get different solutions with the electron hitting the proton in different ways...

Methods of solving non-linear differential equations were not well known in those days. I was foolish enough to think that an exact solution could exist, but I could not find one. I wrote off to Miss.M.L.Cartwright and Professor J.E.Littlewood for advice. Both of them very kindly helped. It turned out that the electron got stopped before it could reach the proton.

I told this to Dirac, and he seemed surprised. Then he asked the obvious question which foolishly I had not asked myself. What does the electron do after it gets stopped? At the spur of the moment, I said: 'The electron would start moving outwards, then come to a halt, and move back towards the proton and get stopped, probably closer to the proton, and continue this oscillating motion till it falls into the proton'. Dirac's face lit up with pleasure. That is a very beautiful solution, he said.

I left the room in high spirits. But my elation was short lived. When I worked out the equation, I found that the electron, after its first stop, would move away from the proton in a run-away type solution. At the earliest opportunity, I met Dirac again and told him. He said he too had worked it out and come to the same conclusion. Write up what you have in a paper, he said. That paper was published in the Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (1943)

Lo que Eliezer fue capaz de probar es ni más ni menos que la estabilidad clásica del átomo de hidrógeno. Todos sabemos de los libros de texto que la física clásica no podría explicar la estabilidad del átomo de hidrógeno, ya que el electrón acelerado emite radiación, y la consiguiente pérdida de energía lo debería hacer colisionar contra el protón alrededor del cual orbita. Los libros de texto nos explican que la mecánica cuántica fue capaz de solucionar este problema al ser la función de onda del electrón en el átomo estacionaria y el valor de expectación de la velocidad del electrón nulo.

Pero independiéntemente de si la conclusión sobre el colapso clásico del electrón es correcta o no, el argumento para llegar a ella que nos muestran ingénuamente los libros de texto no es correcto porque ignora la reacción de la carga (el electrón) a su propia radiación. Lo que Eliezer mostró en los años cuarenta es que asumiendo que la reacción a la radiación viene dada por la fórmula de Dirac-Lorentz (o Abraham-Lorentz), el electrón no colisionará nunca con el protón, y el átomo será estable sin necesidad de introducir la cuántica. Se sabe no obstante que la fórmula de Dirac-Lorentz predice situaciones clásicas inaceptables, por lo que se puede poner en duda las conclusiones de Eliezer.

En cualquier caso, mi impresión (personal) es que el problema de la estabilidad del átomo de hidrógeno sirvió como uno de los muchos pretextos para introducir la cuántica a principios de siglo, pero creo que todavía hoy no está claro si puede existir una solución clásica al problema debido precisamente al problema de analizar clásicamente la reacción a la radiación. Un problema extremadamente complejo.

Francisco José Ynduráin - In memoriam

Hace unos meses, que será ya casi más de un año, tuvimos un debate interesante en los foros de la asociacionhubble.org sobre la función de onda del fotón. La discusión rondaba en torno al famoso libro sobre mecánica cuántica de Francisco José Ynduráin. Queríamos saber si la afirmación del libro sobre la existencia de una función de onda para el fotón era una afirmación soportada por algún argumento riguroso, o si se trataba sólo de un recurso didáctico. Dejando de lado detalles técnicos de esta discusión, el caso es que para aclarar la situación mandé un email a Ynduráin, el cual me contestó muy amablemente.

Después de un corto pero interesantísimo intercambio de emails tras su primera respuesta, Yunduráin se ofreció a mandarme por correo postal su libro mecánica cuántica relativista, editado, pero aparentemente nunca puesto a la venta, y, del cual, según me dijo, tenía varias montañas de ellos en su despacho. Me sorprendió muy agradablemente la sincera intención de ayudar de forma desinteresada. El libro lo recibí en un par de días en casa, muy contento de haber contactado con alguien tan dispuesto a ayudar pese a mi nula relación con el mundo académico de la física teórica.

Cómo son las cosas, que tras un intercambio de emails que vino después, resultó inesperadamente que el pasado zaragozano de Francisco José Ynduráin, el cual vivió hasta los 26 años en la cuidad de Palafox, se había cruzado con el pasado familiar mío. Una sorpresa inesperada en un mundo que es como un pañuelo. "Die Ewigkeit sitzt am Ufer des Augenblicks die Zeit schlägt Brücken", la eternidad se encuentra en la orilla del instante, el tiempo crea puentes, son sugerentes palabras del escritor austriaco Ernst Ferstl para recordarnos que el tiempo trae, pero también se lleva.

Francisco José Ynduráin ha fallecido hace una semana (el viernes 6 de junio) a los 67 años. Yndurán fue una de las figuras más relevantes de la investigación y docencia de la física teórica en España. Su entrada de wikipedia:

• Francisco José Ynduráin Muñoz

Stonehenge ¿nostalgia de un pasado mejor?

Hace unos días he visto un documental donde el arqueólogo Lionel Sims presentaba su sorprendente teoría sobre el orígen y sentido de Stonehenge. Según Sims, la función central de Stonehenge vino determinada por la transición entre el culto a la luna y el culto al sol. Antes del culto al sol y las estaciones se adoraba la luna, y antes de ser agricultores sedentarios los humanos fuimos cazadores y recolectores. La luna determinaba las noches propicias para la caza, y la luna influía también la menstruación de las mujeres en pequeños grupos tribales, guiando la vida en los aspectos más importantes de abastecimiento y reproducción. Stonehenge fue construido cuando la humanidad estaba en transición. Por un lado aparece una necesidad de predecir condiciones climatológicas estacionales por medio de los periodos solares, determinantes para la siembra, etc. Por otro lado, no obstante, Sims va más allá y postula que Stonehenge fue construido con la intención de mostrar que el sol se comportaba igual que la luna y la seguía en su trayectoria celeste. Es decir, la función de Stonehenge fue mostrar que la nueva divinidad solar estaba subyugada o jerárquicamente por debajo de la divinidad lunar anterior. Su tesis la presenta Sims con detalle (demasiado detalle para legos como yo) en el siguiente artículo:

The ‘Solarization’ of the Moon: Manipulated Knowledge at Stonehenge
www.radicalanthropologygroup.org/pub_sims_solar_moon.pdf


Stonehenge, ¿una manifestación de la añoranza por un pasado mejor?

Aquí hay un interesante aspecto de manipulación de información por medio de una clase dominante que tenía el conocimiento y quería presentarlo de cierta manera para convencer y llevar al resto hacia una determinada forma de entender el mundo. Algo que se ha repetido a lo largo de toda la historia de la humanidad, pero que no es lo que me atrae en la idea de Sims. Lo interesante para mí es la añoranza por una época pasada más unida con la naturaleza. Una añoranza necesariamente presente entonces si se ha de creer a Sims, y que impulsó a la construcción del Stonehenge como mecanismo para aplacarla o encauzarla correctamente. Mostar la nueva relación entre sol y luna fue requerida para convencer a una nueva sociedad sedentaria, añorante del pasado más libre y sencillo de cazadores y recolectores, y forzada a la transición probablemente por unas nuevas condiciones climáticas que cambiaron ostensiblemente el entorno entonces propicio para la caza.

En este sentido es curioso notar las analogías que se presentan con la transición de la vida de agricultura sedentaria a la vida de la ciudad. Ahí no encontramos un Stonehenge como monumento a un pasado, sino sobre todo una monumental collección de obras de arte, presentes especialmente en el romanticismo europeo de los siglos XVIII y XIX, con intención de mostrar o recordar la naturaleza como lo verdadero y fundamental frente a la civilización.


El romanticismo y la vuelta a la naturaleza

Una figura especialmente interesante desde este punto de vista es el americano John Muir, el cual ya he mencionado una vez en este blog: Un paseo por el bosque - Homenaje a John Muir. No es su intención la de llevarnos a todos otra vez al campo, sino la de mostrarnos la importancia de la naturaleza y especialmente hacer crecer en nosotros el respeto hacia ella. Un respeto casi místico, pero muy concreto y bello. De ahí a las estrellas sólo hay un paso, pequeño para cualquier hombre, pero fundamental para la humanidad.

El arco en el disco celeste de Nebra

El disco celeste de Nebra:



El arco dorado a la derecha tiene un ángulo de 82° que corresponde con el ángulo en el horizonte entre solsticio de verano e invierno en el lugar en el cual el disco fue encontrado, a una latitud de 52°.

¿Podemos calcular este ángulo de forma intuitiva? Consideremos las trayectorias del sol en la bóveda celeste (tomemos la bóveda celeste de radio = 1) para una declinación "delta". La trayectoria roja es la del día más largo de año y la trayectoria azul la del día más corto:



Veamos ahora las trayectorias "de canto" (el semicírculo superior corresponde con la bóveda celeste). Observemos que el siguiente valor "x" puede obtenerse sin problemas según el dibujo, siendo "beta" el ángulo de 23.5° de inclinación de la eclíptica:



Volviendo a la perspectiva anterior:



Obtenemos el valor de "y", y el ángulo "a" entre la intersección de las dos trayectorias (azul y roja) como:

a = 2 arcsin(y)

La función resultante para "a" tiene la siguiente forma:



Esta es una de las varias formas posibles de calcular este ángulo.

Glaubendorf 2 y el orígen de la astronomía en Europa

Los círculos de Goseck en la región alemana de Sajonia-Anhalt se han hecho famosos por el disco celeste de Nebra, que fue encontrado a unos cuantos kilómetros de distancia, y recuperado hace unos años por el estado Alemán tras una detectivesca trama. El disco celeste de Nebra es una deslumbrante muestra de que los pobladores europeos del segundo y primer milenio antes de Cristo poseían unos conocimientos astronómicos considerablemente avanzados.



Mientras parece clara la interpretación de un objeto tan relevante como el disco de Nebra, la interpretación sobre la función de los círculos no es clara del todo. Existen más de cientoveinte círculos en el centro de Europa, desde el Baviera hasta la República Checa y Eslovaquia pasando por Austria. Recientes investigaciones parecen robustecer la hipótesis de un posible uso como calendario astronómico, señalando los solsticios y equinocios, y a su vez como lugar de reunión.



Son construcciones monumentales similares a la famosa Stonehenge, pero sin megalitos, y claramente más antiguas. Su construcción data del mediados del quinto milenio antes de Cristo, algunos incluso de épocas tan remotas como un sexto milenio antes de Cristo, con el comienzo del neolítico Danubiano y la cerámica de bandas, una cultura que abarcó durante un tiempo la zona donde se encuentran los círculos.



Los círculos presentan relaciones geométricas entre sus círculos concéntricos, además de fosos y puntos sobresalientes en los cículos. Se cree que sobre los círculos se erigían palos conformando una pared circular con señales en los puntos importantes que servían para la identificación de los cambios de estaciones y quizás algún evento astronómico.

Uno de estos círculos es el círculo Glaubendorf 2, a unos cincuenta kilómetros al norte de Viena, en la región austriaca de Baja Austria. Estos círculos fueron reconstruidos para una exposición en el 2005, aunque luego fue desmontado otra vez, y las fotos de entonces proporcionan una buena idea de cómo pudieron ser esos enclaves.



El complejo, hoy, como la mayoría, está claramente hundido en milenios de argricultura y erosión. Tras la exposición del 2005 ahora queda poco más que unos palos puestos recientemente marcando ciertos puntos de los círculos y unas fosas circulares difíciles de indentificar.



Pero pasados unos sietemil años desde su construcción, uno puede imaginar la relación de aquellas personas con su tierra y su cielo. Los bosques de Baja Austria son oscuros como el cielo de la noche y la tierra es fértil y con un aura de misticismo, que se la proporciona el hecho de que uno sea capaz de encontrar amatistas cavando en ciertos lugares rocosos sin excesivo esfuerzo.



En cualquier caso, la imagen popular de los antiguos pobladores de Europa como bárbaros guerreros es algo que hay que desterrar completamente y honrar a los que nos han precedido estudiando y amando el cielo, y la tierra bajo él.

Nota histórica sobre la formulación de la relatividad general

Hoy quiero llamar la atención sobre un papel reciente sobre historia de la ciencia. Fijémonos en la siguiente foto:



¿Qué nos está preguntando Einstein? Nos pregunta si Ruv = 0. (En la notación moderna los subíndices latinos i, j se usan para coordenadas tridimensionales y los subíndices griegos u, v para cuatro dimensiones). Desconozco el orígen de la foto, que he encontrado casualmente, pero probablemente se trata de una conferencia en la que Einstein explicaba los pasos que le llevaron a la formulación de la teoría general de la relatividad o la relatividad general misma.

¿Qué quiere decir esa pregunta y por qué la preguntaba retóricamente? Veamos las ecuaciones de Einstein tal y como son en la relatividad general:

Ruv – ½ guv R = Tuv

El lado izquierdo de las ecuaciones de Einstein describe la geometría del espacio y el tiempo. El objeto Ruv (u, v = 0, 1, 2, 3), conocido como tensor de Ricci, se deriva del tensor de curvatura de Riemann (el tensor de Ricci es la contracción, o traza, del tensor de Riemann), que proporciona los valores de la curvatura del espacio-tiempo en cada punto de él. El objeto guv es la métrica y R el escalar de Ricci (la contracción del tensor de Ricci). El lado derecho de las ecuaciones de Einstein describe la materia y contiene al tensor de energía-momento Tuv. Si el lado derecho es cero, se trata de las ecuaciones para el vacío (sin materia).

Einstein nos pregunta si Ruv = 0, es decir, si las ecuaciones del campo gravitacional en el vacío son tales que el tensor de Ricci es cero. Esto es correcto ya que el tensor de Ricci es:

Ruv = Tuv - ½ guv T

siendo T la traza del tensor de energía-momento. Si Tuv = 0, entonces T = 0 y ocurre ciertamente que Ruv = 0. Estas son por tanto las ecuaciones de Einstein en el vacío. No obstante, esta forma de escribirlas, en vez de la usual Ruv – ½ guv R = Tuv ó Ruv – ½ guv R = 0 para el vacío, recuerda a una expresión para las ecuaciones que el mismo Einstein estuvo considerando durante un tiempo antes de dar con las correctas. Concrétamente:

Ruv = Tuv

Estas ecuaciones sólo coinciden con las verdaderas si T, la traza de Tuv, es cero también, T = 0. Pero esto es una restricción severa a la materia del universo, ya que no toda ella tiene un tensor de energía-momento con traza cero. Uno de los fenómenos que más interesaban a Einstein en 1914, antes de la formulación de las ecuaciones correctas, y que guiaron sus pasos en la búsqueda de las ecuaciones, era la deflección de la luz que Einstein intuía como un fenómeno necesario de una nueva teoría de la gravitación. La luz, en general el campo electromagnético, sí tiene tensor de energía-momento con traza cero T = 0.

La historia para llegar a las ecuaciones correctas a partir de esas ecuaciones incorrectas es fabulosa y trata de un apasionado carteo e intercambio de opiniones entre Einstein y Hilbert. Einstein, con su forma más intuitiva, había planteado perfectamente los dos pilares sobre los que la teoría debía descansar: el principio de equivalencia y la covarianza general (invarianza antes cambios generales de coordenadas), así como el trasfondo matemático necesario para abordar el problema (geometría de Riemann) con la ayuda de su amigo Marcel Grossmann. A este resultado llegó tras un tortuoso camino comenzado tras la formulación de la relatividad especial en 1905. Hilbert, basándose en los principios propuestos por Einstein y aplicando formalmente el principio de acción mínima dio con la forma correcta de las ecuaciones. Einstein lo hizo después / antes / al tiempo (?) de recibir la solución de Hilbert que le había pedido por carta y siguiendo su vía intuitiva.

De ahí nace una controversia histórica sobre el autor de las ecuaciones correctas. Ambos protagonistas dieron por zanjada la cuestión educadamente tras las publicaciones en la navidad de 1915, pero el tema sigue inquietando a muchos. Aquí se proporciona un resumen excelente del tema: http://arxiv.org/physics/0504179