miércoles, septiembre 30, 2009

La definición de campo gravitatorio

En los libros de texto modernos el campo gravitatorio o a veces también la fuerza gravitatoria se idenfitica con la curvatura del espacio-tiempo. Esto es, ahí donde el espacio difiere de uno plano, donde el espacio-tiempo adquiere curvatura, ahí existe un campo gravitatorio actuando. No obstante, esta no era por ejemplo la posición de Einstein. Einstein identificaba la gravitación con los símbolos de Christoffel, en definitiva, con aceleraciones. Einstein tomaba su principio de equivalencia al pie de la letra y asumía que gravitación y aceleraciones no son sólo equivalentes en cierto sentido, sino que son estríctamente lo mismo.

El principio de equivalencia en la formulación original de Einstein

Un observador que está cayendo desde el tejado de su casa no experimenta campo gravitatorio, al menos en sus inmediaciones. Este cruel experimento mental es lo que Albert Einstein denominó "der glückischste Gedanke meines Lebens" (la idea más feliz de mi vida), y sintetiza básicamente la esencia de la relatividad general (un interesante artículo sobre la historia de la relatividad general en astroseti Historia de la Teoría General de la Relatividad), en concreto el principio de equivalencia.

El principio de equivalencia nos dice que en caída libre el campo gravitatorio no existe y que los observadores en caída libre pueden considerarse, por tanto, como observadores inerciales, es decir, libres de cualquier fuerza que actúa sobre ellos. Impedir la caída de uno de estos observadores, por ejemplo por medio de una superficie que lo sostenga y lo deje en reposo, equivale a someterlo a una aceleración uniforme. En la superficie de la tierra es lo mismo considerar que estamos en un campo gravitatorio uniforme que apunta hacia abajo, que considerar que estamos en un sistema acelerado hacia arriba y medimos con ello una fuerza inercial (ficticia) hacia abajo. La gravitación es con ello una fuerza ficticia, y de hecho es esto lo que permite eliminar a la gravitación de forma local con un cambio de coordenadas. En definitiva, para un observador en reposo el efecto del campo gravitatorio uniforme y el de una aceleración uniforme son equivalentes. Existe por tanto una equivalencia entre ambas descripciones.

La definición de campo gravitatorio en la formulación de Einstein y la moderna

Según esta definición de Einstein, el campo gravitatorio es todo aquello que actúa de forma universal desviando a las partículas de trayectorias rectas y velocidad uniforme, acelerándolas, es decir, cambiando , que es la forma de la ecuación geodésica cuando los símbolos de Christoffel son cero. Esta ecuación geodésica en la relatividad general se generaliza a para t un tiempo propio a lo largo de la geodésica. Las dos ecuaciones son equivalentes cuando , es decir, los símbolos de Christoffel son cero. Según la definición de Einstein el campo gravitatorio son los . Aquí un par de citas de Einstein sobre el tema ("The Foundation of the General Theory of Relativity" de 1916):

It will be seen from these reflections that in pursuing the general theory of relativity we shall be led to a theory of gravitation, since we are able to “produce” a gravitational field merely by changing the system of coordinates.


If the vanish, then the point moves uniformly in a straight line. These quantities therefore condition the deviation of the motion from uniformity. They are the components of the gravitational field.

Los símbolos de Christoffel pueden hacerse cero con un cambio de coordenadas, pero la curvatura no ya que es invariante (el escalar de curvatura por ejemplo). El ejemplo más sencillo que soporta la interpretación de Einstein es el campo gravitatorio uniforme. Un campo gravitatorio uniforme es un campo gravitatorio, pero su curvatura es nula. No obstante, se habla de "campo gravitatorio", y, en un sistema de coordenadas apropiado, existe una aceleración, resultado de símbolos de Christofell no nulos, que se identifica con la fuerza de la gravedad. En ese sentido la "fuerza de la gravedad" es algo dependiente del observador. Todo acorde con su formulación del principio de equivalencia.

En la interpretación moderna de la gravitación el término "campo gravitatorio" se suele reservar sin embargo para la curvatura del espacio-tiempo. Independientemente de terminologías en la relatividad general lo que hay es una geometría del espacio-tiempo, descrita por el tensor de Einstein acoplada a un momento y energía de la materia, descrita por el tensor de energía momento . En concreto, se trata de las ecuaciones de Einstein: . Desde el punto de vista de la discusión terminológica mencionada aquí se pueden distinguir varios casos:

  • Espacio-tiempo con curvatura. En la terminología moderna tan pronto existe curvatura (generada, en general, por un tensor de energía-momento) se habla de campo gravitatorio. El problema terminológico aparece cuando no hay curvatura.

  • Espacio-tiempo sin curvatura y sin energía-momento. Este es el caso del campo gravitatorio uniforme, con aceleraciones no nulas resultado de un cambios de coordenadas en un espacio-tiempo plano.

  • Espacio-tiempo sin curvatura y con energía-momento. Estas suelen ser soluciones que violan alguna condición energética, pero en principio posibles. Concrétamente por ejemplo una "cuerda cósmica" o una "pared cósmica". El espacio-tiempo creado por una cuerda cósmica es plano globalmente, pero no es topológicamente equivalente al espacio-tiempo plano de Minkowski. Este espacio-tiempo puede imaginarse de la siguiente forma: una circunferencia concéntrica a la cuerda en una sección perpendicular a ella no mide 2 pi r, sino menos, ya que al espacio-tiempo le falta un sector angular (es un espacio-tiempo cónico). En estos casos no hay campo gravitatorio con la terminología moderna ni con la de Einstein. No obstante, está claro que algo pasa ahí, algo producido por un contenido material, dando lugar a algo diferente al espacio-tiempo plano.

El concepto de campo gravitatorio de Einstein provenía de ajustarse a su formulación del principio de equivalencia. En la forma moderna de la teoría el concepto de campo gravitatorio es diferente, como hemos visto. Más allá de definiciones arbitrarias la verdad, desde el punto de vista de la teoría, está en las ecuaciones de Einstein. Como hemos visto, tampoco el concepto moderno de campo gravitatorio tampoco captura completamente la esencia de la gravitación que nos es dada en las ecuaciones de Einstein. En principio de equivalencia, por su lado, ha sido reformulado a tres versiones diferentes, el principio débil, el de Einstein y el fuerte. Su relación con las ideas originales de Einstein y las relaciones entre estas tres versiones nos ocuparán en otro artículo.

9 comentarios:

Sonia dijo...

Muchas gracias por pasar. Yo ahora vivo en Austria, pero me mudo a España en diciembre. ¡Lástima conocerte ahora que me voy tras seis años y medio aquí!

Leería lo de tu blog pero soy nula para las ciencias, ¡de física ni hablamos! Pero lo de la cosmología puede que me interese...

Besitos

alshain dijo...

Muchas gracias Sonia a tí por pasar por aquí ¿Qué has hecho seis años en Austria? Mándame un email si quieres, la dirección está en mi perfil.

Un saludo,
Juanjo

Iñigo dijo...

El principio de equivalencia confunde causa y efecto. Realicé una critica a este principio y a la curvatura del espacio, me interesaria conocer su opinion al respecto, entiendo ademas que es posible una gravedad relativista sin principio de equivalencia analogamente a la electrostatica relativista.

Saludos

alshain dijo...

He leído con interés tu interesante artículo y te he contestado ya en tu blog.

Un saludo.

El vagabundo de las estrellas dijo...

Vaya por dónde, un físico más en la blogosfera. Aparte de leerme tu artículo (siento predilección por Einstein, como la mayoría de nosotros), he leído por ahí arriba que estás en Austria. Si no es muy impertinente, ¿podría preguntar qué estás haciendo por allí? Estoy en mi último año de astrofísica, y me gustaría conocer cuantas más salidas mejor después de la universidad...

Por cierto, una preguntilla adicional. ¿Has utilizado LaTeX para implantar las ecuaciones en el blog, o las has cogido directamente de un editor de ecuaciones?

Un buen blog, me pasaré por aquí más veces ;)

Un saludo!

alshain dijo...

Hola, no eres impertinente, pero lo mejor es que me mandes un email y hablamos. Mi dirección la encuentras en mi perfil.

El latex aquí lo inserto de la siguiente forma. Escribo el código normal pero sin los $ o los $$ y luego lo meto en: img src="http://www.codecogs.com/eq.latex?CODIGO" y esto entre < >, como html tag, (no puedo escribirlo aquí porque me da un error al publicar el comentario).

Un saludo,
Juanjo

Rogelio dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Rogelio dijo...

Yo iría incluso más allá. La teoría general no va sobre la gravedad sino sobre una reformulación del principio de inercia. El principio de equivalencia establece que masa inercial es lo mismo que masa gravitatoria. No podemos pensar por tanto en un campo gravitatorio porque no cabe pensar en situación mecánica alguna en la que podamos tener masa inercial (y movimiento por tanto) y no tener gravedad. Einstein corta ese razonamiento circular explicitando un nuevo principio de inercia en su ecuación de geodésica (i.e., los símbolos de Christoffel).

El principio de inercia en términos de relatividad general pasa a formularse de ésta forma: un objeto, en ausencia de fuerza aplicada, se mueve sobre una geodésica.

La siguiente pregunta es obvia: ¿qué geodésica?. En su formulación original de 1915, Einstein intentó que la línea seguida por un rayo de luz fuera lo que definía la geodésica. Formuló una teoría en la que la velocidad de la luz variaba según un potencial determinado por la distribución de masa. Ese primer intento no fue satisfactorio porque introducía inconsistencias con el formalismo, así que su siguiente paso fue una generalización del anterior: definió una geometría a partir de unas coordenadas geodésicas definidas por la distribución de masa-energía. Ese es el germen de su tensor de curvatura, tomado directamente de la geometría diferencial. Hacer que el tensor de curvatura sea proporcional al tensor de masa-energía es el principio de sustitución mínima: el tensor de curvatura debe ser como mínimo proporcional a otro tensor y éste debería ser el tensor de momento-energía para recuperar en el límite la ecuación de Poisson gravitatoria ($\nabla \Phi = \rho$ o ecuación de potencial gravitatorio de Newton, con $\rho$ la densidad de masa.

El paso revolucionario por tanto es la ecuación de geodésica, no, en mi opinión, la ecuación de curvatura. No hay campo gravitatorio por tanto, sino geometría de movimiento espontáneo (i.e., en ausencia de fuerza) determinado por la distribución de masa-energía (lo más parecido al principio de inercia de Mach, en palabras del propio Einstein).

alshain dijo...

Muy buen comentario. Gracias por tu participación Rogelio. Un saludo.