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Cuando uno quiere forzar las ecuaciones de la cinemática relativista para describir una partícula en movimiento con su función de onda, se encuentra con inconsistencias matemáticas. Estas se resuelven en el marco de la teoría cuántica de campos, permitiendo creación y aniquilación de partículas, es decir, pasando a una teoría en la cual la cantidad de partículas no está fijada. La partícula como objeto de estudio queda sustituida por el campo, un objeto complicado, cuyas excitaciones dan lugar a partículas. El hecho de no poder considerar un número fijo de partículas queda claro pensando por ejemplo en el problema de la localización de una única partícula: a medida queremos confinarla más y más y usamos más energía para ello en nuestro experimento de detección, de acuerdo con el principio de incertidumbre el momento de la partícua será cada vez mayor, y, dadas las altas energías involucradas, en la teoría cuántica de campos esto lleva a la aparición de pares de partículas del vacío.
La propagación de excitaciones del campo se denomina propagador. El propagador es una solución a las ecuaciones de movimiento del campo generada por la existencia de una fuente o una perturbación puntual - es lo que se conoce como función de Green de las ecuaciones de movimiento. En la mecánica cuántica no relativista el propagador de la ecuación de Schrödinger nos representa una partícula moviendose de un punto a otro. En la teoría cuántica de campos el propagador no representa una única partícula. De hecho, el propagador es diferente de cero fuera del cono de luz de un evento. Esto significa que la excitación del campo representada por el propagador tiene una probabilidad no nula de existir fuera de su propio cono de luz. Esto no puede representar una partícula ya que de otra forma esta partícula violaría la causalidad. La idea del propagador representando una partícula suele estar algo extendida. Por ejemplo en los diagramas de Feynman vemos líneas internas y pensamos que eso es una única partícula virtual que se intercambian dos líneas externas (partículas reales) para interactuar. Las líneas internas son precisamente propagadores del campo y no representan partículas, sino una suma sobre todos los momentos posibles. En cierta medida una suma sobre una cantidad infinita de estados básicos de partículas.
La causalidad se salva en la teoría cuántica de campos tan pronto uno considera correlaciones entre mediciones. En general cualquier influencia en mediciones está condicionada a quedarse dentro del cono de luz, un resultado famoso (conocido como microcausalidad). Un correlación de mediciones no es un objeto matemático como el propagador, sino algo relacionado con el commutador del campo. Si el commutador del campo en dos puntos diferentes es nulo entonces no existe correlación causal entre esos dos puntos. Y como las partículas son algo medible esto nos asegura que nunca podemos detectar una partícula fuera de su propio cono de luz un instante posterior. Es decir, dada una medición de una partícula en una región del espacio, una medición en otra región causalmente desconectada (fuera del cono de luz de la primera) debe tener probabilidad nula de encontrar la partícula. Este sobrio comportamiento causal en las mediciones se contrapone al comportamiento del propagador y en general de los estados en la teoría. Hay que diferenciar entre estados y mediciones.
Precisamente esta diferencia es esencial en el conocido teorema de Reeh-Schlieder. Este teorema nos dice que si tenemos una región acotada del espacio-tiempo S, la acción de los operadores O(S) (definidos como combinaciones del operador campo sobre funciones suaves en S y nulas fuera de S) sobre el vacío O(S) |0> es densa en el espacio de estados. Esto significa que cualquier medición realizada de forma local en S puede modificar el estado del campo en cualquier lugar del espacio-tiempo; ejecutando experimentos en un laboratorio, podemos crear estados en un lugar arbitrario del espacio-tiempo. Es chocante que este teorema sea consistente con la microcausalidad. Tan chocante que existe una gran cantidad de literatura al respecto. Pero modestamente creo que no lo es. Sólo hay que diferenciar entre estados y mediciones.
En concreto, al hablar de microcausalidad no nos interesan tanto los estados del campo que pueden existir fuera o dentro del cono de luz, sino que nos interesan las mediciones que vamos a realizar con nuestro detector fuera o dentro del cono de luz. Son las mediciones las que vienen fijadas por la condición de microcausalidad y no los estados. El teorema de Reeh-Schlieder nos habla de estados, la microcausalidad de mediciones. La condición de microcausalidad nos indica que dada una excitación del campo medida en x, la medición de otra excitación en en y, con en x, y separados espacialmente (fuera de sus respectivos conos de luz), no puede estar correlacionada con la anterior. Es el propagador del campo el que lo cambia de un estado a otro y con ello parece claro que mientras nos concetremos en los estados las contribuciones fuera del cono de luz van a ser posibles. Al final, sin embargo, estas contribuciones resultan cancelarse cuando uno estudia mediciones.
Este blog está últimamente poco movido pero no puedo pasar sin mencionar el lanzamiento del Planck en día 14 de Mayo, como muy probablemente cualquier lector sabrá de las noticias en los medios de comunicación. El satélite se dirige hacia el punto Lagrange 2 donde empezará a operar. Si nos atenemos a la misión WMAP probablemente los primeros resultados estén disponibles dentro de un año o un año y medio.
No hay decisión definitiva aún para el día del lanzamiento del satélite Planck, el cual será lanzado junto con el telescopio Herschel a bordo del Ariane. La previsión era un lanzamiento a mediados de Abril, en concreto el día 16, pero fue aplazado sin fecha definitiva. La razón parece ser la complejidad del Herschel, según la página de noticias de la ESA:
The Herschel telescope mirror, the largest ever to be launched in space, is a novel and advanced concept using 12 silicon carbide petals brazed together into a single piece; it is one of the major technological highlights of the mission. The complexity of the structure and its uniqueness means great care must be taken to ensure that stresses exerted on it during launch are well understood.
Over the next few days, a panel of independent experts led by the ESA Inspector General and Arianespace will carry out a final cross-check of the documentation to demonstrate that the required safety margins for the telescope are met.
The new launch date will be defined shortly.
Estamos atentos. Información de última hora en: Herschel and Planck launch campaign.
El experimento de Afshar es controvertido ya que su autor afirma refutar con él el principio de complementariedad. Este establece que ambas descripciones, la ondulatoria y la corpuscular, son necesarias para comprender el mundo cuántico, pero lo son de forma complementaria: cuando vale la una la otra no es válida, y al revés. Esta conclusión puede ponerse en duda como veremos a continuación.
Para entender el experimento partamos del experimento usual de la doble ranura.
En este experimento sabemos que si ambas ranuras están abiertas se nos muestra el comportamiento ondulatorio en forma de interferencia en la placa fotográfica a la derecha. Si no obstante somos capaces de determinar en principio y de alguna forma el camino que una partícula ha tomado (ranura S1 o S2), entonces en la placa no aparecerá interferencia y lo que se nos muestra es comportamiento corpuscular.
Imaginemos ahora primero que tras las ranuras ponemos una rejilla. Esta rejilla es tal que sus aberturas corresponden a los picos de interferencia. Esto significa que para el caso de las dos ranuras abiertas la rejilla no atenúa nada la señal final en la placa fotográfica, ya que está dejando pasar los fotones correctos en los picos.
Volvamos al experimento usual de la doble ranuda, sin la rejilla mencionada. Consideremos ahora que detrás de las ranuras ponemos una lente, que actúa de la siguiente forma. Cuando sólo la ranura 1 está abierta, la lente manda los fotones que pasan por ella al detector 1. Cuando sólo la ranura 2 está abierta, la lente manda los fotones que pasan por ella al detector 2.
Ahora imaginemos que juntamos ambas cosas, la rejilla tras las ranuras y la lente tras las ranuras.
Este es el experimento de Afshar. El resultado es que no hay atenuación en la señal de la placa fotográfica. Es decir, que existe interferencia entre las ondas que pasan por cada una de las ranuras.
Asfhar concluye que ocurren estas dos cosas a la vez: existe interferencia debido a la falta de atenuación y existe determinación del camino de cada fotón debido al uso de la lente. Con ello se viola el principio de complementariedad, ya que en un mismo experimento los fotones han mostrado características ondulatorias y corpusculares.
No obstante, esta conclusión no tiene por qué ser correcta. Lo que parece bastante fuera de duda es que existe interferencia. Pero lo que no parece nada claro es que la lente realmente esté determinando el camino en el caso de dos ranuras abiertas. Lo que está probado es que la lente manda los fotones que pasan por la ranura 1 al detector 1 en el caso de estar la ranura 2 cerrada, y al revés. Concluir de esto que existe una determinación del camino para el caso de dos ranuras abiertas es una extrapolación muy probablemente inaceptable.
Para ilustrarlo consideremos un electrón en un estado de superposición de la proyección de su espín sobre el eje z (|up>, |down>), que no obstante, es un estado determinado en el eje x (|s>).
|s> ~ |up> + |down>
Una medición sobre el eje x mostrará que el sistema se encuentra en el estado mencionado |s>. Más tarde, una medición en el eje z hará colapsar el estado en una de las dos proyecciones posibles sobre el eje z, aleatoriamente sobre |up> o sobre |down>. Sin embargo, no nos es permitido preguntar si el sistema estaba realmente en |up> o |down> mientras se propagaba.
En el experimento de Afshar la situación es similar. El sistema, la partícula, se prepara en un estado que es aproximadamente un autoestado de momento. Se propaga en superposición de posiciones, y, si se le deja propagarse así (es decir, si se mantienen ambas ranuras abiertas), la medición de la posición en la placa fotográfica nos muestra que no podemos afirmar nada sobre la posición durante el trayecto. No podemos preguntarnos por qué rendija pasó el electrón, ya que el sistema no está en un autoestado de la base sobre la que proyectamos.
La diferencia en este experimento es que la proyección final del estado de la partícula no es sobre todas las posiciones posibles verticales en una placa fotográfica, sino en lo que Ruth Kastner (en Why the Afshar Experiment Does Not Refute Complementarity) denomina "slit-basis":
En el experimento de la doble ranura el sistema preparado en un estado concreto puede proyectarse sobre todas las posiciones posibles en el eje vertical haciendo uso de una medición de posición con una placa fotográfica. En este caso, haciendo uso de lentes, el sistema puede proyectarse sólo sobre L' y U'. No obstante, estos dos estados básicos no tienen correlación uno a uno con los estados L y U.
Más información en:
http://en.wikipedia.org/wiki/Afshar_experiment
La paradoja de Olbers nos dice que en un universo estático e infinito el cielo nocturno debería ser totalmente brillante sin regiones oscuras o desprovistas de luz. Formular las condiciones de la paradoja con precisión nos ayudará a entenderla mucho mejor.
En concreto, la formulación matemática de la paradoja consiste en calcular el flujo de luz que recibimos estando situados en el orígen de un sistema coordenado esférico. Para empezar establecemos dos hipótesis. La primera hipótesis es que las fuentes de luz se distribuyen de forma homogenea en el espacio. La segunda es que el espacio es estático.
Primero consideramos el flujo de luz que llega a nosotros emitido desde una fuente a una distancia r. En un espacio estático este flujo es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia, f ~ 1/r². Luego consideramos la cantidad de fuentes de luz en una corona esférica. Esta cantidad n aumenta con el radio al cuadrado, n ~ r². Por tanto, la suma del flujo de luz de todas las fuentes de luz localizadas en una capa esférica a un radio cualquiera es F ~ f n. Este valor es una constante ya que la dependencia con r se cancela.
¿Cuántas capas esféricas queremos sumar? Empezamos con r = 0 y vamos avanzando a radios cada vez más grandes. Ahora establecemos dos hipótesis más. Primera que el universo es infinito en extensión. Segunda que sus fuentes de luz son eternas. Con ello vemos que la suma de capas esféricas es infinita y que cada capa contribuye con un valor constante (y no infinitésimo) al flujo total de luz. El resultado es por tanto infinito. Esta es la paradoja de Olbers.
Resumiendo, hemos dado con un flujo infinito combinando cuatro hipótesis:
1. Las fuentes de luz se distribuyen de forma homogenea en el espacio
2. El espacio es estático
3. El universo es infinito en extensión
4. Las fuentes de luz son eternas
Vamos a ir desglosando las hipótesis tomadas una a una.
Primera, la homogeneidad de las fuentes de luz. Si la distribución de fuentes no es homogenea la paradoja no tiene por qué darse. Benoit Mandelbrot, el creador de las fractales, propuso una cosmología que solucionaba la paradoja de Olbers precisamente de esa forma. En concreto, en un universo en el cual la distribución de fuentes de luz es de dimensión fractal menor que dos, la paradoja no se da aun en caso de tener infinitas fuentes en un universo infinito cuya existencia es eterna.
La razón es que ya no vale n ~ r² y no va a haber cancelación con f ~ 1/r². Lo que vale en general es que para una dimensión fractal D, n ~ r^{D-1}, haciendo que la paradoja se solucione si D < 2. La justificación de un modelo cosmológico así viene del hecho que a cierta escala las fuentes de luz parecen agruparse en distribuciones fractales en el universo - aunque según me consta a mí los estudios no son concluyentes y no son extrapolables a muy grandes escalas.
Segunda hipótesis, el espacio estático. Si el espacio no es estático ya no se cumple que f ~ 1/r², sino que en general para un universo en expansión el flujo está más diluido. En determinados modelos esto soluciona la paradoja. Esta era la solución del modelo estacionario de cosmología de Hoyle y Burbridge que se basaba en un espacio-tiempo de-Sitter.
Tercera hipótesis, la extensión infinita del espacio. Si el espacio no es infinito y tiene un borde (o digamos que la distribución de fuentes de luz tiene un borde), entonces la suma sobre coronas esféricas se acaba a un radio determinado. Con ello la suma del flujo es finita.
Ahora bien, cuidado, si el espacio es finito pero ilimitado (y el resto de las hipótesis siguien siendo válidas, en concreto la edad infinita de las fuentes de luz), entonces las luz emitida en pasados cada vez más remotos da una o varias veces la vuelta al universo hasta llegarnos. Dado que la edad de las fuentes es infinita la cantidad de coronas a considerar es otra vez infinita y la paradoja no se soluciona.
Cuarta hipótesis, la edad infinita de las fuentes de luz. Esta es evidente: si las fuentes de luz no existen desde un pasado infinito sino desde un tiempo T, entonces, dado que la velocidad de la luz c es finita, la cantidad de coronas a considerar es finita, en concreto hasta un radio R = c T.
Es maravilloso ver como esta paradoja tan simple y cotidiana nos pone frente a un misterio cosmológico sin precedentes y se convierte en una piedra angular de la cosmología, tal y como nos muestra la profundidad de las posibles soluciones a la paradoja. Cualquier modelo sobre el universo debe necesariamente de enfrentarse a ella.
Hace cuarenta años, en 1969, se otorgó el premio Nobel de física a Murray Gell-Mann, por sus descubrimientos sobre partículas elementales. Si hay algo que destaca en la línea de descubrimientos e ideas de Gell-Mann es la belleza y la armonía. El camino óctuple o en inglés eightfold way, es la punta del iceberg del maravilloso mundo de las simetrías en la física de partículas.
Simetrías y cargas conservadas
El universo está lleno de simetrías que son cumplidas por ciertos sistemas. Es decir, existen acciones las cuales, realizadas sobre ciertos sistemas, dejan sus propiedades físicas invariantes. Ejemplo. Imaginemos un condensador con dos placas infinitas conductoras y paralelas la una a la otra, y ambas perpendiculares a un eje z, localizadas en z = - L, z = + L. Entre ellas existe un campo eléctrico paralelo al eje z. Este sistema tiene una clara simetría de traslación en dos direcciones: las dos direcciones x, y paralelas a las placas. La situación es indéntica independientemente de en qué punto x, y nos situemos.
Si uno imagina estas dos placas infinitas, el sistema tiene una simetría de traslación en las dos direcciones perpendiculares al eje z
Uno de los resultados más importantes de la física del siglo pasado es el teorema de Noether. Este nos dice más o menos que para tales simetrías existe siempre una carga conservada. El término carga debemos entenderlo en un contexto general, y no pensar sólo en la carga eléctrica por ejemplo. En el ejemplo anterior, el teorema de Noether nos dice que van a existir dos cargas conservadas, una para cada simetría: una a lo largo del eje x, otra a lo largo del eje y. Estas cantidades conservadas resultan ser las componentes x, y del momento lineal px, py.
Para entenderlo supongamos que entre las placas ponemos un electrón. No existen fuerzas en el plano x, y, y con ello según la segunda ley de Newton el momento lineal px, py del electrón se conserva. La forma de su movimiento es independiente del punto en el plano x, y en el que se encuentra inicialmente. Es diferente al momento lineal en z (pz). Dado que existe un campo eléctrico en z, ocurrirá que pz variará con el tiempo de acuerdo con la segunda ley de Newton. Por contra px, py se mantienen siempre constantes mientras el electrón se mueve entre las placas.
¿Qué valores pueden tomar estas cargas conservadas? Cada una px, py un valor infinito en la recta real. Sea cual sea, este valor se mantiene constante siempre. En definitiva, nada cambia en el electrón y su estado de movimiento por desplazarlo en x, y. Este hecho nos resulta en la conservación de su momentos lineales px, py.
El isospín y la simetría entre neutrón y protón
Una de las brillantes ideas de Werner Heisenberg fue proponer que existe una simetría entre protón y neutrón, tal que nada cambia por intercambiar el uno por el otro. A primera vista esto puede parecer sorprendente, dado que ambos tienen cargas eléctricas y masas diferentes, pero la física trabaja con simplificaciones. La masa entre ambos es muy parecida, por lo que a Heisenberg le pareció razonable pensar en primera instancia que en un universo sin interacción electromagnética el protón y el neutrón serían completamente iguales - incluso la diferencia de masa podría tener su origen en la interacción electromagnética, pensó.
Esta simetría postulada por Heisenberg es realmente expresión de una simetría entre los quarks que componen el protón y el neutrón. Estos son el up y el down (u, d). Su masa es muy parecida, pero se diferencian en la carga eléctrica. ¿Qué tipo de simetría es esta entre u, d? En el ejemplo anterior vimos una simetría de traslación en el espacio, aquí se trata de una simetría de rotación en un espacio interno. En esta aproximación o simplifación debe aparecernos por tanto una carga conservada, a la cual se conoce con el nombre de isospín.
¿Qué valores tomará la carga conservada del isospín? Bien, la respuesta a esta pregunta es uno de los episodios más bellos de la teoría cuántica - y cuya justificación se sale del marco de esta entrada. Las matemáticas nos muestran que al contrario de simetrías de traslación para simetrías de rotación los valores posibles son discretos. Para especificar un estado de isospín hacen falta dos números. La situación es similar al caso del espín. Un electrón por ejemplo tiene espín 1/2 y la proyección de este espín sobre un eje determinado será +1/2 ó -1/2 dependiendo de la orientación del electrón respecto del eje. En el caso del isospín igual y se tiene que tanto u como d tienen isospín 1/2 y la proyección de este son u = +1/2, d = -1/2. Al igual que con la proyección del espín, para la proyección del isospín vale que toma valores -I, -I+1, ... I-1, I, en saltos de 1 desde menos el valor del isospín hasta más el valor del isospín (por ejemplo: -1/2, +1/2 para un isospín de 1/2 y -1, 0, 1 para un isospín de 1).
Proyección del espín para un espín de 1/2, detalles sobre el espín y la teoría de rotaciones por ejemplo en el artículo de wikipedia
A su vez el espín de los quarks es 1/2, tanto del u como del d. A diferencia del isospín el espín no nos permite clasificar en grupos de dos partículas - es decir el u en una de +1/2 y otra de -1/2 dependiendo de la proyección en un eje, ya que esta proyección depende de nuestra elección de los ejes de coordenadas - y la física es independiente de estos. Es decir, la proyección del espín se mezcla en una misma partícula y no está asociada a tipos de partículas. La proyección del isospín, por contra, es en un espacio interno de simetría donde tal libertad no existe en principio.
En definitiva, tenemos dos quarks con dos valores diferentes de la proyección del isospín, y con igual espín. Por contra, tienen diferente carga eléctrica. No obstante, hemos dicho que la interacción electromagnética la vamos a ignorar.
Ahora vamos a construir bariones, que son combinaciones de tres quarks, con igual espín. Que la carga eléctrica sea igual o no en estas combinaciones nos trará sin cuidado. Consideremos primero combinaciones de u, d. ¿Qué combinaciones son posibles? Pues tenemos uuu, ddd, udd, uud. De estas combinaciones, en su estado fundamental las combinaciones uuu, ddd tienen espín 3/2, mientras que las combinaciones udd, uud espín 1/2.
Las combinaciones uud y udd de espín 1/2 corresponden con el protón y el neutrón respectivamente. En estas combinaciones dado que dos quarks son siempre u y d, el valor de la proyección del isospín se hereda del tercer quark. Por tanto tienen isospín 1/2 y la proyección 1/2 y -1/2 respectivamente.
El octeto de bariones
Además de considerar los quarks u, d podemos considerar también el quark s (strange = extraño). Su masa no es tan parecida como las de u, d, pero podemos postular igualmente que en cierta simplificación habría una simetría entre los estados formados por estos tres quarks. Al igual que hemos clasificado los estados de isospín +1/2 y -1/2 obteniendo un grupo de dos partículas con masa muy similar, podemos clasificar los estados de isospín + extrañeza (por convención extrañeza -1 si la combinación tiene un quark extraño, -2 si tiene dos, etc.) y obtener un grupo de partículas con masas similares.
Como hemos mencionado antes, distinguiremos entre aquellas combinaciones de espín 1/2 y aquellas de espín 3/2. Las combinaciones de tres quarks iguales sólo pueden tener espín 3/2. Nos concentraremos en las combinaciones de espín 1/2. Estas son las siguientes.
- Con cero s quarks: uud, udd
- Con un s quark: uus, uds, dds
- Con dos s quarks: uss, dss
¿Qué valores de la proyección del isospín tendrán estas combinaciones? En el fondo está claro. Por ejemplo, uss tendrá uss = +1/2 y dss = -1/2, ambas heredadas del valor de la proyección del isospín de u, d respectivamente. La siguiente tabla nos muestra las combinaciones de espín 1/2 con sus valores de isospín y extrañeza, así como las posibles proyecciones del isospín y los nombres de estos bariones:
Ahora lo que vamos hacer ahora es dibujar estas combinaciones en un plano con eje horizontal con la proyección del isospín I3 y eje vertical la extrañeza S. Obtenemos esto (en esta gráfica están dibujadas además la carga eléctrica Q y la hipercarga Y):
Cualquiera que vea esta clasificación con este diagrama por primera vez no puede mas que sorprenderse de la fascinación de la física de partículas. La belleza de esta clasificación llevó a su inventor, Murray Gell-Mann, a denominarlo eightfold way, camino óctuple, en referencia al noble camino óctuple del budismo. El camino óctuple de Gell-Mann representa el comienzo de la aventura de la física de partículas, una historia de descubrimientos cada cual más bello y profundo.
Otras combinaciones
Clasificaciones similares existen para el caso de bariones con espín 3/2, en cuyo caso se tiene no un octeto sino un grupo de diez elementos, también para mesones (compuestos por un par quark-antiquark).
También se han hecho clasificaciones añadiendo quarks y números cuánticos adicionales. Es decir, además de u, d, s, considerar también los quarks c, b, t. Añadiendo por ejemplo el quark c (charmed, encanto) hay que añadir una dimensión más al diagrama que queda algo así (el subíncie representa la cantidad de quarks c en la combinación) - donde nuestro octeto está en la base:
Las diferencias de masas empiezan a hacer estas simetrías insostenibles y poco útiles, y, además, clasificaciones con más de u, d, s, c, ya no son visualizables.
