The last monolith: El efecto Casimir y la energía negativa

sábado, marzo 22, 2008

El efecto Casimir y la energía negativa

Cada campo tiene su vacío en la teoría cuántica de campos. Con el término vacío se entiende su estado de mínima energía. En general, en la teoría cuántica de campos los campos quedan descritos por una colección o serie de osciladores armónicos cuyos modos de oscilación posibles corresponden en principio con todas las longitudes de onda posibles. Esto se sigue del mero hecho de modelar el comportamiento del campo como una superposición de ondas a distintas frencuencias, y asumir unas ecuaciones de movimiento a nivel clásico.

Si hay un oscilador de estos "activado", es decir oscilando a una determinada frecuencia, se dice que existe una exictación del campo dando lugar a una o varias partículas de esa longitud de onda (o momento lineal según la relación de de-Broglie). Cuando no existen partículas el campo está en su estado vacío. No obstante, en su estado fundamental un oscilador armónico cuántico "desactivado" no tiene energía nula, sino $E = 1/2 \, \omega \hbar$ , siendo $\omega$ la frecuencia y $\hbar$ la constante de Planck normalizada. Esto es debido al principio de incertidumbre, que impide determinar posición y momento con precisión arbitrariamente grande, lo cual impide por tanto que la energía cinética y potencial en la ecuación de movimiento clásica del oscilador se anulen simultaneamente.

La energía del vacío del campo es una integral sobre todas las frecuencias de $1/2 \, \omega \hbar$ . Esta integral es infinita. No obstante, este valor se puede redefinir arbitrariamente a cero, ya que lo que interesa son valores respecto de él, que nos permitan distinguir lo que conocemos como "vacío", sin partículas, de excitaciones comportándose como partículas. Conviene por tanto restar ese infinito para poder seguir calculando y obteniendo resultados finitos.

El efecto Casimir aparece cuando se ponen dos placas muy cerca la una de la otra, de forma que debido a condiciones de contorno geométricas cualquier onda que sobreviva de forma estable en su interior ha de ser necesariamente estacionaria (ha de tener un nodo en cada placa). Está claro que esto hace que en la integral $1/2 \, \omega \hbar$ haya longitudes de onda (y por tanto frecuencias) que no contribuyen a ella y, por tanto, el resultado, aunque igualmente infinito, será menor que antes. Como antes hemos asumido la integral sobre todos los $1/2 \, \omega \hbar$ como valor cero de energía, ahora el resultado de la energía entre placas es negativo.

Todo esto vale si no se considera la relatividad general. Para la relatividad general la cosa cambia. Cambia porque en ella ya no está permitido tomar el cero de energía donde uno quiere y separar con ello entre energía positiva y negativa a placer. En la relatividad general la energía positiva es aquella que produce una deformación del espacio-tiempo como conocemos, generando gravitación y cumpliendo el principio de equivalencia, tal y como lo conocemos. La energía negativa se comporta de otra forma y su deformación inducida en el espacio-tiempo es o sería otra (por ejemplo, cierto folklore científico asume que la energía negativa podría ser usada para crear agujeros de gusano).

Por tanto, la pregunta es si la energía negativa obtenida en un experimento Casimir corresponde también con energía negativa gravitacional. Esto depende del valor en energía gravitacional que nos proporciona la energía del vacío de todos los campos juntos, aquella que por decreto en la teoría cuántica de campos tomamos como cero, pero que ahora debemos considerar. Aquí hay una sutileza respecto de la forma de calcular esta energía, ya que no es exáctamente igual a la integral de $1/2 \, \omega \hbar$ de todos los campos, sino que aparecen interacciones entre ellos que proporcionan otras contribuciones también. Pero esto lo vamos a olvidar aquí.

La pregunta es ¿cómo considerar esa energía y cómo saber cuál es su valor real a efectos gravitatorios? No tenemos otro modo de hacer esto salvo la observación experimental, ya que la respuesta teorica debería venir probablemente de una teoría que unifique cuántica y gravitación a un nivel fundamental. La observación experimental relevante aquí es la cosmología, concrétamente, los datos de distancias de luminosidad de la supernovas Ia, que indican una aceleración de la expansión del espacio. Esta se puede (pero no tiene por qué) deber a una energía del vacío. Los datos indican que esta energía es muy pequeña $\Lambda$ ("lambda" por constante cosmológica) pero no igual a cero.

Por tanto, para encontrar concordancia entre la teoría cuántica de campos, la relatividad general y la cosmología, asumimos que nuestro vacío cuántico tiene una energía que no tomamos como cero sino como el valor pequeño $\Lambda$ . Esto es, si ponemos dos placas muy cercanas, hay longitudes de onda que no pueden existir y que se restan a la energía total del vacío cuántico, por tanto, de $\Lambda$ . Si la distancia entre las placas es suficiéntemente pequeña, la cantidad de longitudes de onda que no pueden existir es suficiéntemente grande como para que la energía restada a "lambda" de lugar a un valor negativo. Este valor "suficiéntemente pequeño" no es extremadamente pequeño.

Para conocer este valor vamos a proceder de la siguiente forma. Se trata de un cálculo poco riguroso pero que creo debería valer en órdenes de magnitud. Simplemente consiste en restar a la densidad de energía lambda la densidad de energía que la configuración de dos placas roban al vacío cuántico. Para ello hay que calcular el incremento en la densidad de energía que la configuración de las placas produce entre ellas. Partiendo de la fuerza de Casimir por unidad de area, que atrae a las dos placas:

$\displaystyle \frac{F}{A} \sim \frac{\hbar c}{d^4}$

siendo $\hbar$ la constante de Planck normalizada, $c$ la velocidad de la luz en el vacío y $d$ la distancia entre las placas, se puede calcular la pérdida de energía entre las placas como un trabajo $W$ negativo realizado por el vacío o por la fuerza $F$ a distancia $d$ :

$E \sim W \sim F d$

Por lo que:

$\displaystyle u \sim \frac{hc}{d^4}$

con $u = E / A d$ la densidad de energía. La densidad energética total será la del vacío menos esta mencionada:

$\displaystyle u_{total} \sim \Lambda - \frac{hc}{d^4}$

En unidades de Planck se tiene:

$\Lambda \sim 10^{-120}$ como se puede leer aquí. Por tanto, con $\hbar = c = 1$ , se tiene:

$\displaystyle u_{total} = 10^{-120} - \frac{1}{d^4}$

Para que $u_{total}$ sea menor que cero, se tiene que $d$ ha de ser menor que $10^{30}$ longitudes de Planck, que son $10^{-5}$ metros.

3 comentarios:

alshain dijo...: Más explicaciones didácticas sobre la energía del vacío:

Para calcular la energía de un campo en un estado determinado hay que sumar la energía de todas sus excitaciones (partículas) a todas las frecuencias posibles. En principio esta es una suma de energías correspondientes a las ondas con todas las frecuencias posibles del campo. Luego ocurrirá que sólo habrá excitaciones u ondas para ciertas frecuencias y para otras no, por lo que, en principio, uno podría decir que sólo ciertas frecuencias contribuirán a tal suma. En el estado vacío no hay partículas y por tanto no hay excitación alguna, por lo que uno podría pensar que tenemos una suma de energías igual a cero que debería dar cero como resultado. Pero ocurre que esto no es así porque atenta contra el principio de incertidumbre. La situación es similar, aunque no del todo idéntica, a la de una partícula cuántica: si su posición está completamente determinada su momento lineal queda indeterminado, y con ello su energía cinética también. El campo sin excitaciones corresponde análogamente a una posición determinada, por lo que su energía no puede ser nula. Cada una de las frecuencias posibles (pero no activadas) de oscilación del campo sí contribuyen con un poquito de energía a él pese a no oscilar, debido al principio de incertidumbre. Desafortunadamente esta suma sobre todas las energías es infinita, aunque existen métodos matemáticos e hipótesis para hacerla finita. En cualquier caso, mientras nos quedamos en el marco de la teoría cuántica de campos, el valor concreto de tal suma es irrelevante, y lo que importa son las diferencias frente a tal valor, que nos permiten hablar de partículas como algo diferente del vacío con tal o cual energía.

Con esta explicación también se llega a la razón de cómo es posible que haya energías menores que la energía del vacío: si encuentro un método de hacer que las frecuencias de oscilación posibles de un campo sean menor cantidad que en su estado natural de vacío, entonces la contribución total de la suma de ellas a través del principio de incertidumbre a la energía del campo será menor que en el caso del vacío. ¿Qué método nos permite hacer que las frecuencias de oscilación posibles de un campo sean menor cantidad que en su estado natural de vacío? Una forma es lo que se conoce como experimento Casimir. En general entre dos placas sólo pueden existir ondas estacionarias, al igual que una cuerda de guitarra sólo vibra con longitudes de onda (o frecuencias) tales que en sus extremos, fijos, haya nodos. Aquellas ondas que corresponderían con picos o valles en los extremos son imposibles. En el experimento Casimir son dos placas paralelas las que impiden la existencia de ciertos modos de oscilación del vacío interior a las placas. Con ello, el vacío interior tiene menor energía que el vacío exterior. La pregunta, como ya mencioné, es si esta energía puede considerarse negativa. Sí puede en la teoría cuántica de campos si tomamos como cero de energía la energía del vacío, pero al final el veredicto de si puede o no puede lo ha de dar la gravitación. Si la gravitación nos dice que la energía del vacío es cero, entonces la energía en un experimento de Casimir será negativa. ¿Qué nos dice la gravitación? Aparentemente, y en base a observaciones cosmológicas, se puede concluir que la energía del vacío es ligéramente positiva. Es decir, un vacío de Casimir quitará algo de energía a este valor positivo. Sólo en casos en los que los modos de oscilación eliminados sean suficientes, tal valor llegará a ser negativo.; jueves, abril 10, 2008 12:06:00 p. m.
G de Galleta dijo...: Gran entrada! Estoy acabando físicas y tenía ganas de coger la asignatura de Teoría Cuántica de Campos (a pesar de sus "infinitos" incómodos jeje), pero después de esta entrada tengo más ganas aún. Estoy seguro que se me han escapado cosas, pero es muy interesante. Enhorabuena.; jueves, junio 11, 2009 1:26:00 p. m.
Iñigo Azcorra dijo...: Una cuestion interesante, ciertamente resulta contradictorio primero afirmar que la energia del campo no es nula sino infinita y luego afirmar que a efectos gravitatorios la energia es o nula o muy pequeña, lo cual conduce a una interpretacion bipola, contradictoria, de la energia. Siempre que no se presente el mecanismo por el cual esto se explique razonadamente, solo se tendran un conjunto de reglas ad-hoc para salvar la confrontacion entre RG y Modelo estandar, incluso una costante cosmologica de una naturaleza diferente al de la energia de los campos de la ME que contrareste en alguna medida la energia infinita de estos campos seria ad-hoc sino es debidamente razonado.; domingo, noviembre 21, 2010 1:45:00 p. m.