La evolución de la curvatura del espacio en los modelos FRW

¿Cómo evoluciona la curvatura del espacio en la cosmología estándar basada en los modelos homogeneos e isótropos de Friedmann-Robertson-Walker? Esta es una pregunta interesante, que se puede responder con matemáticas sencillas. La primera ecuación de Friedmann sin constante cosmológica:



se puede reformular como



es decir





con un valor siempre positivo que es la relación entre la densidad y la densidad crítica necesaria para hacer el espacio plano. Si la densidad es menor que la crítica es menor que uno y el espacio es abierto. Si la densidad es mayor que la crítica es mayor que uno y el espacio es cerrado.

Para un modelo con materia por lo que



Si el espacio es cerrado y a medida que el factor de escala aumenta aumenta también (sólo tiene sentido físico la rama con positivo).

Si el espacio es abierto y a medida que el factor de escala aumenta disminuye (igualmente sólo tiene sentido físico la rama con positivo).



Para un modelo con radiación se puede mostrar lo mismo. Un modelo con constante cosmológica puede modelarse como , por lo que



e independiéntemente de el valor de tiende a uno (igualmente sólo tiene sentido físico la rama con positivo):



En definitiva, todo modelo que tiene constante cosmológica o energía oscura tiende a convertirse en plano. Todo modelo con materia o radiación tiende a hacerse más abierto o más cerrado. Modelos mezclados evolucionan haciéndose más abiertos o cerrados mientras domina la radiación o la materia, pero en esos modelos la energía oscura acaba tarde o temprano por dominar y empiezan a convertirse poco a poco en planos.

Finalmente, si el universo es exáctamente plano se queda plano siempre independiéntemente del contenido que tenga: