La regla de Born y el principio de exclusión

La función de onda de una partícula nos da una medida de probabilidad para encontrarla en un determinado lugar. A esta interpretación de la función de onda se la conoce como regla de Born. Esta función de onda se propaga ondulatoriamente. Esto vale para un electrón no-relativista, por ejemplo. Su función de onda cumple la ecuación de Schrödinger, cuyas soluciones se pueden expresar como superposición de ondas planas. Lo mismo vale para el fotón, al menos en principio, aunque con ciertos matices. La función de onda del fotón nos dará una medida de la probabilidad de encontrarlo en un lugar del espacio. Y lo mismo vale en principio para cualquier otra partícula, siempre que tenga cierta libertad de propagarse por el espacio.

Hasta aquí la descripción microscópica. Ahora bien, podemos preguntarnos si en el régimen macroscópico vamos a ser capaces de observar estas ondulaciones. Con ello podríamos hablar de la propagación ondulatoria de un campo, un campo clásico como el electromagnético o quizás como el campo gravitatorio. Evidentemente podemos obsevar ese tipo de fenómeno, como nos muestra la luz descrita por las ecuaciones de Maxwell. Aquí, la onda, o su amplitud, nos da una medida de la cantidad o la densidad de fotones que podemos encontrar. Esta noción se reduce muy bien a la idea de probabilidad de encontrar un sólo fotón para el caso de una única partícula que hemos visto antes. Vemos, por tanto, que el hecho del comportamiento ondulatorio de la luz viene bien explicado por el comportamiento microscópico, basado en la regla de Born, de las partículas que la componen.

La pregunta clave es por qué podemos observar la luz propagándose macroscópicamente como onda, pero no podemos observar por ejemplo los electrones macroscópicamente propagándose como ondas. Entendemos aquí "propagarse como ondas" una forma de hablar para decir que existe una formulación clásica y macroscópica de los efectos macroscópicos ondulatorios. Nótese que es cierto que se pueden observar de forma macroscópica los fenómenos ondulatorios de electrones, en el sentido que podemos encontrar una forma de definir experimentos que nos revelen que los electrones tienen su onda asociada y que la regla de Born es aplicable. No obstante, a un conjunto de electrones no podemos darles una descripción macroscópica y clásica como lo hacemos para fotones con las ecuaciones de Maxwell. Un conjunto de fotones viene descrito por las ecuaciones de Maxwell, o en concreto por la ecuación de onda que se sigue de ellas. Esta ecuación es válida de forma clásica y macroscópica, y de hecho la usamos para describir tales fenómenos. Una onda plana como solución más sencila a tal ecuación puede ser usada para describir un conjunto de fotones. De hecho, un conjunto de fotones todos con la misma onda plana y coherentes es una solución que existe en la realidad: el láser. La ecuación de movimiento para el electrón no-relativista también tiene soluciones expresables como superposición de ondas planas. Pero tales soluciones básicas no puede ser usadas para describir conjuntos de electrones, sino como mucho un sólo electrón.

Con ello estamos ya a la clave del asunto, que nos lo proporcina el principio de exclusión de Pauli. El principio de Pauli afirma que dos fermiones no pueden encontrarse en el mismo estado cuántico, esto es, la misma posición y los mismos números cuánticos. Los bosones, por contra, sí pueden. La propagación de un conjunto de fermiones no puede ser tal que la densidad del número de ellos que podemos medir en una región determinada (la de nuestro detector) crezca ilimitadamente. Para bosones esto no obstante no ocurre y la densidad del número de ellos que podemos medir en una región puede crecer ilimitadamente. Esto, junto con la regla de Born, hace que a un conjunto de fotones, digamos con la misma longitud de onda, se les pueda asociar una amplitud común a ellos, la de un campo electromagnético, o luz monocromática en este caso, dando una medida de la densidad del número de fotones.