Simultaneidad y convencionalismo

En el siglo dieciocho Emmanuel Kant había argumentado sólidamente que el conocimiento científico debía basarse tanto en hechos y observaciones, como en conocimiento a priori, formal, en relación con la estructura conceptual que sostiene los experimentos. En la física, tiempo más tarde, y especialmente con la figura sobresaliente de Henri Poincaré y luego también Hans Reichenbach, se fue perfilando la posición filosófica de que la existencia de tales conceptos a priori es necesaria, pero no es fija, sino convencional, y depende con ello de una elección dada por conveniencia o por otro tipo de criterio.

Reichenbach y el convencionalismo

Por ejemplo, una medida de longitud se basa siempre en una unidad de medida predefinida y convencional como el metro, el kilómetro o la milla. Es una convención a priori la hipótesis de que el metro no varía con el tiempo. Si variase no tendríamos forma física de determinar su variación, ya que no tendríamos una referencia respecto de la cual medir tal variación. Otra convención es que el metro se mantiene invariante cuando es transportado. Siguiendo la argumentación de Reichenbach [1], podemos imaginar que podría haber una fuerza universal que modificase el metro dependiendo de su posición espacial. En tal caso nos sería imposible decidir si el metro cambia o no al ser transportado. En general, la noción de geometría del espacio sólo puede ser planteada de forma físicamente correcta considerando convenciones y fuerzas universales a la vez.

Por ejemplo, una geometría no euclídea, como puede ser el caso que nos presenta la relatividad general en una determinada solución a sus ecuaciones, es determinada asumiendo que el metro es invariante frente a traslaciones. En tal caso, el observador que usa un metro para medir y determinar la geometría en sus inmediaciones, constatará, por ejemplo, que el perímetro de una circunferencia no es . Por contra, podríamos asumir una geometría euclídea global que cumple siempre y considerar que es el metro de medida el que varía debido a una fuerza universal que actúa sobre él. Esta dicotomía fue uno de los hechos que llevaron a Poincaré y también a nuestro José Ortega y Gasset a mirar con recelo la relatividad general de Einstein [2].

No sólo en lo referente a la geometría y la medida espacial existen convenciones, sino también en lo referente al tiempo. Respecto del tiempo, Reichenbach identifica varias convenciones. Estas son la unidad de medida, su uniformidad, y la noción de simultaneidad para puntos o eventos espacialmente separados. Es este último concepto uno de los claves en el desarrollo de la teoría especial de la relatividad y de cuya mano daremos, en lo que sigue de este artículo y quizás otros posteriores, un paseo conceptual por algunos aspectos claves.

La decisión de usar una u otra convención dependerá básicamente de lo sencillo que nos resulte hacer física de una u otra forma. Hans Reichenbach ejemplifica esto, en su libro anteriormente mencionado, con la descripción de una cuerda que observamos siempre como recta, la cual podemos asumir naturamente recta o la cual podemos asumir naturalmente curvada en su posición de equilibrio. En el segundo caso necesitamos una fuerza que desplace a la cuerda de su posición de equilibro (la curvada) y la ponga recta tal y como la observamos. Esta fuerza deberá actuar siempre y será por tanto universal. Este ejemplo nos pone inmediatamente frente al criticismo más importante de la idea de convencionalismo: existe un claro factor epistemológico que nos lleva cuestionar el sentido de tal posición en general.

En general, por tanto, toda teoría contiene elementos convencionales, pero su modificación puede resultar en una complejidad inaceptable. Convenciones diferentes pueden dar lugar a edificios teóricos muy diferentes y extremadamente complejos con abundantes elementos inobservables en la realidad. La indentificación de los elementos convencionales en la teoría consiste en encontrar aquellos cuya modificación es indetectable experimentalmente y da lugar a mismas predicciones de una forma inmediata. En general, este puede ser un tema algo espinoso si uno considera la tesis de Duhem-Quine [3], pero este aspecto no es objeto de este artículo.

Relevancia del concepto de simultaneidad

La cuestión que nos va a ocupar aquí es una convención sobre la que existe gran debate y sobre la cual tampoco está claro en qué medida es tal o nos viene impuesta por la realidad experimental. Se trata de la noción de simultaneidad distante. Es decir, cuándo podemos decir que dos eventos ocurren al mismo tiempo para puntos espacialmente separados. La importancia del concepto de simultaneidad en la física la puso de manifiesto Albert Einstein en [4]:

Debemos tener en cuenta que todas nuestras afirrmaciones en las cuales el tiempo juega algún papel, siempre son afirrmaciones sobre eventos simultáneos. Por ejemplo, cuando digo "Ese tren llega aquí a las 7," esto significa algo así como: "El momento en que la manecilla pequeña de mi reloj marca las 7 y la llegada del tren son eventos simultáneos".

Podría parecer que todas las dificultades relacionadas con la definición del "tiempo" se superarían si en lugar de "tiempo" utilizara "la posición de la manecilla pequeña de mi reloj." De hecho, una definición de este tipo sería sudiciente en caso de que se trate de definir un tiempo exclusivamente para el lugar en el cual se encuentra el reloj; no obstante, esta definición ya no sería suficiente en cuanto se trate de relacionar cronológicamente series de eventos que ocurren en lugares diferentes, o - lo que implica lo mismo - evaluar cronológicamente eventos que ocurren en lugares distantes del reloj.

Esta cita es lo que Leopold Infeld calificaría más tarde como "la sentencia más simple que he encontrado en un papel científico" [5], cosa que nos da una idea de la genialidad de Einstein a la hora de hacer basar una nueva visión de la realidad física en una precisión o redefinición de un concepto milenario e hinchado de historia como el de simultaneidad, y en concreto la idea de simultaneidad distante. La noción de simultaneidad tiene una historia antiquísima como muestra Max Jammer en su fabuloso libro [5], desde la significación del jeroglífico egipcio , pasando por la astrología medieval, hasta la definición moderna de Einstein, y posteriores, como las de Reichenbach.

La precisión de este concepto para el caso de simultaneidad distante vale en [4] como pieza clave para poder encajar el principio de relatividad con la invarianza de la velocidad de la luz. En concreto creo que conviene mencionarlo: La relatividad especial obtenida en [4] parte de dos principios y tres definiciones. Los dos principios son el de relatividad entre sistemas inerciales y el de constancia de la velocidad de la luz para todo sistema inercial. Las tres definiciones son la de sistema inercial, como aquel sistema en el cual las leyes de Newton se aplican "bien" (véase por ejemplo esto), la de simultaneidad tal y como veremos a continuación, y la de tiempo, como el conjunto de todas las simultaneidades. Max Jammer en [5] nota que, estríctamente, hay un círculo vicioso en esto ya que la definición de sistema inercial requiere de las leyes de Newton que luego son invalidadas por la teoría resultante.

Desde entonces hay otras derivaciones de la relatividad especial, en concreto muchas que hacen uso de teoría de grupos o de la homogeneidad e isotropía del espacio y el tiempo. Muchas de ellas derivan las transformaciones de Lorentz con una velocidad invariante "c". No obstante, sólo la definición de simultaneidad posibilita establecer una relación entre esa velocidad invariante y la velocidad de la luz en el vacío. Este es sin duda un tema para ser tratado con detalle en otro artículo.

La simultaneidad según Einstein

Pero volvamos con la idea de simultaneidad en Einstein. Para entenderla conviene primero saber qué significa simultaneidad en la física newtoniana. En la física clásica de Newton la idea de simultaneidad viene determinada por la existencia de un espacio y un tiempo absolutos, que dan lugar a un pasado, presente y futuro absolutos. Esta idea nos la muestra la siguiente figura:



En la relatividad especial, por contra, la idea de futuro y pasado sólo tienen sentido en relación con un observador determinado en un punto espacio-temporal determinado, es decir, con un cono de luz y una relación causal determinada:



Esto es así ya que la conexión causal viene dada por la velocidad finita de la luz. El caso newtoniano puede asumirse como el límite del caso relativista cuando la velocidad de la luz tiende a infinito, es decir, cuando la pendiente del cono de luz tiende a los noventa grados respecto del eje temporal. Aquello que no es pasado ni futuro absoluto respecto del observador en cuestión son eventos cuya clasificación como pasado, presente o futuro necesitan de una definición de simultaneidad. La definición de simultaneidad de Einstein consiste en lo siguiente.

Considerese un observador con un reloj localizado en el orígen O de un sistema de referencia inercial. En el tiempo tE este observador emite un rayo de luz hacia el punto espacial A. En el punto espacial A existe un reloj y un espejo. El rayo de luz es instantaneamente reflejado y el tiempo en el que esto ocurre es determinado en A. El rayo de luz alcanza O en un tiempo tR. Pues bien, la convención de sincronización de Einstein para puntos espacialmente separados nos dice que el evento de reflexión del rayo de luz en el punto espacial A es simutaneo con el instante de tiempo en el punto espacial O.



La línea horizontal nos describe por tanto una línea de simultaneidad. Es importante recordar que la idea de Einstein es precisamente la contraria a la expuesta aquí: no parte del tiempo y una estructura causal de la relatividad especial para determinar la idea de simultaneidad, sino que partiendo de una definición de simultaneidad y otros postulados, llega a la formulación de la relatividad especial.

Más tarde Einstein presentó, además, otro procedimiento para determinar simultaneidad. En concreto, dado un segmento AB y un observador localizado en su punto medio M, si dos rayos de luz son emitidos desde A y desde B hacia M, y ambos rayos llegan a M al mismo tiempo, entonces la emisión de los rayos fué simutanea. Este procedimiento tiene la ventaja que no necesita de relojes. Además, el procedimiento anterior no es inmune a posibles inhomogeneidades del tiempo o variaciones de la velocidad de la luz con el tiempo, mientras que este sí lo es.



Con este procedimiento se ve claramente un aspecto importante. La definición sólo tiene sentido si la luz se mueve con igual velocidad desde A hasta M que desde B hasta M. Es decir, el comportamiento de la luz ha de ser isótropo en el espacio. No obstante, para poder probar este hecho es necesario sincronizar relojes previamente y con ello definir simultaneidad y tiempo. Estamos, aparentemente, frente a un círculo vicioso. Este círculo es evitado asumiendo que la velocidad de la luz en trayectorias no cerradas no es un dato de la experiencia, sino una convención o una estipulación. Los enunciados (a) la velocidad de la luz en el vacío a lo largo de una trayectoria cerrada es c, y (b) establecido el procedimiento de sincronización de Einstein, la velocidad de la luz a lo largo de cualquier trayectoria es c, son completamente equivalentes, es decir, (a) <-> (b) [6].

La simultaneidad no estándar de Reichenbach

La idea de simultaneidad de Einstein fue generalizada por Reichenbach por medio de su concepto de sincronización . En general, es posible decir que el evento de reflexión del rayor de luz en el punto espacial A es simultaneo con el instante de tiempo . La sincronización se Einstein se sigue con . La geometría de un escenario genérico de sincronización de Reichenbach nos la muestra la siguiente figura:



Lo que antes era una línea horizontal es ahora una línea inclinada en general, y en particular puede ser horizontal para la elección de la convención de Einstein. El parámetro debe encontrase entre cero y uno si no se quiere violar la causalidad (la señal no puede ser reflejada antes de ser emitida y tal).

Hasta aquí por hoy, para no extenderme demasiado. Para otro día detalles de la simultaneidad no estándar de Reichenbach, así como la razón del ámplio uso de la convención de Einstein, y quizás también otros aspectos...

Referencias

[1] H. Reichenbach, The philosophy of space and time, Dover (1958)
[2] J. Ortega y Gasset, Bronca en la física. Meditación de la técnica y otros ensayos, Alianza (1995)
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Duhem-Quine_thesis
[4] A. Einstein, Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento, Annalen der Physik (traducción española en http://www.fisica2005.unam.mx/)
[5] M. Jammer, Concepts of Simultaneity, The Johns Hokpkins University Press (2006)
[6] G. Rizzi, M. Luca Ruggiero, A. Serafini, Synchronization Gauges and the Principles of Special Relativity, gr-qc/0409105
[7] M. Vallisneri, Relativity and Acceleration, Università degli studi di Parma