Mitos y leyendas: el big-rip y el destino del universo

Una característica especial del big-rip es que es producido por un fluído perfecto con parámetro de estado menor que -1, usualmente denominado energía fantasma, y lleva a una evolución asintótica del factor de escala de forma que este se hace infinito en un tiempo finito.

Es importante notar que esta evolución, al contrario que la evolución provocada por una energía oscura con mayor o igual que -1 y menor que -1/3, no lleva a una muerte térmica. Intuitivamente podríamos pensar que es así: si la expansión es aún más fuerte que con energía oscura o por ejemplo constante cosmológica, entonces, llevando estas a una muerte térmica, el big-rip llevará con aún más razón a una muerte térmica.

El problema es que este argumento basado en la diluición de la densidad energética, sólo es válido para la energía ordinaria, pero no para la energía fantasma. Todo lo contrario, la densidad energética de la energía fantasma aumenta con el tiempo, llevando a lo que se conoce como singularidad del big-rip (una densidad energética infinita).

Esto es fácil de ver si se considera que de la conservación local de energía para un fluído perfecto se obtiene la conocida ecuación



Para menor que -1 está claro que va a aumentar a medida que aumenta y se hará infinita cuando sea infinito. Más detalles sobre las propiedades de la energía oscura en el famoso papel de Caldwell:

A Phantom Menace? Cosmological consequences of a dark energy component with super-negative equation of state

Las condiciones para la paradoja de Olbers

La paradoja de Olbers nos dice que en un universo estático e infinito el cielo nocturno debería ser totalmente brillante sin regiones oscuras o desprovistas de luz. Formular las condiciones de la paradoja con precisión nos ayudará a entenderla mucho mejor.

En concreto, la formulación matemática de la paradoja consiste en calcular el flujo de luz que recibimos estando situados en el orígen de un sistema coordenado esférico. Para empezar establecemos dos hipótesis. La primera hipótesis es que las fuentes de luz se distribuyen de forma homogenea en el espacio. La segunda es que el espacio es estático.

Primero consideramos el flujo de luz que llega a nosotros emitido desde una fuente a una distancia r. En un espacio estático este flujo es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia, f ~ 1/r². Luego consideramos la cantidad de fuentes de luz en una corona esférica. Esta cantidad n aumenta con el radio al cuadrado, n ~ r². Por tanto, la suma del flujo de luz de todas las fuentes de luz localizadas en una capa esférica a un radio cualquiera es F ~ f n. Este valor es una constante ya que la dependencia con r se cancela.

¿Cuántas capas esféricas queremos sumar? Empezamos con r = 0 y vamos avanzando a radios cada vez más grandes. Ahora establecemos dos hipótesis más. Primera que el universo es infinito en extensión. Segunda que sus fuentes de luz son eternas. Con ello vemos que la suma de capas esféricas es infinita y que cada capa contribuye con un valor constante (y no infinitésimo) al flujo total de luz. El resultado es por tanto infinito. Esta es la paradoja de Olbers.

Resumiendo, hemos dado con un flujo infinito combinando cuatro hipótesis:

1. Las fuentes de luz se distribuyen de forma homogenea en el espacio
2. El espacio es estático
3. El universo es infinito en extensión
4. Las fuentes de luz son eternas

Vamos a ir desglosando las hipótesis tomadas una a una.

Primera, la homogeneidad de las fuentes de luz. Si la distribución de fuentes no es homogenea la paradoja no tiene por qué darse. Benoit Mandelbrot, el creador de las fractales, propuso una cosmología que solucionaba la paradoja de Olbers precisamente de esa forma. En concreto, en un universo en el cual la distribución de fuentes de luz es de dimensión fractal menor que dos, la paradoja no se da aun en caso de tener infinitas fuentes en un universo infinito cuya existencia es eterna.

La razón es que ya no vale n ~ r² y no va a haber cancelación con f ~ 1/r². Lo que vale en general es que para una dimensión fractal D, n ~ r^{D-1}, haciendo que la paradoja se solucione si D < 2. La justificación de un modelo cosmológico así viene del hecho que a cierta escala las fuentes de luz parecen agruparse en distribuciones fractales en el universo - aunque según me consta a mí los estudios no son concluyentes y no son extrapolables a muy grandes escalas.

Segunda hipótesis, el espacio estático. Si el espacio no es estático ya no se cumple que f ~ 1/r², sino que en general para un universo en expansión el flujo está más diluido. En determinados modelos esto soluciona la paradoja. Esta era la solución del modelo estacionario de cosmología de Hoyle y Burbridge que se basaba en un espacio-tiempo de-Sitter.

Tercera hipótesis, la extensión infinita del espacio. Si el espacio no es infinito y tiene un borde (o digamos que la distribución de fuentes de luz tiene un borde), entonces la suma sobre coronas esféricas se acaba a un radio determinado. Con ello la suma del flujo es finita.

Ahora bien, cuidado, si el espacio es finito pero ilimitado (y el resto de las hipótesis siguien siendo válidas, en concreto la edad infinita de las fuentes de luz), entonces las luz emitida en pasados cada vez más remotos da una o varias veces la vuelta al universo hasta llegarnos. Dado que la edad de las fuentes es infinita la cantidad de coronas a considerar es otra vez infinita y la paradoja no se soluciona.

Cuarta hipótesis, la edad infinita de las fuentes de luz. Esta es evidente: si las fuentes de luz no existen desde un pasado infinito sino desde un tiempo T, entonces, dado que la velocidad de la luz c es finita, la cantidad de coronas a considerar es finita, en concreto hasta un radio R = c T.

Es maravilloso ver como esta paradoja tan simple y cotidiana nos pone frente a un misterio cosmológico sin precedentes y se convierte en una piedra angular de la cosmología, tal y como nos muestra la profundidad de las posibles soluciones a la paradoja. Cualquier modelo sobre el universo debe necesariamente de enfrentarse a ella.

El radio del universo observable: un cálculo sencillo

El universo observable es la distancia de nosotros a la que se encuentra hoy un supuesto fotón que fue emitido desde nuestra posición en t = 0. Esta distancia actual no es igual a , 13.700 millones de años-luz, o la edad del universo en años por la distancia que recorre la luz en un año. No lo es porque durante esa distancia el espacio entre ese supuesto fotón y nosotros ha expandido. El fotón se encontraría por tanto hoy más lejos. ¿Cómo calcular tal distancia?

Primero, debemos entender el significado del elemento de línea. Para proceder primero hay que saber qué es un elemento de línea. Un elemento de línea nos dice cómo medir distancias. Por ejemplo, en un espacio bidimensional, cartografiado por las coordenadas , sabemos que una distancia cualquiera r se miden de acuerdo con el teorema de Pitágoras:



Para una distancia infinitesimal esto se escribe así:



Consideremos ahora la relatividad especial en una dimensión espacial y una temporal . El elemento de línea para la distancia espacio-temporal es:



Para entender esto debemos tener claro que estamos frente a una generalización del elemento de línea espacial, como el ejemplo de arriba, a un caso espacio-temporal. Los puntos del espacio bidimensional se generalizan ahora a eventos en el espacio-tiempo . Al contrario que el elemento de línea espacial, el cual sólo puede ser positivo (las distancias espaciales son siempre números positivos), el elemento de línea espacio-temporal puede ser un valor negativo, positivo o nulo:

• En el caso positivo estamos frente a una distancia espacial, al igual que con el elemento de línea espacial, cuyos dos extremos no son conectables por medio de un rayo de luz. Ejemplo: la distancia espacio-temporal entre un evento que ocurre en la tierra ahora y otro evento que ocurre en el sol también exáctamente ahora.


• En el caso negativo estamos frente a una distancia temporal, cuyos dos extremos son conectables por medio de algo que viaja más despacio que la luz. Ejemplo: la distancia espacio-temporal entre dos tic de mi reloj.


• En el caso nulo estamos frente a una distancia nula, cuyos dos extremos son conectables exáctamente por medio la luz. Ejemplo: la distancia espacio-temporal entre un evento que ocurre en la tierra ahora y otro evento que ocurre en el sol dentro de ocho minutos.

Por tanto, la luz se mueve tal que el intervalo espacio-temporal entre dos eventos que conecta es nulo :



Antes de seguir, debemos ahora entender la diferencia entre dos definiciones distintas de distancia espacial. Las dos que nos interesan son la distancia recorrida por la luz y la distancia propia. La distancia recorrida por la luz es la distancia que recorre la luz. Fácil esta y tampoco tiene mucha vuelta para darle: la luz siempre recorre 1 año-luz en 1 año. Por otro lado, la distancia propia es la distancia en un espacio de simultaneidad. Aquí debemos definir con cuidado y atención. Un espacio de simultaneidad es por ejemplo la sección del espacio-tiempo correspondiente con años; es decir, el espacio actual del universo. La distancia medida sobre tal espacio correspondería con poner un metro entre dos puntos suyos, marcar y leer instantaneamente.

Ambas definiciones de distancia coinciden en un espacio plano y estático de la relatividad especial: la luz recorre 1 año luz en 1 año, y tras ese tiempo, el punto que alcanza tras 1 año de viaje se encuentra a 1 año-luz de nosotros. En un espacio dinámico en expansión esto no es así. Si la luz recorre 1 año luz en 1 año, el punto que alcanza tras 1 año de viaje se encuentra a más de 1 año-luz, ya que durante ese año el espacio entre el punto de emisión y el frente de luz en cuestión ha expandido. Vayamos sin más al caso cosmológico. Consideremos el elemento de línea espacio-temporal en un universo en expansión:



La diferencia con el caso anterior de la relatividad especial está clara: aquí hay un factor delante de . Se trata del factor de escala que nos dice cómo de expandido está el universo en una determinada época (el factor de escala depende del tiempo) y vale a = 0 para el big-bang y a = 1 hoy.

Recordemos que un espacio de simutaneidad es un subespacio del espacio-tiempo (una sección espacial) en el cual no transcurre el tiempo. Se trata de un espacio para un valor único y determinado del tiempo . Por tanto, matemáticamente, en un espacio de simultaneidad se cumple . En el elemento de línea anterior, se tiene para un espacio de simultaneidad:



La distancia sobre un espacio de simutaneidad la hemos denominado distancia propia y la denotaremos con :





Para poder calcular esta distancia debemos conocer . El valor de , el factor de escala, es , ya que lo que nos interesa es la distancia hoy. En definitiva:



El en cuestión (la distancia asumiendo x = 0 como nuestra posición u orígen) es el que conecta un rayo de luz emitido desde (desde nuestra posición) y recibido en años. Esto es así por la definición de universo observable. Por tanto, para calcular consideramos ahora otra vez el elemento de línea, pero ahora para una distancia nula - recorrida por la luz:







y sabemos que debemos integrar entre y años, por lo que sólo nos falta conocer . Para un modelo general puede tener una forma complicada, pero podemos simplificar considerando que el universo ha estado siempre dominado por la densidad de la materia y ha sido siempre plano. Se puede mostrar que de tal condición las ecuaciones de Friedmann nos dicen que:



Probemos esto brevemente. La primera ecuación de Friedmann para un universo plano y sin constante cosmológica es:



Si el universo ha estado siempre dominado por la materia se tiene que , ya que la densidad de la materia no relativista decrece de forma proporcional al aumento de volumen. En definitiva:



Esto se resuelve precisamente en:



Con el factor de escala hay cierta libertad de tomar su escala de valores, pero ya nos hemos impuesto que en el big-bang y hoy, por lo que realmente:



con en años. Volviendo a la definición de distancia y haciéndo la integral para :



entre y se tiene que:

años-luz. Como se puede comprobar en mi calculadora cosmológica este valor corresponde bastante bien con el valor que resulta sin hacer la aproximación de dominio de la materia durante toda la historia del universo.