El coche y el garaje

La clásica paradoja del coche y el garaje, conocida en inglés como "the barn and the pole" o similares, es explicada muchas veces con diagramas espacio-temporales. Aquí una explicación con números, que pretende ser lo más sencilla posible.

Tenemos un coche de longitud (en las unidades que sea) y un garaje de longitud . El garaje tiene una puerta de entrada a su principio (en y a su final una puerta de salida (en ). El coche se mueve a velocidad relativista con en hacia el garaje. Esto corresponde con una velocidad y es elegida así para simplificar luego los cálculos.

Desde el punto de vista del garaje

La situación es simple. La longitud del coche medida en el sistema de referencia estacionario con el garaje es:



Esta es la contracción de Lorentz. Por tanto, desde el punto de vista del garaje, el coche va a caber dentro del garaje. Para comprobar la veracidad de la contracción de Lorentz, alguien dedice capturar el coche de la siguiente forma.

Las puertas del garaje quedan ambas abiertas hasta que el coche está dentro. En el momento en el que el coche queda dentro, ambas puertas se cierran sólo un instante y luego se vuelven a abrir. La puerta de salida se cierra cuando la parte trasera del coche llega a y la puerta de entrara se cierra cuando la parte trasera del coche sobrepasa .

Inmediatamente después que se dan estas condiciones, ambas puertas se abren otra vez. El coche, sin cambiar en ningún momento su velocidad, queda capturado un instante en el garaje y luego sigue, pasando de largo hacia mayores de .

Desde el punto de vista del coche

La longitud del garaje medida en el sistema de referencia comóvil con el coche es:



Aparentemente el garaje es demasiado pequeño para que quepa el coche, pero ahora veremos que la relatividad de la simultaneidad sale al rescate. Supongamos que el coche entra en el garaje.

Sea el intervalo de tiempo entre los eventos (A) llegada de la parte frontal del coche a la pared final del garaje y (B) llegada de la parte trasera del coche a la puerta de entrada al garaje.

Medido en el sistema de referencia estacionario respecto del garaje estos dos eventos A y B son simultaneos . Medidos en el sistema de referencia comóvil con el coche:



Esta es la transformación de coordenadas de acuerdo con las transformaciones de Lorentz. Prima son cantidades en el sistema del coche y sin-prima en el sistema del garaje.

es la separación espacial entre ambos eventos A y B, medida en el sistema del garaje, es decir, la longitud del coche medida en el sistema del garaje: . El intervalo corresponde con la separación temporal entre los eventos, medido en el sistema del garaje, que vimos que es cero. Por tanto:



Esto significa que los eventos A y B no son simultaneos en el sistema comóvil con el coche. Cuando la parte frontal del coche llega al final del garaje (evento A) y la puerta de salida se cierra, el observador en el sistema comóvil con el coche ve que hay tiempo todavía hasta que la puerta de entrada se cierre. Si durante ese tiempo la parte trasera del coche se mueve con velocidad , el coche podrá meter todavía una longitud



dentro del garaje. Como la longitud del garaje es medido desde el coche, y el coche mide medido en el coche, ocurre que una vez el coche dentro del garaje quedan de coche fuera (todo esto medido en el coche). Precisamente estos que quedan fuera pueden ser metidos aún debido a que el cierre de puertas no es simultaneo.