The last monolith: Dilatación temporal gravitatoria

En este artículo vamos a ver la diferencia ente la dilatación temporal en un espacio-tiempo de Schwarzschild y en uno cosmológico. En ambos calcularemos la dilatación temporal para dos observadores estacionarios que (i) intercambian rayos de luz y que (ii) leen relojes.

La dilatación temporal es la relación entre tiempos propios $\tau$ para dos observadores diferentes en el espacio-tiempo.

Dilatación temporal en el espacio-tiempo de Schwarzschild

Partamos del elemento de línea del cual no nos interesan las coordenadas angulares

$ds^2 = - (1 - 2m/r) \, dt^2 + (1 - 2m/r)^{-1} \, dr^2$

Una señal luminosa sigue una geodésica nula

$0 = - (1 - 2m/r) \, dt^2 + (1 - 2m/r)^{-1} \, dr^2$

Consideremos dos observadores estacionarios en sistema coordenado en el cual el elemento de línea tiene tal forma. El primero en una posición $r_1$ y el segundo en $r_2$ . El primer observador lanza un rayo de luz hacia el segundo. Este rayo de luz es emitido en $t_1$ y recibido en $t_2$ .

$\displaystyle \int^{r_2}_{r_1} \frac{dr}{(1 - 2m/r)} = \int^{t_2}_{t_1} dt$

Luego, el primer observador lanza otro rayo de luz hacia el segundo. Este rayo es emitido en $t_1 + d t_1$ y recibido en $t_2 + d t_2$ . La distancia recorrida por la luz es

$\displaystyle \int^{r_2}_{r_1} \frac{dr}{(1 - 2m/r)} = \int^{t_2 + d t_2 }_{ t_1 + d t_1 } dt$

El término de la izquierda es igual en ambos casos, al estar ambos observadores estacionarios. Por tanto

$\displaystyle \int^{t_2 + d t_2 }_{ t_1 + d t_1 } dt = \int^{t_2}_{t_1} dt$

Separando en tramos de integración adecuadamente resulta en

$\displaystyle \int^{t_2 + d t_2 }_{ t_2} dt = \int^{t_1 + d t_1 }_{ t_1} dt$

Si el segundo rayo de luz fue emitido infinitesimalmente después del primero entonces

$d t_2 = d t_1$

y

$\displaystyle \frac{d t_2}{d t_1} = 1$

Es la dilatación temporal como relación diferencia entre los tiempos coordenados. La dilatación temporal se mide no obstante en tiempos propios. Para obtenerla debemos encontrar la relación entre tiempo coordenado y tiempo propio. Como ambos observadores son estacionarios $dr = 0$ y

$d\tau_i = \sqrt{1 - 2m/r_i} \, dt_i$

Por tanto

$\displaystyle \frac{d\tau_1}{d\tau_2} = \frac{\sqrt{1 - 2m/r_2}}{\sqrt{1 - 2m/r_1}}$

¿Qué ocurre ahora si ambos observadores quieren leer relojes calibrados igualmente? Esto sólo es posible en el mismo punto espacial, ya que de otra forma o bien hay que usar señales para comunicar el resultado o bien hay que transportar los relojes. En el espacio-tiempo de Schwarzschild dos observadores en el mismo punto espacial en dos épocas diferentes tienen el mismo intervalo de tiempo propio $d\tau_1 = d\tau_2$ al ser $r_1 = r_2$ y el tiempo coordenado cubre todo el espacio-tiempo y es común a ellos.

Es decir, supongamos un observador que calibro su reloj para que avance de acuerdo a una determinada definición de segundo. Lo deja en el mismo lugar espacial y tras cierto tiempo otro observador observa su avance temporal. Asumiendo la misma definición invariante de segundo, este observador lo va a ver avanzar igual que un reloj que haya construido él mismo de acuerdo con tal definición.

Dilatación temporal en el espacio-tiempo cosmológico

Partamos del elemento de línea del cual no nos interesan las coordenadas angulares

$ds^2 = - dt^2 + a^2 \, dr^2$

Una señal luminosa sigue una geodésica nula

$0 = - dt^2 +a^2 \, dr^2$

Consideremos dos observadores estacionarios en sistema coordenado en el cual el elemento de línea tiene tal forma. El primero en una posición $r_1$ y el segundo en $r_2$ . El primer observador lanza un rayo de luz hacia el segundo. Este rayo de luz es emitido en $t_1$ y recibido en $t_2$ .

$\displaystyle \int^{r_2}_{r_1} dr = \int^{t_2}_{t_1} \frac{dt}{a}$

Luego, el primer observador lanza otro rayo de luz hacia el segundo. Este rayo es emitido en $t_1 + d t_1$ y recibido en $t_2 + d t_2$ . La distancia recorrida por la luz es

$\displaystyle \int^{r_2}_{r_1} dr = \int^{t_2 + d t_2 }_{ t_1 + d t_1 } \frac{dt}{a}$

El término de la izquierda es igual en ambos casos, al estar ambos observadores estacionarios. Por tanto

$\displaystyle \int^{t_2 + d t_2 }_{ t_1 + d t_1 } \frac{dt}{a} = \int^{t_2}_{t_1} \frac{dt}{a}$

Separando en tramos de integración adecuadamente resulta en

$\displaystyle \int^{t_2 + d t_2 }_{ t_2} \frac{dt}{a} = \int^{t_1 + d t_1 }_{ t_1} \frac{dt}{a}$

Si el segundo rayo de luz fue emitido infinitesimalmente después del primero entonces

$\frac{d t_2}{a_2} = \frac{d t_1}{a_1}$

y

$\displaystyle \frac{d t_2}{d t_1} = \frac{a_1}{a_2}$

Es la dilatación temporal como relación diferencia entre los tiempos coordenados. La dilatación temporal se mide no obstante en tiempos propios. Para obtenerla debemos encontrar la relación entre tiempo coordenado y tiempo propio. Como ambos observadores son estacionarios dr = 0 y

$d\tau_i = dt_i$

Por tanto

$\displaystyle \frac{d \tau_2}{d \tau_1} = \frac{a_1}{a_2}$

¿Qué ocurre ahora si ambos observadores quieren leer relojes calibrados igualmente? Esto sólo es posible en el mismo punto espacial, ya que de otra forma o bien hay que usar señales para comunicar el resultado o bien hay que transportar los relojes. En el espacio-tiempo cosmológico dos observadores en el mismo punto espacial en dos épocas diferentes tienen el mismo intervalo de tiempo propio $d\tau_1 = d\tau_2$ al cubrir el tiempo coordenado todo el espacio-tiempo y ser común a ellos.

Igual que en el caso anterior, supongamos un observador que calibro su reloj para que avance de acuerdo a una determinada definición de segundo. Lo deja en el mismo lugar espacial y tras cierto tiempo (cosmológicamente hablando) otro observador observa su avance temporal. Asumiendo la misma definición invariante de segundo, este observador lo va a ver avanzar igual que un reloj que haya construido él mismo de acuerdo con tal definición.

Conclusión

Pese a las diferencias entre ambas métricas se puede llegar a una conclusión simple. Tanto para el espacio-tiempo de Schwarzschild como para el cosmológico no hay diferencia en los intervalos de tiempos propios para observadores en el mismo punto espacial pero épocas diferentes. No obstante, tan pronto como el observador se encuentra a cierta distancia y usa señales luminosas para describir eventos, entonces aparece la dilatación temporal en ambos espacio-tiempos.

Referencias

En relación con este tema hay otro artículo interesante en este blog:

El desplazamiento al rojo cosmológico como resultado de la curvatura del espacio-tiempo

2 comentarios:

Anónimo dijo...: ¿Has hecho cálculos en coordenadas esféricas?.

Al variar la coordenada radial según sus distintas orientaciones, para observadores lejanos, esto crea una diferencia en distribución espaciotemporal de los sucesos observados, desde la lejanía con respecto al observador local.

¿No habtía que tener en cuenta la redistribución en su orientación espacial y simultaneidad, de los sucesos al observarlos desde la inmensa lejanía.; viernes, septiembre 11, 2009 7:58:00 p. m.
alshain dijo...: Las coordenadas usadas son esféricas, es la forma usual de la métrica de Schwarzschild y la cosmológica. Lo que ocurre es que no nos interesan las coordenadas angulares porque simplificamos el problema al considerar sólo rayos de luz radiales - las conclusiones son igual de válidas. El resto de tu comentario no lo entiendo, lo siento.

Un saludo.; domingo, septiembre 13, 2009 9:59:00 p. m.