El ajuste fino: una invitación al universo matemático de Max Tegmark

En artículo de wikipedia describe el problema del ajuste fino de la siguiente forma, que creo refleja bastante bien una idea generalizada sobre este problema:

The fine-tuned Universe is the idea that the conditions that allow life in the Universe can only occur when certain universal physical constants lie within a very narrow range, so that if any of several fundamental constants were only slightly different the universe would be unlikely to be conducive to the establishment and development of matter, astronomical structures, elemental diversity, or life as it is presently understood.

Es decir, problema del ajuste fino significa que las las constantes fundamentales de un modelo físico para el universo deben ser ajustados de forma precisa para permitir la existencia de vida. Sobre estas constantes fundamentales no hay nada en la teoría que nos indique que deban tomar esos valores que toman. Podemos fijarlas de acuerdo con las observaciones, pero esto supone fijarlas de entre un rango de valores colosal. Esto da la impresión de cierta arbitrariedad y sugiere que el universo podría ser una realización improbable entre tal rango de valores. He ahí el problema.

Las siguientes figuras ilustran la situación. Son del papel Is ``the theory of everything'' merely the ultimate ensemble theory? de Max Tegmark, y nos muestran relaciones entre ciertas constantes fundamentales en nuestro universo - el punto negro - dentro del rango de posibilidades:





Una distinción: constantes fundamentales vs. condiciones iniciales o de contorno

Consideremos el problema de las condiciones iniciales con la constante cosmológica. Si el universo contiene una constante cosmológica de densidad actual similar a la de la materia y si la densidad de esta constante cosmológica es constante en el tiempo, tal y como especifica la relatividad general, entonces el valor de la densidad de la constante cosmológica cerca del big-bang debe estar ajustado con una precisión de varias decenas de ceros tras la coma. El rango de valores es inmenso y el rango de valores apto para dar lugar al universo que observamos es insignificante.

Este problema nos presenta una variante algo especial de ajuste fino. De entre todas las posibilidades de fracción de energía oscura actual, la que da lugar al universo que observamos es una muy determinada y concreta. Pero con encontrar ese valor de entre los muchos posibles no está todo dicho. Aún peor: para que tal valor sea posible nos encontramor que el ajuste en el pasado debe ser extremadamente preciso. Es decir, el valor actual es muy sensible a las condiciones iniciales del universo. Por otro lado, fijar una constante fundamental es una operación algo diferente: no es algo dinámico y variable con la evolución del universo.


La zona rosa representa el valor actual posible, de acuerdo con los datos, para la constante cosmológica en relación con la densidad de la materia

Reformulación del problema del ajuste fino

Estríctamente el problema del ajuste fino requiere una formulación más general que la que nos da wikipedia. En concreto, el problema del ajuste fino significa que las las constantes fundamentales y condiciones iniciales o condiciones de contorno de un modelo físico del universo deben ser ajustados de forma precisa para concordar con las observaciones. Usualmente, "las observaciones", se identifica con la existencia de galaxias, estrellas y complejidad que puede dar lugar a vida. Esto es no obstante una simplificación, la cual vale para plantear el problema pero no para analizarlo con rigor.

Debemos entender el concepto de observaciones de forma más amplia. No sólo identificarlas con la existencia de galaxias, estrellas y complejidad que puede dar lugar a vida, cosa que podría ser en principio un rango de ciertos valores, sino también con toda una serie de características muy concretas de nuestro universo - picos en el fondo de microondas, fracciones de bariones, etc., - en definitiva, ciertos valores muy exactos que habría que definir con rigor. De hecho, si identificásemos las razones de las condiciones y parámetros adecuados para la vida, siempre nos quedaría la pregunta de la razón de las condiciones y parámetros adecuados para concordar con las observaciones.

El problema del ajuste fino para las constantes fundamentales

Toda teoría física ha de presentar al menos una constante fundamental que sea dimensional, de otra forma no sería mas que matemáticas sin relación con cantidades y unidades medibles. El problema de la elección del valor de las constantes fundamentales es por tanto intrínseco a la física como ciencia natural. Si varío un parámetro y llego a la misma física, en concreto, llego siempre a modelos o teorías que da lugar a universos que concuerdan exáctamente con las observaciones, entonces tal parámetro no es físico. El efecto de variarlo no produce diferencias en la física y no puede ser por tanto un parámetro dimensional fundamental. El problema del ajuste fino significa que existen parámetros, cuya variación no está prohibida por la teoría, los cuales, al variarlos dan lugar a físicas diferentes no observadas. Este problema es intrínseco a la física.

La variación de el (o los) parámetro(s) externos mencionado(s) podría dar por tanto lugar a diferentes físicas y diferentes universos. En tal caso, el problema del ajuste fino sólo desaparecería si de hecho se dieran todos los universos físicamente posibles y si tal cosa fuese comprobable experimentalmente. Si sólo se diese nuestro universo o si sólo tuviesemos acceso a él, entonces estaríamos otra vez preguntandonos por qué nosotros y no otros. Esto, aún en caso de que fuesemos capaces de definir probabilidades y constatar que nuestro universo es el más probable de entre varios: no parece razonable librarse de la pregunta de por qué otros universos no fueron realizados pese a la posibilidad que la teoría presenta.

En definitiva, todo parece indicar que si realmente queremos una solución al problema del ajuste fino debemos (i) aceptar la idea de multiversos - en el sentido de diferentes realizaciones de los parámetros (ii) tener acceso experimental a esos multiversos para comprobar la solución al problema. Si una de estas dos condiciones no se cumple el problema del ajuste fino será un problama sin solución.

El problema del ajuste fino para las condiciones iniciales

Concentrémonos ahora en el problema del ajuste fino para las condiciones iniciales y formulémoslo de una forma más general. En concreto, hemos dicho que el problema del ajuste fino significa que las condiciones iniciales o condiciones de contorno de un modelo deben ser ajustados de forma precisa para concordar con las observaciones. ¿Pero qué es exáctamente "las observaciones"? Si queremos describir el universo exáctamente tal y como lo observamos - el estado de cada partícula y cada campo, etc. - necesitamos probablemente una teoría con una cantidad de parámetros y condiciones iniciales conteniendo tanta información como la que contiene el universo actual. La formulación de tal teoría sería imposible. En cierta medida, existirá siempre una cierta indeterminación debido a la generalidad con la que la física describe nuestro universo. El universo exacto que observamos es indescriptible.

Este problema lo describe muy bien Max Tegmark en su artículo The Mathematical Universe:

Loosely speaking, the apparent information content rises when we restrict our ttention to one particular element in an ensemble, thus losing the symmetry and simplicity that was inherent in the totality of all elements taken together. The complexity of the whole ensemble is thus not only smaller than the sum of that of its parts, but it is even smaller than that of a generic one of its parts.

Estamos frente a un problema de falta de determinación de la teoría. Nuestro universo observable en su concreción y falta de generalidad es, de acuerdo con la cosmología actual, resultado de unas fluctuaciones cuánticas - aleatorias - en un periodo inflacionario. En definitiva, la concreción de nuestras condiciones se reduce a la generalidad del mecanismo inflacionario. Esto significa, no obstante, que la teoría permite igual de bien otras condiciones y otros universos. ¿Por qué este y no otros? ¿Acaso por casualidad aleatoria?

El universo matemático de Max Tegmark

Max Tegmark es un cosmólogo del MIT, que ha dedicado gran parte de su labor científica al estudio del fondo cósmico de microondas y los censos de estructuras. Además de su prolífica actividad en ese campo, tiene ideas interesantes sobre ajuste fino, multiversos y teoría cuántica.



En su artículo The Mathematical Universe, Tegmark propone la hipótesis de que una teoría fundamental deberá ser una estructura matemática, y, por tanto, atemporal:

Mathematical Universe Hypothesis (MUH): Our external physical reality is a mathematical structure.

Esta simple hipótesis tiene consecuencias muy profundas y variadas. Una de ellas es que elimina la necesidad de condiciones iniciales. Sea como sea la formulación final de la teoría, será tal que en ella sólo haya relaciones matemáticas entre elementos. De igual forma, tal hipótesis elimina el concepto de aleatoriedad de la física:

The traditional view of randomness [...] is only meaningful in the context of an external time, so that one can start with one state and then have something random “happen”, causing two or more possible outcomes. In contrast, the only intrinsic properties of a mathematical structure are its relations, timeless and unchanging. In a fundamental sense, the MUH thus implies Einstein’s dictum “God does not play dice”.

¿Cómo soluciona Max Tegmark otros de los problemas mencionados argumentando en base a su hipótesis del universo matemático? ¿Cuáles son otras consecuencias de tal hipótesis? ¿Cómo encaja tal hipótesis con la física actual? Con estas preguntas voy a finalizar este comentario. Quizás volvamos sobre ello en otra entrada. La intención hoy era sólo aclarar un par de conceptos e invitar a una lectura calmada de las interesantes y peculiares ideas de Max Tegmark al respecto:

• The Mathematical Universe
  
• Is ``the theory of everything'' merely the ultimate ensemble theory?
  
• Shut up and calculate
  
• Many lives in many worlds
  
• Parallel Universes
  
• 100 Years of the Quantum
  
• Does the universe in fact contain almost no information?

Modulación anual en la señal del DAMA

Un estudio relativamente reciente - R. Bernabei et al., 0804.2741 (astro-ph) - resultado del experimento DAMA, proporciona pruebas de una modulación anual en las tasas de retroceso nuclear por colisiones. Esta modulación de la señal aparece de forma natural el flujos de partículas interestelares que llegan a la tierra y por ello se ha planteado como prueba de la existencia de un fondo galáctico de materia oscura no bariónica, la cual colisiona con los núcleos haciéndolos moverse un poquito. La señal, no obstante, no ha podido ser reproducida por ningún otro de los experimentos actuales según wikipedia.

Cómo surge esta modulación anual es algo que vamos a intentar entender en esta entrada, de forma muy breve e intuitiva. Primero, debemos volver a parte de los resultados de la entrada El movimiento del sistema solar, en la cual veíamos que el sistema solar se mueve en la galaxia hacia la constelación del Cisne localizada en AR = 20:62h, Dec =+42:00. Pues bien, si en la galaxia existe un fondo isótropo de partículas dentro del cual el sistema solar se mueve, el flujo sobre el sistema solar, en el plano de la eclíptica, estará por tanto proveniendo de AR ~ 20h más o menos.

La constelación del zodiaco correspondiente con AR ~ 20h es Sagitario. Cuando la tierra se encuentra en el signo zodiacal de Sagitario - en diciembre - el sol está tapando tal constelación. Es decir, la tierra se encuentra localizada en el mes de diciembre cuando el flujo de partículas de materia oscura proviene de detrás del sol. Que la componente del flujo en el plano de la eclíptica provenga de detrás del sol resulta curiosamente en un máximo en la detección, por el efecto focalizador que el sol ejerce:



Esta imagen es una toma instantánea de una animación de esta página. Vemos que precisamente cuando el flujo viene desde detrás del sol, éste ejerce un efecto focalizador del flujo sobre la tierra. Es por tanto por ello por lo que el máximo se producirá más o menos en diciembre, durante el signo zodiacal de Sagitario. Este tipo de efecto de modulación se da también para partículas del medio interestelar y es perféctamente conocido. El papel del experimento DAMA afirma haber encontrado un efecto idéntico en su señal en la búsqueda de WIMPs (con máximo en día dos de diciembre). Aparentemente otros experimentos no han podido verificar que tal modulación sea debida realmente a WIMPs y no otra causa no identificada, por lo que la relevancia de tal conclusión está en entredicho.

Libros online

Cientos de libros científicos online en:
http://www.theassayer.org/cgi-bin/asbrowsesubject.cgi

Físicos húngaros...

Los húngaros son conocidos por poner su apellido delante de su nombre. Una costumbre que seguramente ha provocado más de una situación divertida, tal y como nos sugiere Istvan Örkény en su "historia de un minuto":



Sobre Örkény nos dice wikipedia:

Örkény es el perfecto representante del drama absurdo húngaro. Un humor grotesto penetra sus obras, no hay en ellas inequívocamente buena o mala gente, las tragedias a veces se vuelven comedias y los protagonistas de sus escritos, reaccionan a los acontecimientos ora así ora asá.

Su figura me es prácticamente desconocida, salvo por este divertido, interesante, brevísimo y a la vez profundo librito de "historias de un minuto", que ha caído en mis manos.



En este blog el relato tiene cabida, hoy en una entrada algo diferente, porque trata sobre un ficticio físico húngaro y nos sirve como puente para enlazar la página de wikipedia con biografías de físicos húngaros:

http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Hungarian_physicists.
http://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Physicists_from_Hungary

En ella encontramos nombres conocidos como Eötvös, von Neumann, Wigner, Lanczos o Szilárd y quizás otros menos conocidos pero igual de interesantes como Gabor o Krausz.

Invito a pasearse brevemente por esas entradas de wikipedia.

La regla de Born y el principio de exclusión

La función de onda de una partícula nos da una medida de probabilidad para encontrarla en un determinado lugar. A esta interpretación de la función de onda se la conoce como regla de Born. Esta función de onda se propaga ondulatoriamente. Esto vale para un electrón no-relativista, por ejemplo. Su función de onda cumple la ecuación de Schrödinger, cuyas soluciones se pueden expresar como superposición de ondas planas. Lo mismo vale para el fotón, al menos en principio, aunque con ciertos matices. La función de onda del fotón nos dará una medida de la probabilidad de encontrarlo en un lugar del espacio. Y lo mismo vale en principio para cualquier otra partícula, siempre que tenga cierta libertad de propagarse por el espacio.

Hasta aquí la descripción microscópica. Ahora bien, podemos preguntarnos si en el régimen macroscópico vamos a ser capaces de observar estas ondulaciones. Con ello podríamos hablar de la propagación ondulatoria de un campo, un campo clásico como el electromagnético o quizás como el campo gravitatorio. Evidentemente podemos obsevar ese tipo de fenómeno, como nos muestra la luz descrita por las ecuaciones de Maxwell. Aquí, la onda, o su amplitud, nos da una medida de la cantidad o la densidad de fotones que podemos encontrar. Esta noción se reduce muy bien a la idea de probabilidad de encontrar un sólo fotón para el caso de una única partícula que hemos visto antes. Vemos, por tanto, que el hecho del comportamiento ondulatorio de la luz viene bien explicado por el comportamiento microscópico, basado en la regla de Born, de las partículas que la componen.

La pregunta clave es por qué podemos observar la luz propagándose macroscópicamente como onda, pero no podemos observar por ejemplo los electrones macroscópicamente propagándose como ondas. Entendemos aquí "propagarse como ondas" una forma de hablar para decir que existe una formulación clásica y macroscópica de los efectos macroscópicos ondulatorios. Nótese que es cierto que se pueden observar de forma macroscópica los fenómenos ondulatorios de electrones, en el sentido que podemos encontrar una forma de definir experimentos que nos revelen que los electrones tienen su onda asociada y que la regla de Born es aplicable. No obstante, a un conjunto de electrones no podemos darles una descripción macroscópica y clásica como lo hacemos para fotones con las ecuaciones de Maxwell. Un conjunto de fotones viene descrito por las ecuaciones de Maxwell, o en concreto por la ecuación de onda que se sigue de ellas. Esta ecuación es válida de forma clásica y macroscópica, y de hecho la usamos para describir tales fenómenos. Una onda plana como solución más sencila a tal ecuación puede ser usada para describir un conjunto de fotones. De hecho, un conjunto de fotones todos con la misma onda plana y coherentes es una solución que existe en la realidad: el láser. La ecuación de movimiento para el electrón no-relativista también tiene soluciones expresables como superposición de ondas planas. Pero tales soluciones básicas no puede ser usadas para describir conjuntos de electrones, sino como mucho un sólo electrón.

Con ello estamos ya a la clave del asunto, que nos lo proporcina el principio de exclusión de Pauli. El principio de Pauli afirma que dos fermiones no pueden encontrarse en el mismo estado cuántico, esto es, la misma posición y los mismos números cuánticos. Los bosones, por contra, sí pueden. La propagación de un conjunto de fermiones no puede ser tal que la densidad del número de ellos que podemos medir en una región determinada (la de nuestro detector) crezca ilimitadamente. Para bosones esto no obstante no ocurre y la densidad del número de ellos que podemos medir en una región puede crecer ilimitadamente. Esto, junto con la regla de Born, hace que a un conjunto de fotones, digamos con la misma longitud de onda, se les pueda asociar una amplitud común a ellos, la de un campo electromagnético, o luz monocromática en este caso, dando una medida de la densidad del número de fotones.

El radio del universo observable: un cálculo sencillo

El universo observable es la distancia de nosotros a la que se encuentra hoy un supuesto fotón que fue emitido desde nuestra posición en t = 0. Esta distancia actual no es igual a , 13.700 millones de años-luz, o la edad del universo en años por la distancia que recorre la luz en un año. No lo es porque durante esa distancia el espacio entre ese supuesto fotón y nosotros ha expandido. El fotón se encontraría por tanto hoy más lejos. ¿Cómo calcular tal distancia?

Primero, debemos entender el significado del elemento de línea. Para proceder primero hay que saber qué es un elemento de línea. Un elemento de línea nos dice cómo medir distancias. Por ejemplo, en un espacio bidimensional, cartografiado por las coordenadas , sabemos que una distancia cualquiera r se miden de acuerdo con el teorema de Pitágoras:



Para una distancia infinitesimal esto se escribe así:



Consideremos ahora la relatividad especial en una dimensión espacial y una temporal . El elemento de línea para la distancia espacio-temporal es:



Para entender esto debemos tener claro que estamos frente a una generalización del elemento de línea espacial, como el ejemplo de arriba, a un caso espacio-temporal. Los puntos del espacio bidimensional se generalizan ahora a eventos en el espacio-tiempo . Al contrario que el elemento de línea espacial, el cual sólo puede ser positivo (las distancias espaciales son siempre números positivos), el elemento de línea espacio-temporal puede ser un valor negativo, positivo o nulo:

• En el caso positivo estamos frente a una distancia espacial, al igual que con el elemento de línea espacial, cuyos dos extremos no son conectables por medio de un rayo de luz. Ejemplo: la distancia espacio-temporal entre un evento que ocurre en la tierra ahora y otro evento que ocurre en el sol también exáctamente ahora.


• En el caso negativo estamos frente a una distancia temporal, cuyos dos extremos son conectables por medio de algo que viaja más despacio que la luz. Ejemplo: la distancia espacio-temporal entre dos tic de mi reloj.


• En el caso nulo estamos frente a una distancia nula, cuyos dos extremos son conectables exáctamente por medio la luz. Ejemplo: la distancia espacio-temporal entre un evento que ocurre en la tierra ahora y otro evento que ocurre en el sol dentro de ocho minutos.

Por tanto, la luz se mueve tal que el intervalo espacio-temporal entre dos eventos que conecta es nulo :



Antes de seguir, debemos ahora entender la diferencia entre dos definiciones distintas de distancia espacial. Las dos que nos interesan son la distancia recorrida por la luz y la distancia propia. La distancia recorrida por la luz es la distancia que recorre la luz. Fácil esta y tampoco tiene mucha vuelta para darle: la luz siempre recorre 1 año-luz en 1 año. Por otro lado, la distancia propia es la distancia en un espacio de simultaneidad. Aquí debemos definir con cuidado y atención. Un espacio de simultaneidad es por ejemplo la sección del espacio-tiempo correspondiente con años; es decir, el espacio actual del universo. La distancia medida sobre tal espacio correspondería con poner un metro entre dos puntos suyos, marcar y leer instantaneamente.

Ambas definiciones de distancia coinciden en un espacio plano y estático de la relatividad especial: la luz recorre 1 año luz en 1 año, y tras ese tiempo, el punto que alcanza tras 1 año de viaje se encuentra a 1 año-luz de nosotros. En un espacio dinámico en expansión esto no es así. Si la luz recorre 1 año luz en 1 año, el punto que alcanza tras 1 año de viaje se encuentra a más de 1 año-luz, ya que durante ese año el espacio entre el punto de emisión y el frente de luz en cuestión ha expandido. Vayamos sin más al caso cosmológico. Consideremos el elemento de línea espacio-temporal en un universo en expansión:



La diferencia con el caso anterior de la relatividad especial está clara: aquí hay un factor delante de . Se trata del factor de escala que nos dice cómo de expandido está el universo en una determinada época (el factor de escala depende del tiempo) y vale a = 0 para el big-bang y a = 1 hoy.

Recordemos que un espacio de simutaneidad es un subespacio del espacio-tiempo (una sección espacial) en el cual no transcurre el tiempo. Se trata de un espacio para un valor único y determinado del tiempo . Por tanto, matemáticamente, en un espacio de simultaneidad se cumple . En el elemento de línea anterior, se tiene para un espacio de simultaneidad:



La distancia sobre un espacio de simutaneidad la hemos denominado distancia propia y la denotaremos con :





Para poder calcular esta distancia debemos conocer . El valor de , el factor de escala, es , ya que lo que nos interesa es la distancia hoy. En definitiva:



El en cuestión (la distancia asumiendo x = 0 como nuestra posición u orígen) es el que conecta un rayo de luz emitido desde (desde nuestra posición) y recibido en años. Esto es así por la definición de universo observable. Por tanto, para calcular consideramos ahora otra vez el elemento de línea, pero ahora para una distancia nula - recorrida por la luz:







y sabemos que debemos integrar entre y años, por lo que sólo nos falta conocer . Para un modelo general puede tener una forma complicada, pero podemos simplificar considerando que el universo ha estado siempre dominado por la densidad de la materia y ha sido siempre plano. Se puede mostrar que de tal condición las ecuaciones de Friedmann nos dicen que:



Probemos esto brevemente. La primera ecuación de Friedmann para un universo plano y sin constante cosmológica es:



Si el universo ha estado siempre dominado por la materia se tiene que , ya que la densidad de la materia no relativista decrece de forma proporcional al aumento de volumen. En definitiva:



Esto se resuelve precisamente en:



Con el factor de escala hay cierta libertad de tomar su escala de valores, pero ya nos hemos impuesto que en el big-bang y hoy, por lo que realmente:



con en años. Volviendo a la definición de distancia y haciéndo la integral para :



entre y se tiene que:

años-luz. Como se puede comprobar en mi calculadora cosmológica este valor corresponde bastante bien con el valor que resulta sin hacer la aproximación de dominio de la materia durante toda la historia del universo.