On the Origin of Inertia

En la mecánica newtoniana el movimiento acelerado de un cuerpo viene definido respecto de una clase o conjunto de sistemas de referencia, concrétamente, todos los sistemas de referencia inerciales. De acuerdo con la relatividad general un sistema así puede ser encontrado de forma local en todo punto del espacio-tiempo. Pero ¿qué determina la existencia de tal conjunto de sistemas?

En la relatividad general ocurre también que lejos de toda masa tales sistemas pueden existir. Esto es debido a que el espacio-tiempo se vuelve plano, el mismo que el de la relatividad especial, donde la clase de sistemas de referencia inerciales representan una clase preferida y en cierta medida absoluta o independiente del resto del universo. De forma equivalente se puede pensar que un cuerpo alejado de toda masa puede adquirir inercia, esa propiedad de todo cuerpo que liga aceleraciones a fuerzas. Esto es debido a que el espacio-tiempo se vuelve plano y la inercia aparece como propiedad absoluta de los cuerpo.

La cuestión es si esto es conceptualmente aceptable. Si postulamos que todas las propiedades del movimiento deben ser expresables en términos observables y de forma dinámica, entonces la posibilidad de una determinación absoluta de los sistemas inerciales va claramente en contra de nuestro postulado. En cierta medida queremos hacer física con el menor bagaje posible en lo referente a artilugio teórico absoluto. La existencia de soluciones sin masas pero con sistemas inerciales en la relatividad general va en contra de esto.

En defintiva, la motivación es lograr que movimientos cinemáticamente equivalentes sean también dinámicamente equivalentes. Esta es una forma de expresar lo que se conoce a veces como principio de Mach. Esto no es así en la mecánica newtoniana. Para ilustrarlo recordemos el ejemplo del cubo de agua que gira. Que el agua suba por la pared del cubo y se hunda en el centro del cubo (concavidad) significa que el cubo gira. En la mecánica newtoniana el cubo gira o es acelerado respecto de la clase de sistemas inerciales. Las fuerzas que actúan sobre el agua aparecen de forma absoluta. De acuerdo con la mecánica newtoniana si todo el universo girase pero el cubo no, entonces sobre el cubo no actuarían fuerzas.

Pero que todo el universo gire y el cubo no es cinemáticamente equivalente a que el cubo gire pero el resto del universo no. De acuerdo con nuestro postulado hay que encontrar por tanto también una mecánica que describa estos dos fenómenos como dinámicamente equivalentes. Es decir, si el universo girase pero el cubo no deberá actuar una fuerza sobre el cubo que será igual que si el cubo gira pero el universo no.

Esta hipótesis proporciona además una nueva perspectiva al problema del péndulo de Foucault. La determinación de la velocidad angular de la tierra que se sigue de este experimento ha de ser equivalente a la determinación de la velocidad angular de la tierra que se puede hacer con experimentos cinemáticos; midiéndo posiciones de estrellas fijas en el infinito. Esto es debido a que movimientos cinemáticamente equivalentes sean también dinámicamente equivalentes.

¿Cómo proceder para encontrar una teoría así? El primer indicio nos lo proporciona el principio de equivalencia. Este nos dice que localmente la fuerza gravitatoria es indistinguible de cualquier otra fuerza inercial. Es decir, localmente un campo gravitatorio es equivalente a una aceleración uniforme. Parece sensato intentar encontrar una teoría en la cual la inercia sea consecuencia de la gravitación. Asumiendo un modelo simplificado en el cual no existen otras fuerzas mas que la gravitación, la condición de que movimientos cinemáticamente equivalentes sean también dinámicamente equivalentes vendrá dada por la condición de que:

En el sistema de referencia comóvil con un cuerpo la fuerza gravitatoria que el resto del universo realiza sobre este cuerpo es nula

La condición parece razonable: si cinemáticamente somos capaces de ponernos en movimiento comóvil con el cuerpo de forma que él está en reposo respecto de nosotros, parece sensato exigir que dinámicamente no actúen fuerzas sobre él. Al fin y al cabo estamos intentando que cinemática y dinámica sean equivalentes. Aunque parezca increible esta es la única condición necesaria para establecer la teoría.

Lo mencionado hasta aquí es la base conceptual del trabajo de Dennis Sciama, físico inglés (1926-1999), sobre este tema. En su artículo:

• On the origin of inertia

presenta magistralmente un modelo de teoría así. El artículo es una joya, por lo bien escrito que está, por la forma de proceder, por sus ideas bellas conceptualmente bien fundadas, por sus predicciones y por su sencillez en la presentación.

Para imponer la condición mencionada Sciama considera un universo homogeneo e isótropo cumpliendo la ley de Hubble y en el cuál existe una inhomogeneidad representada por una masa gravitacional M. Este es el "resto del universo" que va a actuara sobre una masa test, en la cual se impone el principio mencionado. El modelo que presenta Sciama es una teoría vectorial de la gravitación. Es conocido que una teoría de la gravitación debe ser tensorial, pero el modelo vectorial sirve para extraer suficientes consecuencias físicas interesantes. Sciama promete el modelo tensorial para un segundo trabajo futuro, pero a mí me es desconocido si ese trabajo realmente existió o no.

Debido a que en el universo existen masas en movimiento respecto de nuestra masa gravitacional test, una teoría vectorial de la gravitación consistirá en un campo gravitoeléctrico E y otro gravitomagnético H sobre la masa test - análogamente a las ecuaciones de Maxwell. El campo total F = E + H será cero en el sistema comóvil de la masa test y esta condición, F = 0, valdrá para derivar la segunda ley de Newton con una expresión no trivial para la masa inercial de nuestra masa (gravitacional) test (véase ecuación (5) en el artículo).

No voy a mostrar aquí los pasos matemáticos, pero son sencillos. Sólo requiren de entender ecuaciones análogas a las de Maxwell. Recomiento encarecidamente leer el artículo al que no lo conozca.

Las consecuencias de la teoría son: (i) la constante gravitacional en un punto del espacio-tiempo depende de la distribución de materia local en tal punto, (ii) la energía total de un cuerpo (gravitacional e inercial) es nula (iii) el principio de equivalencia es una consecuencia de la teoría, (iv) la teoría permite calcular la densidad media del universo, (v) para el universo que observamos la mayor parte de la inercia de los cuerpos viene generada por masas a distancias mayores de 100 Mpc, y otras más mencionadas en el artículo.

Visto esto uno se pregunta si realmente la relatividad general puede ser la teoría clásica correcta de la gravitación. La belleza conceptual del principio de Mach, el cual la relatividad general no implementa consistentemente, es tan grande que parece una pena que el universo no haya hecho uso de él. ¿Qué teorías tensoriales y más realistas hay que incorporen este principio? ¿Cómo difieren de la relatividad general? y ¿están experimentalmente refutadas? Estas preguntas nos ocuparán en una segunda entrada en un futuro próximo.

Galileo y el principio de equivalencia

Existe un famoso argumento de Galileo sobre la validez del principio de equivalencia, que viene a decir algo así:

Consideremos un cuerpo de masa M y otro de masa m, con M > m. Asumamos que los cuerpos más masivos caen más rápido. Si unimos M y m por medio de algún cable o cuerda sin masa en un solo sistema de masa M+m, al caer este, m frenará a M (hemos asumudo que m cae más despacio que M), por lo que M+m caerá más despacio que M. Esto contradice la hipótesis de partida, por lo que todos los cuerpos han de caer con la misma aceleración.

Vamos a ver que este argumento tiene parte de verdadero, pero también parte de falso. Consideremos que el principio de equivalencia no es válido, que es en definitiva el punto de partida del argumento de Galileo. Es decir, la masa inercial no es igual a la masa gravitatoria .

Consideremos dos cuerpos, el 1 y el 2, ambos en caída libre hacia la tierra que ejerce un campo gravitatorio sobre ellos:



La fuerza sobre ellos es:



Por tanto, las aceleraciones de los cuerpos aplicando la segunda ley de Newton son:





Por otro lado, la aceleración del sistema conjunto es:



Ahora, consideremos que . Esto significa que:



Desarrollando esto:





Que es cierto si:





Es decir, si:



Si ahora imponemos la condición que y desarrollamos igual que antes, llegamos que la condición es cierta si:



Es decir, ambas no pueden cumplirse a la vez y, por tanto, está entre y de forma que una de las masas "estira" de la otra.

Volviendo ahora al argumento de Galieo nos encontramos con que su primera conclusión es correcta: el cuerpo M+m no puede caer con aceleración mayor que M y m.

No obstante, la segunda conclusión que se sigue de esa primera no es correcta. Es decir, de la primera conclusión no se sigue que M+m, M y m hayan de caer todos con la misma aceleración. Como hemos visto M+m podría caer más rápido que uno de los dos y más despacio que el otro. Cuál de los dos depende de la relación entre masas inerciales y gravitatorias. Esto sería consistente con una posible violación del principio de equivalencia.


Galileo Galilei

Sirva esta entrada como pequeño homenaje al Galileo Galilei. Que conste que el hecho que yo pueda hoy analizar así sus ideas no hace mas que honor a la cita de Max Gluckman: "Ciencia es toda disciplina en que los tontos de una generación pueden llegar más lejos que los genios de la precedente"

Inercia

La mecánica de Newton

La mecánica es la física de los cuerpos en movimiento y se suele separar conceptualmente en cinemática y dinámica. La cinemática es la parte de la mecánica que trata el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo producen. Su objeto son la mera trayectoria en el espacio, con sus posibles cambios a lo largo del tiempo. La dinámica, por contra, es la parte de la mecánica que describe la evolución en el tiempo de un sistema físico, en relación a las causas que provocan los cambios de su estado de movimiento.

La mecánica viene descrita por las tres leyes de Newton, dos de las cuales nos van a interesar especialmente aquí. La primera ley de Newton nos dice:

En la ausencia de fuerzas exteriores, toda partícula continúa en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme respecto de un sistema de referencia inercial o galileano.

Esta ley está introduciendo el concepto de sistema inercial y nos está definiendo la fuerza como la causa de las variaciones de velocidad de los cuerpos respecto de sistemas inerciales. Convendrá, por tanto, definir con exactitud qué se entiende por sistema inercial. Formulemos antes la segunda ley de Newton, la cual nos dice:

La variación del momento lineal de un cuerpo es proporcional a la resultante total de las fuerzas actuando sobre dicho cuerpo y se produce en la dirección en que actúan las fuerzas.

En definitiva, la segunda ley de Newton nos describe la variación de momento lineal con la fuerza, dp/dt = d(mv)/dt = F, o, usualmente, F = m a.

La inercia o masa inercial queda definida aquí como la propiedad de los cuerpos que describe su resistencia a cambiar su estado de movimiento a través de fuerzas. La variación del momento lineal representa un cambio en la trayectoria del cuerpo, una característica meramente cinemática. La fuerza, por contra, es un elemento dinámico, mostrándonos la causa del cambio cinemático. La inercia es en definitiva un concepto intimamente ligado con la dinámica de los cuerpos en el espacio y el tiempo.

Precisamente una observación elemental, pero que nos va a ocupar a lo largo de este artículo, es que la segunda ley de Newton y la inercia nos están diciendo algo sobre cómo los cuerpos se mueven en el espacio, a lo largo del tiempo. Este artículo va a tratar de desmenuzar algo la relación entre espacio-tiempo, inercia, cinemática y dinámica.

El movimiento inercial

Preguntémonos primero qué tipo de movimiento es aquel que nos describe la primera ley de Newton. Se trata del movimiento denominado inercial, que la segunda ley de Newton describe con la fórmula dp/dt = d(mv)/dt = 0. Este tipo de movimiento es rectilineo y uniforme respecto de sistemas de referencia denominados inerciales, en los cuales se cumplen las leyes de Newton. Un sistema de referencia es un grupo de sistemas coodenados, todos aquellos que tienen la misma velocidad. Un sistema coordenado como tal requiere de una definición de sus ejes coordenados espaciales y temporal.

El paso conceptual necesario para definir un sistema inercial es notar que tal definición requiere de la dinámica, y no es sólo posible por medio de cinemática. Concrétamente, los sistemas de referencia inerciales son aquellos en los que la inercia es homogenea e isótropa en el espacio. Intentemos entender esta idea.

Si la inercia no fuese homogenea la fórmula dp/dt = d(mv)/dt = dm/dt + dv/dt = 0 sería falsa en el caso de una velocidad constante y un movimiento uniforme dv/dt = a = 0, ya que con la variación de la posición la masa inercial estaría variando y dm/dt = (dm/dx) (dx/dt) sería diferente de cero. Es por tanto esta primera condición una necesaria para asegurar que el movimiento inercial es uniforme y de velocidad constante. Si la primera y la segunda leyes de Newton han de ser válidas, la uniformidad implica a su vez una trayectoria como función lineal del tiempo, a lo largo de rectas de mínima distancia entre dos puntos.

El diagrama de abajo muestra la situación de inercia inhomogenea, por ejemplo decreciente con x positivos. Preservar la segunda ley de Newton dp/dt = 0 implicaría renunciar a trayectorias rectilineas de movimiento inercial en el espacio. O, equivalentemente, para mantener trayectorias rectilineas el eje espacial se debería calibrar de otra forma (con intervalos decrecientes con x).



Sin embargo, la condición de inercia homogenea en el espacio no es suficiente para determinar un sistema inercial y para que se cumplan en él las leyes de Newton, especialmente la segunda (y también la tercera). Necesitamos una inercia isótropa, ya que de otra forma fuerzas iguales sobre cuerpos iguales impulsados en direcciones diferentes resultarán en aceleraciones y velocidades diferentes. Esta condición es equivalente a un eje temporal perpendicular al espacial. Esto, a su vez, es una condición sobre la definición del concepto de presente o, equivalentemente, un espacio de simultaneidad. Y a su vez esto sólo es posible a través de un método de sincronización.

La inercia es un elemento clave a la hora de definir la sincronización. Un método de sincronización es mandar dos cuerpos iguales desde un orígen de coordenadas en direcciones opuestas, hacerlos rebotar a una distancia determinada, igual en ambas direcciones, y, al recibirlos otra vez en el orígen, calibrar con ello el eje temporal y las superficies de simultaneidad (tiempo de recorrido del cuerpo / 2 = instante en el que ocurre el rebote). El diagrama de abajo muestra la situación para inercia isótropa que corresponde con este método mencionado:



Supongamos no obstante, que la inercia no es isótropa y que el mismo impulso sobre cuerpos iguales en direcciones diferentes resulta en velocidades diferentes. El siguiente diagrama muestra la nueva situación y nos enseña que el eje temporal queda determinado de forma completamente diferente y que el método mencionado de sincronización no es aplicable de forma exáctamente igual.



La condición de isotropía garantiza que distintas formas de sincronizar relojes sean independientes de la direcciones del espacio elegidas y que por tanto el eje temporal sea perpendicular al espacial. Por ejemplo, en la relatividad especial un el eje temporal de un sistema coordenado es observado siendo no perpendicular al espacio desde otro sistema en movimiento respecto del primero. Esto significa que el segundo sistema no va a medir inercia isótropa en el primero, siempre y cuando se entienda inercia o masa inercial de acuerdo con la segunda ley de Newton F = m a. En su propio sistema de referencia, no obstante, todo observador mide una inercia isótropa.

¿Es posible definir una mecánica con inercia inhomogenea y no isótropa? En principio no parece imposible, aunque personalmente no tengo claro hasta qué punto, pero en cualquier caso la elección de inercia homogenea e isótropa y las leyes de Newton asociadas con estas hipótesis son las más sencillas.

Tenemos por tanto una indisoluble relación entre nuestra definición de inercia y nuestra definición de los sistemas coordenados y con ello nuestra medición de las distancias espaciales, intervalos temporales y la relación entre ambos. ¿Qué tipo de característica es la inercia que liga a cada objeto con el espacio-tiempo y sus características?

El movimiento acelerado

Cuando afirmamos que un objeto se mueve inercialmente, y formulamos la primera ley de Newton, estamos definiendo ese movimiento inercial respecto de una clase de sistemas de referencia, concrétamente, todos los inerciales. ¿Respecto de qué sistema de referencia se puede definir el movimiento acelerado? Igualmente, respecto de todos los sistemas inerciales.

Consideremos el comportamiento del agua en un cubo que gira. Que el agua suba por la pared del cubo y se hunda en el centro del cubo (concavidad) significa que el agua gira. Este agua no está girando respecto del cubo, el cual también está girando. La cuestión es por tanto respecto de qué gira. La respuesta es precisamente que gira respecto de una clase de sistemas de referencia preferidos, los sistemas inerciales.

Evidentemente el movimiento acelerado es igual de relativo cinemáticamente hablando que el movimiento inercial. La cinemática sólo trata las trayectorias respecto de sistemas coordenados, por lo que da igual describirla respecto de uno que respecto de otro. No obstante, tan pronto aceptalos la segunda ley de Newton como válida descripción del movimiento acelerado, tenemos una situación dinámica que ha de ser considerada, que, a su vez, nos viene determinada por una inercia. Los cambios dinámicos de movimiento inercial descritos por la segunda ley de Newton, y con ellos la inercia, son una propiedad de los cuerpos, que aparece de forma absoluta en el espacio y el tiempo en referencia a la clase de sistemas de referencia inerciales.

La referencia respecto de la cuál definir el movimiento acelerado es, no obstante, un tema de gran polémica en la historia de la física, y que puede verse desde diferentes puntos de vista. Intuitivamente, según la relación vista arriba entre geometría de los sistemas coordenados y la definición de inercia, parece evidente que los cambios en la geometría del espacio-tiempo pueden llevar a cambios en la inercia.

El principio de Mach

Berkeley y más tarde Ernst Mach postulaban que el agua se comporta como hemos visto arriba no porque gire respecto de alguna propiedad especial y absoluta del espacio-tiempo como lo es el conjunto de sus sistemas inerciales, sino porque gira respecto del resto de la materia en el universo, o, respecto de "las estrellas fijas". La diferencia aquí es que mientras en primer caso el espacio-tiempo proporciona de forma a priori y absoluta el conjunto de sistemas de referencia respecto del cual definir el movimiento acelerado, en el caso de Mach este sistema viene determinado dinámicamente, es decir, dependiendo de la configuración de la materia en el universo.

En un universo vacío, según Mach, no aparecería una fuerza que hiciera que el agua adquiriese una forma cóncava en el cubo, simplemente debido a la falta de "estrellas fijas" y referencia material la cual proporcionase dinámicamente un sistema preferido. Es más, si uno hiciese girar todo el universo en vez del cubo, obtendría igualmente una concavidad en el agua contenida en el cubo. En el universo vacío de Newton el agua adquiriría siempre una forma cóncava, ya que es una propiedad absoluta del espacio-tiempo la posibilidad de existencia de sistemas inerciales. Es más, como nota algo más técnica, pero de importancia capital, cabe remarcar que la relatividad general nos muestra que un universo vacío de materia corresponde precisamente con un espacio-tiempo plano, conformado por una colección de sistemas de referencia inerciales relacionados entre si por medio de transformaciones de Lorentz.

No obstante, la relatividad general implementa al menos en parte el principio de Mach: el agua en un cubo localizado en el centro de una esfera hueca que rota, ha de subirse por las paredes para obtener una forma cóncava. Esto es consecuencia del arrastre de sistemas de referencia, un fenómeno que no tiene equivalente en la gravitación newtoniana. Una esfera hueca que no rota no produce ningún tipo de efecto sobre un cuerpo en su centro, tanto en la gravitación newtoniana como en la relatividad general. En la gravitación newtoniana esta situación se repite con una esfera en rotación: ésta tampoco produce un efecto sobre los cuerpos en su interior. Sin embargo el ejemplo de la esfera hueca que rota está pensado para hacer brillar a la relatividad general en todo su esplendor y es que en el marco de la relatividad general sí ejerce un efecto sobre los cuerpos en su interior, producido por el fenómeno del arrastre de sistemas de referencia, que ha sido objeto de estudio con la Gravity Probe B.

El péndulo de Foucault

El péndulo que oscila ligeramente en un campo gravitatorio uniforme sufre un movimiento armónico simple. Esto es uno de los resultados más básicos de la física, conocido como péndulo simple plano. Este péndulo nunca cambia su plano de oscilación y oscila siempre en el plano "del papel" que se usa para describirlo. Este péndulo se coloca encima de la tierra en rotación, por ejemplo en el polo norte. El péndulo puede considerarse igualmente en un campo gravitatorio uniforme ya que a escalas de distancia del péndulo las fuerzas de marea son despreciables y la tierra puede considerarse plana a este efecto. Desde un sistema inercial exterior a la tierra el péndulo se comporta por tanto como un péndulo simple plano y mantiene su plano de oscilación constante sin cambiar.

Sin embargo, un observador en la tierra ve cambiar el plano de oscilación, ya que no existe ninguna fuerza sobre el hilo del péndulo que lo obligue a rotar con la tierra y con el observador en ella. El observador en el polo norte, no inercial debido a su rotación, considera que el plano de oscilación del péndulo es movido por fuerzas no inerciales. Para este observador el péndulo da una vuelta en un dia sidereo, que es el tiempo que tarda la tierra en girar respecto de las estrellas fijas o respecto de un supuesto conjunto abstracto de sistemas de referencia inerciales.

La cuestión, o al menos una forma equivalente de formular el problema, es si existe algo que puede modificar dinámicamente el plano de oscilación del péndulo de Foucault. En la física newtoniana esto es imposible, porque la referencia respecto de la cual el plano de oscilación se mantiene constante es una característica implícita del espacio. Según el postulado de Mach, no obstante, esta referencia viene determinada por la configuración de materia en todo el universo, por "las estrellas fijas". Si estas cambian, o si al menos cambia una porción de ellas, entonces tal referencia se ve modificada y puede inducir un cambio en el plano de rotación del péndulo. La situación es igual que en el experimento mental de la esfera hueca a la que podría considerarse como parte de "las estrellas fijas".

Sabiendo sobre el fenómeno del arrastre de sistemas, especial de la relatividad general y mencionado arriba, consideremos ahora un espacio-tiempo que es plano en el infinito. Recordemos que un espacio-tiempo plano conforma un conjunto de sistemas inerciales y da por tanto un sentido absoluto a la noción de inercia. En el espacio-tiempo hay una esfera hueca y, dentro de ella, en su centro, un péndulo de Foucault. Inicialmente, ni la esfera ni el péndulo rotan y están en reposo respecto del espacio-tiempo que sirve para definir su movimiento rotatorio. Ahora bien, la relatividad general afirma que si la esfera hueca comienza a rotar respecto del infinito, entonces el péndulo empieza a variar su plano de oscilación también respecto del infinito.



Si esta esfera se asume extremadamente grande, modelando al fin y al cabo en cierta medida las estrellas fijas con ella, y en su centro uno imagina a la tierra con su rotación, entonces el observador situado sobre la superficie de la tierra encontrará que el péndulo de Foucault varía su plano de oscilación debido al giro de la tierra, pero, además, adicionalmente arrastrado por la gran esfera hueca. En definitiva, la gran esfera es la que determina el marco de referencia respecto de la cual el péndulo de Foucault está oscilando y lo arrastra con ella. Si la esfera no gira, este plano de oscilación es definido por el espacio-tiempo plano en el infinito. Pero si la esfera gira, este plano de oscilación cambia.

Es decir, la esfera modifica en su interior las condiciones de referencia dadas en el exterior para determinar el movimiento rotatorio, que eran impuestas por la existencia de un sistema o clase de sistemas preferido, plano en el infinito, en el caso de este experimento mental. Es en parte una implementación del principio de Mach en la relatividad general.

Einstein y el principio de Mach

Como hemos visto en la relatividad general un universo vacío es plano y un espacio-tiempo plano conlleva una noción absoluta de inercia, definida respecto de la clase de sistemas de referencia preferidos conformada por los sitemas inerciales. Incluso en el experimento mental anterior, donde la relatividad general sale al paso con una implementación del principio de Mach para dar una inercia de forma dinámica, es obvio que la inercia puede ser determinada de forma absoluta debido al espaciotiempo plano de fondo. Hay, por tanto, una cierta contradicción en el seno de la relatividad general en lo referente a la validez del principio de Mach.

A Einstein le disgustaba enormemente esto, y que la inercia pudiese ser determinada de forma absoluta. Einstein razonaba de la siguiente forma: si uno considera el universo como un conjunto de masas de forma que el espacio-tiempo es plano lejos de ellas (plano en el infinito), entonces siempre existe forma de violar el principio de Mach, yéndose lejos de las masas y obteniendo el límite de la relatividad especial. Esta era una situación inaceptable. Sin embargo, para determinar una solución a las ecuaciones en la relatividad general hacen falta, además de la configuración de masas en el espacio-tiempo, unas condiciones de contorno. En vista de esto, Einstein se puso manos a la obra para encontrar aquellas condiciones de contorno tales que fuese imposible encontrar un espacio-tiempo plano que determinase la inercia como una propiedad independiente de la materia.

Einstein objected [...], because it showed that the field equations allowed inertia to exist in an empty universe, which Einstein viewed as "inertia relative to space", and he still harbored hopes that general relativity would fulfill Mach's idea that inertia should only be possible in relation to other masses.

Una de sus ideas para resolver este problema fue proponer lo que Milne luego llamó el principio cosmológico: un universo con una distribución homogenea e isótropa de materia en todo el espacio, de forma que en ningún lugar de él hubiera sitio para una métrica plana del espacio-tiempo vacío.



El principio de Mach y la masa inercial

La relatividad geneneral también proporciona una implementación del principio de Mach aquí. Concrétamente, en la relación de dispersión (que relaciona energía y momento de una partícula). En un espacio-tiempo de Minkowski vale - n^{uv} p_u p_v = m^2, la cual, como p_0 = E, se traduce en E² - p² = m² y proporciona una definición de masa. Para un espacio-tiempo general debe incluir a la métrica g^{uv} en vez de la métrica plana n^{uv}, y con ello la definición de masa debe incluir la influencia de las masas circundantes a la "forma" del espacio-tiempo en el punto en el cual se encuentra.