Microcausalidad, propagadores y Reeh-Schlieder

Cuando uno quiere forzar las ecuaciones de la cinemática relativista para describir una partícula en movimiento con su función de onda, se encuentra con inconsistencias matemáticas. Estas se resuelven en el marco de la teoría cuántica de campos, permitiendo creación y aniquilación de partículas, es decir, pasando a una teoría en la cual la cantidad de partículas no está fijada. La partícula como objeto de estudio queda sustituida por el campo, un objeto complicado, cuyas excitaciones dan lugar a partículas. El hecho de no poder considerar un número fijo de partículas queda claro pensando por ejemplo en el problema de la localización de una única partícula: a medida queremos confinarla más y más y usamos más energía para ello en nuestro experimento de detección, de acuerdo con el principio de incertidumbre el momento de la partícua será cada vez mayor, y, dadas las altas energías involucradas, en la teoría cuántica de campos esto lleva a la aparición de pares de partículas del vacío.

La propagación de excitaciones del campo se denomina propagador. El propagador es una solución a las ecuaciones de movimiento del campo generada por la existencia de una fuente o una perturbación puntual - es lo que se conoce como función de Green de las ecuaciones de movimiento. En la mecánica cuántica no relativista el propagador de la ecuación de Schrödinger nos representa una partícula moviendose de un punto a otro. En la teoría cuántica de campos el propagador no representa una única partícula. De hecho, el propagador es diferente de cero fuera del cono de luz de un evento. Esto significa que la excitación del campo representada por el propagador tiene una probabilidad no nula de existir fuera de su propio cono de luz. Esto no puede representar una partícula ya que de otra forma esta partícula violaría la causalidad. La idea del propagador representando una partícula suele estar algo extendida. Por ejemplo en los diagramas de Feynman vemos líneas internas y pensamos que eso es una única partícula virtual que se intercambian dos líneas externas (partículas reales) para interactuar. Las líneas internas son precisamente propagadores del campo y no representan partículas, sino una suma sobre todos los momentos posibles. En cierta medida una suma sobre una cantidad infinita de estados básicos de partículas.

La causalidad se salva en la teoría cuántica de campos tan pronto uno considera correlaciones entre mediciones. En general cualquier influencia en mediciones está condicionada a quedarse dentro del cono de luz, un resultado famoso (conocido como microcausalidad). Un correlación de mediciones no es un objeto matemático como el propagador, sino algo relacionado con el commutador del campo. Si el commutador del campo en dos puntos diferentes es nulo entonces no existe correlación causal entre esos dos puntos. Y como las partículas son algo medible esto nos asegura que nunca podemos detectar una partícula fuera de su propio cono de luz un instante posterior. Es decir, dada una medición de una partícula en una región del espacio, una medición en otra región causalmente desconectada (fuera del cono de luz de la primera) debe tener probabilidad nula de encontrar la partícula. Este sobrio comportamiento causal en las mediciones se contrapone al comportamiento del propagador y en general de los estados en la teoría. Hay que diferenciar entre estados y mediciones.

Precisamente esta diferencia es esencial en el conocido teorema de Reeh-Schlieder. Este teorema nos dice que si tenemos una región acotada del espacio-tiempo S, la acción de los operadores O(S) (definidos como combinaciones del operador campo sobre funciones suaves en S y nulas fuera de S) sobre el vacío O(S) |0> es densa en el espacio de estados. Esto significa que cualquier medición realizada de forma local en S puede modificar el estado del campo en cualquier lugar del espacio-tiempo; ejecutando experimentos en un laboratorio, podemos crear estados en un lugar arbitrario del espacio-tiempo. Es chocante que este teorema sea consistente con la microcausalidad. Tan chocante que existe una gran cantidad de literatura al respecto. Pero modestamente creo que no lo es. Sólo hay que diferenciar entre estados y mediciones.

En concreto, al hablar de microcausalidad no nos interesan tanto los estados del campo que pueden existir fuera o dentro del cono de luz, sino que nos interesan las mediciones que vamos a realizar con nuestro detector fuera o dentro del cono de luz. Son las mediciones las que vienen fijadas por la condición de microcausalidad y no los estados. El teorema de Reeh-Schlieder nos habla de estados, la microcausalidad de mediciones. La condición de microcausalidad nos indica que dada una excitación del campo medida en x, la medición de otra excitación en en y, con en x, y separados espacialmente (fuera de sus respectivos conos de luz), no puede estar correlacionada con la anterior. Es el propagador del campo el que lo cambia de un estado a otro y con ello parece claro que mientras nos concetremos en los estados las contribuciones fuera del cono de luz van a ser posibles. Al final, sin embargo, estas contribuciones resultan cancelarse cuando uno estudia mediciones.

El número de fotones en ondas electromagnéticas

Uno de los resultados más sencillos y a la vez bellos de la difícil teoría cuántica de campos y la óptica cuántica es que nos muestra que una onda electromagnética clásica, tal y como nos la describe las ecuaciones de Maxwell, debe estar formada por un número indeterminado de fotones.

El campo electromagnético puede expresarse en función de sus modos básicos de excitación con monento determinado, que denominamos fotones. Si el campo está en un estado S en el cual existen exáctamente n fotones, escribimos:

S = |n>

denotando que S es un estado completamente determinado por esos n fotones. Si por contra el campo está en un estado de superposición, podemos escribir:

S = a0 |0> + a1 |1> + ... + an |n>

Esto significa un estado de superposición entre estados de cero hasta n fotones. Es similar a la partícula que puede estar en estado de superposición entre diferentes posiciones posibles en el espacio. Aquí lo mismo, pero en vez de posiciones fotones, como excitaciones básicas del campo electromagnético. Pues bien, el valor esperado - clásico - del campo eléctrico y magnético sólo es diferente de cero si el campo está en un estado de superposición.

Pueden existir conjuntos de fotones sin campo eléctico y magnético, pero para que estos existan y oscilen en una onda, tal y como lo requieren las ecuaciones de Maxwell, y la cual pueda actuar sobre cargas acelerándolas, entonces el número de fotones debe ser indeterminado. Un resultado sencillo - fácil de demostrar haciendo uso de operadores de creación y aniquilación - pero profundo a su vez.

Mitos y leyendas: la radiación de Hawking

Vamos a ver en este artículo una explicación detallada de la radiación de Hawking, más allá de las explicaciones populares en la red.

La explicación usual

Nos dice el artículo de wikipedia:

Una de las consecuencias del principio de incertidumbre de Heisenberg son las fluctuaciones cuánticas del vacío. Estas consisten en la creación, durante brevísimos instantes, de pares partícula-antipartícula a partir del vacío. Tales pares se desintegran rápidamente entre sí devolviendo la energía prestada para su formación. Sin embargo, en el límite del horizonte de sucesos de un agujero negro, la probabilidad de que un miembro del par se forme en el interior y el otro en el exterior no es nula, por lo que uno de los componentes del par podría escapar del agujero negro.

Es decir, algo así:


En la explicación heurística el horizonte impide la aniquilación de un par creado en el vacío por el principio de incertidumbre.

Esta es la explicación usual heurística de la radiación de Hawking, que uno encuentra en la mayoría de las páginas de la red. No obstante, esta explicación dista bastante de la realidad teórica y lleva a malentendidos. Veamos un par de conceptos que pretenden aclarar la situación, o al menos proporcionar una idea más cercana a la teoría.

Las partículas virtuales

Las partículas virtuales son un concepto que da lugar a muchas confusiones, especialmente a nivel de divulgación. Aparecen de forma natural en la teoría cuántica de campos cuando se estudian las interacciones. Consideremos por ejemplo la interacción electromagnética. La teoría cuántica de campos nos dice que toda interacción viene descrita por lo que se denomina vértices. Estos son puntos de interacción entre uno o varios campos. Estos vértices vienen determinados por diferentes exigencias que se imponen a la teoría, usualmente debido a condiciones de simetría.

El vértice para el electromagnetismo es uno único y consiste de dos elementos de partícula cargada y uno de fotón. Esto son tres elementos o tres líneas en un diagrama:


El vértice electromagnético.

El fotón es la línea ondulada. Las dos líneas gruesas representan una partícula antes y después de la interacción. Por tanto, si interactúan dos partículas cargadas sin emisión de radiación electromagnética (fotones) la línea del fotón debe mantenerse interna:


Interacción electrostática entre dos partículas cargadas, en la aproximación más simple que describe tal interacción.

Pues bien, todas las líneas internas de este tipo en los diagramas son partículas virtuales. Las líneas con extremos abiertos son partículas reales, que acaban en el detector de la colisión o se propagan libremente por el espacio. Al no haber líneas onduladas con extremos abiertos se trata de una interacción sin emisión de radiación electromagnética. El fotón en el diagrama sólo transporta una interacción y no es detectable, de ahí su nombre "virtual".

No hay otra forma mas que el diagrama de arriba de hacer que dos partículas cargadas, reales y de líneas con extremos abiertos, interaccionen por medio del vértice electromagnético. Bueno, realmente sí la hay, pero a costa de incrementar la complejidad:


Interacción electrostática entre dos partículas cargadas, describiendo tal interacción con mayor precisión.

Aquí se ve bien que las condiciones experimentales son las mismas: dos partículas cargadas - líneas de extremos abiertos - interactúan entre sí. La forma de la interacción es la electromagnética: el mismo vértice siempre con dos líneas gruesas y una ondulada, aunque repitiéndose varias veces. Se ve bien en los diagramas que se puede incrementar la complejidad pero siempre manteniendo dos condiciones: (1) siempre debe haber cuatro extremos abiertos (pasado y futuro respectivamente de las dos partículas cargadas) y (2) en cualquier intersección de líneas debe haber dos líneas gruesas y una ondulada, es decir, el vértice es siempre el electromagnético.

El incremento de complejidad también hace aparecer aquí partículas virtuales diferentes de fotones: hay líneas internas gruesas que corresponden por ejemplo con electrones y positrones virtuales. Con esto también queda clara otra cosa: sin interacciones - sin vértices - no hay partículas virtuales.

Entropía y osciladores armónicos

Las ondas en un estanque son ondas de entropía muy alta. Las moléculas del agua están en movimiento caótico y sus oscilaciones no siguen ninguna pauta determinada a nivel microscópico, salvo que se unen para dar lugar a una onda macroscópica. Por contra, las vibraciones en un sólido cristalino a muy baja temperatura tienen lugar en un entorno de entropía baja. Existe una red cristalina con átomos localizados, los cuales no cambian sus posiciones. Una perturbación en la posición de uno se propaga por la red, pero lo hace manteniendo la estructura.


Las ondas en el agua se produce en un entorno de alta entropía, que desplazan caóticamente a las moléculas en el líquido.

Este tipo de ondas, que tienen lugar en entornos de entropía muy baja, son ondas cuantizadas, es decir, con cuantos energéticos. En el caso de las vibraciones en sólidos a estos cuantos se los denomina fonones. El hecho que en el agua del estanque no se presenten ondas cuantizadas reside precisamente en el diferente nivel de entropía. Los sólidos cristalinos se modelan usualmente asumiendo que en cada punto de la red existe un oscilador armónico. El oscilador armónico es uno de los sistemas más generales de la física y consiste en algo que es desplazado de su posición de equilibrio una mínima cantidad y que es llevado hacia el equilibrio después por una fuerza de restauración, todo ello dando lugar a un característico movimiento sinusoidal a una determinada frecuencia fija. El el caso del sólido la perturbación es algo externo y la fuerza de restauración son las fuerzas moleculares que hacen que los átomos se mantengan en sus posiciones.


Las ondas en un sólido a baja temperatura sólo mantienen la escturctura y se dan en un entorno de baja entropía.

El oscilador armónico es un sistema interesante desde el punto de vista de la mecánica cuántica. En el estado de reposo clásico el oscilador armónico, o un oscilador armónico clásico por ejemplo de un objeto macroscópico enganchado a un muelle, está quieto y en su punto de reposo. Si consideramos un sistema cuántico que sigue las leyes del oscilador armónico (un átomo o una partícula ligada a alguna fuerza por ejemplo), en su estado de reposo no puede tener energía nula. Esto es así por el principio de incertidumbre, que impide al sistema tener una posición y un momento ambos determinados. El oscilador armónico cuántico tendrá por tanto siempre una mínima energía o momento diferente de cero. A este estado se lo denomina estado fundamental. La energía en el estado fundamental de un oscilador armónico es 1/2 h f, siendo h la constante de Planck y f la frecuencia de las posibles de oscilaciones del oscilador (cuando se pone a oscilar).


Niveles de energía del oscilador armónico cuántico para los átomos en una molécula.

La idea de campo y la energía del vacío

Esta introducción sirve para pasar a la teoría cuántica de campos, ya que en la teoría cuántica de campos los campos quedan descritos por una colección de osciladores armónicos. (En la teoría cuántica de campos, el campo es la noción fundamental de la que se derivan las partículas como excitaciones de este.) Es similar a la red cristalina, pero aquí es más extraño: hay una cantidad infinita de osciladores armónicos en cada punto del espacio. En un punto dado hay un oscilador por cada longitud de onda posible a la que el campo puede oscilar. Si hay un oscilador en un punto determinado está oscilando lejos de su estado fundamental, es decir oscilando a una determinada frecuencia, se dice que existe una exictación del campo dando lugar a una o varias partículas de esa longitud de onda (o momento lineal según la relación de de-Broglie). Cuando no existen partículas en todo el espacio los osciladores están inactivos y en su estado fundamental. Se dice igualmente que el campo está en su estado fundamental o vacío.

En la teoría cuántica de campos la energía de vacío del campo viene creada por el estado fundamental de todos los osciladores. Tenemos por tanto una cantidad infinita de contribuciones a la energía del vacío en cada punto (densidad de energía de vacío), una por cada 1/2 h f para todas las f, pese a que los osciladores no están activos. Este estado vacío es igual para todo sistema de referencia inercial. Esto significa que si yo estoy en un sistema inercial y tú también lo estás, y estamos tú y yo midiendo un determinado campo en una región del espacio, coincidiremos ambos en decir que el campo está en su estado fundamental y que, por tanto, no hay partículas y todos esos osciladores están inactivos. Esto es parte de la forma en la que una onda sinusoidal (movimiento del oscilador) transforma frente a transformaciones inerciales: cambia su frecuencia y da lugar a un efecto Doppler. Pero al ser la energía del vacío o el vacío mismo una suma sobre todas las frecuencias posibles, tal efecto es irrelevante ya que todas las frencuencias se desplazan una misma cantidad - y en un rango infinito tal cosa no se nota. Aprovecho para hacer notar que esta idea de osciladores es una representación matemática y algo abstracto, y no es que haya o se asuman muellecitos o algo similar en cada punto del espacio.

Un excurso sobre el término "campo"

El término "campo" se usa en la física de dos formas diferentes, que pueden llevar a confusión. Una acepción, la más fundamental, es la que hemos usado aquí. El universo contiene sólo unos cuantos campos, tantos como tipos de partículas elementales. Para un determinado tipo de partícula elemental (por ejemplo el electrón) todas las partículas de tal tipo (todos los electrones del universo) con sus respectivas antipartículas (todos los positrones del universo) son excitaciones de un único campo. Lo mismo por ejemplo con todos los fotones del universo, creados por el campo electromagnético (o campo del fotón). Esta es la noción fundamental de campo en la teoría cuántica de campos.

Esta es la forma de hablar cuando se habla de campos en la teoría cuántica de campos. Luego, hay otra noción de campo, cuando se dice por ejemplo que un electrón crea un campo electrostático alrededor de él. Hay que tener en cuenta que son dos formas diferentes de hablar. ¿Cómo se reduce esta segunda a la primera, que es la fundamental? Denotemos por *campo* a la noción fundamental dada por la teoría cuántica de campos y por **campo** a la idea procedente de la física clásica, de que una partícula crea un campo a su alrededor. Por un lado, el *campo* electromagnético (el campo del fotón) crea o puede crear fotones como excitaciones de si mismo. Por otro lado el electrón (excitación a su vez del *campo* del electrón) crea un **campo** alrededor de él y que este ejerce una fuerza sobre cualquier carga que esté dentro de él.

Pues bien, cuando un electrón crea una fuerza sobre una carga cualquiera existen excitaciones del *campo* electromagnético que se propagan por el espacio en forma de partículas virtuales. La acción de estas partículas virtuales da lugar al **campo** del electrón. El **campo** y su geometría (simetría esférica, etc.) es consecuencia de las partículas virtuales y excitaciones del *campo*. Estas partículas virtuales son creadas sólo en caso de interacciones; el *campo* del electrón actúa como fuentes y sumideros para el *campo* electromagnético.


Esto también es un campo, pero ni es un *campo* ni un **campo**.

La radiación de Hawking

Volvamos con la noción del vacío de un campo (*campo*). El acuerdo sobre las propiedades del vacío entre sistemas inerciales, se pierde en caso de sistemas acelerados y también en caso de sistemas sometidos a la gravitación. Si yo estoy en un sistema inercial y tú estás siendo acelerado, y estamos tú y yo midiendo un determinado campo en una región del espacio, yo diré que el campo está vacío, pero tú podrás decir que no, que hay partículas en él. Este es uno de los resultados menos intuitivos de la teoría cuántica de campos y muestra que la noción de partícula es algo relativo, mientras que lo fundamental es la idea de campo. La transformación de ondas planas sinusoidales frente a aceleraciones es muy diferente a frente a transformaciones inerciales. Aquí no ocurre que todas las frecuencias se desplacen un valor constante, sino que ciertas frecuencias se aglomeran y dan lugar a una distribución diferente. Para una aceleración uniforme se puede mostrar que lo que se obtiene es una distribución térmica en las ondas planas mencionadas.

Al igual que una aceleración uniforme crea una distribución térmica de oscilaciones (denominada radiación de Unruh), por el principio de equivalencia un campo gravitatorio uniforme crea una distribución térmica de oscilaciones. Este resultado se puede extrapolar para otro tipo de campos gravitatorios, como el creado por un agujero negro. Lo que ocurre es que el observador estacionario el en campo (y por tanto acelerado) ve un vacío diferente al observador en caída hacia el agujero negro (y por tanto inercial). El vacío cerca de un agujero negro puede considerarse en cierta medida como en libre hacia él (por argumentos que me voy a ahorrar aquí) por lo que el observador acelerado (estacionario en el infinito) verá una distribución térmica de partículas saliendo de allí.

En definitiva, el orígen de esta distribución no tiene nada que ver con partículas virtuales, sino con la naturaleza del campo en su estado fundamental. Las partículas virtuales sólo aparecen cuando hay dos o más campos en interacción. La radiación de Hawking, de existir, se daría también si en el universo hubiese un único campo. Si hay más de un campo, como en la realidad por ejemplo electromagético, gluones, quarks, electrón/positrón, etc. la radiación de Hawking significará que de cada tipo de campo aparecerá una radiación térmica hacia el infinito. Naturalmente tal fenómeno es más notable para fotones debido a la fuerza de la interacción electromagnética, pero, en principio, cualquier campo sufre el mismo efecto.

Epílogo

Hemos visto que la densidad de energía del vacío viene dada por las contribuciones de las energías de los estados fundamentales de los osciladores armónicos con los que se modela un campo. Esto considerando un campo o cada campo aislado. Habiendo dos campos en su estado fundamental - sin partículas - puede que estos estén en interacción. Dado que no hay partículas que se propagan por el espacio-tiempo hasta detectores no hay líneas con extremos abiertos, sino sólo burbujas de partículas virtuales:


La figura muestra arriba una burbuja para el caso del electromagnetismo y abajo para otro tipo de interacción.

Hemos visto que si tenemos un sólo campo en el universo hay radiación de Hawking, térmica, de los agujeros negros. Si tenemos varios y los consideramos todos libres, habrá igualmente radiación de Hawking, térmica, de cada campo por separado. Pero, ¿y si tenemos varios campos en interacción? ¿Habrá alguna corrección a la radiación de Hawking, térmica, de cada campo por separado? Desconozco la respuesta, y parece una pregunta digna de ser estudiada.

La masa de la materia y el bosón de Higgs

Hemos leído estos días ya varias veces que el LHC espera encontrar al bosón de Higgs, una partícula, la cual, según se nos dice, es responsable de dar masa a la materia. Muchas noticias de prensa han escrito esto, no voy a poner enlaces concretos, pero seguro que cualquiera que ha seguido un poco el tema lo ha leído así.

Ocurre que tal afirmación es básicamente incorrecta. El bosón de Higgs lo que hace es proporcionar masa a las partículas elementales. No obstante, esta masa es sólo una mínima parte de la masa total de la materia. La mayor parte de la masa de la materia viene dada por la dinámica de los quarks en en marco de la cromodinámica cuántica.

Consideremos sólo a los quarks como los principales constituyentes de la masa de la materia. La contribución de la masa del electrón es despreciable. Asumamos que los quarks tienen masa en reposo nula. Esto es, en este caso no nos hace falta el bosón de Higgs para dar masa a los quarks (en los términos de Yukawa). Al estar los quarks y gluones confinados en el protón, la masa en reposo del protón no será nula en este caso, pese a suponer nula la masa en reposo de los quarks, sino que será el equivalente energético de la energía cinética de los quarks y los gluones que se intercambian dentro del protón.

Si consideramos luego de forma más realista que los quarks tienen masa en reposo, proporcionada por el bosón de Higgs, la masa resultante del protón será el equivalente energético de la energía cinética de los quarks y los gluones que se intercambian dentro del protón, más la masa en reposo de los quarks.

La diferencia con el caso anterior es que en este segundo caso la masa es algo mayor, pero sólo en un poco por ciento. En definitiva, el bosón de Higgs da masa a las partículas elementales, pero la masa de la materia es en su mayor parte un resultado de la cromodinámica cuántica en el cuál el Higgs no tiene nada que ver.


Peter Higgs en el LHC

Premio Nobel de física 2008

Mitad del premio Nobel de física de este año va a parar a manos de Makoto Kobayashi y Toshihide Maskawa:

for the discovery of the origin of the broken symmetry which predicts the existence of at least three families of quarks in nature

http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2008/

En el modelo estándar de partículas existen tres generaciones diferentes de partículas. Las partículas de dos generaciones diferentes se diferencian sólo en su masa, mientras que el resto de números cuánticos permanecen iguales. Las generaciones más altas tienen masa mayor.



La diferencia en masa las hace comportarse no obstante de formas muy diferentes, posibilitando sobre todo decaimientos de generaciones altas hacia generaciones más bajas, permitidos por la conservación de masa-energía. Por otro lado, el decaimiento de una generación baja a una alta está prohibido precisamente por la conservación de masa-energía. Son las partículas de la primera generación las que dan lugar a la materia observada debido a su estabilidad.

¿Cuál es la razón de que haya tres generaciones y no dos o cuatro?

Estríctamente la razón fundamental para la existencia de tres generaciones es desconocida, pero hace ya más de treinta años los físicos japoneses Kobayashi y Maskawa descubrieron que en el modelo estándar son necesarias al menos tres generaciones de partículas elementales para permitir la violación de la simetría CP (carga y paridad) observada experimentalmente. Esta simetría, a su vez, se la cree responsable, entre otros mecanismos, de la asimetría entre materia y antimateria en el universo.

Ahora bien, tales condiciones sólo exigen un mínimo de tres generaciones y no impiden la existencia de cuatro o más. Una de las razones por las que se cree que no puede haber más de tres generaciones es la vida media del bosón Z. En su decaimiento este tiene contribuciones de todas las generaciones. Por tanto, si existiesen cuatro o más generaciones, la vida media debería ser menor. Griffiths en "Introduction to Elementary Particles" pone aquí muy acertadamente el ejemplo de las enfermedades graves o letales: a mayor cantidad de tales enfermedades posibles, menor la vida media de las personas.

El vacío no está vacío

Cotidianamente el término "vacío" se usa para denotar algo sin un contenido determinado. Los anglosajones usan aquí la palabra "empty". Por otro lado, en la física teórica el término "vacío" tiene un significado muy preciso dependiendo del contexto. Los anglosajones usan aquí la palabra "vacuum". En castellano no usamos habitualmente dos palabras para diferenciar entre estos dos conceptos y caemos a veces en la confusión de mezclarlos. Veamos qué diferentes significados que se le da a este término y qué contexto aparecen.

El vacío en la teoría cuántica de campos

En la teoría cuántica de campos el término "vacío" se usa para denotar el estado sin partículas de un campo cuántico. En general, en la teoría cuántica de campos los campos quedan descritos por una colección o serie de osciladores armónicos cuyos modos de oscilación posibles corresponden en principio con todas las longitudes de onda posibles. Esto se sigue del mero hecho de modelar el comportamiento del campo como una superposición de ondas a distintas frencuencias, y asumir unas ecuaciones de movimiento a nivel clásico. Para más información véase El efecto Casimir y la energía negativa. En un estado así el campo existe y tiene propiedades muy concretas, pero lo que no hay son excitaciones de él que den lugar a partículas propagándose.

Este vacío no puede estar sin contenido alguno. Esto es así porque todo campo fluctua y es una superposición de modos de oscilación fundamentales. Estos modos de oscilación sin embargo no son partículas como las que podemos medir en el laboratorio, pero contribuyen a la energía del vacío y son con ello físicos (más detalles sobre esto en la entrada mencionada anteriormente). Esto hace que el vacío mismo tenga una energía y, con ello, en cierta medida no esté libre de contenido. En defintiva, el "vacío no está vacío" o en inglés, "vacuum is not empty".

En realidad el vacío es un concepto muy sutil y curiosamente dependiente de la aceleración del observador. Lo que para un observador es vacío no tiene por qué serlo para otro en espacio-tiempos curvos o sistemas acelerados. Este es el orígen del efecto Hawking.

El vacío en la relatividad general

En la relatividad general el término "vacío" se usa para denotar soluciones sin materia o sin campo alguno a las ecuaciones e la relatividad general. Aquí se trata de una situación en la que sólo hay un espacio-tiempo. Es importante notar que este espacio-tiempo puede ser plano, sin gravitación alguna, pero también puede tener singularidades u ondas gravitacionales, etc., en definitiva, cualquier propiedad geométrica siempre y cuando no tenga materia. En este sentido esta definición se ajusta mejor a la cotidiana, ya que el espacio-tiempo se puede considerar o imaginar aquí como el recipiente y la materia como su contenido.

En general tanto los campos cuánticos como el espacio-tiempo son algo que existe en todo lugar. Existen ambos no sólo ahí donde no hay partículas, sino también donde las hay. Es decir, el espacio-tiempo es un contínuo sobre el cual o en el cual se encuentra la materia. La materia a su vez queda descrita como un continuo que puede ser excitado para dar lugar a partículas.

Por último mencionar que una descripción rigurosa del estado vacío del campo gravitatorio, como su estado de mínima energía con cierto contenido energético, es algo desconocido. Esto es porque no tenemos aún una teoría cuántica de la gravitación que esté bien fundada y probada. Si queremos aplicar este concepto a la gravitación debemos alejarnos del uso del término "vacío" que se hace en la relatividad general, ya que sólo será vacío aquel estado de mínima energía del campo y no cualquier estado falto de materia. La situación es análoga a por ejemplo la electrodinámica: el vacío en ella es un estado sin campos creados por cargas, pero también un estado sin ondas propagándose. Es luego en la cuántica en la que este estado se nos muestra como algo que fluctua y puede tener un contenido energético.


Cotidianamente diremos que esta copa está vacía. No tiene sin embargo vacío en su interior. En la física cuántica diremos que la copa, incluso si tuviese vacío en su interior, nunca podrá estar vacía

El efecto Casimir y la energía negativa

Cada campo tiene su vacío en la teoría cuántica de campos. Con el término vacío se entiende su estado de mínima energía. En general, en la teoría cuántica de campos los campos quedan descritos por una colección o serie de osciladores armónicos cuyos modos de oscilación posibles corresponden en principio con todas las longitudes de onda posibles. Esto se sigue del mero hecho de modelar el comportamiento del campo como una superposición de ondas a distintas frencuencias, y asumir unas ecuaciones de movimiento a nivel clásico.

Si hay un oscilador de estos "activado", es decir oscilando a una determinada frecuencia, se dice que existe una exictación del campo dando lugar a una o varias partículas de esa longitud de onda (o momento lineal según la relación de de-Broglie). Cuando no existen partículas el campo está en su estado vacío. No obstante, en su estado fundamental un oscilador armónico cuántico "desactivado" no tiene energía nula, sino , siendo la frecuencia y la constante de Planck normalizada. Esto es debido al principio de incertidumbre, que impide determinar posición y momento con precisión arbitrariamente grande, lo cual impide por tanto que la energía cinética y potencial en la ecuación de movimiento clásica del oscilador se anulen simultaneamente.

La energía del vacío del campo es una integral sobre todas las frecuencias de . Esta integral es infinita. No obstante, este valor se puede redefinir arbitrariamente a cero, ya que lo que interesa son valores respecto de él, que nos permitan distinguir lo que conocemos como "vacío", sin partículas, de excitaciones comportándose como partículas. Conviene por tanto restar ese infinito para poder seguir calculando y obteniendo resultados finitos.

El efecto Casimir aparece cuando se ponen dos placas muy cerca la una de la otra, de forma que debido a condiciones de contorno geométricas cualquier onda que sobreviva de forma estable en su interior ha de ser necesariamente estacionaria (ha de tener un nodo en cada placa). Está claro que esto hace que en la integral haya longitudes de onda (y por tanto frecuencias) que no contribuyen a ella y, por tanto, el resultado, aunque igualmente infinito, será menor que antes. Como antes hemos asumido la integral sobre todos los como valor cero de energía, ahora el resultado de la energía entre placas es negativo.

Todo esto vale si no se considera la relatividad general. Para la relatividad general la cosa cambia. Cambia porque en ella ya no está permitido tomar el cero de energía donde uno quiere y separar con ello entre energía positiva y negativa a placer. En la relatividad general la energía positiva es aquella que produce una deformación del espacio-tiempo como conocemos, generando gravitación y cumpliendo el principio de equivalencia, tal y como lo conocemos. La energía negativa se comporta de otra forma y su deformación inducida en el espacio-tiempo es o sería otra (por ejemplo, cierto folklore científico asume que la energía negativa podría ser usada para crear agujeros de gusano).

Por tanto, la pregunta es si la energía negativa obtenida en un experimento Casimir corresponde también con energía negativa gravitacional. Esto depende del valor en energía gravitacional que nos proporciona la energía del vacío de todos los campos juntos, aquella que por decreto en la teoría cuántica de campos tomamos como cero, pero que ahora debemos considerar. Aquí hay una sutileza respecto de la forma de calcular esta energía, ya que no es exáctamente igual a la integral de de todos los campos, sino que aparecen interacciones entre ellos que proporcionan otras contribuciones también. Pero esto lo vamos a olvidar aquí.

La pregunta es ¿cómo considerar esa energía y cómo saber cuál es su valor real a efectos gravitatorios? No tenemos otro modo de hacer esto salvo la observación experimental, ya que la respuesta teorica debería venir probablemente de una teoría que unifique cuántica y gravitación a un nivel fundamental. La observación experimental relevante aquí es la cosmología, concrétamente, los datos de distancias de luminosidad de la supernovas Ia, que indican una aceleración de la expansión del espacio. Esta se puede (pero no tiene por qué) deber a una energía del vacío. Los datos indican que esta energía es muy pequeña ("lambda" por constante cosmológica) pero no igual a cero.

Por tanto, para encontrar concordancia entre la teoría cuántica de campos, la relatividad general y la cosmología, asumimos que nuestro vacío cuántico tiene una energía que no tomamos como cero sino como el valor pequeño . Esto es, si ponemos dos placas muy cercanas, hay longitudes de onda que no pueden existir y que se restan a la energía total del vacío cuántico, por tanto, de . Si la distancia entre las placas es suficiéntemente pequeña, la cantidad de longitudes de onda que no pueden existir es suficiéntemente grande como para que la energía restada a "lambda" de lugar a un valor negativo. Este valor "suficiéntemente pequeño" no es extremadamente pequeño.

Para conocer este valor vamos a proceder de la siguiente forma. Se trata de un cálculo poco riguroso pero que creo debería valer en órdenes de magnitud. Simplemente consiste en restar a la densidad de energía lambda la densidad de energía que la configuración de dos placas roban al vacío cuántico. Para ello hay que calcular el incremento en la densidad de energía que la configuración de las placas produce entre ellas. Partiendo de la fuerza de Casimir por unidad de area, que atrae a las dos placas:



siendo la constante de Planck normalizada, la velocidad de la luz en el vacío y la distancia entre las placas, se puede calcular la pérdida de energía entre las placas como un trabajo negativo realizado por el vacío o por la fuerza a distancia :



Por lo que:



con la densidad de energía. La densidad energética total será la del vacío menos esta mencionada:



En unidades de Planck se tiene:

como se puede leer aquí. Por tanto, con , se tiene:



Para que sea menor que cero, se tiene que ha de ser menor que longitudes de Planck, que son metros.

Speed of Light in Non-Trivial Vacua

La existencia de una velocidad invariante c es una característica que está íntimamente ligada a la relatividad especial y con ella las transformaciones de Lorentz y la relación entre sistemas de referencia inerciales. Tal velocidad determina la estructura causal del espacio-tiempo plano de la relatividad especial y nos proporciona una medida de cómo el espacio y el tiempo quedan relacionados en esa entidad que denominamos espacio-tiempo.

La variación del tal constante fundamental con dimensiones de velocidad carece de sentido físico. En realidad, ninguna constante dimensional puede variar de forma físicamente medible, sino que sólo pueden variar las constantes adimensionales. La razón es que una variación en una constante dimensional es simplemente indetectable, ya que nunca pudemos saber si lo que varía es c o lo que está variando son nuestros estándares de medida para el metro y el segundo.

Ahora bien, nuestra formulación de una teoría de variación de la constante adimensional de acoplamiento del electromagnetismo (constante de Sommerfeld o alfa) podemos hacerla, equivalentemente, con una teoría de c variable o una de h variable. De esas dos opciones una será más sencilla que la otra, y probablemente, se ajustará más a los principios usuales sobre los que asentamos la física. No obstante, hay que dejar claro que la verdadera variación de una constante, medible y verificable sólo puede ser la variación de alfa.

Asumamos por tanto una teoría en la que c permanece constante por definición y distingamos explícitamente esta velocidad invariante c de la velocidad de la luz en el vacío.

El vacío en la teoría cuántica de campos es el estado de ausencia de partículas reales y campos clásicos en el marco de la geometría plana del espacio-tiempo de la relatividad especial. Tal estado viene determinado, además, por la ruptura de simetría electrodébil por decaimiento del campo de Higgs, ya que a altas energías y con la simetría del campo de Higgs restaurada el vacío es diferente y el espectro de partículas diferente.

La velocidad de la luz en el vacío depende por tanto de la definición de vacío y, para el caso del vacío mencionado, es decir, para el vacío tras la ruptura electrodébil y con ausencia de partículas reales y campos clásicos en el marco del espacio-tiempo plano, tal velocidad coincide con la velocidad invariante c. Tomemos este vacío como nuestro punto de partida o referencia.

Ocurre que si tal vacío es modificado, la luz pasará a propagarse por él con velocidad diferente que c. Tal resultado se puede entender ya clásicamente en las ecuaciones de Maxwell, viendo que la velocidad de la luz depende esencialmente de las propiedades del vacío, en concreto de su permitividad y permeabilidad del vacío.

La teoría cuántica de campos proporciona además una explicación física para tal variación. Para entender la idea conviene entender primero el concepto de propagador. Esto es una función que nos determina la probabilidad de encontrar una partícula en un punto un instante de tiempo determinados, habiéndola localizado en un instante de tiempo anterior en otro punto determinado.

Esta función tiene una forma diferente dependiendo de si la teoría considera interacciones o no. Esto se puede entender intuitivamente por medio de diagramas de Feynman.

Primero, podemos considerar un fotón libre en una supuesta teoría que no contempla la interacción del campo electromagnético con el campo que da lugar a fermiones elementales de carga eléctrica no nula. Esto es la línea 1 de la figura de abajo:



Si tomasemos esto como referencia, el fotón se propagaría sin más a velocidad c a través de ese vacío por definición.

No obstante, segundo, podemos, y debemos, considerar un fotón en una teoría que contempla la interacción del campo electromagnético con el campo que da lugar a fermiones elementales de carga eléctrica no nula. Este es el caso más realista. En el caso de interacciones el propagador es corregido por efectos cuánticos. Estas interacciones se modelan como partículas virtuales, que son lineas internas en los diagramas (lineas que no tienen un extremo libre).

Los efectos cuánticos pueden considerarse como una expansión en serie de diferentes formas. Una de ellas es en función del número de lazos (loops). El diagrama 2 de la figura de arriba nos muestra la corrección de un lazo al propagador del fotón y considera las correcciones de dos lazos como despreciables. El significado físico de ese diagrama es que el fotón, mientras se propaga, se convierte en un par electrón-positrón, los cuales se aniquilan luego en un fotón, que sigue propagándose. A este fenómeno se lo conoce con el nombre de polarización del vacío.

El fotón propagándose por el vacío en el espacio-tiempo de Minkowski con todas sus correcciones debido a interacción con las partículas de carga eléctrica, se propagapor definición, en ese vacío de referencia, a la velocidad c.

Para ilustrar la idea de correcciones cuánticas y entender mejor sus consecuencias físicas podemos notar que el propagador vale no sólo para partículas reales, sino en general también para partículas virtuales. Estas partículas modelan las interacciones en la teoría cuántica de campos. Se puede mostrar que la propagación de fotones virtuales según el primer propagador (1) modelando una interacción da lugar al potencial de Coulomb que varia con 1/r². No obstante, la propagación de fotones virtuales según el segundo propagador (2) modelando una interacción da lugar una modificación del potencial de Coulomb dentro de un átomo de hidrógeno, que explica fenómenos como el desplazamiento de Lamb.

Volvamos con el fotón real. En un vacío real con interacciones existe una corrección a su propagador que en primer órden equivale al diagrama 2. En nuestro vacío de referencia tal corrección no rompe la invarianza de Lorentz (véase por ejemplo Ryder "Quantum Field Theory" el capítulo sobre renormalización de QED) y resulta por tanto en una velocidad de propagación es c.

Sin embargo, tal corrección abre una puerta a que la propagación sea a diferente velocidad en diferentes vacíos. Sobre el par electrón-positrón pueden actuar diferentes modificaciones del vacío, como por ejemplo un campo magnético externo. Una influencia de este tipo actúa diréctamente sobre la propagación del fotón. También otras como un campo gravitatorio o una cavidad dando lugar a un vacío de Casimir.

En general, el segundo propagador quede modificado por una corrección adicional que resulta de una modificación de la simetría de Lorentz, en definitiva, del espacio-tiempo de Minkowski (un campo de fondo que selecciona una dirección preferida, unas condiciones de contorno, etc.). Todas estas modificaciones tienen algo en común y es que cambian la energía del vacío que tomamos como referencia en nuestro vacío de referencia. Esto da lugar a que el segundo propagador quede modificado por una corrección adicional que tiene el efecto de dotar de masa a la partícula, en este caso el fotón.

Es decir, la velocidad de la luz en el vacío depende en general de la energía del vacío. Para vacíos de mayor energía es de esperar que la luz se propague a velocidad menor que c, y para vacío de menor energía es de esperar que la luz se propague a velocidad mayor que c.

Este segundo caso es el que se da en un vacío de Casimir. Entre las placas del experimento de Casimir existen menos modos de oscilación que fuera debido a que sólo pueden existir ondas estacionarias. Esto hace al vacío menos energético. El fenómeno de propagación superlumínica en un vacío de Casimir se denomina efecto Scharnhorst. Por varias razones se piensa que esto no tiene consecuencias para la causalidad, pero esa es otra historia porque esto se empieza a hacer demasiado largo.

El resultado que la velocidad de la luz en el vacío depende en general de la energía del vacío es una conclusión del siguiente papel:

SPEED OF LIGHT IN NON--TRIVIAL VACUA. J.I. Latorre, P. Pascual, R. Tarrach

Espín fraccionario

El tema del espín de las partículas es muy extenso y complejo. En este pequeño artículo lo voy a enforcar de una perspectiva algo distinta a la usual, dejando de lado muchos aspectos y concentrándome en uno en concreto.

¿Qué significa que una partícula tenga espín 1? Significa que rotada 360° resulta ser igual a si misma. Matemáticamente, este procedimiento viene descrito por dos elementos. Un estado que representa la partícula, p, y una acción de rotar, R, que actúa sobre el estado de la partícula.

R(360°) p = p

Este tipo de transformaciones vienen descritas por la noción de grupo o grupo de Lie.

La idea de grupo y de grupo de Lie no es ni mas ni menos que un conjunto objetos (en nuestro caso los objetos R, que vienen a ser matrices) con ciertas operaciones, como la composición (dos rotaciones son otra rotación), la existencia de inverso (toda rotación puede deshacerse) y la existencia del elemento neutro (existe una rotación que no cambia nada R(0)). El concepto de grupo de Lie es el de un grupo con operaciones de grupo con funciones analíticas continuas.

El grupo que genera las rotaciones en el espacio tridimensional es aquel que queda representado por matrices tridimensionales ortogonales de determinante igual a 1, cosa que se denotada con SO(3) - S para especial (de determinante 1), O para ortogonal R' R = 1 (siendo R' la matriz traspuesta) y 3 para su dimensión.

Este grupo, representado por matrices tridimensionales, actúa sobre elementos p. Para el caso del espín 1 podemos imaginar p como un vector (columna) tridimensional. Esto es, una flecha en el espacio, la cual, girando 360° vuelve a su posición inicial. Esta es la forma matemática de describir giros.

Volvamos ahora con los valores del espín ¿Qué significa que una partícula tenga espín 1/2? Sin entrar mucho más en detalles significa que rotada 720° resulta ser igual a si misma. A los objetos p que cumplen esto se los denomina espinores. Sin duda son extraños y no los conocemos en nuestro quehacer cotidiano, pero son fundamentales en la física de partículas.

Esencial en este asunto es que si queremos una partícula de espín 1/2 sobre la cual actúe de forma efectiva una rotación, necesitamos un grupo de rotaciones que distinga entre una rotación de 360° (2 π) y una de 720° (4 π), cosa que SO(3) no hace. En el grupo SO(3) los elementos que rotan 360° son exáctamente iguales a los que rotan 720°, por lo que difícilmente pueden dar lugar a diferencias entre ambos giros actuando sobre cualquier tipo de estructuras.

Este grupo es SU(2), el grupo de matrices unitarias (R* R = 1, siendo R* la matriz conjugada transpuesta) de determinante 1, que se usa en la mecánica cuántica como generador de rotaciones. Se dice que SU(2) recubre a SO(3) de forma doble, esto es, existe un mapa que asigna a cada elemento en SO(3) dos elementos posibles en el grupo SU(2).

¿Qué condiciones hacen falta para que un espín de, por ejemplo, 1/3, 1/4 ó 1/n sea posible? Si quieremos partículas de espines 1/3, 1/4 ó 1/n sean posibles necesitamos grupos recubridores triples, cuádruples ó n-tuples de SO(3), esto es, grupos que proporcionen mapas de elementos de SO(3) a tres, cuatro ó n elementos del grupo, de forma que sean posible giros de 2 π n.

Pues bien, estos grupos recubridores no existen para SO(3). Esta es una explicación elegante para el hecho de que el espín tome valores enteros o semienteros en tres dimensiones.

Curioso es que para SO(2), las rotaciones sobre un plano bidimensional, la situación es bien distinta y da lugar a un fenómeno complejo que se conoce como estadística fraccionaria.

La detección de neutrinos (II)

Tras la primera parte sobre la masa y la quiralidad de los neutrinos, tenía pensado escribir algo sobre las teorías de unificación que predicen algunos mecanismos de moda para dar masa a los neutrinos. Sin embargo, mientras me animo a ello, he encontrado un gran weblog con un artículo excelente sobre detectores de neutrinos que enlazo aquí, ya que viene como anillo al dedo para este tema y de paso os da a conocer ese sitio de temática relacionada con este:

Detector de Neutrinos

La masa y quiralidad de los neutrinos (I)

La quiralidad es la propiedad de las partículas de no poder ser superpuestas cuando se reflejan respecto de un plano determinado. El ejemplo clásico para entender la quiralidad son las manos. La una es la imagen reflejada de la otra, pero, una vez orientadas ambas en la misma dirección, no pueden ser superpuestas. Hay, por tanto, dos grados de libertad en la quiralidad, la quiralidad izquierda y la quiralidad derecha.

Cuando se aplican los postulados de la mecánica cuántica a partículas en un espacio de la relatividad especial aparece de forma natural la necesidad de considerar dos componentes en los grados de libertad de una partícula. Estos resultan ser los estados de quiralidad izquierda y derecha. En realidad se trata de cuatro grados de libertad en total, dos grados de libertad para partícula - antipartícula y dos para quiralidad izquierda - derecha. A una entidad así que representa de forma unica a la partícula con su antipartícula se la denomina "espinor".

Los estados de quiralidad quedan acoplados a través de la masa. Esto quiere decir que una partícula masiva tiene ambos estados de quiralidad que quedan mezclados. Quiere decir también que en una partícula masiva la quiralidad no queda determinada de forma inequívoca. Si la partícula no tiene masa los estados quedan desacoplados y la partícula tiene o bien quiralidad izquierda o bien quiralidad derecha. La quiralidad es una propiedad independiente del sistema de referencia inercial elegido para describir la física. En el argot técnico se suele decir que es invariante frente a transformaciones de Lorentz.

La helicidad es algo parecido, pero distinto. Se trata de la proyección del epín sobre la dirección de movimiento (del momento lineal) de la partícula. La proyección del espín puede apuntar en la misma dirección que el momento lineal o en la contraria. La helicidad toma, por tanto, también dos valores posibles, uno positivo y otro negativo.

Para partículas sin masa, quiralidad y helicidad están asociadas siempre sin cambiar (quiralidad izquierda y helicidad negativa, por ejemplo) y se puede mostrar que toman el mismo valor, es decir, son iguales. Para partículas con masa esto no es así. Para partículas con masa, la helicidad no es invariante frente a transformaciones de Lorentz, ya que uno puede encontrar un sistema de referencia inercial el cual se mueva más rápido que la partícula. En ese sistema el momento lineal tendrá signo contrario, lo cual cambiará el signo de la helicidad. Esto no es así para partículas sin masa, ya que estas se mueven a la velocidad de la luz. Por otro lado, la helicidad de una partícula masiva o sin masa en movimiento inercial es siempre es la misma, es decir, se conserva y no se mezcla entre ambos valores posibles.

Resumiendo. La quiralidad es una propiedad invariante frente a transformaciones de Lorentz. Para partículas con masa propagándose la quiralidad queda mezclada en ambos valores posibles y para partículas sin masa la quiralidad toma un valor determinado. La helicidad toma siempre un valor determinado para partículas con masa o sin masa. No obstante, para partículas con masa ese valor no es invariante frente a transformaciones de Lorentz y depende del sistema de referencia. Veámos ahora qué pasa en este contexto con los neutrinos.

El modelo estándar de partículas en su versión original es una teoría quiral. Esto significa que existen interacciones que distinguen entre las quiralidades de las partículas. Con lo mencionado antes parece claro que una interacción así ha de actuar sobre fermiones sin masa, ya que de otro modo no hay forma de distinguir entre quiralidades. Esto en principio no vale para la interacción fuerte en general, ya que los quarks tienen masa, pero sí por ejemplo para el comportamiento de la interacción fuerte a bajas energías, donde las masas de los quarks se pueden considerar nulas.

Por otro lado está la interacción débil, la cual se cree que actúa de forma diferente sobre neutrinos dependiendo de su quiralidad, en concreto únicamente sobre neutrinos de quiralidad izquierda y antineutrinos de quiralidad derecha. En principio deben ser, por tanto, partículas sin masa, para que aparezcan con una sola quiralidad y la interacción débil la identifique apropiadamente. Sin embargo, las oscilaciones de neutrinos solares que indican que podrían tener masa.

Las oscilaciones es un proceso de mezcla entre los tres sabores de los neutrinos. El principio es similar a la idea intuitiva del principio de incertidumbre para posición y momento lineal, pero con masa y sabor. Una partícula que se propaga por el espacio suele tener una velocidad determinada (se dice que la partícula libre es un autoestado del Hamiltoniano y también del momento lineal), por lo que su posición no está determinada. Los neutrinos que se generan en el sol tienen sólo un sabor determinado. Mientras se propagan por el espacio su masa está determinada, lo cual hace que el sabor no lo esté y pueda cambiar hasta su llegada al detector en la tierra donde este se mide y determina. El proceso es análogo al que se da para la mezcla de los sabores de quarks a través de sus masas (conocido como Cabbibo-Kobayashi-Maskawa).

Como hemos visto, para partículas con masa las quiralidades deberían mezclarse, cosa que no corresponde con las observaciones de neutrinos de quiralidad izquierda y antineutrinos de quiralidad derecha, ni con el postulado comportamiento de la interacción débil. Hace falta, por tanto, una modificación del modelo estándar de partículas. Propuestas hay varias y todas suelen indicar hacia una física nueva, desconocida, que las incluya de forma natural.

Tengo planeado escribir una segunda parte de este artículo explicando varias de las propuestas.