Mitos y leyendas: la radiación de Hawking

Vamos a ver en este artículo una explicación detallada de la radiación de Hawking, más allá de las explicaciones populares en la red.

La explicación usual

Nos dice el artículo de wikipedia:

Una de las consecuencias del principio de incertidumbre de Heisenberg son las fluctuaciones cuánticas del vacío. Estas consisten en la creación, durante brevísimos instantes, de pares partícula-antipartícula a partir del vacío. Tales pares se desintegran rápidamente entre sí devolviendo la energía prestada para su formación. Sin embargo, en el límite del horizonte de sucesos de un agujero negro, la probabilidad de que un miembro del par se forme en el interior y el otro en el exterior no es nula, por lo que uno de los componentes del par podría escapar del agujero negro.

Es decir, algo así:


En la explicación heurística el horizonte impide la aniquilación de un par creado en el vacío por el principio de incertidumbre.

Esta es la explicación usual heurística de la radiación de Hawking, que uno encuentra en la mayoría de las páginas de la red. No obstante, esta explicación dista bastante de la realidad teórica y lleva a malentendidos. Veamos un par de conceptos que pretenden aclarar la situación, o al menos proporcionar una idea más cercana a la teoría.

Las partículas virtuales

Las partículas virtuales son un concepto que da lugar a muchas confusiones, especialmente a nivel de divulgación. Aparecen de forma natural en la teoría cuántica de campos cuando se estudian las interacciones. Consideremos por ejemplo la interacción electromagnética. La teoría cuántica de campos nos dice que toda interacción viene descrita por lo que se denomina vértices. Estos son puntos de interacción entre uno o varios campos. Estos vértices vienen determinados por diferentes exigencias que se imponen a la teoría, usualmente debido a condiciones de simetría.

El vértice para el electromagnetismo es uno único y consiste de dos elementos de partícula cargada y uno de fotón. Esto son tres elementos o tres líneas en un diagrama:


El vértice electromagnético.

El fotón es la línea ondulada. Las dos líneas gruesas representan una partícula antes y después de la interacción. Por tanto, si interactúan dos partículas cargadas sin emisión de radiación electromagnética (fotones) la línea del fotón debe mantenerse interna:


Interacción electrostática entre dos partículas cargadas, en la aproximación más simple que describe tal interacción.

Pues bien, todas las líneas internas de este tipo en los diagramas son partículas virtuales. Las líneas con extremos abiertos son partículas reales, que acaban en el detector de la colisión o se propagan libremente por el espacio. Al no haber líneas onduladas con extremos abiertos se trata de una interacción sin emisión de radiación electromagnética. El fotón en el diagrama sólo transporta una interacción y no es detectable, de ahí su nombre "virtual".

No hay otra forma mas que el diagrama de arriba de hacer que dos partículas cargadas, reales y de líneas con extremos abiertos, interaccionen por medio del vértice electromagnético. Bueno, realmente sí la hay, pero a costa de incrementar la complejidad:


Interacción electrostática entre dos partículas cargadas, describiendo tal interacción con mayor precisión.

Aquí se ve bien que las condiciones experimentales son las mismas: dos partículas cargadas - líneas de extremos abiertos - interactúan entre sí. La forma de la interacción es la electromagnética: el mismo vértice siempre con dos líneas gruesas y una ondulada, aunque repitiéndose varias veces. Se ve bien en los diagramas que se puede incrementar la complejidad pero siempre manteniendo dos condiciones: (1) siempre debe haber cuatro extremos abiertos (pasado y futuro respectivamente de las dos partículas cargadas) y (2) en cualquier intersección de líneas debe haber dos líneas gruesas y una ondulada, es decir, el vértice es siempre el electromagnético.

El incremento de complejidad también hace aparecer aquí partículas virtuales diferentes de fotones: hay líneas internas gruesas que corresponden por ejemplo con electrones y positrones virtuales. Con esto también queda clara otra cosa: sin interacciones - sin vértices - no hay partículas virtuales.

Entropía y osciladores armónicos

Las ondas en un estanque son ondas de entropía muy alta. Las moléculas del agua están en movimiento caótico y sus oscilaciones no siguen ninguna pauta determinada a nivel microscópico, salvo que se unen para dar lugar a una onda macroscópica. Por contra, las vibraciones en un sólido cristalino a muy baja temperatura tienen lugar en un entorno de entropía baja. Existe una red cristalina con átomos localizados, los cuales no cambian sus posiciones. Una perturbación en la posición de uno se propaga por la red, pero lo hace manteniendo la estructura.


Las ondas en el agua se produce en un entorno de alta entropía, que desplazan caóticamente a las moléculas en el líquido.

Este tipo de ondas, que tienen lugar en entornos de entropía muy baja, son ondas cuantizadas, es decir, con cuantos energéticos. En el caso de las vibraciones en sólidos a estos cuantos se los denomina fonones. El hecho que en el agua del estanque no se presenten ondas cuantizadas reside precisamente en el diferente nivel de entropía. Los sólidos cristalinos se modelan usualmente asumiendo que en cada punto de la red existe un oscilador armónico. El oscilador armónico es uno de los sistemas más generales de la física y consiste en algo que es desplazado de su posición de equilibrio una mínima cantidad y que es llevado hacia el equilibrio después por una fuerza de restauración, todo ello dando lugar a un característico movimiento sinusoidal a una determinada frecuencia fija. El el caso del sólido la perturbación es algo externo y la fuerza de restauración son las fuerzas moleculares que hacen que los átomos se mantengan en sus posiciones.


Las ondas en un sólido a baja temperatura sólo mantienen la escturctura y se dan en un entorno de baja entropía.

El oscilador armónico es un sistema interesante desde el punto de vista de la mecánica cuántica. En el estado de reposo clásico el oscilador armónico, o un oscilador armónico clásico por ejemplo de un objeto macroscópico enganchado a un muelle, está quieto y en su punto de reposo. Si consideramos un sistema cuántico que sigue las leyes del oscilador armónico (un átomo o una partícula ligada a alguna fuerza por ejemplo), en su estado de reposo no puede tener energía nula. Esto es así por el principio de incertidumbre, que impide al sistema tener una posición y un momento ambos determinados. El oscilador armónico cuántico tendrá por tanto siempre una mínima energía o momento diferente de cero. A este estado se lo denomina estado fundamental. La energía en el estado fundamental de un oscilador armónico es 1/2 h f, siendo h la constante de Planck y f la frecuencia de las posibles de oscilaciones del oscilador (cuando se pone a oscilar).


Niveles de energía del oscilador armónico cuántico para los átomos en una molécula.

La idea de campo y la energía del vacío

Esta introducción sirve para pasar a la teoría cuántica de campos, ya que en la teoría cuántica de campos los campos quedan descritos por una colección de osciladores armónicos. (En la teoría cuántica de campos, el campo es la noción fundamental de la que se derivan las partículas como excitaciones de este.) Es similar a la red cristalina, pero aquí es más extraño: hay una cantidad infinita de osciladores armónicos en cada punto del espacio. En un punto dado hay un oscilador por cada longitud de onda posible a la que el campo puede oscilar. Si hay un oscilador en un punto determinado está oscilando lejos de su estado fundamental, es decir oscilando a una determinada frecuencia, se dice que existe una exictación del campo dando lugar a una o varias partículas de esa longitud de onda (o momento lineal según la relación de de-Broglie). Cuando no existen partículas en todo el espacio los osciladores están inactivos y en su estado fundamental. Se dice igualmente que el campo está en su estado fundamental o vacío.

En la teoría cuántica de campos la energía de vacío del campo viene creada por el estado fundamental de todos los osciladores. Tenemos por tanto una cantidad infinita de contribuciones a la energía del vacío en cada punto (densidad de energía de vacío), una por cada 1/2 h f para todas las f, pese a que los osciladores no están activos. Este estado vacío es igual para todo sistema de referencia inercial. Esto significa que si yo estoy en un sistema inercial y tú también lo estás, y estamos tú y yo midiendo un determinado campo en una región del espacio, coincidiremos ambos en decir que el campo está en su estado fundamental y que, por tanto, no hay partículas y todos esos osciladores están inactivos. Esto es parte de la forma en la que una onda sinusoidal (movimiento del oscilador) transforma frente a transformaciones inerciales: cambia su frecuencia y da lugar a un efecto Doppler. Pero al ser la energía del vacío o el vacío mismo una suma sobre todas las frecuencias posibles, tal efecto es irrelevante ya que todas las frencuencias se desplazan una misma cantidad - y en un rango infinito tal cosa no se nota. Aprovecho para hacer notar que esta idea de osciladores es una representación matemática y algo abstracto, y no es que haya o se asuman muellecitos o algo similar en cada punto del espacio.

Un excurso sobre el término "campo"

El término "campo" se usa en la física de dos formas diferentes, que pueden llevar a confusión. Una acepción, la más fundamental, es la que hemos usado aquí. El universo contiene sólo unos cuantos campos, tantos como tipos de partículas elementales. Para un determinado tipo de partícula elemental (por ejemplo el electrón) todas las partículas de tal tipo (todos los electrones del universo) con sus respectivas antipartículas (todos los positrones del universo) son excitaciones de un único campo. Lo mismo por ejemplo con todos los fotones del universo, creados por el campo electromagnético (o campo del fotón). Esta es la noción fundamental de campo en la teoría cuántica de campos.

Esta es la forma de hablar cuando se habla de campos en la teoría cuántica de campos. Luego, hay otra noción de campo, cuando se dice por ejemplo que un electrón crea un campo electrostático alrededor de él. Hay que tener en cuenta que son dos formas diferentes de hablar. ¿Cómo se reduce esta segunda a la primera, que es la fundamental? Denotemos por *campo* a la noción fundamental dada por la teoría cuántica de campos y por **campo** a la idea procedente de la física clásica, de que una partícula crea un campo a su alrededor. Por un lado, el *campo* electromagnético (el campo del fotón) crea o puede crear fotones como excitaciones de si mismo. Por otro lado el electrón (excitación a su vez del *campo* del electrón) crea un **campo** alrededor de él y que este ejerce una fuerza sobre cualquier carga que esté dentro de él.

Pues bien, cuando un electrón crea una fuerza sobre una carga cualquiera existen excitaciones del *campo* electromagnético que se propagan por el espacio en forma de partículas virtuales. La acción de estas partículas virtuales da lugar al **campo** del electrón. El **campo** y su geometría (simetría esférica, etc.) es consecuencia de las partículas virtuales y excitaciones del *campo*. Estas partículas virtuales son creadas sólo en caso de interacciones; el *campo* del electrón actúa como fuentes y sumideros para el *campo* electromagnético.


Esto también es un campo, pero ni es un *campo* ni un **campo**.

La radiación de Hawking

Volvamos con la noción del vacío de un campo (*campo*). El acuerdo sobre las propiedades del vacío entre sistemas inerciales, se pierde en caso de sistemas acelerados y también en caso de sistemas sometidos a la gravitación. Si yo estoy en un sistema inercial y tú estás siendo acelerado, y estamos tú y yo midiendo un determinado campo en una región del espacio, yo diré que el campo está vacío, pero tú podrás decir que no, que hay partículas en él. Este es uno de los resultados menos intuitivos de la teoría cuántica de campos y muestra que la noción de partícula es algo relativo, mientras que lo fundamental es la idea de campo. La transformación de ondas planas sinusoidales frente a aceleraciones es muy diferente a frente a transformaciones inerciales. Aquí no ocurre que todas las frecuencias se desplacen un valor constante, sino que ciertas frecuencias se aglomeran y dan lugar a una distribución diferente. Para una aceleración uniforme se puede mostrar que lo que se obtiene es una distribución térmica en las ondas planas mencionadas.

Al igual que una aceleración uniforme crea una distribución térmica de oscilaciones (denominada radiación de Unruh), por el principio de equivalencia un campo gravitatorio uniforme crea una distribución térmica de oscilaciones. Este resultado se puede extrapolar para otro tipo de campos gravitatorios, como el creado por un agujero negro. Lo que ocurre es que el observador estacionario el en campo (y por tanto acelerado) ve un vacío diferente al observador en caída hacia el agujero negro (y por tanto inercial). El vacío cerca de un agujero negro puede considerarse en cierta medida como en libre hacia él (por argumentos que me voy a ahorrar aquí) por lo que el observador acelerado (estacionario en el infinito) verá una distribución térmica de partículas saliendo de allí.

En definitiva, el orígen de esta distribución no tiene nada que ver con partículas virtuales, sino con la naturaleza del campo en su estado fundamental. Las partículas virtuales sólo aparecen cuando hay dos o más campos en interacción. La radiación de Hawking, de existir, se daría también si en el universo hubiese un único campo. Si hay más de un campo, como en la realidad por ejemplo electromagético, gluones, quarks, electrón/positrón, etc. la radiación de Hawking significará que de cada tipo de campo aparecerá una radiación térmica hacia el infinito. Naturalmente tal fenómeno es más notable para fotones debido a la fuerza de la interacción electromagnética, pero, en principio, cualquier campo sufre el mismo efecto.

Epílogo

Hemos visto que la densidad de energía del vacío viene dada por las contribuciones de las energías de los estados fundamentales de los osciladores armónicos con los que se modela un campo. Esto considerando un campo o cada campo aislado. Habiendo dos campos en su estado fundamental - sin partículas - puede que estos estén en interacción. Dado que no hay partículas que se propagan por el espacio-tiempo hasta detectores no hay líneas con extremos abiertos, sino sólo burbujas de partículas virtuales:


La figura muestra arriba una burbuja para el caso del electromagnetismo y abajo para otro tipo de interacción.

Hemos visto que si tenemos un sólo campo en el universo hay radiación de Hawking, térmica, de los agujeros negros. Si tenemos varios y los consideramos todos libres, habrá igualmente radiación de Hawking, térmica, de cada campo por separado. Pero, ¿y si tenemos varios campos en interacción? ¿Habrá alguna corrección a la radiación de Hawking, térmica, de cada campo por separado? Desconozco la respuesta, y parece una pregunta digna de ser estudiada.