Mitos y leyendas: la radiación de Hawking

Vamos a ver en este artículo una explicación detallada de la radiación de Hawking, más allá de las explicaciones populares en la red.

La explicación usual

Nos dice el artículo de wikipedia:

Una de las consecuencias del principio de incertidumbre de Heisenberg son las fluctuaciones cuánticas del vacío. Estas consisten en la creación, durante brevísimos instantes, de pares partícula-antipartícula a partir del vacío. Tales pares se desintegran rápidamente entre sí devolviendo la energía prestada para su formación. Sin embargo, en el límite del horizonte de sucesos de un agujero negro, la probabilidad de que un miembro del par se forme en el interior y el otro en el exterior no es nula, por lo que uno de los componentes del par podría escapar del agujero negro.

Es decir, algo así:


En la explicación heurística el horizonte impide la aniquilación de un par creado en el vacío por el principio de incertidumbre.

Esta es la explicación usual heurística de la radiación de Hawking, que uno encuentra en la mayoría de las páginas de la red. No obstante, esta explicación dista bastante de la realidad teórica y lleva a malentendidos. Veamos un par de conceptos que pretenden aclarar la situación, o al menos proporcionar una idea más cercana a la teoría.

Las partículas virtuales

Las partículas virtuales son un concepto que da lugar a muchas confusiones, especialmente a nivel de divulgación. Aparecen de forma natural en la teoría cuántica de campos cuando se estudian las interacciones. Consideremos por ejemplo la interacción electromagnética. La teoría cuántica de campos nos dice que toda interacción viene descrita por lo que se denomina vértices. Estos son puntos de interacción entre uno o varios campos. Estos vértices vienen determinados por diferentes exigencias que se imponen a la teoría, usualmente debido a condiciones de simetría.

El vértice para el electromagnetismo es uno único y consiste de dos elementos de partícula cargada y uno de fotón. Esto son tres elementos o tres líneas en un diagrama:


El vértice electromagnético.

El fotón es la línea ondulada. Las dos líneas gruesas representan una partícula antes y después de la interacción. Por tanto, si interactúan dos partículas cargadas sin emisión de radiación electromagnética (fotones) la línea del fotón debe mantenerse interna:


Interacción electrostática entre dos partículas cargadas, en la aproximación más simple que describe tal interacción.

Pues bien, todas las líneas internas de este tipo en los diagramas son partículas virtuales. Las líneas con extremos abiertos son partículas reales, que acaban en el detector de la colisión o se propagan libremente por el espacio. Al no haber líneas onduladas con extremos abiertos se trata de una interacción sin emisión de radiación electromagnética. El fotón en el diagrama sólo transporta una interacción y no es detectable, de ahí su nombre "virtual".

No hay otra forma mas que el diagrama de arriba de hacer que dos partículas cargadas, reales y de líneas con extremos abiertos, interaccionen por medio del vértice electromagnético. Bueno, realmente sí la hay, pero a costa de incrementar la complejidad:


Interacción electrostática entre dos partículas cargadas, describiendo tal interacción con mayor precisión.

Aquí se ve bien que las condiciones experimentales son las mismas: dos partículas cargadas - líneas de extremos abiertos - interactúan entre sí. La forma de la interacción es la electromagnética: el mismo vértice siempre con dos líneas gruesas y una ondulada, aunque repitiéndose varias veces. Se ve bien en los diagramas que se puede incrementar la complejidad pero siempre manteniendo dos condiciones: (1) siempre debe haber cuatro extremos abiertos (pasado y futuro respectivamente de las dos partículas cargadas) y (2) en cualquier intersección de líneas debe haber dos líneas gruesas y una ondulada, es decir, el vértice es siempre el electromagnético.

El incremento de complejidad también hace aparecer aquí partículas virtuales diferentes de fotones: hay líneas internas gruesas que corresponden por ejemplo con electrones y positrones virtuales. Con esto también queda clara otra cosa: sin interacciones - sin vértices - no hay partículas virtuales.

Entropía y osciladores armónicos

Las ondas en un estanque son ondas de entropía muy alta. Las moléculas del agua están en movimiento caótico y sus oscilaciones no siguen ninguna pauta determinada a nivel microscópico, salvo que se unen para dar lugar a una onda macroscópica. Por contra, las vibraciones en un sólido cristalino a muy baja temperatura tienen lugar en un entorno de entropía baja. Existe una red cristalina con átomos localizados, los cuales no cambian sus posiciones. Una perturbación en la posición de uno se propaga por la red, pero lo hace manteniendo la estructura.


Las ondas en el agua se produce en un entorno de alta entropía, que desplazan caóticamente a las moléculas en el líquido.

Este tipo de ondas, que tienen lugar en entornos de entropía muy baja, son ondas cuantizadas, es decir, con cuantos energéticos. En el caso de las vibraciones en sólidos a estos cuantos se los denomina fonones. El hecho que en el agua del estanque no se presenten ondas cuantizadas reside precisamente en el diferente nivel de entropía. Los sólidos cristalinos se modelan usualmente asumiendo que en cada punto de la red existe un oscilador armónico. El oscilador armónico es uno de los sistemas más generales de la física y consiste en algo que es desplazado de su posición de equilibrio una mínima cantidad y que es llevado hacia el equilibrio después por una fuerza de restauración, todo ello dando lugar a un característico movimiento sinusoidal a una determinada frecuencia fija. El el caso del sólido la perturbación es algo externo y la fuerza de restauración son las fuerzas moleculares que hacen que los átomos se mantengan en sus posiciones.


Las ondas en un sólido a baja temperatura sólo mantienen la escturctura y se dan en un entorno de baja entropía.

El oscilador armónico es un sistema interesante desde el punto de vista de la mecánica cuántica. En el estado de reposo clásico el oscilador armónico, o un oscilador armónico clásico por ejemplo de un objeto macroscópico enganchado a un muelle, está quieto y en su punto de reposo. Si consideramos un sistema cuántico que sigue las leyes del oscilador armónico (un átomo o una partícula ligada a alguna fuerza por ejemplo), en su estado de reposo no puede tener energía nula. Esto es así por el principio de incertidumbre, que impide al sistema tener una posición y un momento ambos determinados. El oscilador armónico cuántico tendrá por tanto siempre una mínima energía o momento diferente de cero. A este estado se lo denomina estado fundamental. La energía en el estado fundamental de un oscilador armónico es 1/2 h f, siendo h la constante de Planck y f la frecuencia de las posibles de oscilaciones del oscilador (cuando se pone a oscilar).


Niveles de energía del oscilador armónico cuántico para los átomos en una molécula.

La idea de campo y la energía del vacío

Esta introducción sirve para pasar a la teoría cuántica de campos, ya que en la teoría cuántica de campos los campos quedan descritos por una colección de osciladores armónicos. (En la teoría cuántica de campos, el campo es la noción fundamental de la que se derivan las partículas como excitaciones de este.) Es similar a la red cristalina, pero aquí es más extraño: hay una cantidad infinita de osciladores armónicos en cada punto del espacio. En un punto dado hay un oscilador por cada longitud de onda posible a la que el campo puede oscilar. Si hay un oscilador en un punto determinado está oscilando lejos de su estado fundamental, es decir oscilando a una determinada frecuencia, se dice que existe una exictación del campo dando lugar a una o varias partículas de esa longitud de onda (o momento lineal según la relación de de-Broglie). Cuando no existen partículas en todo el espacio los osciladores están inactivos y en su estado fundamental. Se dice igualmente que el campo está en su estado fundamental o vacío.

En la teoría cuántica de campos la energía de vacío del campo viene creada por el estado fundamental de todos los osciladores. Tenemos por tanto una cantidad infinita de contribuciones a la energía del vacío en cada punto (densidad de energía de vacío), una por cada 1/2 h f para todas las f, pese a que los osciladores no están activos. Este estado vacío es igual para todo sistema de referencia inercial. Esto significa que si yo estoy en un sistema inercial y tú también lo estás, y estamos tú y yo midiendo un determinado campo en una región del espacio, coincidiremos ambos en decir que el campo está en su estado fundamental y que, por tanto, no hay partículas y todos esos osciladores están inactivos. Esto es parte de la forma en la que una onda sinusoidal (movimiento del oscilador) transforma frente a transformaciones inerciales: cambia su frecuencia y da lugar a un efecto Doppler. Pero al ser la energía del vacío o el vacío mismo una suma sobre todas las frecuencias posibles, tal efecto es irrelevante ya que todas las frencuencias se desplazan una misma cantidad - y en un rango infinito tal cosa no se nota. Aprovecho para hacer notar que esta idea de osciladores es una representación matemática y algo abstracto, y no es que haya o se asuman muellecitos o algo similar en cada punto del espacio.

Un excurso sobre el término "campo"

El término "campo" se usa en la física de dos formas diferentes, que pueden llevar a confusión. Una acepción, la más fundamental, es la que hemos usado aquí. El universo contiene sólo unos cuantos campos, tantos como tipos de partículas elementales. Para un determinado tipo de partícula elemental (por ejemplo el electrón) todas las partículas de tal tipo (todos los electrones del universo) con sus respectivas antipartículas (todos los positrones del universo) son excitaciones de un único campo. Lo mismo por ejemplo con todos los fotones del universo, creados por el campo electromagnético (o campo del fotón). Esta es la noción fundamental de campo en la teoría cuántica de campos.

Esta es la forma de hablar cuando se habla de campos en la teoría cuántica de campos. Luego, hay otra noción de campo, cuando se dice por ejemplo que un electrón crea un campo electrostático alrededor de él. Hay que tener en cuenta que son dos formas diferentes de hablar. ¿Cómo se reduce esta segunda a la primera, que es la fundamental? Denotemos por *campo* a la noción fundamental dada por la teoría cuántica de campos y por **campo** a la idea procedente de la física clásica, de que una partícula crea un campo a su alrededor. Por un lado, el *campo* electromagnético (el campo del fotón) crea o puede crear fotones como excitaciones de si mismo. Por otro lado el electrón (excitación a su vez del *campo* del electrón) crea un **campo** alrededor de él y que este ejerce una fuerza sobre cualquier carga que esté dentro de él.

Pues bien, cuando un electrón crea una fuerza sobre una carga cualquiera existen excitaciones del *campo* electromagnético que se propagan por el espacio en forma de partículas virtuales. La acción de estas partículas virtuales da lugar al **campo** del electrón. El **campo** y su geometría (simetría esférica, etc.) es consecuencia de las partículas virtuales y excitaciones del *campo*. Estas partículas virtuales son creadas sólo en caso de interacciones; el *campo* del electrón actúa como fuentes y sumideros para el *campo* electromagnético.


Esto también es un campo, pero ni es un *campo* ni un **campo**.

La radiación de Hawking

Volvamos con la noción del vacío de un campo (*campo*). El acuerdo sobre las propiedades del vacío entre sistemas inerciales, se pierde en caso de sistemas acelerados y también en caso de sistemas sometidos a la gravitación. Si yo estoy en un sistema inercial y tú estás siendo acelerado, y estamos tú y yo midiendo un determinado campo en una región del espacio, yo diré que el campo está vacío, pero tú podrás decir que no, que hay partículas en él. Este es uno de los resultados menos intuitivos de la teoría cuántica de campos y muestra que la noción de partícula es algo relativo, mientras que lo fundamental es la idea de campo. La transformación de ondas planas sinusoidales frente a aceleraciones es muy diferente a frente a transformaciones inerciales. Aquí no ocurre que todas las frecuencias se desplacen un valor constante, sino que ciertas frecuencias se aglomeran y dan lugar a una distribución diferente. Para una aceleración uniforme se puede mostrar que lo que se obtiene es una distribución térmica en las ondas planas mencionadas.

Al igual que una aceleración uniforme crea una distribución térmica de oscilaciones (denominada radiación de Unruh), por el principio de equivalencia un campo gravitatorio uniforme crea una distribución térmica de oscilaciones. Este resultado se puede extrapolar para otro tipo de campos gravitatorios, como el creado por un agujero negro. Lo que ocurre es que el observador estacionario el en campo (y por tanto acelerado) ve un vacío diferente al observador en caída hacia el agujero negro (y por tanto inercial). El vacío cerca de un agujero negro puede considerarse en cierta medida como en libre hacia él (por argumentos que me voy a ahorrar aquí) por lo que el observador acelerado (estacionario en el infinito) verá una distribución térmica de partículas saliendo de allí.

En definitiva, el orígen de esta distribución no tiene nada que ver con partículas virtuales, sino con la naturaleza del campo en su estado fundamental. Las partículas virtuales sólo aparecen cuando hay dos o más campos en interacción. La radiación de Hawking, de existir, se daría también si en el universo hubiese un único campo. Si hay más de un campo, como en la realidad por ejemplo electromagético, gluones, quarks, electrón/positrón, etc. la radiación de Hawking significará que de cada tipo de campo aparecerá una radiación térmica hacia el infinito. Naturalmente tal fenómeno es más notable para fotones debido a la fuerza de la interacción electromagnética, pero, en principio, cualquier campo sufre el mismo efecto.

Epílogo

Hemos visto que la densidad de energía del vacío viene dada por las contribuciones de las energías de los estados fundamentales de los osciladores armónicos con los que se modela un campo. Esto considerando un campo o cada campo aislado. Habiendo dos campos en su estado fundamental - sin partículas - puede que estos estén en interacción. Dado que no hay partículas que se propagan por el espacio-tiempo hasta detectores no hay líneas con extremos abiertos, sino sólo burbujas de partículas virtuales:


La figura muestra arriba una burbuja para el caso del electromagnetismo y abajo para otro tipo de interacción.

Hemos visto que si tenemos un sólo campo en el universo hay radiación de Hawking, térmica, de los agujeros negros. Si tenemos varios y los consideramos todos libres, habrá igualmente radiación de Hawking, térmica, de cada campo por separado. Pero, ¿y si tenemos varios campos en interacción? ¿Habrá alguna corrección a la radiación de Hawking, térmica, de cada campo por separado? Desconozco la respuesta, y parece una pregunta digna de ser estudiada.

Galaxias activas

Entre otras cosas este blog ha resultado serme útil para recopilar en él mis aportaciones o resúmenes de discusiones interesantes en foros. Aquí viene una reciente aportación en el foro de la web de física sobre galaxias activas. Se trata de una muy corta introducción a las característicias principales desde un punto de vista más bien teórico, algo diferente a los artículos de wikipedia y basado en la segunda parte (la teoría) del capítulo correspondiente en [1].

Las galaxias activas son galaxias con un núcleo de actividad o luminosidad sobresaliente en alguna parte del espectro. El nombre común a esta variedad de fenómenos observados refleja también una naturaleza común que la proporciona la existencia de un disco de acreción.

El disco de acreción

El disco de acreción en estos casos circunda a un agujero negro supermasivo central. Generalmente la materia del disco de acreción cae hacia el agujero negro y la energía gravitacional es transformada en calor, haciendo que el disco emita radión térmica, usualmente en el ultravioleta extremo (que para galaxias activas se suele conocer como "big blue bump").

En general, la cantidad de materia por unidad de tiempo que puede caer en un agujero negro depende de la presión de la radiación que esta misma materia genera. Si la presión de radiación es muy grande aparece un límite, denominado límite de Eddington, en el cual existe un equilibrio hidroestático entre la presión de radiación y la gravitación de la materia. El cociente entre la luminosidad del disco de acreción y la luminosidad de Eddington, en definitiva la tasa de acreción, es uno de los factores más determinantes de la estructura y forma del disco de acreción.

Precisamente la forma del disco de acreción y su orientación relativa respecto a nosotros determina el tipo de fenómeno que observamos. Por ejemplo, un objeto Seyfert tipo 1 es el mismo que uno tipo 2 pero su orientación respecto a nosotros es diferente.

Las líneas de emisión

Por otro lado, esta emisión electromagnética del disco se observa como un continuo fuerte mas unas líneas anchas ("broad line region") y también unas líneas algo más estrechas ("narrow line region").

El continuo aparece debido a la emisión térmica cerca del agujero negro y las líneas anchas son debido a gas algo más lejano, aunque aún cercano, excitado por la emisión de continuo. El ensanchamiento de las líneas es consecuencia de un ensanchamiento Doppler, ya que el gas está suficiéntemente cerca del agujero negro como para rotar por su acción y también como para no poder ser resuelta tal rotación observacionalmente. Adicionalmente también se excita material más lejano que resulta en la emisión de líneas más estrechas, al no sufrir estas líneas ensanchamiento Doppler.

La corona

Otro componente, aunque no tan relevante, es la existencia de una denominada corona. A diferencia del disco de acreción la corona no es un componente que se espera encontrar en el núcleo de todas las galaxias activas.

La corona es un envolvente de electrones y protones muy energéticos los cuales interactúan con los fotones emitidos, dándoles aún más energía y convirtiéndolos en rayos-X (scattering de Compton inverso) y dando lugar a un continuo de rayos-X. Esta nube de electrones y protones se forma debido a la existencia de campos magnéticos como consecuencia de la carga eléctrica del agujero negro en rotación (lo que se conoce como mecanismo de Blandford-Znajek).

Los jets y la emisión de radio

Hay luego otra característica fundamental que es diferenciadora y clasifica a las galaxias activas en dos grupos básicamente. Se trata de la existencia de jets.

Los jets se forman cuando la materia es expelida por aceleraciones en el campo magnético. Presentan emisión de radio por sincrotrón y usualmente polarización de la radiación. Probablemente cierto fenómeno de jet aparezca siempre debido a los campos magnéticos, pero es un hecho que existen algunos núcleos de galaxias activas con jets potentísimos en la emisión de radio. Esto clasifica a las galaxias activas en radio-quiet y radio-loud.

Las galaxias activas radio-quiet se asume que corresponden con acreciones moderadas con agujeros negros de masa relativamente pequeña, mientras que las galaxias activas radio-loud corresponden con acreciones fuertes y agujeros negros de gran masa.

La variabilidad

Por último hay que mencionar la variabilidad. Este fenómeno se da de forma muy variada y tomando todas las observaciones se puede decir que aparece en todo el espectro electromagnético. Hay básicamente dos tipos, de corto plazo y de largo plazo.

En general, la variabilidad a corto plazo es un fenómeno que se cree nos dice algo sobre la forma del emisor en la región, como por ejemplo inhomogeneidades, flujos relativistas variables, etc. Para la variabilidad a largo plazo se postulan por ejemplo como causa cambios en la estructura del disco de acreción. No hay un modelo unificador para explicar la variabilidad en todo el espectro y la cantidad de hipótesis propuestas es variada.

Clasificación

Dejando de lado la emisión de contínuo, que es relativamente similar en todas las galaxias activas, se tienen por tanto las siguientes características: (i) líneas anchas y estrechas (ii) emisión de rayos-X (iii) emisión de radio (iv) polarización de la luz (v) variabilidad y (vi) tipo de galaxia en la que se encuentra el núcleo activo. Estas observaciones se reparten de la siguiente forma en las siguientes clases de objetos (clasificación según Carroll & Ostlie [1]):

• Galaxias Seyfert: Sus características generales son líneas anchas y estrechas, emisión de radio débil, emisión de rayos-X y gamma hasta 100 keV, tienen lugar en galaxias espirales, y presentan variabilidad. Se clasifican en tipo 1 y tipo 2. Las de tipo 1 son variables y tienen una emisión de rayos-X más fuerte que las de tipo 2, las cuales, a su vez, no presentan variabilidad.


• Cuásares: Sus características generales son líneas anchas y estrechas, emisión de radio, variabilidad, emisión de rayos X y gamma hasta 100 MeV. Se clasifican en radio-quiet y radio-loud. Las radio-loud presentan una fuerte emisión de radio y polarización.


• Galaxias radio: Sus características generales son emisión de radio fuerte (son radio-loud), tienen lugar en galaxias elípticas, y no presentan variabilidad. Se clasifican en BLRG (Broad Line Radio Galaxy) y Galaxias radio, NLRG (Narrow Line Radio Galaxy). Las BLRG presentan líneas anchas y adicionalmente polarización. Las NLRG presentan líneas estrechas.


• Blazars: Sus características generales son una emisión de radio muy fuerte con un jet en la línea de visión y polarización, además de variabilidad y una luminosidad muy alta. Se clasifican en objetos BL Lac que no tienen líneas y se encuentran todos a desplazamientos al rojo muy altos, y cuásares OVV (Optically Violent Variable) con líneas anchas y estrechas y mucho más luminosos que los objetos BL Lac.


• Por último están los objetos ULIRG (Ultra-Luminous Infrared Galaxy) que son cuásares envueltos en polvo interestelar, y los objetos LINER (Low-Ionization Nuclear Emission-line Regions) que son probablemente galaxias espirales con starburst o regiones de HII con emision fuerte.

Existen modelos que unifican las observaciones basandose en las características mencionadas arriba. Como hemos mencionado, por ejemplo, un objeto Seyfert tipo 1 es el mismo que uno tipo 2 pero su orientación respecto a nosotros es diferente. La unificación entre radio-quiet y radio-loud no parece del todo posible por un mismo modelo y aparentemente son clases de objetos diferentes debido a la naturaleza del disco de acreción, especialmente la tasa de acreción que ocurre en él. La imagen de abajo nos muestra cómo las diferentes observaciones pueden resultar de un mismo objeto:



Otra imagen más en la red para ilustrar la situación. La parte de arriba representa el modelo radio-loud y la de abajo el radio-quiet (son modelos diferentes, ya que, el jet, si existe, aparece en ambas direcciones):



Referencias

[1] An Introduction to Modern Astrophysics, Carroll & Ostlie
[2] Active galactic nucleus, wikipedia

El destino de las galaxias

Muchas veces se imagina uno que una masa central, en especial un agujero negro, es como un sumidero que tiende a engullirlo todo, una analogía probablemente fomentada por algunos artículos de prensa. Esta imagen de la gravitación es equivocada. Los agujeros negros o en general masas grandes no son como sumideros en la bañera que tienden a tragarse todo el agua en ella. Una analogía mucho mejor para dos masas que la de un sumidero es la de una cuerda atada en uno de sus extremos con una masa en su otro extremo. Si la cuerda no existiese la masa seguiría en línea recta. Al existir la cuerda la masa es obligada a describir una trayectoria circular. Las órbitas gravitatorias son estables, tanto en torno a masas grandes como en torno a agujeros negros.

Hasta aquí algo muy trivial para el que ha oído alguna vez hablar de gravitación y órbitas keplerianas. El problema que nos va a ocupar sin embargo en esta entrada es si realmente una galaxia espiral va a acabar engullida por su agujero negro supermasivo central o va a dispersarse por el espacio. Este problema no es tan trivial debido a que ahora tratamos un sistema de muchísimos cuerpos. Cuando vemos una foto de una galaxia espiral tendemos a pensar intuitivamente que eso se parece mucho al remolino que se forma en un desagüe e imaginamos que todas esas estrellas acabarán engullidas por el agujero negro supermasivo central. La imagen vuelve a ser equivocada, independiéntemente del resultado de un análisis correcto. La imagen es equivocada porque la forma de remolino que nos dan los brazos espirales no es debida a tal fenómeno sino a ondas de densidad que tienen lugar en un disco en rotación.



Bien, el caso es que tenemos a nuestra disposición una interesante página de John Baez con el sugerente título The End of the Universe, en la que se nos dice al respecto del destino de las galaxias:

most of the stars, as well as interstellar gas and dust, will eventually be hurled into intergalactic space. This happens to a star whenever it accidentally reaches escape velocity through its random encounters with other stars. It's a slow process, but computer simulations show that about 90% of the mass of the galaxies will eventually "boil off" this way - while the rest becomes a big black hole.

La respuesta sobre el destino final de una galaxia depende algo del modelo, pero esta es una afirmación bastante bien fundada y probablemente correcta. Así que nos pararemos a entender algo mejor el trasfondo teórico de ella.

Para esto necesitamos un par de resultados básicos de la teoría de sistemas de N cuerpos. Estos son sistemas de muchas masas puntuales que interactúan entre si gravitacionalmente. En la gravitación el problema de varios cuerpos es sólo resoluble analíticamente para dos cuerpos, por lo que aquí se hace uso de otras técnicas para el análisis. En concreto, la mecánica estadística en analogía con la teoría de gases.

Tenemos por tanto un sistema de N masas. Estas masas pueden ser todas iguales de masa m, pero en el caso más general habrá un espectro de masas desde un valor menor m_mínima a otro mayor m_máxima. En primera instancia para simplificar el modelo uno suele considerar una distribución esférica y estadísticamente homogenea e isótropa. El ejemplo real más parecido a esta situación ideal es un cúmulo globular de estrellas. Las masas se mueven por el espacio e interactúan entre si. Estas interacciones son tales que una masa pasa a una distancia mínima de la otra y debido a la gravitación desvía su trayectoria, su velocidad, y con ello su energía cinética. Las colisiones directas, de frente, son muy, muy raras.

Al cabo de un tiempo las masas tenderán a encontrar una situación de equilibrio en lo referente a la energía cinética, al igual que un gas en una caja que tiende al equilibrio termodinámico. El gas lo hace muy rápido, pero las estrellas en un cúmulo globular no. Este tiempo hasta alcanzar esta situación de equilibro se denomina tiempo de relajación. Con el tiempo de relajación el sistema tiende a la equipartición de la energía y la distribución de energías es de Maxwell-Boltzmann:


(Distribución de velocidades para partículas de igual masa de un gas en equilibrio termodinámico.)

La equipartición de la energía 1/2 m v², de forma estadística, lleva al fenómeno que las masas mayores, en promedio, tienen velocidades menores y las masas menores, en promedio, tienen velocidades mayores. Si recordamos el concepto de velocidad de escape, vemos que esta aumenta a medida que uno se aleja del centro de una distribución uniforme de masa. Con ello las masas de mayores velocidades tenderán a estar localizadas en el exterior y las de velocidades menores en el interior. Este proceso se denomina segregación de masa. Ahora bien, algunas masas con velocidades altas (las masas menores) tenderán a tener tanta velocidad de escape que escaparán del sistema. El sistema se quedará sin algunos elementos y volverá otra vez al equilibro dado por la distribución de Maxwell-Boltzmann, en la cual volverá a haber algunas masas con velocidad de escape suficiente como para salir del sistema. A este proceso se lo conoce como evaporación.

La segregación hace tender a las masas mayores hacia el colapso en el centro y la evaporación hace tender a la dispersión del sistema. ¿Quién gana al final o cómo se reparten segregación y evaporación la masa del sistema? Pues bien, para los modelos usuales de cúmulos globulares se tiene que la parte interna del cúmulo conteniendo un 10% de la masa tiende a colapsar y el resto, con el 90% de la masa en la parte externa, tiende a evaporarse. Esto explica la afirmación en la página de John Baez, que vemos por tanto basada en los modelos usuales de cúmulos globulares. El tiempo de relajación de un cúmulo globular es de unos 10^8 años, pero el de una galaxia es de > 10^15 años, mayor que la edad del universo. Es por lo que las galaxias aun pueden considerarse sistemas sin colisiones, las cuales no han llevado al sistema a un equilibrio. No obstante, es de esperar que los mismos resultados cualitiativos para cúmulos globulares sean válidos en el futuro para galaxias.

Una puntualización que conviene hacer, probablemente necesaria, es que el modelo cosmológico es relativamente irrelevante aquí. Si queremos preguntarnos por la estabilidad de la galaxia frente a la expansión del espacio debemos comparar aceleraciones. Al estar una estrella normal ligada al resto de la galaxia gravitacionalmente, debemos comparar la aceleración gravitatoria de toda la galaxia sobre un punto en su periferia, frente a la aceleración de la expansión del espacio cuando es observada desde puntos de la periferia. Un cálculo en órdenes de magnitud para el modelo cosmológico estándar y para la Vía Láctea nos convencerá que hay una diferencia de casi diez órdenes de magnitud. En el modelo cosmológico estándar la aceleración de la expansión va a aumentar, pero no tanto y llegará un tiempo en el cual se mantenga ya constante y no aumente más. Esta aceleración de la expansión supone una perturbación de la órbita de la estrella. Tal perturbación, aunque muy pequeña (unos diez órdenes de magnitud) no sabemos en principio cómo va a evolucionar, pero lo pequeño de la perturbación indica que pasará desapercibida frente a fuerzas gravitatorias locales entre estrellas vecinas (por ejemplo de una estrella típica como el sol a una distancia típica de un parsec). Tales fuerzas también son varios órdenes de magnitud mayores que la expansión del espacio a nivel galáctico.

Las matemáticas elementales para estos conceptos básicos sobre cúmulos globulares se pueden encontrar aquí. Aquí un detallado artículo sobre la equipartición y la distribución de Maxwell-Boltzmann. Una página interesante sobre teoría de simulaciones de N-cuerpos aquí.

Estrellas de bosones

La clave para entender la idea tras las estrellas de bosones es el principio de exclusión de Pauli y el concepto asociado de presión de degeneración.

El principio de exclusión de Pauli significa que dos fermiones no pueden estar en el mismo estado. El mismo estado significa mismos números cuánticos y misma posición. Es por ello por lo que dos electrones en el mismo orbital atómico, de los cuales existe cierta probabilidad de que estén en el mismo punto espacial, no pueden tener el mismo espín.

Relacionado con esto está en concepto de presión de degeneración. Si uno tiene un gas de fermiones, por ejemplo electrones, y lo comprime, aparece una presión dada por el principio de incertidumbre de Heisenberg. Este principio dice que dx dp > h, es decir, que la indeterminación simultanea del momento y la posición ha de ser siempre mayor que la constante de Planck. Siendo dp positivo, esto hace que a mayor confinamiento en la posición la indeterminación en el momento lineal de los fermiones es cada vez mayor, y con ello su momento lineal medio aumente.

En las estrellas enanas blancas la presión de degeneración de un gas de electrones es lo que las mantiene estables frente al colapso gravitatorio. Si la masa es mayor y el colapso más fuerte, los electrones acaban por ser confinados tanto que el principio de Pauli ya no puede cumplirse. Como este principio es extremadamente fundamental, la solución de la naturaleza a esta situación es convertir el gas de electrones en otra cosa, uniéndolos a los protones para dar lugar a neutrones.

Los neutrones, a su vez, también son fermiones y el principio de exclusión de Pauli se cumple para ellos. Otra vez, si la masa y el colapso gravitatorio son suficiéntemente fuertes, los neutrones acabarán por estar tan confinados que deberán convertirse en otra cosa a costa de mantener la validez del principio de exclusión de Pauli. El siguiente paso aquí es que, debido a las altísimas presiones, los quarks que componen a los neutrones pueden quedar libres (la interacción nuclear fuerte disminuye con la energía), dando lugar a una estrella de quarks.

En principio nada impide teóricamente que la gravitación sea aun más fuerte todavía. En general, hemos visto que la naturaleza procede de forma que convierte unos fermiones en otros con presión de degeneración mayor tan pronto que el principio de exclusión está en peligro de ser violado. El siguiente paso, a falta de partículas más fundamentales o posibles transformaciones más energéticas de los quarks, es ya la formación de un agujero negro en el cual la noción de fermión carece de sentido. En general, en el agujero negro las leyes físicas conocidas hoy no son válidas.

Ahora imaginemos la misma situación pero con bosones. Para ellos el principio de exclusión de Pauli no es válido. Dos bosones pueden estar perféctamente en el mismo estado y con ello en la misma posición. Si la gravitación de un gas de bosones es muy fuerte, éstos adquirirán una presión debido al principio de incertidumbre la cual podrá contrarrestar a la gravitación. Si la gravitación aumenta, los bosones adquirirán mayor presión debido al principio de incertidumbre. En principio, la presión que pueden adquirir es arbitrariamente grande. A diferencia de los fermiones, los bosones mantienen su identidad y todo se reduce a un equilibrio entre colapso y principio de incertidumbre.

El radio de una estrella así será no obstante extremadamente pequeño, de ahí la dificultad de diferenciarlas observacionalmente de los agujeros negros. Por otro lado, hay que notar que, al igual que los agujeros negros, las estrellas de neutrones tendrán discos de acreción de material interestelar. Estando compuesto este por fermiones, es de esperar que la estrella de bosones trague masa fermiónica, la cual empezará a ser dominante tarde o temprano, y acabe convertida también en un agujero negro.

La física de las estrellas de bosones es muy compleja y esto mencionado aquí es sólo una noción intuitiva. A mí me consta a que la objección de la acreción de material fermiónico mencionada en el párrafo anterior es bastante fuerte, y hace que la hipótesis quede algo de lado como alternativa a los agujeros negros centrales de galaxias. Aquí pongo un par de referencias diversas sobre el tema, el interesado puede buscar en google o en arXiv.org con "boson stars".

• TOPICAL REVIEW: General relativistic boson stars: Un compendio general sobre el tema, tanto teoría como posibles experimentos


• A supermassive boson star at the galactic center?: Un estudio sobre la posibilidad de que en el centro de la Vía Láctea haya una estrella de bosones y no un agujero negro supermasivo


• Boson Stars: Alternatives to primordial black holes?: Las estrellas de bosones como posibles candidatos a materia oscura

Todo listo para el lanzamiento del GLAST

El 3 de junio va a ser lanzado el muy esperado GLAST (Gamma-ray Large Area Space Telescope) desde Cabo Cañaveral. El lanzamiento depende del éxito del lanzamiento del Discovery el día 31 de mayo, y será retrasado si éste también se retrasa.

El GLAST es uno de los proyectos científicos más importantes que se incian este año junto con el LHC y el Planck:

http://glast.gsfc.nasa.gov/

Sus objetivos científicos:

* Explore the most extreme environments in the Universe, where nature harnesses energies far beyond anything possible on Earth.
* Search for signs of new laws of physics and what composes the mysterious Dark Matter.
* Explain how black holes accelerate immense jets of material to nearly light speed.
* Help crack the mysteries of the stupendously powerful explosions known as gamma-ray bursts.
* Answer long-standing questions across a broad range of topics, including solar flares, pulsars and the origin of cosmic rays.

Los primeros resultados estarán disponibles probablemente dentro de un año.

Agujeros negros artificiales

El término agujeros negros artificiales puede llevar a alguna confusión. Su uso en inglés no refiere tanto a los posibles mini-agujeros negros que quizás pudieran crearse en un acelerador de partículas, sino a fenómenos cuya descripción matemática es similar a los agujeros negros en cierto sentido y que presentan por tanto una afinidad con ellos.

La noticia de prensa que nos va a ocupar en relación con esto es: Artificial black hole created in lab. La explicación que sigue, algo técnica pero muy simplificada, pretende arrojar algo de luz sobre un asunto que parece tan complejo pero que realmente, en sus principios básicos, no lo es tanto.

Consideremos un fluido ideal, sin viscosidad o fricción interna, en el cual la velocidad de propagación de perturbaciones es . Imaginemos que el fluido fluye con velocidad constante de izquierda a derecha en la horizontal en un canal, y que hay un dispositivo que genera ondas planas en cierta parte del canal, las cuales fluyen en dirección contraria que el fluido, de derecha a izquierda. La velocidad de propagación de las perturbaciones será . Esto será así independiéntemente donde pongamos el dispositivo para la generación de ondas planas, dada la simetría traslacional del experimento.

Consideremos ahora que el mismo fluido fluye con velocidad variable, acelerando, en un canal que de izquierda a derecha se hace cada vez más estrecho, o que tiene una pendiente por ejemplo. Igual que antes, en cierta parte del canal se generan ondas planas que fluyen en dirección contraria que el fluido, de derecha a izquierda. La velocidad de propagación de las perturbaciones será , pero dependerá de la posición donde pongamos el generador de ondas. En cierta parte del canal, la velocidad del fluido llegará a ser mayor que , por lo que, si ponemos ahí el generador, las ondas no podrán escapar al fluido corriente arriba y serán transportadas por él.

Este es el análogo de un horizonte de eventos de un agujero negro, una analogía del físico canadiense Bill Unruh. En la siguiente imagen se representa la misma situación pero con peces en vez de ondas moviéndose en el fluido:



En cierta medida el fluido viene a representar el espacio-tiempo y la velocidad de propagación de perturbaciones representa la velocidad de la luz. En cierta parte del espacio-tiempo existe un lugar en el cual la velocidad de escape, dicho de forma probablemente no muy estricta, sobrepasa .

En la página de Ulf Leonhardt también se menciona la analogía siguiente para crear agujeros blancos: al dejar caer agua en una superficie plana se observa una zona circular sin ondas, mientas que las ondas quedan fuera de ella. No pueden entrar debido a la velocidad del agua saliendo de la zona circular. A este efecto se lo conoce como salto hidráulico y es evidentemente conocido, pero lo original es analizarlo como fuente de información posible para estudiar la física de la relatividad general.



La pregunta ahora es si es necesario tener un medio en movimiento acelerado para simular tal situación. Aparentemente no, ya que lo que importa es que uno sea capaz de romper la simetría traslacional del primer experimento mencionado. Esto es posible con fluido en movimiento acelerado, pero también modificando las propiedades de un medio estático.

Esto segundo es lo que hacen en el experimento que menciona la noticia enlazada. El experimento no se basa en la propagación de un fluido, sino de luz en una fibra óptica. Para eliminar la simetría traslacional se modifica el indice de refracción del medio a través de un pulso intenso de luz, sirviéndose de un fenómeno conocido como efecto Kerr. Este da lugar a una variación del indice de refracción de forma . Esto da lugar a una modificación en la propagación de luz que se emite tras el pulso intenso mencionado.

El experimento difiere algo del mencionado con fluido pero la idea básica es similar. En realidad es bastante complejo de realizar y existen puntos sutiles en su soporte teórico (velocidad de grupo vs. velocidad de fase) como menciona Leonhardt en su página. Quizás esto nos de para un segundo artículo en el futuro.

Lo curioso es que esta simulación de un horizonte de eventos también simula la radiación de Hawking. Mientras que una onda plana es observada como onda plana desplazada Doppler por un sistema inercial, se puede mostrar que una onda plana es observada como una distribución térmica de ondas planas por un observador acelerado. Este fenómeno vale tanto para perturbaciones en medios en movimiento, o simulados con índice de refracción variable, como para las ondas planas que contribuyen al vacío en un espacio-tiempo, cuando son observadas desde un sistema de referencia uniformemente acelerado.

La conexión con los agujeros negros viene del hecho que un sistema uniformemente acelerado equivale localmente a un sistema con campo gravitatorio uniforme y es posible establecer una relación teórica muy determinada entre ambas situaciones a través del principio de equivalencia. Desde la perspectiva del principio de equivalencia la radiación de Hawking es al fin y al cabo una consecuencia de ondas (ondas contribuyendo al estado fundamental de campos cuánticos) en sistemas acelerados: los campos en caída libre hacia un agujero negro observados por un observador estacionario (y por tanto unformemente acelerado) en el infinito.

Personalmente, este fenómeno, y su relación con otro tan complejo como los agujeros negros, me parece de gran belleza y elegancia. Experimentos como este nos deben recordar que la física y su relación con las matemáticas son algo extraordinario. Al que quiera profundizar más en el tema le recomiendo echar una ojeada a la página de Ulf Leonhadt que he enlazado arriba y a los papeles de Ulf Leonhardt.

El argumento de Soltan

Hace ya tiempo que se especula sobre una supuesta relación entre los agujeros negros en cuásares y los agujeros negros centrales en las galaxias actuales. No obstante, ha sido hace relativamente poco tiempo que los estudios cinemáticos han revelado un agujero negro supermasivo en el centro de la mayoría de las galaxias. Esto ha posibilitado análisis detallados en busca de correlaciones, uno de los cuales ha dado lugar a la ya famosa relación de Magorrian [1] que postula una dependencia lineal entre la masa del agujero negro central y la masa del esferoide que lo envuelve:



Con esferoide hay que entender el núcleo de galaxias espirales o toda una galaxia elíptica.



Esta relación resulta también poder expresarse relacionando la masa del agujero negro central con la dispersión de velocidades en el esferoide mencionado [2]



siendo un valor de referencia y y parámetros a determinar experimentalmente (véase [2] para detalles y valores concretos). Estas dos relaciones, permiten estimar la masa concentrada en agujeros negros centrales a partir de diferentes tipos de observaciones.

Una relación con la masa concentrada en agujeros negros en el pasado, concrétamente la masa de agujeros negros en los cuásares (asumidos estos como progenitores de las grandes galaxias actuales), proviene de considerar que los agujeros negros supermasivos han crecido por acreción de material. Siendo este material básicamente bariónico, su acreción resulta en una emisión electromagnética en el disco de acreción y con ello en una luminosidad. Es decir, si los agujeros negros en cuásares han tragado materia de forma constante , su luminosidad ha de ser:



La cantidad de materia por unidad de tiempo que puede caer en un agujero negro depende de la presión de la radiación que esta misma materia genera, ya que es calentada a altas temperaturas en el disco de acreción y emite radiaciónn electromagnética. La presión de la radiación ejerce una fuerza hacia afuera impidiendo el colapso de la materia en el agujero. La tasa de acreción de Eddington es la tasa de acreción para la cual el disco de acreción de un agujero negro está en el límite de ser estable (y radia con una luminosidad igual a la luminosidad de Eddington). Se asume que la mayoría de los cuásares han tragado material en este límite, lo cual permite estimar .

Conocida esta tasa e integrando la ecuación para todas las luminosidades observadas a lo largo del tiempo [3], uno puede obtener una estimación de la masa total en los agujeros negros de los cuásares en un determinado volúmen comóvil. Esto se conoce como argumento de Soltan y fue propuesto por Soltan en 1983. El resultado es consistente con las estimaciones de la masa en agujeros negros resultado de observaciones e igualmente de la aplicación de las relaciones de Magorrian.

El argumento de Soltan puede, no obstante, usarse también para estimar si la masa total de los agujeros negros en cuásares puede ser estimada de forma independiente. En relación con esto recomiendo la lectura de la siguiente entrada de mi blog: Breve nota sobre el método de la reverberación.


[1] The Demography of Massive Dark Objects in Galaxy Centres, J. Magorrian, arXiv: astro-ph/9708072
[2] The slope of the black-hole mass versus velocity dispersion correlation, S. Tremaine, et al., arXiv: astro-ph/0203468
[3] A Cosmological Framework for the Co-Evolution of Quasars, Supermassive Black Holes, and Elliptical Galaxies: I. Galaxy Mergers & Quasar Activity, P. F. Hopkins, et al., arXiv: 0706.1243
[4] http://www.astr.ua.edu/keel/agn/quasar40.html
[5] An Introduction To Modern Astrophysics, Carroll & Ostlie

Información y agujeros negros

En este artículo voy a dar una descripción en términos sencillos del significado de la pérdida de información en agujeros negros (paradoja de Hawking).

Descripción macroscópica y microscópica

Consideremos un gas en una caja. La descripción macroscópica de un sistema así nos viene dada por ciertas variables macroscópicas como su energía, su volumen, su presión, etc. Por otro lado, una descripción microscópica es una descripción del gas con todo detalle posible, conociendo el estado de cada una de las partículas que componen el gas en la caja.

Nótese que el estado de una partícula en este contexto no es su posición y su momento en un instante de tiempo, sino su función de onda en un instante de tiempo. En la física cuántica no es posible determinar posición y momento simultaneamente, por lo que debemos conformarnos con describir la partícula por medio de una función de onda. Esta función de onda es un estado de superposición sobre posiciones o momentos posibles y no es fruto de desconocimiento, sino estado real de la partícula.

Para un mismo estado macroscópico o macroestado determinado por las variables macroscópicas mencionadas existen muchas combinaciones microscópicas posibles o microestados:



Entropía e información

Una forma de entender la descripción macroscópica es considerar que conlleva necesariamente un desconocimiento del estado real del sistema, en concreto del gas. Es decir, no sabemos en qué microestado se encuentra el gas en un instante determinado de tiempo. Es por eso por lo que expresamos el macroestado como una serie de microestados posibles, cada uno con una probabilidad asociada a él. Tal probabilidad depende de la información que poseemos sobre el sistema. Una forma de medir este desconocimiento es por medio de la idea de entropía. La entropía es una medida del desorden de un sistema y, en términos de teoría de la información, representa nuestra ignorancia del estado del sistema.

Cuando el gas en la caja está homogeneamente distribuido existe la mayor cantidad de microestados correspondientes con tal estado macroscópico, y en tal caso la entropía es máxima. Si por ejemplo el gas está temporalmente en una esquina de la caja, la cantidad de microestados posibles correspondientes es menor y por tanto la entropía también menor. Intuitivamente podemos ver que en el caso homogeneo nuestro desconocimiento es máximo, ya que debemos recurrir a toda la paleta de microestados para dar una descripción estadística del sistema.

Por otro lado, un sistema microscópico, cuya evolución temporal queda descrita por las leyes de la cuántica, está en un microestado concreto. Usualmente estará en un estado concreto de superposición sobre ciertos estados básicos o preferidos posibles, de forma que cada estado posible contribuye con cierta probabilidad. No obstante, la naturaleza de estas probabilidades en los estados de superposición cuánticos no es de desconocimiento, sino diferente, y representan una descripción real del sistema. Estando el sistema en un estado concreto, nuestra certeza sobre su estado es completa y con ello su entropía es nula.

Estados puros y estados mezclados

En términos técnicos y abstrayendo un poco de la distinción entre microscópico y macroscópico se habla de estados puros y estados mezclados. Los estados puros son estados concretos. Pueden ser estados de superposición sobre varios estados básicos posibles o puede tratarse de un sólo estado básico. En cualquier caso, se trata siempre de estados determinados, cuya descripción no contiene probabilidades asociadas a incertezas. Por otro lado, los estados mezclados son estadísticos. Aquí sí aparecen probabilidades asociadas a incertezas. Un estado mezclado es una combinación de estados puros cada uno de ellos con cierta probabilidad y esto es así porque no sabemos a qué estado puro en concreto corresponde la descripción en un instante determinado de tiempo. Por ejemplo, el gas en la caja.

En definitiva, un estado puro microscópico está en un estado concreto, a diferencia de uno macroscópico y mezclado, que estadísticamente corresponde con muchos microestados. Esto hace que la entropía de un estado puro sea nula. Nuestra ignorancia sobre el sistema es igualmente nula, ya que tenemos completa certeza sobre el estado de en el que se encuentra. Nótese aquí que tal hecho depende de la definición correcta de estado: si la indeterminación entre posiciones y momentos no se considera como resultado de desconocimiento, entonces el estado queda completamente determinado por medio de su función de onda, sin incerteza alguna.

Objetividad de la descripción macroscópica

Si pasamos a un régimen microscópico de descripción, entonces tiene sentido hablar de estados concretos de cada una de las partículas del gas. Sin embargo, en tal descripción la entropía es siempre nula. Esto es así porque una partícula está siempre en un estado puro y no mezclado, y en los estados puros nuestra certeza sobre el estado es absoluta. La evolución temporal de ese sistema mantendrá siempre una entropía constante. La entropía es por tanto dependiente de la granularidad con la que describamos el sistema. Tan pronto consideramos el gas de forma macroscópica, nos enfrentamos al hecho de que nuestra certeza nunca puede ser absoluta. La entropía no es nula, y, además, nos encontramos con que el gas en la caja tiende a aumentarla. ¿Está el gas haciendo "algo físico" o estamos nosotros sólo interpretando algo debido a nuestro desconocimiento? ¿Es acaso el paso termodinámico del tiempo sólo una ilusión debido a la aparente pérdida de información a nivel macroscópico?

La literatura sobre este tema es abundante, pero personalmente no acabo de ver la razón para dudar de la objetividad de tal concepto y con ello dudar de la objetividad del paso del tiempo, o de la noción de equilibrio termodinámico, o de la objetividad de cosas como el area de un agujero negro (la entropía de un agujero negro es proporcional a su area), etc. Desde otro punto de vista nos podemos preguntar ¿está un sistema macroscópico en un microestado determinado en un instante de tiempo? La pregunta es sutil. El caso es que, desde cierto punto de vista podemos decir que no lo está, porque aquello que consideramos macroscópico es por definición insensible a la configuración exacta de un microestado concreto. Nuestra percepción de la realidad macroscópica está esencialmente determinada por la falta de información.

La evolución temporal de los estados puros

La evolución temporal de los estados puros queda determinada por unas leyes físicas deterministas. Esto significa que conocida la función de onda en un instante t1 podemos conocerla en un instante t2 > t1. Tal afirmación es equivalente a afirmar que según las leyes de la física cuántica los estados puros (las funciones de onda) evolucionan siempre a estados puros. De otra forma deberíamos introducir probabilidades de incerteza en la evolución temporal microscópica y hacerla indeterminista a tal nivel. En concreto, para un estado puro , la ecuación de Schrödinger nos dice:



La solución a esta ecuación para un hamiltoniano independiente del tiempo es:



Es decir, el estado es perféctamente determinable conocido y al revés. En definitiva, si tenemos completa certeza de , entonces la tendremos de . Pero resulta que este no es el caso con agujeros negros.

La evolución temporal de los estados mezclados

Consideremos ahora la evolución temporal del gas en la caja, desde un estado inicial, con dos partes separadas una a mayor temperatura que otra, hasta un estado final, donde ambas partes están en mezcla en equilibrio a una misma temperatura. El estado final es un estado mezclado, estadístico, de mayor entropía que el primero. Es decir, la información ha disminuído. Por contra, la masa y la energía se han conservado.

Esta información no parece posible de ser recuperada, ya que se trata de un proceso irreversible. El demonio de Maxwell es ese supuesto ente capaz de separar otra vez la mezcla en su estado original, violando con ello la segunda ley de la termodinámica. No parece que tal ente sea algo que pueda existir físicamente. Por otro lado, esta información de la que hablamos aquí tiene un sentido físico muy concreto, especialmente en el marco de este experimento mental, como pone de manifiesto la idea de máquina de Szilard. Es intercambiable con atributos físicos muy concretos.

La paradoja de la pérdida de información en agujeros negros

Los agujeros negros son entidades curiosas porque su descripción completa no está dada en términos de la física establecida. Sabemos que en su centro existe una singularidad, en la cual las leyes de la física microscópica fracasan. Lo fabuloso y desconcertante de los agujeros negros es que no cumplen tal regla sobre la evolución determinista de los estados puros. Para entender esto imaginemos el siguiente experimento mental.

Primero, un sistema cuántico en un estado puro descrito por medio de la ecuación de Schrödinger, el cual introducimos en una caja de gas. La caja viene macroscópicamente descrita por medio de su energía, presión, volumen, etc. y microscópicamente por medio de un microestado determinado. Suponemos que la caja está en el vacío absoluto y que al tener una determinada temperatura radia como un cuerpo negro. En la descripción microscópica todo funciona bien: tras introducir el sistema cuántico en su estado puro, podemos estudiar su evolución temporal por medio de la ecuación de Schrödinger e incluso analizar interacciones de él, etc. La masa que la caja gana tras introducir este sistema es perdida luego en forma de radiación (recordemos que la radiación o la energía también contribuye a la masa de un sistema). La información en este caso se ha conservado, ya que tenemos una descripción microscópica de la caja que nos permite ponerla al mismo nivel descriptivo que el sistema que introducimos en ella.

Segundo, el mismo sistema cuántico en un estado puro descrito por medio de la ecuación de Schrödinger, el cual introducimos en una caja de gas. La caja viene macroscópicamente descrita por medio de su energía, presión, volumen, etc. pero microscópicamente no tiene descripción alguna. Es decir, esta es desconocida. Sólo sabemos que la caja viene unívocamente descrita por medio de sus variables macroscópicas. Suponemos que la caja está en el vacío absoluto y que al tener una determinada temperatura radia como un cuerpo negro. Tras introducir el sistema cuántico en su estado puro, no podemos estudiar su evolución temporal por medio de la ecuación de Schrödinger o analizar interacciones de él, etc. Eso es así porque no tenemos una descripción microscópica de la caja que nos permite ponerla al mismo nivel descriptivo que el sistema que introducimos en ella. La información en este caso no se ha conservado. La evolución temporal del sistema microscópico no puede ser descrita por la ecuación de Schrödinger, al pasar a formar parte de la caja la cual no tiene descripción microscópica. En concreto, la información se pierde, ya que tarde o temprano podemos considerar que nuestro sistema cuántico puro ha quedado convertido en radiación térmica que expulsa la caja. No tiene sentido considerarlo como parte de la caja misma, ya que esta sólo viene descrita sólo por sus variables macroscópicas.

Con los agujeros negros ocurre algo similar. Consideremos un sistema microscópico de masa m en un estado puro cerca de un agujero negro. El agujero tiene masa M. El sistema cae al agujero y el agujero adquiere masa M + m. Luego, el agujero radia (radiación térmica de Hawking) perdiendo masa hasta una masa M otra vez. Esto significa que lo que era inicialmente un sistema puro ha quedado convertido en radiación térmica de Hawking, que es un estado mezclado. Además, la descripción del agujero mismo es macroscópica ya que sólo queda descrito por su masa M y no es necesaria otra variable para describirlo. La información se pierde, ya que el estado final y el inicial son iguales, sólo que el sistema cuántico puro ha quedado convertido en radiación de Hawking que es un estado mezclado. La pérdida de información es irreversible aquí pero a nivel microscópico, al igual que en la evolución temporal de sistemas macroscópicos asumiendo que el demonio de Maxwell es físicamente irrelizable.



Entropía y horizontes de eventos

Pero la situación con un agujero negro es peculiar. La pérdida de información en la evolución temporal del un estado puro que cae en ellos no sólo viene determinada por nuestro desconocimiento de los grados de libertad microscópicos de la gravitación, sino del hecho de que existe un horizonte causal que nos impide ver qué ocurre al otro lado. Todo horizonte causal está relacionado con una pérdida de información ya que al otro lado la información no es accesible.

La cuestión quizás es si podemos usar horizontes violar el segundo principio de la termodinámica lanzando un sistema mezclado tras ellos. Este sistema se perderá y desaparecerá de nuestro universo, y, con ello, la entropía habrá disminuido. Esto no es posible, precisamente debido al hecho que los horizontes llevan asociados una entropía y con ello una pérdida de información. El horizonte de un agujero negro aumentará su area tras lanzar un sistema en él. Al aumentar su area aumentará su entropía de forma que el segundo principio de la termodinámica no se viola.

La entropía de los horizontes causales presenta una serie de preguntas no resueltas en la física actual como, por ejemplo cómo es posible que algo causalmente desconectado del espacio-tiempo tenga una influencia termodinámica en él, o qué sentido tiene la noción de equilibrio termodinámico en un agujero negro, etc. que vienen analizadas en varios papeles de Ted Jacobson, como On the nature of black hole entropy

Una descripción de las ideas actuales relacionadas con la entropía de los agujeros negros vendrá quizás en una entrada posterior. Algo mencioné ya aquí.

Nota sobre la definición de información

La definición mencionada de información se asocia con la entropía y por tanto con la certeza sobre el estado de un sistema. Si la certeza es absoluta, es decir, la probabilidad de que el sistema esté en un estado determinado es uno, entonces la información que tenemos sobre el sistema es máxima y la entropía es mínima. Si todos los estados posibles son equiprobables, entonces la información es mínima y la entropía máxima. También podría uno definir información (información obtenible) al revés, es decir, si la probabilidad de encontrar al sistema en un estado es uno, entonces la información que es posible sacar de él es nula. En tal caso la información obtenible sería proporcional a la entropía y crecería con el desorden y también con la cantidad de partículas, etc. Para el caso de la paradoja de la pérdida de información, cuando se dice que la información se pierde se usa la primera definición. Si se usase por ejemplo la segunda habría que decir que la información aumenta. Como sólo hemos cambiado la definición no deberíamos con ello resolver paradoja alguna: efectivamente, esto también sería una paradoja, ya que la mecánica cuántica exige la conservación de la información para la evolución temporal de estados cuánticos (puros).



Un par de referencias

• George Wing & Poincaré recurrences
• Entropy and Information
• Thermodynamics & Statistical Mechanics: An intermediate level course
• Black Hole Information Paradox
• Time