La definición de campo gravitatorio

En los libros de texto modernos el campo gravitatorio o a veces también la fuerza gravitatoria se idenfitica con la curvatura del espacio-tiempo. Esto es, ahí donde el espacio difiere de uno plano, donde el espacio-tiempo adquiere curvatura, ahí existe un campo gravitatorio actuando. No obstante, esta no era por ejemplo la posición de Einstein. Einstein identificaba la gravitación con los símbolos de Christoffel, en definitiva, con aceleraciones. Einstein tomaba su principio de equivalencia al pie de la letra y asumía que gravitación y aceleraciones no son sólo equivalentes en cierto sentido, sino que son estríctamente lo mismo.

El principio de equivalencia en la formulación original de Einstein

Un observador que está cayendo desde el tejado de su casa no experimenta campo gravitatorio, al menos en sus inmediaciones. Este cruel experimento mental es lo que Albert Einstein denominó "der glückischste Gedanke meines Lebens" (la idea más feliz de mi vida), y sintetiza básicamente la esencia de la relatividad general (un interesante artículo sobre la historia de la relatividad general en astroseti Historia de la Teoría General de la Relatividad), en concreto el principio de equivalencia.

El principio de equivalencia nos dice que en caída libre el campo gravitatorio no existe y que los observadores en caída libre pueden considerarse, por tanto, como observadores inerciales, es decir, libres de cualquier fuerza que actúa sobre ellos. Impedir la caída de uno de estos observadores, por ejemplo por medio de una superficie que lo sostenga y lo deje en reposo, equivale a someterlo a una aceleración uniforme. En la superficie de la tierra es lo mismo considerar que estamos en un campo gravitatorio uniforme que apunta hacia abajo, que considerar que estamos en un sistema acelerado hacia arriba y medimos con ello una fuerza inercial (ficticia) hacia abajo. La gravitación es con ello una fuerza ficticia, y de hecho es esto lo que permite eliminar a la gravitación de forma local con un cambio de coordenadas. En definitiva, para un observador en reposo el efecto del campo gravitatorio uniforme y el de una aceleración uniforme son equivalentes. Existe por tanto una equivalencia entre ambas descripciones.

La definición de campo gravitatorio en la formulación de Einstein y la moderna

Según esta definición de Einstein, el campo gravitatorio es todo aquello que actúa de forma universal desviando a las partículas de trayectorias rectas y velocidad uniforme, acelerándolas, es decir, cambiando , que es la forma de la ecuación geodésica cuando los símbolos de Christoffel son cero. Esta ecuación geodésica en la relatividad general se generaliza a para t un tiempo propio a lo largo de la geodésica. Las dos ecuaciones son equivalentes cuando , es decir, los símbolos de Christoffel son cero. Según la definición de Einstein el campo gravitatorio son los . Aquí un par de citas de Einstein sobre el tema ("The Foundation of the General Theory of Relativity" de 1916):

It will be seen from these reflections that in pursuing the general theory of relativity we shall be led to a theory of gravitation, since we are able to “produce” a gravitational field merely by changing the system of coordinates.

If the vanish, then the point moves uniformly in a straight line. These quantities therefore condition the deviation of the motion from uniformity. They are the components of the gravitational field.

Los símbolos de Christoffel pueden hacerse cero con un cambio de coordenadas, pero la curvatura no ya que es invariante (el escalar de curvatura por ejemplo). El ejemplo más sencillo que soporta la interpretación de Einstein es el campo gravitatorio uniforme. Un campo gravitatorio uniforme es un campo gravitatorio, pero su curvatura es nula. No obstante, se habla de "campo gravitatorio", y, en un sistema de coordenadas apropiado, existe una aceleración, resultado de símbolos de Christofell no nulos, que se identifica con la fuerza de la gravedad. En ese sentido la "fuerza de la gravedad" es algo dependiente del observador. Todo acorde con su formulación del principio de equivalencia.

En la interpretación moderna de la gravitación el término "campo gravitatorio" se suele reservar sin embargo para la curvatura del espacio-tiempo. Independientemente de terminologías en la relatividad general lo que hay es una geometría del espacio-tiempo, descrita por el tensor de Einstein acoplada a un momento y energía de la materia, descrita por el tensor de energía momento . En concreto, se trata de las ecuaciones de Einstein: . Desde el punto de vista de la discusión terminológica mencionada aquí se pueden distinguir varios casos:

• Espacio-tiempo con curvatura. En la terminología moderna tan pronto existe curvatura (generada, en general, por un tensor de energía-momento) se habla de campo gravitatorio. El problema terminológico aparece cuando no hay curvatura.


• Espacio-tiempo sin curvatura y sin energía-momento. Este es el caso del campo gravitatorio uniforme, con aceleraciones no nulas resultado de un cambios de coordenadas en un espacio-tiempo plano.


• Espacio-tiempo sin curvatura y con energía-momento. Estas suelen ser soluciones que violan alguna condición energética, pero en principio posibles. Concrétamente por ejemplo una "cuerda cósmica" o una "pared cósmica". El espacio-tiempo creado por una cuerda cósmica es plano globalmente, pero no es topológicamente equivalente al espacio-tiempo plano de Minkowski. Este espacio-tiempo puede imaginarse de la siguiente forma: una circunferencia concéntrica a la cuerda en una sección perpendicular a ella no mide 2 pi r, sino menos, ya que al espacio-tiempo le falta un sector angular (es un espacio-tiempo cónico). En estos casos no hay campo gravitatorio con la terminología moderna ni con la de Einstein. No obstante, está claro que algo pasa ahí, algo producido por un contenido material, dando lugar a algo diferente al espacio-tiempo plano.

El concepto de campo gravitatorio de Einstein provenía de ajustarse a su formulación del principio de equivalencia. En la forma moderna de la teoría el concepto de campo gravitatorio es diferente, como hemos visto. Más allá de definiciones arbitrarias la verdad, desde el punto de vista de la teoría, está en las ecuaciones de Einstein. Como hemos visto, tampoco el concepto moderno de campo gravitatorio tampoco captura completamente la esencia de la gravitación que nos es dada en las ecuaciones de Einstein. En principio de equivalencia, por su lado, ha sido reformulado a tres versiones diferentes, el principio débil, el de Einstein y el fuerte. Su relación con las ideas originales de Einstein y las relaciones entre estas tres versiones nos ocuparán en otro artículo.

Observables dependientes y difeomorfismos

La noción de observables parciales y completos, dependientes e independientes, viene definida en el artículo Partial Observables de Carlo Rovelli, http://arxiv.org/abs/gr-qc/0110035. Para entenderla lo mejor es un ejemplo mencionado en el artículo mismo. Imaginemos un conjunto de cartas. Cada una de ellas tiene escrito un número natural N en una de sus caras y un número natural n en la otra cara. Leemos una carta tras la otra y observamos que siempre existe una correlación entre N y n, es decir, N es una función de n, N = N(n). Por ejemplo: si n menor que 5, entonces N = 0, si n mayor o igual que 5, entonces N = 1.

Según las definiciones de arriba, n y N, por separado, son observables parciales. Podemos leerlos pero no podemos predecirlos por separado. No obstante, N(n) es un observable completo. Los pares (N, n) podemos leerlos pero además predecirlos, en el sentido que sabemos que si n toma un determinado valor, como por ejemplo 7, entonces N valdrá N(7) = 1. Si la correlación entre observables parciales n y N se puede expresar como la función de N respecto de n, pero no de n respecto de N, como es el caso en el ejemplo, entonces n es un observable independiente, mientras que N es un observable dependiente.

En la teoría cuántica de campos los observables parciales son las posiciones y tiempos, así como los valores del campo. No obstante, hay una diferencia entre ambos, ya que mientras los valores del campo son observables dependientes, las posiciones y los tiempos son observables independientes. Finalmente el valor del campo para una posición y un tiempo determinado es un observable completo. Lo importante de notar es que esto refiere a la teoría cuántica de campos que, de alguna forma, representa nuestra intuición de lo que es espacio y tiempo absolutos y estáticos sobre los cuales los campos actúan. No obstante, en la relatividad general no existen observables independientes. Esto es así porque el espacio y el tiempo, y en definitiva el campo gravitatorio, no deben tener una preferencia conceptual frente a los demás campos.

Sin duda el campo gravitatorio es algo especial debido a su universalidad. Es precisamente la universalidad del campo gravitatorio, su efecto sobre todo ente físico, lo que nos lleva a identificar espacio y tiempo como observables parciales independientes en la teoría cuántica de campos: posiciones y tiempos son algo identificable de forma independiente ya que el espacio-tiempo es considerado un escenario donde el resto de las interacciones tienen lugar. No obstante, en la relatividad general su universalidad no lo convierte en un escenario predefinido sino que su existencia y sus propiedades están en relación a la existencia y propiedades de la materia, como muestra el famoso argumento del agujero de Albert Einstein.

Una manera formal de hablar sobre el argumento del agujero es tratando con el concepto de difeomorfismos. Los difeomorfismos son transformaciones de coordenadas activas, mientras que las meras transformaciones de coordenadas son pasivas. La mera transformación de coordenadas deja el espacio-tiempo intacto y mueve las coordenadas, mientras que el difeomorfismo mueve todos los campos del espacio-tiempo y deja las coordenadas intactas. Mientras que una transformación de coordenadas nunca puede dar lugar a una simetría dinámica de una acción los difeomorfismos sí pueden y esa es la diferencia principal. La idea de difeomorfismos captura bien esa eliminación del escenario absoluto, cualquier campo es relativo al otro y la noción de puntos del espacio-tiempo carece de valor absoluto.

Estríctamente la noción de difeomorfismo como mapa entre dos variedades se aplica sobre todas las variables dinámicas de una acción. Las coordenadas no son variables dinámicas por lo que, intuitivamente, su transformación ha de ser deshecha de forma que sean evaluadas en la variedad original. Formalmente la mejor forma de entender esto es la noción de derivada de Lie a lo largo de un campo vectorial . Se define como:



El primer término representa la transformación de la variedad a lo largo de las curvas integrales de un campo vectorial:



Esto significa que todos las variables dinámicas en el espacio-tiempo son movidas a lo largo de las flechas adquiriendo un valor nuevo. El segundo término de la expresión de la derivada de Lie es una transformación de coordenadas de los valores nuevos dados por el campo vectorial que define la transformación a los valores antiguos. Por tanto, una acción es invariante frente a difeomorfismos si y sólo si la derivada de Lie de todas las variables dinámicas o todos los campos tensoriales que aparecen en ella es cero. Y esto es precisamente lo que ocurre en la acción de Einstein-Hilbert de la relatividad general, y, en general cualquier acción escrita en forma covariante.

Detalles matemáticos en: Symmetry Transformations, the Einstein-Hilbert Action, and Gauge Invariance, E. Bertschinger.

El cerebro de Boltzmann

El problema de la entropía del universo y sus condiciones iniciales es uno que levanta mucho polvo y trae una larga lista de literatura. El siguiente artículo lo trata desde dos perspectivas que están sacadas de las referencias citadas al final - un artículo publicado y una entrada de blog. En concreto, Sean Carroll, cosmólogo, defendiendo su planteamiento del problema, el clásico en gran parte de la literatura, y Lubos Motl, físico teórico, proporcionando una visión muy consistente en mi parecer sobre el problema en cuestión y que en definitiva viene a negarlo como tal.

El problema de las condiciones iniciales

Las ecuaciones diferenciales de la física nos permiten obtener soluciones que resuelven la evolución temporal del universo a partir de ciertas condiciones en un instante determinado. Esto es, dado por ejemplo el estado de nuestro universo en el momento presente y dadas esas leyes dinámicas, se puede, en principio, resolver toda su historia, y dar por ejemplo con el estado en el instante de la singularidad inicial hace 13.7 mil millones de años. De igual forma, dadas las condiciones iniciales en la singularidad inicial y dadas esas leyes se puede explicar o dar con el estado del universo en el presente.

En un problema de valores iniciales es precisamente esto lo que se quiere: encontrar o predecir un estado futuro a partir de ciertas condiciones iniciales dadas. Pero ¿cuáles han de ser estas condiciones iniciales? ¿Por qué deberíamos decirle al nuestro universo que observamos hoy cómo empezar a ser o a expandir? Nihil est sine ratione: cualquier elección injustificada convierte las condiciones en indemostrables y no ducibles, elevándolas al mismo estatus conceptual que los mismos principios y leyes de la teoría.

En concreto, lo que nos gustaría es dar con unas condiciones iniciales de nuestro universo las cuales podemos calificar de naturales en cierto modo. El concepto de naturalidad en este contexto es algo vago, pero en ciertos casos simples lo vemos claramente relacionado con las leyes conocidas. Por ejemplo, la homogeneidad y la isotropía en la distribución de materia es un estado inestable frente al colapso gravitacional siempre creciente del cualquier fluctuación de densidad. Es por ello por lo que estas condiciones no pueden ser naturales y se intentan obtener de forma dinámica, por medio de la hipótesis del periodo inflacionario.

La entropía del universo y la flecha del tiempo

Uno de los problemas más acuciantes con las condiciones iniciales es, según consta en una larga lista de literatura, el problema de la entropía. En concreto, explicar por qué observamos tal grado de orden en el universo. Un simple cálculo vale para mostrar que si toda la materia estuviese concentrada en agujeros negros la entropía sería mucho mayor que la actual, al menos si nuestra noción del concepto de entropía y cómo calcularla es correcta hoy. Dado que la segunda ley de la termodinámica afirma que la entropía en el universo siempre aumenta se nos presenta la pregunta de por qué es la entropía actual tan baja en comparación con la entropía máxima posible que somos capaces de calcular. O, de otra forma, por qué el universo empezó en un estado de entropía muy baja, por qué fueron precisamente esas sus condiciones iniciales.

La cantidad de entropía de un sistema es proporcional al logaritmo de su número de microestados posibles. Si imaginamos una elección de las condiciones iniciales al azar, con una probabilidad uniforme para la elección de los microestados, un sistema con un número finito de grados de libertad normalmente se encuentra en un estado de máxima entropía. La entropía de un sistema en un microestado determinado es nula y si la probabilidad para su elección es uniforme parece más bien improbable encontrar al sistema en un microestado determinado. En este sentido una entropía baja corresponde con algo muy poco natural y sólo a la entropía alta la calificaríamos como una condición inicial natural.

El cerebro de Boltzmann

Hace más de un siglo Ludwig Boltzmann propuso que este estado de baja entropía apareció como una fluctuación dentro de un universo mucho mayor de entropía muy alta. Esto no atenta en contra de la segunda ley de la termodinámica, ya que incluso en un sistema en equilibrio termodinámico pueden existir fluctuaciones aleatorias locales (no en el sistema total) en el nivel de entropía. La mayoría de las fluctuaciones serán pequeñas pero algunas serán mayores. En este contexto aparece la denominada paradoja del cerebro de Boltzmann. El principio antrópico nos exige que al menos exista un observador o una estructura compleja en el seno de esa fluctuación. Por esta razón este principio no es suficiente para explicar la existencia de muchos observadores, ya que la existencia de una fluctuación con uno solo es mucho más probable (al ser una fluctuación menor). Deberán existir muchos universos en lo que sólo deambule una sola mente en ellos.

Este argumento adolece de un problema serio: no considera que la evolución del universo puede llevar de forma natural a la aparición de estructuras complejas una vez acaecidos ciertos hechos. La aparición de millones de observadores o estructuras complejas no tiene en ese sentido que ser más improbable que la aparición de una planta. Los conceptos de probabilidad y evolución temporal empiezan a tomar un caracter sospechoso cuando uno intenta tratar este tema con rigor. El problema de la entropía en el universo es seguramente uno de los más profundos en la física.

En cualquier caso, nos dicen, nos quedamos con el interrogante de explicar el universo como resultado de condiciones iniciales que podamos considerar naturales. Estas condiciones son estados de alta entropía, configuraciones de equilibrio con fluctuaciones ocasionales, las cuales no parecen suficientes para explicar nuestro universo observado. En definitiva, queremos explicar la flecha del tiempo desde un estado de entropía baja a uno de entropía alta.

La diferencia entre descripción macroscópica y microscópica

Sin embargo, no es oro todo lo que reluce. La descripción de un universo en un estado inicial de baja entropía es una descripción macroscópica. Toda descripción macroscópica significa necesariamente un desconocimiento del estado real del sistema. Es decir, no sabemos en qué microestado se encuentra el universo en su estado inicial, desconocemos sus condiciones iniciales. Es por eso por lo que expresamos el macroestado como una serie de microestados posibles, cada uno con una probabilidad asociada a él. Tal probabilidad depende de la información que poseemos sobre el sistema. Una forma de medir este desconocimiento es por medio de la idea de entropía. La entropía es una medida del desorden de un sistema y, en términos de teoría de la información, representa nuestra ignorancia del estado del sistema.

Por otro lado, un sistema microscópico, cuya evolución temporal queda descrita por las leyes de la cuántica, está en un microestado concreto. En un microestado concreto la entropía es nula, ya que el microestado es conocido perféctamente. Con esta reflexión, pienso yo, se empieza a poner un poco el dedo en la llaga de los argumentos anteriores. Si pasamos a un régimen microscópico de descripción, entonces tiene sentido hablar de estados concretos de cada una de las partículas del universo o en concreto de cada uno de sus grados de libertad fundamentales. En tal descripción la entropía es siempre nula. Esto es así porque las leyes fundamentales de la física son reversibles temporalmente, en ellas la entropía se mantiene constante y nula si el microestado es conocido.

En este sentido aparece también una de los frecuentes malentendidos sobre el teorema de recurrencia de Poincaré. Este teorema nos dice que ciertos sistemas acaban por volver a su estado inicial si uno espera tiempo suficiente. Esta afirmación se entiende a veces como una violación de la segunda ley de la termodinámica. Pero está claro que el teorema de recurrencia de Poincaré es un teorema sobre la evolución de un microestado. Es decir, la evolución de un sistema de partículas (por ejemplo) cuyas posiciones y velocidades son exáctamente conocidas en un tiempo dado. El teorema afirma que esta configuración se dará tras cierto tiempo otra vez. La violación de la segunda ley de la termodinámica no es realmente tal: sólo podemos hablar de la segunda ley de la termodinámica cuando hablamos de macroestados. En este caso hablamos de un microestado concreto y la entropía del sistema durante todo el tiempo es nula.

Entropía o no entropía...

En definitiva, ¿existe un problema con la entropía inicial del universo? ¿qué significa la flecha del tiempo? ¿puede ser una ilusión generada por el tipo de descripción? Si es este el caso ¿por qué sufrimos tal ilusión y qué la genera? Ya me gustaría sabelo. Ahí está la gravedad con su naturaleza estadística (el hecho que las ecuaciones de Einstein no sean mas que reflejo estadístico de unos grados de libertad aún desconocidos) que quizás tenga bastante que decir sobre el tema. Esto igual para otra vez. Sirva lo mencionado para reflexionar, porque respuesta no tengo ninguna.

Referencias

• S. Carroll: Spontaneous Inflation and the Origin of the Arrow of Time
• L. Motl: George Wing & Poincaré recurrences

La tumba de Ludwig Bolzmann en el Zentralfriedhof de Viena

The horizon of eternity

A moving body whose motion was not retarded by any resisting force would continue to move to all eternity.

Es wird sich alles finden, wenn die Zeit dafür gut ist. S. H.

The butterfly effect

... I have never believed that reality could turn out to be fixed by an unimaginative initial condition. Bryce deWitt

Ylem

Ha pasado ya más de medio siglo desde que George Gamow, uno de los pioneros y creadores del modelo del big-bang, planteara junto con Ralph Alpher y Robert Herman la idea de la nucleosíntesis en el marco de este modelo, postulando la formación de elementos ligeros durante una fase muy temprana del universo. Gamow también dió nombre a la substancia inicial de la que debió haber estado compuesto el universo en el instante de la creación. La llamó "ylem", un término procedente del inglés medieval, usado para denominar materia, que llegó al inglés del término griego υλη (hyle, madera). Para celebrar aquel trabajo conjunto, Gamow puso una etiqueta con el nombre de ylem a su botella de licor...


El caso es que el orígen griego del término ylem se remonta a hyle que pasó también a denotar materia, y de tal orígen nos ha llegado el término hilozoísmo. Se trata de una filosofía, de una concepción de la materia y toda la naturaleza que considera que está dotada de vida. El artículo inglés de wikipedia explica el concepto bastante bien: Hylozoism. Al menos en su versión más inmediata esta es una posición difícil de mantener hoy en día, pero no exenta de belleza.

Yo siempre he pensado que la física, y en general la ciencia, debe ser sentida y no sólo pensada para ser entendida. De forma muy ligera es lo que he pretendido algo con las últimas entradas. La reflexión sobre conceptos físicos es también un juego poético, la ciencia es al fin y al cabo una metáfora de la realidad, y estos están ligados a sentimientos y sensaciones. Podría hablar más sobre esto que me ha tenido ocupados mis pensamientos un buen tiempo. Pero lo mejor creo que es incitar a pensar para encontrar el propio camino hacia el cosmos - "a personal voyage" en palabras de Carl Sagan. Y la mejor forma que se me ha ocurrido es con imágenes y citas. Es curioso que una forma de calcular mentalmente es relacionando números con sensaciones e imágenes. Es el método usado por Daniel Tammet (una de las pocas personas con síndrome del sabio - inglés "savant" - capaz de explicar cómo calcula), que mencionaba en una entrevista que el número once es simpático. Creo que es sólo una manifestación de algo mayor, de una conexión espiritual y poética con la realidad.

Pero hilozoísmo es otra cosa, claro. Ya me gustaría a mí saber si el átomo de hidrógeno es simpático o no. Estoy bastante seguro que debe serlo, sencillo y simpático, con capacidad de hacer buenos amigos, algo que nos ha venido muy bien a estructuras tan complejas como nosotros.

Desolation

For small creatures such as we the vastness is bearable only through love. Carl Sagan

The principle of locality

An object is influenced directly only by its immediate surroundings...

At the center

Center: (1) A point or place that is equally distant from the sides or outer boundaries of something; the middle (2) A point around which something rotates or revolves (3) A part of an object that is surrounded by the rest; a core (4) A person or thing that is the chief object of attention, interest, activity, or emotion (5) A point of origin, as of influence, ideas, or actions (6)...

Collisions and gravity

But the most impressive fact is that gravity is simple. It is simple to state the principles completely and not have left any vagueness for anybody to change the ideas of the law. It is simple, and therefore it is beautiful. It is simple in its pattern. I do not mean it is simple in its action—the motions of the various planets and the perturbations of one on the other can be quite complicated to work out, and to follow how all those stars in a globular cluster move is quite beyond our ability. It is complicated in its actions, but the basic pattern or the system beneath the whole thing is simple. This is common to all our laws; they all turn out to be simple things, although complex in their actual actions. Richard P. Feynman

Supernovae at home

When one tugs at a single thing in nature, he finds it attached to the rest of the world. John Muir