La gravedad cuántica covariante
Una es considerar la métrica k como un campo tensorial, análogamente al resto de los campos de la teoría cuántica de campos. En tal caso existe un espacio-tiempo de fondo plano que determina la causalidad con su métrica n. El campo métrico en cuestión son perturbaciones del espacio-tiempo de fondo en el límite de campos débiles de forma que se tiene una modificación ligera de él g = n + k.
A partir de aquí, y manteniendose fieles a la covarianza de la teoría y el tratamiento homogeneo de espacio y tiempo, se puede pasar a cuantizar haciendo uso de la integral de caminos de Feyman con el Lagrangiano de Einstein-Hilbert para k, y procediendo con los métodos usuales usados en las teorías de gauge (Faddeev-Popov ghosts, etc.). La simetría de gauge aquí son los difeomorfismos espacio-temporales de la métrica k. Esta forma de proceder da lugar a una teoría cuántica de campos del gravitón y se conoce como gravedad cuántica covariante.
El principal problema es que todo indica que tal teoría no es renormalizable. Conceptualmente, además, esta teoría no es una teoría del espacio-tiempo ya que no explica el orígen de la parte n de g pese a ser de la misma naturaleza que k. Esto significa que la teoría no es independiente del fondo.
La gravedad cuántica canónica
Otra forma es partir del formalismo hamiltoniano de la relatividad general y considerar como variables dinámicas la métrica espacial h (tridimensional) y su momento conjugado p para un espacio-tiempo general cualquiera (aunque globalmente hiperbólico y causalmente bien definido). Las ecuaciones de Einstein derivadas de acción de Einstein-Hilbert para g quedan reformuladas en unas ecuaciones de movimiento para h y p seleccionando un eje temporal para describir su evolución.
Para establecer una teoría cuántica se procede entonces a imponer las relaciones de conmutación instantaneas (para un valor del tiempo) para h y p. Los difeomorfismos espacio-temporales de la métrica g quedan naturalmente separados en difeomorfismos temporales (o reparametrizaciones temporales) y difeomorfismos espaciales. Se puede mostrar que el Hamiltoniano de una teoría temporalmente reparametrizable es idénticamente nulo, por lo que las ecuaciones de movimiento hamiltonianas resultantes sufren del problema del tiempo.
Es esta segunda forma de proceder la que se asume que es más fundamental que la primera debido al problema de la dependencia del fondo en la primera forma de proceder. Es también esta forma de proceder la que sirve de inspiración a la gravedad cuántica canónica basada en la representación de lazos (gravedad cuántica de lazos o LQG) y, según me consta a mí, de la que se cree que en el límite apropiado debería poder derivarse una teoría cuántica de campos del gravitón consistente.
Una introducción al tema tomando como analogía el campo electromagnético es dada aquí:
- The quantization of gravity - an introduction, David Wallace.
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