Observables dependientes y difeomorfismos

La noción de observables parciales y completos, dependientes e independientes, viene definida en el artículo Partial Observables de Carlo Rovelli, http://arxiv.org/abs/gr-qc/0110035. Para entenderla lo mejor es un ejemplo mencionado en el artículo mismo. Imaginemos un conjunto de cartas. Cada una de ellas tiene escrito un número natural N en una de sus caras y un número natural n en la otra cara. Leemos una carta tras la otra y observamos que siempre existe una correlación entre N y n, es decir, N es una función de n, N = N(n). Por ejemplo: si n menor que 5, entonces N = 0, si n mayor o igual que 5, entonces N = 1.

Según las definiciones de arriba, n y N, por separado, son observables parciales. Podemos leerlos pero no podemos predecirlos por separado. No obstante, N(n) es un observable completo. Los pares (N, n) podemos leerlos pero además predecirlos, en el sentido que sabemos que si n toma un determinado valor, como por ejemplo 7, entonces N valdrá N(7) = 1. Si la correlación entre observables parciales n y N se puede expresar como la función de N respecto de n, pero no de n respecto de N, como es el caso en el ejemplo, entonces n es un observable independiente, mientras que N es un observable dependiente.

En la teoría cuántica de campos los observables parciales son las posiciones y tiempos, así como los valores del campo. No obstante, hay una diferencia entre ambos, ya que mientras los valores del campo son observables dependientes, las posiciones y los tiempos son observables independientes. Finalmente el valor del campo para una posición y un tiempo determinado es un observable completo. Lo importante de notar es que esto refiere a la teoría cuántica de campos que, de alguna forma, representa nuestra intuición de lo que es espacio y tiempo absolutos y estáticos sobre los cuales los campos actúan. No obstante, en la relatividad general no existen observables independientes. Esto es así porque el espacio y el tiempo, y en definitiva el campo gravitatorio, no deben tener una preferencia conceptual frente a los demás campos.

Sin duda el campo gravitatorio es algo especial debido a su universalidad. Es precisamente la universalidad del campo gravitatorio, su efecto sobre todo ente físico, lo que nos lleva a identificar espacio y tiempo como observables parciales independientes en la teoría cuántica de campos: posiciones y tiempos son algo identificable de forma independiente ya que el espacio-tiempo es considerado un escenario donde el resto de las interacciones tienen lugar. No obstante, en la relatividad general su universalidad no lo convierte en un escenario predefinido sino que su existencia y sus propiedades están en relación a la existencia y propiedades de la materia, como muestra el famoso argumento del agujero de Albert Einstein.

Una manera formal de hablar sobre el argumento del agujero es tratando con el concepto de difeomorfismos. Los difeomorfismos son transformaciones de coordenadas activas, mientras que las meras transformaciones de coordenadas son pasivas. La mera transformación de coordenadas deja el espacio-tiempo intacto y mueve las coordenadas, mientras que el difeomorfismo mueve todos los campos del espacio-tiempo y deja las coordenadas intactas. Mientras que una transformación de coordenadas nunca puede dar lugar a una simetría dinámica de una acción los difeomorfismos sí pueden y esa es la diferencia principal. La idea de difeomorfismos captura bien esa eliminación del escenario absoluto, cualquier campo es relativo al otro y la noción de puntos del espacio-tiempo carece de valor absoluto.

Estríctamente la noción de difeomorfismo como mapa entre dos variedades se aplica sobre todas las variables dinámicas de una acción. Las coordenadas no son variables dinámicas por lo que, intuitivamente, su transformación ha de ser deshecha de forma que sean evaluadas en la variedad original. Formalmente la mejor forma de entender esto es la noción de derivada de Lie a lo largo de un campo vectorial . Se define como:



El primer término representa la transformación de la variedad a lo largo de las curvas integrales de un campo vectorial:



Esto significa que todos las variables dinámicas en el espacio-tiempo son movidas a lo largo de las flechas adquiriendo un valor nuevo. El segundo término de la expresión de la derivada de Lie es una transformación de coordenadas de los valores nuevos dados por el campo vectorial que define la transformación a los valores antiguos. Por tanto, una acción es invariante frente a difeomorfismos si y sólo si la derivada de Lie de todas las variables dinámicas o todos los campos tensoriales que aparecen en ella es cero. Y esto es precisamente lo que ocurre en la acción de Einstein-Hilbert de la relatividad general, y, en general cualquier acción escrita en forma covariante.

Detalles matemáticos en: Symmetry Transformations, the Einstein-Hilbert Action, and Gauge Invariance, E. Bertschinger.