Simultaneidad y convencionalismo (II)

Continuación de la primera parte.

En este segundo artículo sobre la convencionalidad de la simutaneidad vamos a mencionar la teoría de Scott-Iversen, por el interés que presenta como modelo basado en una sincronización o simultaneidad alternativa. Este desarrollo sigue el capítulo 9 del magnífico libro de Max Jammer [1].

Simultaneidad de Reichenbach y velocidad anisótropa de la luz

Volvamos primero con la simultaneidad no estándar de Hans Reichenbach. Recordemos que el valor del tiempo que determina que el evento de reflexión de un rayo de luz es simultaneo, puede tomarse como:



para un valor de entre cero y uno. Recordemos la representación gráfica:



La simultaneidad de Einstein consiste en tomar

Como se podría haber intuido de la primera parte la simutaneidad no estándar de Reichenbach es equivalente a asumir una velocidad de la luz no isótropa, es decir, una velocidad de la luz diferente en la ida desde O hasta A, que en la vuelta desde A hasta O. Veámos esto con algo de detalle. La velocidad de la luz desde O hasta A es:



Recordemos que es el punto de sincronización convencionalmente determinado según el criterio de Reichenbach (donde la línea de puntos corta a la vertical desde O). Medida en O, la velocidad desde A hasta O es:



Además, sabemos que la velocidad de ida y vuelta ha de ser c, ya que esto ha sido experimentalmente probado infinidad de veces. Por tanto:



De estas relaciones se obtiene inmediatamente:





Esto es, una velocidad de la luz anisótropa dependiendo de la dirección del espacio considerada.

La teoría de Scott-Iversen

La teoría de Scott-Iversen consiste en asumir que la velocidad de la luz es igual a:



con dependiente de la velocidad del sistema inercial. Esto significa que la velocidad de la luz va a depender del sistema inercial en el que estudiemos (su velocidad respecto de nosotros) y de la dirección de propagación de la luz que consideremos ().

La teoría de Scott-Iversen es equivalente a una simutaneidad no estándar de Reichenbach si se asume:



Con esta relación se pueden verificar fácilmente que se obtienen las dos velocidades y . Si , entonces , y si , entonces .

Pues bien, ahora vamos a considerar un experimento mental. Este nos va a mostrar que en la teoría de Scott-Iversen la simultaneidad distante es un concepto absoluto, al contrario que en la relatividad especial, donde es relativo. El experimento servirá para ilustrar, aunque no para probar, que la teoría de Scott-Iversen elimina la relatividad de la simultaneidad distante, la relatividad de longitudes y masas inerciales manteniendo los mismos resultados o predicciones observables que la relatividad especial. Vayamos con ello.

Consideremos primero una barra horizontal de extremos 1 y 2 y longitud L. Otra barra horizontal paralela a la anterior, de extremos 1' y 2' y longitud L, se mueve con velocidad u desde la izquierda hacia la derecha y a partir de cierto instante empieza a pasar por encima de la primera. Primero pasa el extremo 2' por encima del extremo 1, luego el resto de la barra, hasta que el extremo 1' pasa por encima del extremo 1. En ese instante se lanza un rayo de luz desde el extremo 1 hacia el centro de la barra inferior en reposo. Estamos describiendo la situación desde el sistema en reposo, por lo que, según la relatividad especial y debido a la relatividad de longitudes la barra superior está contraida en la dirección del movimiento (contracción de Lorentz):



Cuando el extremo 2' pasa luego sobre el extremo 2, se lanza, igualmente, un rayo de luz desde el extremo 2 hacia el centro de la barra inferior en reposo. En el marco de la relatividad especial, tenemos, por tanto:





La diferencia de tiempos de llegada de ambas señales al centro de la barra inferior viene dada por el retraso en emitir la segunda señal, que es el tiempo que tarda la barra superior en recorrer la distancia d:



Ahora veamos el problema desde el punto de vista de la teoría de Scott-Iversen.

La velocidad de la señal emitida desde 1 es:



La velocidad de la señal emitida desde 2 es:



No hay contracción de longitudes por lo que la diferencia de tiempos entre ambas señales a su llegada al centro de la barra inferior (tras recorrer L/2) es:



Pues bien, si



la expresión anterior resulta en:



que es exáctamente la misma que con la relatividad especial. En su libro [1], Max Jammer afirma sobre el papel en el cual Scott-Iversen publicó su teoría (al que yo no he tenido acceso):

In his paper, Scott-Iversen also eliminated from his theory the other relativistic effects between two given inertial systems without violating the observational results of the usual theory of relativity...

y esto únicamente modificando la convención de simultaneidad. Aunque de esto no era consciente Scott-Iversen, el cual formuló su teoría reformulando la definición de la velocidad de la luz en el vacío tal y como he mostrado arriba. No obstante, como también he mostrado arriba, tal modificación y la hipótesis de propagación anisótropa, es equivalente a una simultaneidad no estándar de Reichenbach.

Referencias

[1] M. Jammer, Concepts of Simultaneity, The Johns Hokpkins University Press (2006)

Información y agujeros negros

En este artículo voy a dar una descripción en términos sencillos del significado de la pérdida de información en agujeros negros (paradoja de Hawking).

Descripción macroscópica y microscópica

Consideremos un gas en una caja. La descripción macroscópica de un sistema así nos viene dada por ciertas variables macroscópicas como su energía, su volumen, su presión, etc. Por otro lado, una descripción microscópica es una descripción del gas con todo detalle posible, conociendo el estado de cada una de las partículas que componen el gas en la caja.

Nótese que el estado de una partícula en este contexto no es su posición y su momento en un instante de tiempo, sino su función de onda en un instante de tiempo. En la física cuántica no es posible determinar posición y momento simultaneamente, por lo que debemos conformarnos con describir la partícula por medio de una función de onda. Esta función de onda es un estado de superposición sobre posiciones o momentos posibles y no es fruto de desconocimiento, sino estado real de la partícula.

Para un mismo estado macroscópico o macroestado determinado por las variables macroscópicas mencionadas existen muchas combinaciones microscópicas posibles o microestados:



Entropía e información

Una forma de entender la descripción macroscópica es considerar que conlleva necesariamente un desconocimiento del estado real del sistema, en concreto del gas. Es decir, no sabemos en qué microestado se encuentra el gas en un instante determinado de tiempo. Es por eso por lo que expresamos el macroestado como una serie de microestados posibles, cada uno con una probabilidad asociada a él. Tal probabilidad depende de la información que poseemos sobre el sistema. Una forma de medir este desconocimiento es por medio de la idea de entropía. La entropía es una medida del desorden de un sistema y, en términos de teoría de la información, representa nuestra ignorancia del estado del sistema.

Cuando el gas en la caja está homogeneamente distribuido existe la mayor cantidad de microestados correspondientes con tal estado macroscópico, y en tal caso la entropía es máxima. Si por ejemplo el gas está temporalmente en una esquina de la caja, la cantidad de microestados posibles correspondientes es menor y por tanto la entropía también menor. Intuitivamente podemos ver que en el caso homogeneo nuestro desconocimiento es máximo, ya que debemos recurrir a toda la paleta de microestados para dar una descripción estadística del sistema.

Por otro lado, un sistema microscópico, cuya evolución temporal queda descrita por las leyes de la cuántica, está en un microestado concreto. Usualmente estará en un estado concreto de superposición sobre ciertos estados básicos o preferidos posibles, de forma que cada estado posible contribuye con cierta probabilidad. No obstante, la naturaleza de estas probabilidades en los estados de superposición cuánticos no es de desconocimiento, sino diferente, y representan una descripción real del sistema. Estando el sistema en un estado concreto, nuestra certeza sobre su estado es completa y con ello su entropía es nula.

Estados puros y estados mezclados

En términos técnicos y abstrayendo un poco de la distinción entre microscópico y macroscópico se habla de estados puros y estados mezclados. Los estados puros son estados concretos. Pueden ser estados de superposición sobre varios estados básicos posibles o puede tratarse de un sólo estado básico. En cualquier caso, se trata siempre de estados determinados, cuya descripción no contiene probabilidades asociadas a incertezas. Por otro lado, los estados mezclados son estadísticos. Aquí sí aparecen probabilidades asociadas a incertezas. Un estado mezclado es una combinación de estados puros cada uno de ellos con cierta probabilidad y esto es así porque no sabemos a qué estado puro en concreto corresponde la descripción en un instante determinado de tiempo. Por ejemplo, el gas en la caja.

En definitiva, un estado puro microscópico está en un estado concreto, a diferencia de uno macroscópico y mezclado, que estadísticamente corresponde con muchos microestados. Esto hace que la entropía de un estado puro sea nula. Nuestra ignorancia sobre el sistema es igualmente nula, ya que tenemos completa certeza sobre el estado de en el que se encuentra. Nótese aquí que tal hecho depende de la definición correcta de estado: si la indeterminación entre posiciones y momentos no se considera como resultado de desconocimiento, entonces el estado queda completamente determinado por medio de su función de onda, sin incerteza alguna.

Objetividad de la descripción macroscópica

Si pasamos a un régimen microscópico de descripción, entonces tiene sentido hablar de estados concretos de cada una de las partículas del gas. Sin embargo, en tal descripción la entropía es siempre nula. Esto es así porque una partícula está siempre en un estado puro y no mezclado, y en los estados puros nuestra certeza sobre el estado es absoluta. La evolución temporal de ese sistema mantendrá siempre una entropía constante. La entropía es por tanto dependiente de la granularidad con la que describamos el sistema. Tan pronto consideramos el gas de forma macroscópica, nos enfrentamos al hecho de que nuestra certeza nunca puede ser absoluta. La entropía no es nula, y, además, nos encontramos con que el gas en la caja tiende a aumentarla. ¿Está el gas haciendo "algo físico" o estamos nosotros sólo interpretando algo debido a nuestro desconocimiento? ¿Es acaso el paso termodinámico del tiempo sólo una ilusión debido a la aparente pérdida de información a nivel macroscópico?

La literatura sobre este tema es abundante, pero personalmente no acabo de ver la razón para dudar de la objetividad de tal concepto y con ello dudar de la objetividad del paso del tiempo, o de la noción de equilibrio termodinámico, o de la objetividad de cosas como el area de un agujero negro (la entropía de un agujero negro es proporcional a su area), etc. Desde otro punto de vista nos podemos preguntar ¿está un sistema macroscópico en un microestado determinado en un instante de tiempo? La pregunta es sutil. El caso es que, desde cierto punto de vista podemos decir que no lo está, porque aquello que consideramos macroscópico es por definición insensible a la configuración exacta de un microestado concreto. Nuestra percepción de la realidad macroscópica está esencialmente determinada por la falta de información.

La evolución temporal de los estados puros

La evolución temporal de los estados puros queda determinada por unas leyes físicas deterministas. Esto significa que conocida la función de onda en un instante t1 podemos conocerla en un instante t2 > t1. Tal afirmación es equivalente a afirmar que según las leyes de la física cuántica los estados puros (las funciones de onda) evolucionan siempre a estados puros. De otra forma deberíamos introducir probabilidades de incerteza en la evolución temporal microscópica y hacerla indeterminista a tal nivel. En concreto, para un estado puro , la ecuación de Schrödinger nos dice:



La solución a esta ecuación para un hamiltoniano independiente del tiempo es:



Es decir, el estado es perféctamente determinable conocido y al revés. En definitiva, si tenemos completa certeza de , entonces la tendremos de . Pero resulta que este no es el caso con agujeros negros.

La evolución temporal de los estados mezclados

Consideremos ahora la evolución temporal del gas en la caja, desde un estado inicial, con dos partes separadas una a mayor temperatura que otra, hasta un estado final, donde ambas partes están en mezcla en equilibrio a una misma temperatura. El estado final es un estado mezclado, estadístico, de mayor entropía que el primero. Es decir, la información ha disminuído. Por contra, la masa y la energía se han conservado.

Esta información no parece posible de ser recuperada, ya que se trata de un proceso irreversible. El demonio de Maxwell es ese supuesto ente capaz de separar otra vez la mezcla en su estado original, violando con ello la segunda ley de la termodinámica. No parece que tal ente sea algo que pueda existir físicamente. Por otro lado, esta información de la que hablamos aquí tiene un sentido físico muy concreto, especialmente en el marco de este experimento mental, como pone de manifiesto la idea de máquina de Szilard. Es intercambiable con atributos físicos muy concretos.

La paradoja de la pérdida de información en agujeros negros

Los agujeros negros son entidades curiosas porque su descripción completa no está dada en términos de la física establecida. Sabemos que en su centro existe una singularidad, en la cual las leyes de la física microscópica fracasan. Lo fabuloso y desconcertante de los agujeros negros es que no cumplen tal regla sobre la evolución determinista de los estados puros. Para entender esto imaginemos el siguiente experimento mental.

Primero, un sistema cuántico en un estado puro descrito por medio de la ecuación de Schrödinger, el cual introducimos en una caja de gas. La caja viene macroscópicamente descrita por medio de su energía, presión, volumen, etc. y microscópicamente por medio de un microestado determinado. Suponemos que la caja está en el vacío absoluto y que al tener una determinada temperatura radia como un cuerpo negro. En la descripción microscópica todo funciona bien: tras introducir el sistema cuántico en su estado puro, podemos estudiar su evolución temporal por medio de la ecuación de Schrödinger e incluso analizar interacciones de él, etc. La masa que la caja gana tras introducir este sistema es perdida luego en forma de radiación (recordemos que la radiación o la energía también contribuye a la masa de un sistema). La información en este caso se ha conservado, ya que tenemos una descripción microscópica de la caja que nos permite ponerla al mismo nivel descriptivo que el sistema que introducimos en ella.

Segundo, el mismo sistema cuántico en un estado puro descrito por medio de la ecuación de Schrödinger, el cual introducimos en una caja de gas. La caja viene macroscópicamente descrita por medio de su energía, presión, volumen, etc. pero microscópicamente no tiene descripción alguna. Es decir, esta es desconocida. Sólo sabemos que la caja viene unívocamente descrita por medio de sus variables macroscópicas. Suponemos que la caja está en el vacío absoluto y que al tener una determinada temperatura radia como un cuerpo negro. Tras introducir el sistema cuántico en su estado puro, no podemos estudiar su evolución temporal por medio de la ecuación de Schrödinger o analizar interacciones de él, etc. Eso es así porque no tenemos una descripción microscópica de la caja que nos permite ponerla al mismo nivel descriptivo que el sistema que introducimos en ella. La información en este caso no se ha conservado. La evolución temporal del sistema microscópico no puede ser descrita por la ecuación de Schrödinger, al pasar a formar parte de la caja la cual no tiene descripción microscópica. En concreto, la información se pierde, ya que tarde o temprano podemos considerar que nuestro sistema cuántico puro ha quedado convertido en radiación térmica que expulsa la caja. No tiene sentido considerarlo como parte de la caja misma, ya que esta sólo viene descrita sólo por sus variables macroscópicas.

Con los agujeros negros ocurre algo similar. Consideremos un sistema microscópico de masa m en un estado puro cerca de un agujero negro. El agujero tiene masa M. El sistema cae al agujero y el agujero adquiere masa M + m. Luego, el agujero radia (radiación térmica de Hawking) perdiendo masa hasta una masa M otra vez. Esto significa que lo que era inicialmente un sistema puro ha quedado convertido en radiación térmica de Hawking, que es un estado mezclado. Además, la descripción del agujero mismo es macroscópica ya que sólo queda descrito por su masa M y no es necesaria otra variable para describirlo. La información se pierde, ya que el estado final y el inicial son iguales, sólo que el sistema cuántico puro ha quedado convertido en radiación de Hawking que es un estado mezclado. La pérdida de información es irreversible aquí pero a nivel microscópico, al igual que en la evolución temporal de sistemas macroscópicos asumiendo que el demonio de Maxwell es físicamente irrelizable.



Entropía y horizontes de eventos

Pero la situación con un agujero negro es peculiar. La pérdida de información en la evolución temporal del un estado puro que cae en ellos no sólo viene determinada por nuestro desconocimiento de los grados de libertad microscópicos de la gravitación, sino del hecho de que existe un horizonte causal que nos impide ver qué ocurre al otro lado. Todo horizonte causal está relacionado con una pérdida de información ya que al otro lado la información no es accesible.

La cuestión quizás es si podemos usar horizontes violar el segundo principio de la termodinámica lanzando un sistema mezclado tras ellos. Este sistema se perderá y desaparecerá de nuestro universo, y, con ello, la entropía habrá disminuido. Esto no es posible, precisamente debido al hecho que los horizontes llevan asociados una entropía y con ello una pérdida de información. El horizonte de un agujero negro aumentará su area tras lanzar un sistema en él. Al aumentar su area aumentará su entropía de forma que el segundo principio de la termodinámica no se viola.

La entropía de los horizontes causales presenta una serie de preguntas no resueltas en la física actual como, por ejemplo cómo es posible que algo causalmente desconectado del espacio-tiempo tenga una influencia termodinámica en él, o qué sentido tiene la noción de equilibrio termodinámico en un agujero negro, etc. que vienen analizadas en varios papeles de Ted Jacobson, como On the nature of black hole entropy

Una descripción de las ideas actuales relacionadas con la entropía de los agujeros negros vendrá quizás en una entrada posterior. Algo mencioné ya aquí.

Nota sobre la definición de información

La definición mencionada de información se asocia con la entropía y por tanto con la certeza sobre el estado de un sistema. Si la certeza es absoluta, es decir, la probabilidad de que el sistema esté en un estado determinado es uno, entonces la información que tenemos sobre el sistema es máxima y la entropía es mínima. Si todos los estados posibles son equiprobables, entonces la información es mínima y la entropía máxima. También podría uno definir información (información obtenible) al revés, es decir, si la probabilidad de encontrar al sistema en un estado es uno, entonces la información que es posible sacar de él es nula. En tal caso la información obtenible sería proporcional a la entropía y crecería con el desorden y también con la cantidad de partículas, etc. Para el caso de la paradoja de la pérdida de información, cuando se dice que la información se pierde se usa la primera definición. Si se usase por ejemplo la segunda habría que decir que la información aumenta. Como sólo hemos cambiado la definición no deberíamos con ello resolver paradoja alguna: efectivamente, esto también sería una paradoja, ya que la mecánica cuántica exige la conservación de la información para la evolución temporal de estados cuánticos (puros).



Un par de referencias

• George Wing & Poincaré recurrences
• Entropy and Information
• Thermodynamics & Statistical Mechanics: An intermediate level course
• Black Hole Information Paradox
• Time

Ab aeterno, ab absurdo

My typing of this paper is simultaneous with the whole of eternity. Again, on this view, the great fire of Rome is simultaneous with the whole of eternity. Therefore, while I type these very words, Nero fiddles heartlessly on.

Sir Arthur Kenny


Robert Hubert

Simultaneidad y convencionalismo

En el siglo dieciocho Emmanuel Kant había argumentado sólidamente que el conocimiento científico debía basarse tanto en hechos y observaciones, como en conocimiento a priori, formal, en relación con la estructura conceptual que sostiene los experimentos. En la física, tiempo más tarde, y especialmente con la figura sobresaliente de Henri Poincaré y luego también Hans Reichenbach, se fue perfilando la posición filosófica de que la existencia de tales conceptos a priori es necesaria, pero no es fija, sino convencional, y depende con ello de una elección dada por conveniencia o por otro tipo de criterio.

Reichenbach y el convencionalismo

Por ejemplo, una medida de longitud se basa siempre en una unidad de medida predefinida y convencional como el metro, el kilómetro o la milla. Es una convención a priori la hipótesis de que el metro no varía con el tiempo. Si variase no tendríamos forma física de determinar su variación, ya que no tendríamos una referencia respecto de la cual medir tal variación. Otra convención es que el metro se mantiene invariante cuando es transportado. Siguiendo la argumentación de Reichenbach [1], podemos imaginar que podría haber una fuerza universal que modificase el metro dependiendo de su posición espacial. En tal caso nos sería imposible decidir si el metro cambia o no al ser transportado. En general, la noción de geometría del espacio sólo puede ser planteada de forma físicamente correcta considerando convenciones y fuerzas universales a la vez.

Por ejemplo, una geometría no euclídea, como puede ser el caso que nos presenta la relatividad general en una determinada solución a sus ecuaciones, es determinada asumiendo que el metro es invariante frente a traslaciones. En tal caso, el observador que usa un metro para medir y determinar la geometría en sus inmediaciones, constatará, por ejemplo, que el perímetro de una circunferencia no es . Por contra, podríamos asumir una geometría euclídea global que cumple siempre y considerar que es el metro de medida el que varía debido a una fuerza universal que actúa sobre él. Esta dicotomía fue uno de los hechos que llevaron a Poincaré y también a nuestro José Ortega y Gasset a mirar con recelo la relatividad general de Einstein [2].

No sólo en lo referente a la geometría y la medida espacial existen convenciones, sino también en lo referente al tiempo. Respecto del tiempo, Reichenbach identifica varias convenciones. Estas son la unidad de medida, su uniformidad, y la noción de simultaneidad para puntos o eventos espacialmente separados. Es este último concepto uno de los claves en el desarrollo de la teoría especial de la relatividad y de cuya mano daremos, en lo que sigue de este artículo y quizás otros posteriores, un paseo conceptual por algunos aspectos claves.

La decisión de usar una u otra convención dependerá básicamente de lo sencillo que nos resulte hacer física de una u otra forma. Hans Reichenbach ejemplifica esto, en su libro anteriormente mencionado, con la descripción de una cuerda que observamos siempre como recta, la cual podemos asumir naturamente recta o la cual podemos asumir naturalmente curvada en su posición de equilibrio. En el segundo caso necesitamos una fuerza que desplace a la cuerda de su posición de equilibro (la curvada) y la ponga recta tal y como la observamos. Esta fuerza deberá actuar siempre y será por tanto universal. Este ejemplo nos pone inmediatamente frente al criticismo más importante de la idea de convencionalismo: existe un claro factor epistemológico que nos lleva cuestionar el sentido de tal posición en general.

En general, por tanto, toda teoría contiene elementos convencionales, pero su modificación puede resultar en una complejidad inaceptable. Convenciones diferentes pueden dar lugar a edificios teóricos muy diferentes y extremadamente complejos con abundantes elementos inobservables en la realidad. La indentificación de los elementos convencionales en la teoría consiste en encontrar aquellos cuya modificación es indetectable experimentalmente y da lugar a mismas predicciones de una forma inmediata. En general, este puede ser un tema algo espinoso si uno considera la tesis de Duhem-Quine [3], pero este aspecto no es objeto de este artículo.

Relevancia del concepto de simultaneidad

La cuestión que nos va a ocupar aquí es una convención sobre la que existe gran debate y sobre la cual tampoco está claro en qué medida es tal o nos viene impuesta por la realidad experimental. Se trata de la noción de simultaneidad distante. Es decir, cuándo podemos decir que dos eventos ocurren al mismo tiempo para puntos espacialmente separados. La importancia del concepto de simultaneidad en la física la puso de manifiesto Albert Einstein en [4]:

Debemos tener en cuenta que todas nuestras afirrmaciones en las cuales el tiempo juega algún papel, siempre son afirrmaciones sobre eventos simultáneos. Por ejemplo, cuando digo "Ese tren llega aquí a las 7," esto significa algo así como: "El momento en que la manecilla pequeña de mi reloj marca las 7 y la llegada del tren son eventos simultáneos".

Podría parecer que todas las dificultades relacionadas con la definición del "tiempo" se superarían si en lugar de "tiempo" utilizara "la posición de la manecilla pequeña de mi reloj." De hecho, una definición de este tipo sería sudiciente en caso de que se trate de definir un tiempo exclusivamente para el lugar en el cual se encuentra el reloj; no obstante, esta definición ya no sería suficiente en cuanto se trate de relacionar cronológicamente series de eventos que ocurren en lugares diferentes, o - lo que implica lo mismo - evaluar cronológicamente eventos que ocurren en lugares distantes del reloj.

Esta cita es lo que Leopold Infeld calificaría más tarde como "la sentencia más simple que he encontrado en un papel científico" [5], cosa que nos da una idea de la genialidad de Einstein a la hora de hacer basar una nueva visión de la realidad física en una precisión o redefinición de un concepto milenario e hinchado de historia como el de simultaneidad, y en concreto la idea de simultaneidad distante. La noción de simultaneidad tiene una historia antiquísima como muestra Max Jammer en su fabuloso libro [5], desde la significación del jeroglífico egipcio , pasando por la astrología medieval, hasta la definición moderna de Einstein, y posteriores, como las de Reichenbach.

La precisión de este concepto para el caso de simultaneidad distante vale en [4] como pieza clave para poder encajar el principio de relatividad con la invarianza de la velocidad de la luz. En concreto creo que conviene mencionarlo: La relatividad especial obtenida en [4] parte de dos principios y tres definiciones. Los dos principios son el de relatividad entre sistemas inerciales y el de constancia de la velocidad de la luz para todo sistema inercial. Las tres definiciones son la de sistema inercial, como aquel sistema en el cual las leyes de Newton se aplican "bien" (véase por ejemplo esto), la de simultaneidad tal y como veremos a continuación, y la de tiempo, como el conjunto de todas las simultaneidades. Max Jammer en [5] nota que, estríctamente, hay un círculo vicioso en esto ya que la definición de sistema inercial requiere de las leyes de Newton que luego son invalidadas por la teoría resultante.

Desde entonces hay otras derivaciones de la relatividad especial, en concreto muchas que hacen uso de teoría de grupos o de la homogeneidad e isotropía del espacio y el tiempo. Muchas de ellas derivan las transformaciones de Lorentz con una velocidad invariante "c". No obstante, sólo la definición de simultaneidad posibilita establecer una relación entre esa velocidad invariante y la velocidad de la luz en el vacío. Este es sin duda un tema para ser tratado con detalle en otro artículo.

La simultaneidad según Einstein

Pero volvamos con la idea de simultaneidad en Einstein. Para entenderla conviene primero saber qué significa simultaneidad en la física newtoniana. En la física clásica de Newton la idea de simultaneidad viene determinada por la existencia de un espacio y un tiempo absolutos, que dan lugar a un pasado, presente y futuro absolutos. Esta idea nos la muestra la siguiente figura:



En la relatividad especial, por contra, la idea de futuro y pasado sólo tienen sentido en relación con un observador determinado en un punto espacio-temporal determinado, es decir, con un cono de luz y una relación causal determinada:



Esto es así ya que la conexión causal viene dada por la velocidad finita de la luz. El caso newtoniano puede asumirse como el límite del caso relativista cuando la velocidad de la luz tiende a infinito, es decir, cuando la pendiente del cono de luz tiende a los noventa grados respecto del eje temporal. Aquello que no es pasado ni futuro absoluto respecto del observador en cuestión son eventos cuya clasificación como pasado, presente o futuro necesitan de una definición de simultaneidad. La definición de simultaneidad de Einstein consiste en lo siguiente.

Considerese un observador con un reloj localizado en el orígen O de un sistema de referencia inercial. En el tiempo tE este observador emite un rayo de luz hacia el punto espacial A. En el punto espacial A existe un reloj y un espejo. El rayo de luz es instantaneamente reflejado y el tiempo en el que esto ocurre es determinado en A. El rayo de luz alcanza O en un tiempo tR. Pues bien, la convención de sincronización de Einstein para puntos espacialmente separados nos dice que el evento de reflexión del rayo de luz en el punto espacial A es simutaneo con el instante de tiempo en el punto espacial O.



La línea horizontal nos describe por tanto una línea de simultaneidad. Es importante recordar que la idea de Einstein es precisamente la contraria a la expuesta aquí: no parte del tiempo y una estructura causal de la relatividad especial para determinar la idea de simultaneidad, sino que partiendo de una definición de simultaneidad y otros postulados, llega a la formulación de la relatividad especial.

Más tarde Einstein presentó, además, otro procedimiento para determinar simultaneidad. En concreto, dado un segmento AB y un observador localizado en su punto medio M, si dos rayos de luz son emitidos desde A y desde B hacia M, y ambos rayos llegan a M al mismo tiempo, entonces la emisión de los rayos fué simutanea. Este procedimiento tiene la ventaja que no necesita de relojes. Además, el procedimiento anterior no es inmune a posibles inhomogeneidades del tiempo o variaciones de la velocidad de la luz con el tiempo, mientras que este sí lo es.



Con este procedimiento se ve claramente un aspecto importante. La definición sólo tiene sentido si la luz se mueve con igual velocidad desde A hasta M que desde B hasta M. Es decir, el comportamiento de la luz ha de ser isótropo en el espacio. No obstante, para poder probar este hecho es necesario sincronizar relojes previamente y con ello definir simultaneidad y tiempo. Estamos, aparentemente, frente a un círculo vicioso. Este círculo es evitado asumiendo que la velocidad de la luz en trayectorias no cerradas no es un dato de la experiencia, sino una convención o una estipulación. Los enunciados (a) la velocidad de la luz en el vacío a lo largo de una trayectoria cerrada es c, y (b) establecido el procedimiento de sincronización de Einstein, la velocidad de la luz a lo largo de cualquier trayectoria es c, son completamente equivalentes, es decir, (a) <-> (b) [6].

La simultaneidad no estándar de Reichenbach

La idea de simultaneidad de Einstein fue generalizada por Reichenbach por medio de su concepto de sincronización . En general, es posible decir que el evento de reflexión del rayor de luz en el punto espacial A es simultaneo con el instante de tiempo . La sincronización se Einstein se sigue con . La geometría de un escenario genérico de sincronización de Reichenbach nos la muestra la siguiente figura:



Lo que antes era una línea horizontal es ahora una línea inclinada en general, y en particular puede ser horizontal para la elección de la convención de Einstein. El parámetro debe encontrase entre cero y uno si no se quiere violar la causalidad (la señal no puede ser reflejada antes de ser emitida y tal).

Hasta aquí por hoy, para no extenderme demasiado. Para otro día detalles de la simultaneidad no estándar de Reichenbach, así como la razón del ámplio uso de la convención de Einstein, y quizás también otros aspectos...

Referencias

[1] H. Reichenbach, The philosophy of space and time, Dover (1958)
[2] J. Ortega y Gasset, Bronca en la física. Meditación de la técnica y otros ensayos, Alianza (1995)
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Duhem-Quine_thesis
[4] A. Einstein, Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento, Annalen der Physik (traducción española en http://www.fisica2005.unam.mx/)
[5] M. Jammer, Concepts of Simultaneity, The Johns Hokpkins University Press (2006)
[6] G. Rizzi, M. Luca Ruggiero, A. Serafini, Synchronization Gauges and the Principles of Special Relativity, gr-qc/0409105
[7] M. Vallisneri, Relativity and Acceleration, Università degli studi di Parma