El radio del universo observable: un cálculo sencillo

El universo observable es la distancia de nosotros a la que se encuentra hoy un supuesto fotón que fue emitido desde nuestra posición en t = 0. Esta distancia actual no es igual a , 13.700 millones de años-luz, o la edad del universo en años por la distancia que recorre la luz en un año. No lo es porque durante esa distancia el espacio entre ese supuesto fotón y nosotros ha expandido. El fotón se encontraría por tanto hoy más lejos. ¿Cómo calcular tal distancia?

Primero, debemos entender el significado del elemento de línea. Para proceder primero hay que saber qué es un elemento de línea. Un elemento de línea nos dice cómo medir distancias. Por ejemplo, en un espacio bidimensional, cartografiado por las coordenadas , sabemos que una distancia cualquiera r se miden de acuerdo con el teorema de Pitágoras:



Para una distancia infinitesimal esto se escribe así:



Consideremos ahora la relatividad especial en una dimensión espacial y una temporal . El elemento de línea para la distancia espacio-temporal es:



Para entender esto debemos tener claro que estamos frente a una generalización del elemento de línea espacial, como el ejemplo de arriba, a un caso espacio-temporal. Los puntos del espacio bidimensional se generalizan ahora a eventos en el espacio-tiempo . Al contrario que el elemento de línea espacial, el cual sólo puede ser positivo (las distancias espaciales son siempre números positivos), el elemento de línea espacio-temporal puede ser un valor negativo, positivo o nulo:

• En el caso positivo estamos frente a una distancia espacial, al igual que con el elemento de línea espacial, cuyos dos extremos no son conectables por medio de un rayo de luz. Ejemplo: la distancia espacio-temporal entre un evento que ocurre en la tierra ahora y otro evento que ocurre en el sol también exáctamente ahora.


• En el caso negativo estamos frente a una distancia temporal, cuyos dos extremos son conectables por medio de algo que viaja más despacio que la luz. Ejemplo: la distancia espacio-temporal entre dos tic de mi reloj.


• En el caso nulo estamos frente a una distancia nula, cuyos dos extremos son conectables exáctamente por medio la luz. Ejemplo: la distancia espacio-temporal entre un evento que ocurre en la tierra ahora y otro evento que ocurre en el sol dentro de ocho minutos.

Por tanto, la luz se mueve tal que el intervalo espacio-temporal entre dos eventos que conecta es nulo :



Antes de seguir, debemos ahora entender la diferencia entre dos definiciones distintas de distancia espacial. Las dos que nos interesan son la distancia recorrida por la luz y la distancia propia. La distancia recorrida por la luz es la distancia que recorre la luz. Fácil esta y tampoco tiene mucha vuelta para darle: la luz siempre recorre 1 año-luz en 1 año. Por otro lado, la distancia propia es la distancia en un espacio de simultaneidad. Aquí debemos definir con cuidado y atención. Un espacio de simultaneidad es por ejemplo la sección del espacio-tiempo correspondiente con años; es decir, el espacio actual del universo. La distancia medida sobre tal espacio correspondería con poner un metro entre dos puntos suyos, marcar y leer instantaneamente.

Ambas definiciones de distancia coinciden en un espacio plano y estático de la relatividad especial: la luz recorre 1 año luz en 1 año, y tras ese tiempo, el punto que alcanza tras 1 año de viaje se encuentra a 1 año-luz de nosotros. En un espacio dinámico en expansión esto no es así. Si la luz recorre 1 año luz en 1 año, el punto que alcanza tras 1 año de viaje se encuentra a más de 1 año-luz, ya que durante ese año el espacio entre el punto de emisión y el frente de luz en cuestión ha expandido. Vayamos sin más al caso cosmológico. Consideremos el elemento de línea espacio-temporal en un universo en expansión:



La diferencia con el caso anterior de la relatividad especial está clara: aquí hay un factor delante de . Se trata del factor de escala que nos dice cómo de expandido está el universo en una determinada época (el factor de escala depende del tiempo) y vale a = 0 para el big-bang y a = 1 hoy.

Recordemos que un espacio de simutaneidad es un subespacio del espacio-tiempo (una sección espacial) en el cual no transcurre el tiempo. Se trata de un espacio para un valor único y determinado del tiempo . Por tanto, matemáticamente, en un espacio de simultaneidad se cumple . En el elemento de línea anterior, se tiene para un espacio de simultaneidad:



La distancia sobre un espacio de simutaneidad la hemos denominado distancia propia y la denotaremos con :





Para poder calcular esta distancia debemos conocer . El valor de , el factor de escala, es , ya que lo que nos interesa es la distancia hoy. En definitiva:



El en cuestión (la distancia asumiendo x = 0 como nuestra posición u orígen) es el que conecta un rayo de luz emitido desde (desde nuestra posición) y recibido en años. Esto es así por la definición de universo observable. Por tanto, para calcular consideramos ahora otra vez el elemento de línea, pero ahora para una distancia nula - recorrida por la luz:







y sabemos que debemos integrar entre y años, por lo que sólo nos falta conocer . Para un modelo general puede tener una forma complicada, pero podemos simplificar considerando que el universo ha estado siempre dominado por la densidad de la materia y ha sido siempre plano. Se puede mostrar que de tal condición las ecuaciones de Friedmann nos dicen que:



Probemos esto brevemente. La primera ecuación de Friedmann para un universo plano y sin constante cosmológica es:



Si el universo ha estado siempre dominado por la materia se tiene que , ya que la densidad de la materia no relativista decrece de forma proporcional al aumento de volumen. En definitiva:



Esto se resuelve precisamente en:



Con el factor de escala hay cierta libertad de tomar su escala de valores, pero ya nos hemos impuesto que en el big-bang y hoy, por lo que realmente:



con en años. Volviendo a la definición de distancia y haciéndo la integral para :



entre y se tiene que:

años-luz. Como se puede comprobar en mi calculadora cosmológica este valor corresponde bastante bien con el valor que resulta sin hacer la aproximación de dominio de la materia durante toda la historia del universo.