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La expansión del universo es adiabática para todo volumen suficiéntemente grande. Esto es así porque para todo volumen suficiéntemente grande el principio cosmológico es aplicable, lo cual significa que no existen flujos de materia o energía a través del volumen mencionado. Por tanto, se puede aplicar la siguiente ecuación relacionando energía interna y presión de un gas:
La interpretación del trabajo 
es no obstante algo diferente de la de un gas en expansión adiabática en un volumen, donde el gas actúa con presión en las paredes del volumen. Aquí se trata más bien de un trabajo realizado en cada punto del espacio. Para un fluido perfecto, que en cosmología es asumido como modelo para los componentes del universo, se tiene 
y 
. Por tanto:
Esto se resuelve en:
^{-\omega})
Esto muestra que todo depende del parámetro de estado 
.
- Si
entonces la energía interna se conserva.
- Si es mayor que cero, entonces la energía interna disminuye a medida que el volumen aumenta. Este es el caso de gases relativistas, como el fondo cósmico de microondas, en el cual el aumento de la longitud de onda de los fotones contribuye a que estos pierdan energía al expandir.
- Si es menor que cero, entonces la energía interna aumenta. Este es el caso de la energía oscura. Si se trata de una constante cosmológica
, por lo que 
, y la densidad de energía se mantiene constante 
. pese a la expansión del espacio. Esto no significa que la conservación de la energía se viole, ya que hay que tener en cuenta que existe una presión, realizando un trabajo, que contribuye a tal comportamiento.
La misma ecuación mencionada arriba se puede obtener de la relatividad general calculando la divergencia del tensor de energía-momento en un espacio cosmológico. Estos resultados son exactos para un espacio-tiempo cosmológico y no dependen de ninguna aproximación. No obstante, está por ver el significado físico de ese trabajo realizado durante la expansión. Uno podría pensar que va a la expansión del espacio-tiempo, pero faltando una definición de energía del espacio-tiempo ese trabajo también puede considerarse como perdido. Esto nos pone frente a uno de los problemas conceptualmente más complicados en la relatividad general: la definición de energía y su conservación.
En este artículo vamos a ver la diferencia ente la dilatación temporal en un espacio-tiempo de Schwarzschild y en uno cosmológico. En ambos calcularemos la dilatación temporal para dos observadores estacionarios que (i) intercambian rayos de luz y que (ii) leen relojes.
La dilatación temporal es la relación entre tiempos propios 
para dos observadores diferentes en el espacio-tiempo.
Dilatación temporal en el espacio-tiempo de Schwarzschild
Partamos del elemento de línea del cual no nos interesan las coordenadas angulares
 \, dt^2 + (1 - 2m/r)^{-1} \, dr^2)
Una señal luminosa sigue una geodésica nula
 \, dt^2 + (1 - 2m/r)^{-1} \, dr^2)
Consideremos dos observadores estacionarios en sistema coordenado en el cual el elemento de línea tiene tal forma. El primero en una posición 
y el segundo en 
. El primer observador lanza un rayo de luz hacia el segundo. Este rayo de luz es emitido en 
y recibido en 
.
} = \int^{t_2}_{t_1} dt)
Luego, el primer observador lanza otro rayo de luz hacia el segundo. Este rayo es emitido en 
y recibido en 
. La distancia recorrida por la luz es
} = \int^{t_2 + d t_2 }_{ t_1 + d t_1 } dt)
El término de la izquierda es igual en ambos casos, al estar ambos observadores estacionarios. Por tanto
Separando en tramos de integración adecuadamente resulta en
Si el segundo rayo de luz fue emitido infinitesimalmente después del primero entonces
y
Es la dilatación temporal como relación diferencia entre los tiempos coordenados. La dilatación temporal se mide no obstante en tiempos propios. Para obtenerla debemos encontrar la relación entre tiempo coordenado y tiempo propio. Como ambos observadores son estacionarios 
y
Por tanto
¿Qué ocurre ahora si ambos observadores quieren leer relojes calibrados igualmente? Esto sólo es posible en el mismo punto espacial, ya que de otra forma o bien hay que usar señales para comunicar el resultado o bien hay que transportar los relojes. En el espacio-tiempo de Schwarzschild dos observadores en el mismo punto espacial en dos épocas diferentes tienen el mismo intervalo de tiempo propio 
al ser 
y el tiempo coordenado cubre todo el espacio-tiempo y es común a ellos.
Es decir, supongamos un observador que calibro su reloj para que avance de acuerdo a una determinada definición de segundo. Lo deja en el mismo lugar espacial y tras cierto tiempo otro observador observa su avance temporal. Asumiendo la misma definición invariante de segundo, este observador lo va a ver avanzar igual que un reloj que haya construido él mismo de acuerdo con tal definición.
Dilatación temporal en el espacio-tiempo cosmológico
Partamos del elemento de línea del cual no nos interesan las coordenadas angulares
Una señal luminosa sigue una geodésica nula
Consideremos dos observadores estacionarios en sistema coordenado en el cual el elemento de línea tiene tal forma. El primero en una posición y el segundo en . El primer observador lanza un rayo de luz hacia el segundo. Este rayo de luz es emitido en y recibido en .
Luego, el primer observador lanza otro rayo de luz hacia el segundo. Este rayo es emitido en y recibido en . La distancia recorrida por la luz es
El término de la izquierda es igual en ambos casos, al estar ambos observadores estacionarios. Por tanto
Separando en tramos de integración adecuadamente resulta en
Si el segundo rayo de luz fue emitido infinitesimalmente después del primero entonces
y
Es la dilatación temporal como relación diferencia entre los tiempos coordenados. La dilatación temporal se mide no obstante en tiempos propios. Para obtenerla debemos encontrar la relación entre tiempo coordenado y tiempo propio. Como ambos observadores son estacionarios dr = 0 y
Por tanto
¿Qué ocurre ahora si ambos observadores quieren leer relojes calibrados igualmente? Esto sólo es posible en el mismo punto espacial, ya que de otra forma o bien hay que usar señales para comunicar el resultado o bien hay que transportar los relojes. En el espacio-tiempo cosmológico dos observadores en el mismo punto espacial en dos épocas diferentes tienen el mismo intervalo de tiempo propio al cubrir el tiempo coordenado todo el espacio-tiempo y ser común a ellos.
Igual que en el caso anterior, supongamos un observador que calibro su reloj para que avance de acuerdo a una determinada definición de segundo. Lo deja en el mismo lugar espacial y tras cierto tiempo (cosmológicamente hablando) otro observador observa su avance temporal. Asumiendo la misma definición invariante de segundo, este observador lo va a ver avanzar igual que un reloj que haya construido él mismo de acuerdo con tal definición.
Conclusión
Pese a las diferencias entre ambas métricas se puede llegar a una conclusión simple. Tanto para el espacio-tiempo de Schwarzschild como para el cosmológico no hay diferencia en los intervalos de tiempos propios para observadores en el mismo punto espacial pero épocas diferentes. No obstante, tan pronto como el observador se encuentra a cierta distancia y usa señales luminosas para describir eventos, entonces aparece la dilatación temporal en ambos espacio-tiempos.
Referencias
En relación con este tema hay otro artículo interesante en este blog:
Hace unos días he visto un documental donde el arqueólogo Lionel Sims presentaba su sorprendente teoría sobre el orígen y sentido de Stonehenge. Según Sims, la función central de Stonehenge vino determinada por la transición entre el culto a la luna y el culto al sol. Antes del culto al sol y las estaciones se adoraba la luna, y antes de ser agricultores sedentarios los humanos fuimos cazadores y recolectores. La luna determinaba las noches propicias para la caza, y la luna influía también la menstruación de las mujeres en pequeños grupos tribales, guiando la vida en los aspectos más importantes de abastecimiento y reproducción. Stonehenge fue construido cuando la humanidad estaba en transición. Por un lado aparece una necesidad de predecir condiciones climatológicas estacionales por medio de los periodos solares, determinantes para la siembra, etc. Por otro lado, no obstante, Sims va más allá y postula que Stonehenge fue construido con la intención de mostrar que el sol se comportaba igual que la luna y la seguía en su trayectoria celeste. Es decir, la función de Stonehenge fue mostrar que la nueva divinidad solar estaba subyugada o jerárquicamente por debajo de la divinidad lunar anterior. Su tesis la presenta Sims con detalle (demasiado detalle para legos como yo) en el siguiente artículo:
The ‘Solarization’ of the Moon: Manipulated Knowledge at Stonehenge
www.radicalanthropologygroup.org/pub_sims_solar_moon.pdf
Stonehenge, ¿una manifestación de la añoranza por un pasado mejor?
Aquí hay un interesante aspecto de manipulación de información por medio de una clase dominante que tenía el conocimiento y quería presentarlo de cierta manera para convencer y llevar al resto hacia una determinada forma de entender el mundo. Algo que se ha repetido a lo largo de toda la historia de la humanidad, pero que no es lo que me atrae en la idea de Sims. Lo interesante para mí es la añoranza por una época pasada más unida con la naturaleza. Una añoranza necesariamente presente entonces si se ha de creer a Sims, y que impulsó a la construcción del Stonehenge como mecanismo para aplacarla o encauzarla correctamente. Mostar la nueva relación entre sol y luna fue requerida para convencer a una nueva sociedad sedentaria, añorante del pasado más libre y sencillo de cazadores y recolectores, y forzada a la transición probablemente por unas nuevas condiciones climáticas que cambiaron ostensiblemente el entorno entonces propicio para la caza.
En este sentido es curioso notar las analogías que se presentan con la transición de la vida de agricultura sedentaria a la vida de la ciudad. Ahí no encontramos un Stonehenge como monumento a un pasado, sino sobre todo una monumental collección de obras de arte, presentes especialmente en el romanticismo europeo de los siglos XVIII y XIX, con intención de mostrar o recordar la naturaleza como lo verdadero y fundamental frente a la civilización.
El romanticismo y la vuelta a la naturaleza
Una figura especialmente interesante desde este punto de vista es el americano John Muir, el cual ya he mencionado una vez en este blog: Un paseo por el bosque - Homenaje a John Muir. No es su intención la de llevarnos a todos otra vez al campo, sino la de mostrarnos la importancia de la naturaleza y especialmente hacer crecer en nosotros el respeto hacia ella. Un respeto casi místico, pero muy concreto y bello. De ahí a las estrellas sólo hay un paso, pequeño para cualquier hombre, pero fundamental para la humanidad.
