La definición de campo gravitatorio

En los libros de texto modernos el campo gravitatorio o a veces también la fuerza gravitatoria se idenfitica con la curvatura del espacio-tiempo. Esto es, ahí donde el espacio difiere de uno plano, donde el espacio-tiempo adquiere curvatura, ahí existe un campo gravitatorio actuando. No obstante, esta no era por ejemplo la posición de Einstein. Einstein identificaba la gravitación con los símbolos de Christoffel, en definitiva, con aceleraciones. Einstein tomaba su principio de equivalencia al pie de la letra y asumía que gravitación y aceleraciones no son sólo equivalentes en cierto sentido, sino que son estríctamente lo mismo.

El principio de equivalencia en la formulación original de Einstein

Un observador que está cayendo desde el tejado de su casa no experimenta campo gravitatorio, al menos en sus inmediaciones. Este cruel experimento mental es lo que Albert Einstein denominó "der glückischste Gedanke meines Lebens" (la idea más feliz de mi vida), y sintetiza básicamente la esencia de la relatividad general (un interesante artículo sobre la historia de la relatividad general en astroseti Historia de la Teoría General de la Relatividad), en concreto el principio de equivalencia.

El principio de equivalencia nos dice que en caída libre el campo gravitatorio no existe y que los observadores en caída libre pueden considerarse, por tanto, como observadores inerciales, es decir, libres de cualquier fuerza que actúa sobre ellos. Impedir la caída de uno de estos observadores, por ejemplo por medio de una superficie que lo sostenga y lo deje en reposo, equivale a someterlo a una aceleración uniforme. En la superficie de la tierra es lo mismo considerar que estamos en un campo gravitatorio uniforme que apunta hacia abajo, que considerar que estamos en un sistema acelerado hacia arriba y medimos con ello una fuerza inercial (ficticia) hacia abajo. La gravitación es con ello una fuerza ficticia, y de hecho es esto lo que permite eliminar a la gravitación de forma local con un cambio de coordenadas. En definitiva, para un observador en reposo el efecto del campo gravitatorio uniforme y el de una aceleración uniforme son equivalentes. Existe por tanto una equivalencia entre ambas descripciones.

La definición de campo gravitatorio en la formulación de Einstein y la moderna

Según esta definición de Einstein, el campo gravitatorio es todo aquello que actúa de forma universal desviando a las partículas de trayectorias rectas y velocidad uniforme, acelerándolas, es decir, cambiando , que es la forma de la ecuación geodésica cuando los símbolos de Christoffel son cero. Esta ecuación geodésica en la relatividad general se generaliza a para t un tiempo propio a lo largo de la geodésica. Las dos ecuaciones son equivalentes cuando , es decir, los símbolos de Christoffel son cero. Según la definición de Einstein el campo gravitatorio son los . Aquí un par de citas de Einstein sobre el tema ("The Foundation of the General Theory of Relativity" de 1916):

It will be seen from these reflections that in pursuing the general theory of relativity we shall be led to a theory of gravitation, since we are able to “produce” a gravitational field merely by changing the system of coordinates.

If the vanish, then the point moves uniformly in a straight line. These quantities therefore condition the deviation of the motion from uniformity. They are the components of the gravitational field.

Los símbolos de Christoffel pueden hacerse cero con un cambio de coordenadas, pero la curvatura no ya que es invariante (el escalar de curvatura por ejemplo). El ejemplo más sencillo que soporta la interpretación de Einstein es el campo gravitatorio uniforme. Un campo gravitatorio uniforme es un campo gravitatorio, pero su curvatura es nula. No obstante, se habla de "campo gravitatorio", y, en un sistema de coordenadas apropiado, existe una aceleración, resultado de símbolos de Christofell no nulos, que se identifica con la fuerza de la gravedad. En ese sentido la "fuerza de la gravedad" es algo dependiente del observador. Todo acorde con su formulación del principio de equivalencia.

En la interpretación moderna de la gravitación el término "campo gravitatorio" se suele reservar sin embargo para la curvatura del espacio-tiempo. Independientemente de terminologías en la relatividad general lo que hay es una geometría del espacio-tiempo, descrita por el tensor de Einstein acoplada a un momento y energía de la materia, descrita por el tensor de energía momento . En concreto, se trata de las ecuaciones de Einstein: . Desde el punto de vista de la discusión terminológica mencionada aquí se pueden distinguir varios casos:

• Espacio-tiempo con curvatura. En la terminología moderna tan pronto existe curvatura (generada, en general, por un tensor de energía-momento) se habla de campo gravitatorio. El problema terminológico aparece cuando no hay curvatura.


• Espacio-tiempo sin curvatura y sin energía-momento. Este es el caso del campo gravitatorio uniforme, con aceleraciones no nulas resultado de un cambios de coordenadas en un espacio-tiempo plano.


• Espacio-tiempo sin curvatura y con energía-momento. Estas suelen ser soluciones que violan alguna condición energética, pero en principio posibles. Concrétamente por ejemplo una "cuerda cósmica" o una "pared cósmica". El espacio-tiempo creado por una cuerda cósmica es plano globalmente, pero no es topológicamente equivalente al espacio-tiempo plano de Minkowski. Este espacio-tiempo puede imaginarse de la siguiente forma: una circunferencia concéntrica a la cuerda en una sección perpendicular a ella no mide 2 pi r, sino menos, ya que al espacio-tiempo le falta un sector angular (es un espacio-tiempo cónico). En estos casos no hay campo gravitatorio con la terminología moderna ni con la de Einstein. No obstante, está claro que algo pasa ahí, algo producido por un contenido material, dando lugar a algo diferente al espacio-tiempo plano.

El concepto de campo gravitatorio de Einstein provenía de ajustarse a su formulación del principio de equivalencia. En la forma moderna de la teoría el concepto de campo gravitatorio es diferente, como hemos visto. Más allá de definiciones arbitrarias la verdad, desde el punto de vista de la teoría, está en las ecuaciones de Einstein. Como hemos visto, tampoco el concepto moderno de campo gravitatorio tampoco captura completamente la esencia de la gravitación que nos es dada en las ecuaciones de Einstein. En principio de equivalencia, por su lado, ha sido reformulado a tres versiones diferentes, el principio débil, el de Einstein y el fuerte. Su relación con las ideas originales de Einstein y las relaciones entre estas tres versiones nos ocuparán en otro artículo.