Verdad, revolución y unificación

Las teorías físicas tienen dos aspectos que pueden diferenciarse bastante bien: aplicación e interpretación. La aplicación de una teoría son los números que proporciona. La interpretación es una visión del mundo y una ontología que nos da. La aplicación de una teoría verificada es siempre válida en el rango de fenómenos en el que la teoría fue verificada. La interpretación no obstante no, ya que esta queda obsoleta con teorías nuevas.

Por ejemplo, el sistema geocéntrico de Ptolomeo, como ejemplo extremo. En principio su aplicación puede ser justificada incluso hoy, ya que proporciona números o trayectorias que no están del todo mal. Es decir, a alguien le podría apetecer hacer uso del tal modelo para calcular trayectorias en la bóveda celeste siempre y cuando su precisión requerida no sobrepase cierto límite. No obstante, la interpretación física del modelo es errónea, ya que ha sido superada por el modelo heliocéntrico de Copernico y tras él la gravitación y mecánica newtonianas.

Otro ejemplo menos extremo es la gravitación de Newton. Su aplicación sigue siendo válida hoy, por la simple razón de que proporciona números adecuados para ciertos problemas gravitatorios. Sin embargo, su interpretación ha sido superada por la relatividad general, en la cual la gravitación es entendida de forma totalmente diferente.

Esta diferenciación entre interpretación y aplicación es necesaria cuando se habla de verdad en la ciencia. Tomando la definición de verdad de una teoría como adecuación con la realidad "veritas est adequatio intellectus et rei" es evidente que se obtienen respuestas diferentes enfocándo este criterio desde el punto de vista de la aplicación que de la interpretación.

En cierta medida la física no es o ha sido hasta hoy nunca verdad si con ello se la mide por su capacidad de proporcionarnos una ontología de lo real, es decir, una interpretación fundamental de la realidad. Sin embargo, es verdad en su aplicación ya que cada teoría suele tener su rango de aplicación indiscutible desde el momento en el que es válida proporcionando números correctos para ciertos fenómenos.

Las revoluciones científicas suelen afectar a la idea de verdad, a nuestra visión del mundo y no tanto a la forma de hacer números. Estos son los que son, válidos en su rango de aplicación, pese a teorías nuevas. Una revolución científica nos pone frente a una nueva realidad, más profunda, pero usualmente también más ámplia y a la vez más misteriosa y más sorprendente. Amplía nuestro horizonte, nuestro conocimiento, pero con ello también el perímetro de "nuestra orilla cósmica" de desconocimiento.

Es por lo que todo nuevo cambio de paradigma suele ser aún más radical que el anterior. Requiere de explicar problemas conceptuales cada vez más profundos.

El ejemplo de la revolución científica de principios del siglo anterior es bastante ilustrativo. La relatividad y la teoría cuántica nos han proporcionado formas completamente diferentes de entender el mundo. Su formulación fue necesaria debido a inconsistencias en las teorías en aquel tiempo. El mundo que nos presentan es mucho más rico que la realidad asumida antes de ellas. Su formulación ha abierto a su vez nuevos interrogantes e inconsistencias entre ambas.

¿Cómo será la unificación de los dos mundos que nos describen la relatividad y la teoría cuántica? No lo sabemos aún, pero yo tengo la impresión que la unión de ambas no dejará a ninguna de las dos a salvo, al menos no tal y como las entendemos hoy. La madre de todas las revoluciones científicas está por llegar.

A successful unification of quantum theory and relativity would necessarily be a theory of the universe as a whole. It would tell us, as Aristotle and Newton did before, what space and time are, what the cosmos is, what things are made of, and what kind of laws those things obey. Such a theory will bring about a radical shift - a revolution - in our understanding of what nature is. It must also have wide repercussions, and will likely bring about, or contribute to, a shift in our understanding of ourselves and our relationship to the rest of the universe. Lee Smolin.

• Unfinished revolution, Carlo Rovelli

La longitud de onda de de-Broglie

Hablemos sobre la longitud de onda de de-Broglie, en concreto de la existencia de tal longitud de onda para objetos macroscópicos. Aviso de entrada que lo que sigue es mi opinión personal. Aunque creo que está bien justificada, debo advertir que con ella me enfrento aparentemente contra miles de referencias en las que se afirma que la longitud de onda de de-Broglie para objetos macroscópicos existe, pero que es muy pequeña e indetectable. Yo dudo muy firmemente de tal cosa, aunque no descarto que haya algo que se me escapa en este asunto.

Leemos aquí y allá sobre la longitud de onda de la onda de probabilidad asociada a una pelota, a una persona, etc. No obstante, para poder afirmar esto hay que partir de la hipótesis que un objeto macroscópico tiene asociado una onda de probabilidad con su longitud de onda determinada. Veamos qué condiciones hay que plantear para aceptar tal situación.

En principio, la longitud de onda de la onda asociada tiene completo sentido para soluciones sinusoidales de la ecuación de Schrödinger. Para objetos más complejos, aunque no necesariamente macroscópicos, van a ocurrir dos cosas que creo ponen en cuestión este cuadro simplificado.

• Primera, si el objeto está en un estado puro, en general van a ser superposición de muchas diferentes longitudes de onda, por lo que hay que ser cuidadosos al hablar de esa única longitud de onda asociada.


• Segunda, el objeto puede estar en un estado mezclado. La ecuación de Schódinger, de la cual se deriva la relación de de-Broglie, describe la evolución temporal de estados puros. Por contra, un objeto macroscópico es un estado mezclado descrito por una matriz de densidad que no va a ser reducible a una función de onda, la cual a su vez tiene una evolución temporal diferente.

En general, los estados de un sistema se pueden clasifican en dos tipos, los estados puros y los estados mezclados. Los estados puros son estados de superposición cuántica y los estados mezclados son estados de desconocimiento. En los estados puros existen varios estados posibles sobre los cuales el sistema está en superposición. Según la cuántica esta superposición no tiene que ver con desconocimiento, sino que es un fenómeno básico de la naturaleza. Veamos especialmente el segundo punto de los de arriba con detalle tras mencionar cómo salvar el primero.

En el primer caso el objeto tiene una onda asociada al cumplir la ecuación de Schrödinger. No obstante, esta es superposición compleja de ondas planas. Para salir al paso podemos usar un elegante truco que se me ha mencionado en este hilo del foro de la web de física. Podemos utilizar el concepto de centro de masas. El valor esperado del momento del centro de masas nos permite definir una única longitud de onda a través de la relación de de-Broglie.

En el segundo caso las cosas cambian.

Los estados mezclados necesitan de una matriz de densidad para ser descritos, la cual a su vez no reducible a una función de onda. Este hecho hace que su evolución temporal no cumpla la ecuación de Schrödinger sino en general . Y de ahí no es extraíble una onda asociada. Al menos a mí no me es conocida una forma de asignar una onda asociada a estados mezclados en general, cosa que veo respaldada por el experimento que voy a mencionar abajo.

El hecho de que un objeto esté en un estado mezclado se puede deber a dos razones: (a) entrelazamiento (b) desconocimiento. Estas son las dos razones que dan lugar a estados mezclados. Dejemos primerdo de lado la opción (b) y concentrémonos primero en la (a).

El entrelazamiento es una propiedad muy especial. Los estados entrelazados son puros, pero los subsistemas dentro de estados entrelazados son mezclados. En parte esto se puede entender en términos de pérdida de información: los estados mezclados suponen una falta de información para el que los considera, mientras que los puros no. Cuando hay entrelazamiento y nos preguntamos sólo sobre un subsistema resulta haber información faltante, ya que existen correlaciones con el otro subsistema que quedan "fuera" del subsistema en consideración. Esta falta de información es natural en subsistemas de sistemas entrelazados, ya que, por definición, los subsistemas de un sistema enrelazado son imposibles de separar debido a una correlación cuántica fuerte entre ellos. Esto lo muestro en mi página sobre la decoherencia, pero lo vamos a ver aquí mencionando un conocido experimento.

Imaginemos una fuente que emite partículas de momento lineal antiparalelo en dos direcciones diferentes y . Digamos que están a la derecha y a la izquierda.



Esto es, si en la derecha se encuentra una partícula en , entonces la partícula correspondiente en la izquierda debe encontrarse en y si en la derecha se encuentra la partícula en , entonces la partícula correspondiente debe encontrarse en . Para tales pares entrelazados se tiene:



Este estado total es un estado puro y entrelazado (esto se ve notando que no es posible factorizar en los estados de las partículas individuales). Para una sola de las partículas - por ejemplo la que se mueve hacia la derecha, que no tiene prima - no obstante se trata de un estado mezclado. Es decir, no existe una sola función de onda para una de las partículas que cumpla la ecuación de Schrödinger. Al ser un estado mezclado los estados básicos cumplen la ecuación de Schrödinger, pero no el estado mezclado resultante de ambos. La ecuación de Schrödinger es válida para el estado total entrelazado que es puro, pero no para un subsistema del estado entrelazado que es mezclado. Para mostrar que se trata de un estado mezclado refiero a mi página sobre la decoherencia o a Wikipedia que también explica con un ejemplo sencillo cómo los subestados de estados entrelazados son todos mezclados.

En definitiva, las partículas generadas así no pueden crear interferencia en un experimento de doble ranura (por ejemplo, todas las lanzadas hacia la derecha). Esto es debido a que su estado no es puro. Este experimento ha sido realizado ya y está descrito por ejemplo en Experiment and the foundations of quantum physics de Anton Zeilinger. Podemos por tanto asignar un momento a tal partícula, el que resulta de calcular el valor esperado más probable del momento de la partícula. Pero no podemos asignar luego una onda asociada al momento con su longitud de onda.

Fijémonos en la diferencia con la partícula libre y no entrelazada. En tal caso también tenemos un valor esperado del momento (está en un autoestado de momento), sin embargo sí decir que a tal momento asociamos una onda plana solución de la ecuación de Schrödinger. Esta onda plana describe completamente y de forma correcta a la partícula libre y no entrelazada. La partícula libre y no entrelazada presenta inteferencia cuando es lanzada contra una doble rendija (cuando son lanzadas muchas idénticas). Por contra, las partículas entrelazadas no la presentan. En mi opinión estamos obligados a concluir que en este segundo caso la asociación con un fenómeno ondulatorio de probabilidades no es correcta.

He mencionado antes que existen dos razones para tener estados mezclados: (a) entrelazamiento (b) desconocimiento. La cuestión ahora qué ocurre con los objetos macroscópicos. En principio yo asumo que ambas razones son relevantes. Por ejemplo, la radiación térmica de cualquier objeto macroscópico debería estar entrelazada con este. Ahora bien, uno puede cuestionarse - al menos yo con mi conocimiento parcial del tema - si para objetos macroscópicos el entrelazamiento es relevante. Quizás tal fenómeno es despreciable.

No obstante, lo que está claro es que un objeto macroscópico es un macroestado, es decir, una clase de equivalencia de muchos microestados. No conocemos las funciones de onda de las partículas y esto es precisamente una propiedad que define a lo que comúnmente denominamos mundo macroscópico. El objeto está en un estado mezclado, descrito por una matriz de densidad, donde aparecen factores de probabilidad debido al desconocimiento, y no por una función de onda.

La cuestión ahora es si el argumento previamente presentado sobre la imposibilidad de asignar una onda asociada a un estado mezclado sigue siendo válido para el caso de estados mezclados por desconocimiento. En el formalismo yo no veo cómo asignar ondas asociadas a estados que no cumplen la ecuación de Schrödinger. La cuestión es si describir a un estado macroscópico como mezclado debido al desconocimiento es sólo una forma de ver las cosas y si de igual forma podría habérselo descrito como un estado puro si se conociese perféctamente. Y con esto entramos ya en un terreno muy difícil: ¿es un macroestado sólo un artilugio de nuestra descripción, parcial, o algo genuínamente real? ¿es la entropía algo real? ¿aumentaría la entropía del universo si conociesemos perféctamente la función de onda de todas sus partículas? etc.

Resumen: un tema para pensar y debatir mucho.

El sombrero dorado de Schifferstadt

A las puertas de la Selva Negra y al sur de la maravillosa región vinícola de la Mosela en Alemania se encuentra la cuidad de Schifferstadt. A las afueras de Schifferstadt un campesino encontró un sombrero dorado enterrado en el campo en el que trabajaba un 29 de abril de 1835. Fué el primero de cuatro sombreros de oro encontrados en Alemania y Francia. Tras el sobrero de Schifferstadt vinieron el sombrero de d'Avanton en 1844, el de Ezelsdorf-Buch en 1953 y más recientemente el conocido como sombrero dorado de Berlín.



El sombrero dorado de Schifferstadt data de los siglos diecinueve o veinte antes de Cristo. A los sombreros se los considera un símbolo religioso usado por los sacerdotes de una a finales de la Edad de Bronce en Europa Central. El culto al sol estaba entonces muy extendido en Europa Central. Tres de los cuatro sombreros tienen un pedestal como ampliación en la parte inferior del cono y sus aberturas son ovaladas (no redondas), con diámetros y formas más o menos equivalentes a las de un cráneo humano.

La representación figural de un objeto parecido a un sombrero cónico sobre una losa de piedra de la tumba del Rey en el pueblo de Kivik, en el sur de Suecia, apoya firmemente su asociación con la religión y de culto, así como el hecho de que los conocidos ejemplos parecen haber sido depositados (enterrados) cuidadosamente (véase wikipedia).



Esta conexión con escandinavia la muestra también la relación con el culto al sol que muestra el carro de Trundholm:



Lo espectacular de los sombreros de oro es que en diferentes alturas tienen marcas que permiten la determinación de calendarios y la conversión entre ellos. No necesariamente fueron usados como tales, pero sí parece claro que al menos reflejan los conocimientos de la época, quizás sólo como adorno.

En esta entrada en este blog: Glaubendorf 2 y el orígen de la astronomía en Europa reflexionaba sobre los conocimientos astronómicos de los antiguos pobladores europeos quizás plasmados en los círculos existentes en el centro de Europa. Tanto los sombreros de oro como el disco celeste de Nebra muestran que los conocimientos astronómicos entre los europeos eran considerables en el segundo milenio antes de Cristo. Está por ver en qué medida parte de estos conocimientos estaban existentes ya varios milenios antes. Los círculos en el centro de Europa son un indicio de ello, aunque pruebas definitivas con descripciones detalladas evidentamente faltan.

En cualquier caso es bonito ver como estos objetos - los círculos, los sombreros dorados, el disco de Nebra - nos marcan el inicio en la línea del desarrollo del conocimiento astronómico. La historia está viva en nosotros mismos y esos objetos son en definitiva un instrumento para conocernos mejor y aprender a valorar nuestro pasado.

Desastre con el LaTeX

El servidor de LaTeX de www.forkosh.dreamhost.com impide el uso de LaTeX enlazando desde fuera:



En este blog he escrito muchas entradas haciendo uso de este servidor, por lo que ahora va a haber muchas que quedan illegibles, sin las fórmulas correspondientes. Una solución es pasar todo el blog a wordpress.com, que tiene servidor con LaTeX propio. Antes de tomar tal drástica medida voy a empezar a hacer uso externo de www.codecogs.com:



E iré corrigiendo las entradas antiguas. Esta es una medida que vuelve a ser una trampa en definitiva, por lo que quizás no está de más pensar seriamente en el traslado a wordpress.com. Un fastidio.

El coche y el garaje

La clásica paradoja del coche y el garaje, conocida en inglés como "the barn and the pole" o similares, es explicada muchas veces con diagramas espacio-temporales. Aquí una explicación con números, que pretende ser lo más sencilla posible.

Tenemos un coche de longitud (en las unidades que sea) y un garaje de longitud . El garaje tiene una puerta de entrada a su principio (en y a su final una puerta de salida (en ). El coche se mueve a velocidad relativista con en hacia el garaje. Esto corresponde con una velocidad y es elegida así para simplificar luego los cálculos.

Desde el punto de vista del garaje

La situación es simple. La longitud del coche medida en el sistema de referencia estacionario con el garaje es:



Esta es la contracción de Lorentz. Por tanto, desde el punto de vista del garaje, el coche va a caber dentro del garaje. Para comprobar la veracidad de la contracción de Lorentz, alguien dedice capturar el coche de la siguiente forma.

Las puertas del garaje quedan ambas abiertas hasta que el coche está dentro. En el momento en el que el coche queda dentro, ambas puertas se cierran sólo un instante y luego se vuelven a abrir. La puerta de salida se cierra cuando la parte trasera del coche llega a y la puerta de entrara se cierra cuando la parte trasera del coche sobrepasa .

Inmediatamente después que se dan estas condiciones, ambas puertas se abren otra vez. El coche, sin cambiar en ningún momento su velocidad, queda capturado un instante en el garaje y luego sigue, pasando de largo hacia mayores de .

Desde el punto de vista del coche

La longitud del garaje medida en el sistema de referencia comóvil con el coche es:



Aparentemente el garaje es demasiado pequeño para que quepa el coche, pero ahora veremos que la relatividad de la simultaneidad sale al rescate. Supongamos que el coche entra en el garaje.

Sea el intervalo de tiempo entre los eventos (A) llegada de la parte frontal del coche a la pared final del garaje y (B) llegada de la parte trasera del coche a la puerta de entrada al garaje.

Medido en el sistema de referencia estacionario respecto del garaje estos dos eventos A y B son simultaneos . Medidos en el sistema de referencia comóvil con el coche:



Esta es la transformación de coordenadas de acuerdo con las transformaciones de Lorentz. Prima son cantidades en el sistema del coche y sin-prima en el sistema del garaje.

es la separación espacial entre ambos eventos A y B, medida en el sistema del garaje, es decir, la longitud del coche medida en el sistema del garaje: . El intervalo corresponde con la separación temporal entre los eventos, medido en el sistema del garaje, que vimos que es cero. Por tanto:



Esto significa que los eventos A y B no son simultaneos en el sistema comóvil con el coche. Cuando la parte frontal del coche llega al final del garaje (evento A) y la puerta de salida se cierra, el observador en el sistema comóvil con el coche ve que hay tiempo todavía hasta que la puerta de entrada se cierre. Si durante ese tiempo la parte trasera del coche se mueve con velocidad , el coche podrá meter todavía una longitud



dentro del garaje. Como la longitud del garaje es medido desde el coche, y el coche mide medido en el coche, ocurre que una vez el coche dentro del garaje quedan de coche fuera (todo esto medido en el coche). Precisamente estos que quedan fuera pueden ser metidos aún debido a que el cierre de puertas no es simultaneo.

El Cosmos y el misterio

El Cosmos es todo lo que es o lo que podrá ser. Nuestras más ligeras contemplaciones del cosmos nos hacen estremecer - sentimos como un cosquilleo nos llena los nervios, una voz muda, una ligera sensación como en un recuerdo lejano o como si cayéramos desde la altura. Sabemos que nos aproximamos al más grande de los misterios. Cosmos. Carl Sagan.

El día 13 de diciembre de 1985 recibí como regalo el libro Cosmos de Carl Sagan. Recuerdo el día y recuerdo la magnífica sensación al leerlo, entendiendo poco, pero maravillado con las palabras de Sagan y las fotos y dibujos en el libro. Desde entonces habre leído pasajes en él hasta mil veces, y siempre me vuelve a gustar. Cosmos es sin duda el libro entre libros para toda una generación de amantes del universo que ha determinado el destino de aficciones y profesiones de muchos.

La física es bella por la relación con las matemáticas, y es bella por la sencillez de sus principios. Pero exste otro tipo de belleza más profunda, no intelectual. Es lo que nos hace sentir esa voz muda o el nudo en el estómago cada vez que admiramos cómo el universo oculta y codifica sus secretos más valiosos en un lenguaje que empezamos a entender. En esta época tendemos a valorar quizás excesivamente lo que sabemos, y queremos encontrar rápidamente explicaciones completas y unificadoras, cuando lo más humano en la física es precisamente el misterio de lo desconocido. La capacidad de formular rigurosamente preguntas adecuadas que son actuales tras una y otra generación, y sobre las cuales encontramos atisbos de respuestas.

Precisamente eso, el misterio de un universo increible, es lo que más me atrae de ella. Muchos científicos han intentado transmitir esta sensación, como Albert Einstein por ejemplo en EL SENTIMIENTO CÓSMICO RELIGIOSO, o ver la bonita entrada: Einstein y belleza en el blog de José Ignacio Latorre. Pero ha sido Carl Sagan el que ha sabido plasmar esto como ningún otro para la generación que ha tenido la suerte de verle en la televisión y leerle luego. Cuanto más sabemos sobre el universo, más podemos maravillarnos y sorprendernos de su naturaleza. Parafraseando a John Archibald Wheeler en una metáfora que proviene de Huxley:

We live on an island surrounded by a sea of ignorance. As our island of knowledge grows, so does the shore of our ignorance.

Qué bello es estar en la orilla y mirar hacia el horizonte.


Carl Sagan