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En este artículo vamos a ver la diferencia ente la dilatación temporal en un espacio-tiempo de Schwarzschild y en uno cosmológico. En ambos calcularemos la dilatación temporal para dos observadores estacionarios que (i) intercambian rayos de luz y que (ii) leen relojes.
La dilatación temporal es la relación entre tiempos propios 
para dos observadores diferentes en el espacio-tiempo.
Dilatación temporal en el espacio-tiempo de Schwarzschild
Partamos del elemento de línea del cual no nos interesan las coordenadas angulares
 \, dt^2 + (1 - 2m/r)^{-1} \, dr^2)
Una señal luminosa sigue una geodésica nula
 \, dt^2 + (1 - 2m/r)^{-1} \, dr^2)
Consideremos dos observadores estacionarios en sistema coordenado en el cual el elemento de línea tiene tal forma. El primero en una posición 
y el segundo en 
. El primer observador lanza un rayo de luz hacia el segundo. Este rayo de luz es emitido en 
y recibido en 
.
} = \int^{t_2}_{t_1} dt)
Luego, el primer observador lanza otro rayo de luz hacia el segundo. Este rayo es emitido en 
y recibido en 
. La distancia recorrida por la luz es
} = \int^{t_2 + d t_2 }_{ t_1 + d t_1 } dt)
El término de la izquierda es igual en ambos casos, al estar ambos observadores estacionarios. Por tanto
Separando en tramos de integración adecuadamente resulta en
Si el segundo rayo de luz fue emitido infinitesimalmente después del primero entonces
y
Es la dilatación temporal como relación diferencia entre los tiempos coordenados. La dilatación temporal se mide no obstante en tiempos propios. Para obtenerla debemos encontrar la relación entre tiempo coordenado y tiempo propio. Como ambos observadores son estacionarios 
y
Por tanto
¿Qué ocurre ahora si ambos observadores quieren leer relojes calibrados igualmente? Esto sólo es posible en el mismo punto espacial, ya que de otra forma o bien hay que usar señales para comunicar el resultado o bien hay que transportar los relojes. En el espacio-tiempo de Schwarzschild dos observadores en el mismo punto espacial en dos épocas diferentes tienen el mismo intervalo de tiempo propio 
al ser 
y el tiempo coordenado cubre todo el espacio-tiempo y es común a ellos.
Es decir, supongamos un observador que calibro su reloj para que avance de acuerdo a una determinada definición de segundo. Lo deja en el mismo lugar espacial y tras cierto tiempo otro observador observa su avance temporal. Asumiendo la misma definición invariante de segundo, este observador lo va a ver avanzar igual que un reloj que haya construido él mismo de acuerdo con tal definición.
Dilatación temporal en el espacio-tiempo cosmológico
Partamos del elemento de línea del cual no nos interesan las coordenadas angulares
Una señal luminosa sigue una geodésica nula
Consideremos dos observadores estacionarios en sistema coordenado en el cual el elemento de línea tiene tal forma. El primero en una posición y el segundo en . El primer observador lanza un rayo de luz hacia el segundo. Este rayo de luz es emitido en y recibido en .
Luego, el primer observador lanza otro rayo de luz hacia el segundo. Este rayo es emitido en y recibido en . La distancia recorrida por la luz es
El término de la izquierda es igual en ambos casos, al estar ambos observadores estacionarios. Por tanto
Separando en tramos de integración adecuadamente resulta en
Si el segundo rayo de luz fue emitido infinitesimalmente después del primero entonces
y
Es la dilatación temporal como relación diferencia entre los tiempos coordenados. La dilatación temporal se mide no obstante en tiempos propios. Para obtenerla debemos encontrar la relación entre tiempo coordenado y tiempo propio. Como ambos observadores son estacionarios dr = 0 y
Por tanto
¿Qué ocurre ahora si ambos observadores quieren leer relojes calibrados igualmente? Esto sólo es posible en el mismo punto espacial, ya que de otra forma o bien hay que usar señales para comunicar el resultado o bien hay que transportar los relojes. En el espacio-tiempo cosmológico dos observadores en el mismo punto espacial en dos épocas diferentes tienen el mismo intervalo de tiempo propio al cubrir el tiempo coordenado todo el espacio-tiempo y ser común a ellos.
Igual que en el caso anterior, supongamos un observador que calibro su reloj para que avance de acuerdo a una determinada definición de segundo. Lo deja en el mismo lugar espacial y tras cierto tiempo (cosmológicamente hablando) otro observador observa su avance temporal. Asumiendo la misma definición invariante de segundo, este observador lo va a ver avanzar igual que un reloj que haya construido él mismo de acuerdo con tal definición.
Conclusión
Pese a las diferencias entre ambas métricas se puede llegar a una conclusión simple. Tanto para el espacio-tiempo de Schwarzschild como para el cosmológico no hay diferencia en los intervalos de tiempos propios para observadores en el mismo punto espacial pero épocas diferentes. No obstante, tan pronto como el observador se encuentra a cierta distancia y usa señales luminosas para describir eventos, entonces aparece la dilatación temporal en ambos espacio-tiempos.
Referencias
En relación con este tema hay otro artículo interesante en este blog:
Hace unos días he visto un documental donde el arqueólogo Lionel Sims presentaba su sorprendente teoría sobre el orígen y sentido de Stonehenge. Según Sims, la función central de Stonehenge vino determinada por la transición entre el culto a la luna y el culto al sol. Antes del culto al sol y las estaciones se adoraba la luna, y antes de ser agricultores sedentarios los humanos fuimos cazadores y recolectores. La luna determinaba las noches propicias para la caza, y la luna influía también la menstruación de las mujeres en pequeños grupos tribales, guiando la vida en los aspectos más importantes de abastecimiento y reproducción. Stonehenge fue construido cuando la humanidad estaba en transición. Por un lado aparece una necesidad de predecir condiciones climatológicas estacionales por medio de los periodos solares, determinantes para la siembra, etc. Por otro lado, no obstante, Sims va más allá y postula que Stonehenge fue construido con la intención de mostrar que el sol se comportaba igual que la luna y la seguía en su trayectoria celeste. Es decir, la función de Stonehenge fue mostrar que la nueva divinidad solar estaba subyugada o jerárquicamente por debajo de la divinidad lunar anterior. Su tesis la presenta Sims con detalle (demasiado detalle para legos como yo) en el siguiente artículo:
The ‘Solarization’ of the Moon: Manipulated Knowledge at Stonehenge
www.radicalanthropologygroup.org/pub_sims_solar_moon.pdf
Stonehenge, ¿una manifestación de la añoranza por un pasado mejor?
Aquí hay un interesante aspecto de manipulación de información por medio de una clase dominante que tenía el conocimiento y quería presentarlo de cierta manera para convencer y llevar al resto hacia una determinada forma de entender el mundo. Algo que se ha repetido a lo largo de toda la historia de la humanidad, pero que no es lo que me atrae en la idea de Sims. Lo interesante para mí es la añoranza por una época pasada más unida con la naturaleza. Una añoranza necesariamente presente entonces si se ha de creer a Sims, y que impulsó a la construcción del Stonehenge como mecanismo para aplacarla o encauzarla correctamente. Mostar la nueva relación entre sol y luna fue requerida para convencer a una nueva sociedad sedentaria, añorante del pasado más libre y sencillo de cazadores y recolectores, y forzada a la transición probablemente por unas nuevas condiciones climáticas que cambiaron ostensiblemente el entorno entonces propicio para la caza.
En este sentido es curioso notar las analogías que se presentan con la transición de la vida de agricultura sedentaria a la vida de la ciudad. Ahí no encontramos un Stonehenge como monumento a un pasado, sino sobre todo una monumental collección de obras de arte, presentes especialmente en el romanticismo europeo de los siglos XVIII y XIX, con intención de mostrar o recordar la naturaleza como lo verdadero y fundamental frente a la civilización.
El romanticismo y la vuelta a la naturaleza
Una figura especialmente interesante desde este punto de vista es el americano John Muir, el cual ya he mencionado una vez en este blog: Un paseo por el bosque - Homenaje a John Muir. No es su intención la de llevarnos a todos otra vez al campo, sino la de mostrarnos la importancia de la naturaleza y especialmente hacer crecer en nosotros el respeto hacia ella. Un respeto casi místico, pero muy concreto y bello. De ahí a las estrellas sólo hay un paso, pequeño para cualquier hombre, pero fundamental para la humanidad.
Los problemas con los torques inesperados en los giroscopios de la Gravity Probe B que hemos mencionado recientemente aquí requieren un análisis más detallado de los datos para llegar a resultados científicos definitivos. Esto ha llevado a la petición de una extensión en los fondos para la misión de 3.8 millones de dolares hasta 2010, cosa que ha sido rechazada por la NASA:
http://einstein.stanford.edu/highlights/status1.html
El equipo de la GP-B se enfrenta con esto a un inesperado rechazo para concluir el trabajo empezado. La negativa a proporciona los fondos parece estar relacionada con una reestructuración en la NASA que la ha dejado sin un departamento dedicado exclusivamente a proyectos de física fundamental. Por otro lado quizás también con el poco tirón popular de misiones como esta frente a otras como el Hubble, etc. y quizás también el hecho que los resultados preliminares no presenten excesivas sorpresas al presentar un resultado acorde con la relatividad general.
En cualquier caso, desde el punto de vista meramente científico, e independientemente de los costes o la relación resultados / coste de esta misión, estamos aquí frente a una mala noticia para lograr o finalizar un sólido paso adelante en la comprensión de la gravitación.
In March 2008 at NASA's invitation, we submitted a proposal to the Science Mission Directorate, Astrophysics Division Senior Review of Operating Missions (Sr. Review), requesting a final 18-month (October 2008 through March 2010), $3.8M extension of GP-B to complete the data analysis and publish the results. In April, as part of the Sr. Review process, GP-B Principal Investigator, Francis Everitt, and Program Manager, William Bencze, made a presentation to the Sr. Review Committee at NASA Headquarters, where it appeared to have been favorably received.
Thus, we were greatly surprised last week to discover that the Sr. Review had recommended that NASA not grant our final funding extension,...
El 3 de junio va a ser lanzado el muy esperado GLAST (Gamma-ray Large Area Space Telescope) desde Cabo Cañaveral. El lanzamiento depende del éxito del lanzamiento del Discovery el día 31 de mayo, y será retrasado si éste también se retrasa.
El GLAST es uno de los proyectos científicos más importantes que se incian este año junto con el LHC y el Planck:
http://glast.gsfc.nasa.gov/
Sus objetivos científicos:
* Explore the most extreme environments in the Universe, where nature harnesses energies far beyond anything possible on Earth.
* Search for signs of new laws of physics and what composes the mysterious Dark Matter.
* Explain how black holes accelerate immense jets of material to nearly light speed.
* Help crack the mysteries of the stupendously powerful explosions known as gamma-ray bursts.
* Answer long-standing questions across a broad range of topics, including solar flares, pulsars and the origin of cosmic rays.
Los primeros resultados estarán disponibles probablemente dentro de un año.
Para cuantizar la relatividad general hay históricamente dos formas de proceder, ambas aparentemente con orígen en artículos de Bryce DeWitt.
La gravedad cuántica covariante
Una es considerar la métrica k como un campo tensorial, análogamente al resto de los campos de la teoría cuántica de campos. En tal caso existe un espacio-tiempo de fondo plano que determina la causalidad con su métrica n. El campo métrico en cuestión son perturbaciones del espacio-tiempo de fondo en el límite de campos débiles de forma que se tiene una modificación ligera de él g = n + k.
A partir de aquí, y manteniendose fieles a la covarianza de la teoría y el tratamiento homogeneo de espacio y tiempo, se puede pasar a cuantizar haciendo uso de la integral de caminos de Feyman con el Lagrangiano de Einstein-Hilbert para k, y procediendo con los métodos usuales usados en las teorías de gauge (Faddeev-Popov ghosts, etc.). La simetría de gauge aquí son los difeomorfismos espacio-temporales de la métrica k. Esta forma de proceder da lugar a una teoría cuántica de campos del gravitón y se conoce como gravedad cuántica covariante.
El principal problema es que todo indica que tal teoría no es renormalizable. Conceptualmente, además, esta teoría no es una teoría del espacio-tiempo ya que no explica el orígen de la parte n de g pese a ser de la misma naturaleza que k. Esto significa que la teoría no es independiente del fondo.
La gravedad cuántica canónica
Otra forma es partir del formalismo hamiltoniano de la relatividad general y considerar como variables dinámicas la métrica espacial h (tridimensional) y su momento conjugado p para un espacio-tiempo general cualquiera (aunque globalmente hiperbólico y causalmente bien definido). Las ecuaciones de Einstein derivadas de acción de Einstein-Hilbert para g quedan reformuladas en unas ecuaciones de movimiento para h y p seleccionando un eje temporal para describir su evolución.
Para establecer una teoría cuántica se procede entonces a imponer las relaciones de conmutación instantaneas (para un valor del tiempo) para h y p. Los difeomorfismos espacio-temporales de la métrica g quedan naturalmente separados en difeomorfismos temporales (o reparametrizaciones temporales) y difeomorfismos espaciales. Se puede mostrar que el Hamiltoniano de una teoría temporalmente reparametrizable es idénticamente nulo, por lo que las ecuaciones de movimiento hamiltonianas resultantes sufren del problema del tiempo.
Es esta segunda forma de proceder la que se asume que es más fundamental que la primera debido al problema de la dependencia del fondo en la primera forma de proceder. Es también esta forma de proceder la que sirve de inspiración a la gravedad cuántica canónica basada en la representación de lazos (gravedad cuántica de lazos o LQG) y, según me consta a mí, de la que se cree que en el límite apropiado debería poder derivarse una teoría cuántica de campos del gravitón consistente.
Una introducción al tema tomando como analogía el campo electromagnético es dada aquí:
