Descripción macroscópica y microscópica
Consideremos un gas en una caja. La descripción macroscópica de un sistema así nos viene dada por ciertas variables macroscópicas como su energía, su volumen, su presión, etc. Por otro lado, una descripción microscópica es una descripción del gas con todo detalle posible, conociendo el estado de cada una de las partículas que componen el gas en la caja.
Nótese que el estado de una partícula en este contexto no es su posición y su momento en un instante de tiempo, sino su función de onda en un instante de tiempo. En la física cuántica no es posible determinar posición y momento simultaneamente, por lo que debemos conformarnos con describir la partícula por medio de una función de onda. Esta función de onda es un estado de superposición sobre posiciones o momentos posibles y no es fruto de desconocimiento, sino estado real de la partícula.
Para un mismo estado macroscópico o macroestado determinado por las variables macroscópicas mencionadas existen muchas combinaciones microscópicas posibles o microestados:
Entropía e información
Una forma de entender la descripción macroscópica es considerar que conlleva necesariamente un desconocimiento del estado real del sistema, en concreto del gas. Es decir, no sabemos en qué microestado se encuentra el gas en un instante determinado de tiempo. Es por eso por lo que expresamos el macroestado como una serie de microestados posibles, cada uno con una probabilidad asociada a él. Tal probabilidad depende de la información que poseemos sobre el sistema. Una forma de medir este desconocimiento es por medio de la idea de entropía. La entropía es una medida del desorden de un sistema y, en términos de teoría de la información, representa nuestra ignorancia del estado del sistema.
Cuando el gas en la caja está homogeneamente distribuido existe la mayor cantidad de microestados correspondientes con tal estado macroscópico, y en tal caso la entropía es máxima. Si por ejemplo el gas está temporalmente en una esquina de la caja, la cantidad de microestados posibles correspondientes es menor y por tanto la entropía también menor. Intuitivamente podemos ver que en el caso homogeneo nuestro desconocimiento es máximo, ya que debemos recurrir a toda la paleta de microestados para dar una descripción estadística del sistema.
Por otro lado, un sistema microscópico, cuya evolución temporal queda descrita por las leyes de la cuántica, está en un microestado concreto. Usualmente estará en un estado concreto de superposición sobre ciertos estados básicos o preferidos posibles, de forma que cada estado posible contribuye con cierta probabilidad. No obstante, la naturaleza de estas probabilidades en los estados de superposición cuánticos no es de desconocimiento, sino diferente, y representan una descripción real del sistema. Estando el sistema en un estado concreto, nuestra certeza sobre su estado es completa y con ello su entropía es nula.
Estados puros y estados mezclados
En términos técnicos y abstrayendo un poco de la distinción entre microscópico y macroscópico se habla de estados puros y estados mezclados. Los estados puros son estados concretos. Pueden ser estados de superposición sobre varios estados básicos posibles o puede tratarse de un sólo estado básico. En cualquier caso, se trata siempre de estados determinados, cuya descripción no contiene probabilidades asociadas a incertezas. Por otro lado, los estados mezclados son estadísticos. Aquí sí aparecen probabilidades asociadas a incertezas. Un estado mezclado es una combinación de estados puros cada uno de ellos con cierta probabilidad y esto es así porque no sabemos a qué estado puro en concreto corresponde la descripción en un instante determinado de tiempo. Por ejemplo, el gas en la caja.
En definitiva, un estado puro microscópico está en un estado concreto, a diferencia de uno macroscópico y mezclado, que estadísticamente corresponde con muchos microestados. Esto hace que la entropía de un estado puro sea nula. Nuestra ignorancia sobre el sistema es igualmente nula, ya que tenemos completa certeza sobre el estado de en el que se encuentra. Nótese aquí que tal hecho depende de la definición correcta de estado: si la indeterminación entre posiciones y momentos no se considera como resultado de desconocimiento, entonces el estado queda completamente determinado por medio de su función de onda, sin incerteza alguna.
Objetividad de la descripción macroscópica
Si pasamos a un régimen microscópico de descripción, entonces tiene sentido hablar de estados concretos de cada una de las partículas del gas. Sin embargo, en tal descripción la entropía es siempre nula. Esto es así porque una partícula está siempre en un estado puro y no mezclado, y en los estados puros nuestra certeza sobre el estado es absoluta. La evolución temporal de ese sistema mantendrá siempre una entropía constante. La entropía es por tanto dependiente de la granularidad con la que describamos el sistema. Tan pronto consideramos el gas de forma macroscópica, nos enfrentamos al hecho de que nuestra certeza nunca puede ser absoluta. La entropía no es nula, y, además, nos encontramos con que el gas en la caja tiende a aumentarla. ¿Está el gas haciendo "algo físico" o estamos nosotros sólo interpretando algo debido a nuestro desconocimiento? ¿Es acaso el paso termodinámico del tiempo sólo una ilusión debido a la aparente pérdida de información a nivel macroscópico?
La literatura sobre este tema es abundante, pero personalmente no acabo de ver la razón para dudar de la objetividad de tal concepto y con ello dudar de la objetividad del paso del tiempo, o de la noción de equilibrio termodinámico, o de la objetividad de cosas como el area de un agujero negro (la entropía de un agujero negro es proporcional a su area), etc. Desde otro punto de vista nos podemos preguntar ¿está un sistema macroscópico en un microestado determinado en un instante de tiempo? La pregunta es sutil. El caso es que, desde cierto punto de vista podemos decir que no lo está, porque aquello que consideramos macroscópico es por definición insensible a la configuración exacta de un microestado concreto. Nuestra percepción de la realidad macroscópica está esencialmente determinada por la falta de información.
La evolución temporal de los estados puros
La evolución temporal de los estados puros queda determinada por unas leyes físicas deterministas. Esto significa que conocida la función de onda en un instante t1 podemos conocerla en un instante t2 > t1. Tal afirmación es equivalente a afirmar que según las leyes de la física cuántica los estados puros (las funciones de onda) evolucionan siempre a estados puros. De otra forma deberíamos introducir probabilidades de incerteza en la evolución temporal microscópica y hacerla indeterminista a tal nivel. En concreto, para un estado puro
La solución a esta ecuación para un hamiltoniano independiente del tiempo es:
Es decir, el estado
La evolución temporal de los estados mezclados
Consideremos ahora la evolución temporal del gas en la caja, desde un estado inicial, con dos partes separadas una a mayor temperatura que otra, hasta un estado final, donde ambas partes están en mezcla en equilibrio a una misma temperatura. El estado final es un estado mezclado, estadístico, de mayor entropía que el primero. Es decir, la información ha disminuído. Por contra, la masa y la energía se han conservado.
Esta información no parece posible de ser recuperada, ya que se trata de un proceso irreversible. El demonio de Maxwell es ese supuesto ente capaz de separar otra vez la mezcla en su estado original, violando con ello la segunda ley de la termodinámica. No parece que tal ente sea algo que pueda existir físicamente. Por otro lado, esta información de la que hablamos aquí tiene un sentido físico muy concreto, especialmente en el marco de este experimento mental, como pone de manifiesto la idea de máquina de Szilard. Es intercambiable con atributos físicos muy concretos.
La paradoja de la pérdida de información en agujeros negros
Los agujeros negros son entidades curiosas porque su descripción completa no está dada en términos de la física establecida. Sabemos que en su centro existe una singularidad, en la cual las leyes de la física microscópica fracasan. Lo fabuloso y desconcertante de los agujeros negros es que no cumplen tal regla sobre la evolución determinista de los estados puros. Para entender esto imaginemos el siguiente experimento mental.
Primero, un sistema cuántico en un estado puro descrito por medio de la ecuación de Schrödinger, el cual introducimos en una caja de gas. La caja viene macroscópicamente descrita por medio de su energía, presión, volumen, etc. y microscópicamente por medio de un microestado determinado. Suponemos que la caja está en el vacío absoluto y que al tener una determinada temperatura radia como un cuerpo negro. En la descripción microscópica todo funciona bien: tras introducir el sistema cuántico en su estado puro, podemos estudiar su evolución temporal por medio de la ecuación de Schrödinger e incluso analizar interacciones de él, etc. La masa que la caja gana tras introducir este sistema es perdida luego en forma de radiación (recordemos que la radiación o la energía también contribuye a la masa de un sistema). La información en este caso se ha conservado, ya que tenemos una descripción microscópica de la caja que nos permite ponerla al mismo nivel descriptivo que el sistema que introducimos en ella.
Segundo, el mismo sistema cuántico en un estado puro descrito por medio de la ecuación de Schrödinger, el cual introducimos en una caja de gas. La caja viene macroscópicamente descrita por medio de su energía, presión, volumen, etc. pero microscópicamente no tiene descripción alguna. Es decir, esta es desconocida. Sólo sabemos que la caja viene unívocamente descrita por medio de sus variables macroscópicas. Suponemos que la caja está en el vacío absoluto y que al tener una determinada temperatura radia como un cuerpo negro. Tras introducir el sistema cuántico en su estado puro, no podemos estudiar su evolución temporal por medio de la ecuación de Schrödinger o analizar interacciones de él, etc. Eso es así porque no tenemos una descripción microscópica de la caja que nos permite ponerla al mismo nivel descriptivo que el sistema que introducimos en ella. La información en este caso no se ha conservado. La evolución temporal del sistema microscópico no puede ser descrita por la ecuación de Schrödinger, al pasar a formar parte de la caja la cual no tiene descripción microscópica. En concreto, la información se pierde, ya que tarde o temprano podemos considerar que nuestro sistema cuántico puro ha quedado convertido en radiación térmica que expulsa la caja. No tiene sentido considerarlo como parte de la caja misma, ya que esta sólo viene descrita sólo por sus variables macroscópicas.
Con los agujeros negros ocurre algo similar. Consideremos un sistema microscópico de masa m en un estado puro cerca de un agujero negro. El agujero tiene masa M. El sistema cae al agujero y el agujero adquiere masa M + m. Luego, el agujero radia (radiación térmica de Hawking) perdiendo masa hasta una masa M otra vez. Esto significa que lo que era inicialmente un sistema puro ha quedado convertido en radiación térmica de Hawking, que es un estado mezclado. Además, la descripción del agujero mismo es macroscópica ya que sólo queda descrito por su masa M y no es necesaria otra variable para describirlo. La información se pierde, ya que el estado final y el inicial son iguales, sólo que el sistema cuántico puro ha quedado convertido en radiación de Hawking que es un estado mezclado. La pérdida de información es irreversible aquí pero a nivel microscópico, al igual que en la evolución temporal de sistemas macroscópicos asumiendo que el demonio de Maxwell es físicamente irrelizable.
Entropía y horizontes de eventos
Pero la situación con un agujero negro es peculiar. La pérdida de información en la evolución temporal del un estado puro que cae en ellos no sólo viene determinada por nuestro desconocimiento de los grados de libertad microscópicos de la gravitación, sino del hecho de que existe un horizonte causal que nos impide ver qué ocurre al otro lado. Todo horizonte causal está relacionado con una pérdida de información ya que al otro lado la información no es accesible.
La cuestión quizás es si podemos usar horizontes violar el segundo principio de la termodinámica lanzando un sistema mezclado tras ellos. Este sistema se perderá y desaparecerá de nuestro universo, y, con ello, la entropía habrá disminuido. Esto no es posible, precisamente debido al hecho que los horizontes llevan asociados una entropía y con ello una pérdida de información. El horizonte de un agujero negro aumentará su area tras lanzar un sistema en él. Al aumentar su area aumentará su entropía de forma que el segundo principio de la termodinámica no se viola.
La entropía de los horizontes causales presenta una serie de preguntas no resueltas en la física actual como, por ejemplo cómo es posible que algo causalmente desconectado del espacio-tiempo tenga una influencia termodinámica en él, o qué sentido tiene la noción de equilibrio termodinámico en un agujero negro, etc. que vienen analizadas en varios papeles de Ted Jacobson, como On the nature of black hole entropy
Una descripción de las ideas actuales relacionadas con la entropía de los agujeros negros vendrá quizás en una entrada posterior. Algo mencioné ya aquí.
Nota sobre la definición de información
La definición mencionada de información se asocia con la entropía y por tanto con la certeza sobre el estado de un sistema. Si la certeza es absoluta, es decir, la probabilidad de que el sistema esté en un estado determinado es uno, entonces la información que tenemos sobre el sistema es máxima y la entropía es mínima. Si todos los estados posibles son equiprobables, entonces la información es mínima y la entropía máxima. También podría uno definir información (información obtenible) al revés, es decir, si la probabilidad de encontrar al sistema en un estado es uno, entonces la información que es posible sacar de él es nula. En tal caso la información obtenible sería proporcional a la entropía y crecería con el desorden y también con la cantidad de partículas, etc. Para el caso de la paradoja de la pérdida de información, cuando se dice que la información se pierde se usa la primera definición. Si se usase por ejemplo la segunda habría que decir que la información aumenta. Como sólo hemos cambiado la definición no deberíamos con ello resolver paradoja alguna: efectivamente, esto también sería una paradoja, ya que la mecánica cuántica exige la conservación de la información para la evolución temporal de estados cuánticos (puros).
Un par de referencias
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