Filtración de la gravedad y energía oscura

Mucho se ha hablado sobre Gia Dvali y su modelo de branas con filtración de la gravedad. Ejemplos de noticias las tenemos por ejemplo en Leaking Gravity May Explain Cosmic Puzzle o en Evidencia muy cercana de energía oscura. Pese a ser un tema ciertamente complejo creo que la física puede entenderse de forma intuitiva sin necesidad de quedarse en la imagen muy incompleta que tales artículos proporcinan.

Los modelos de Dvali se encuentran detalladamente expuestos en Cosmology on a Brane in Minkowski Bulky y 4D Gravity on a Brane in 5D Minkowski Space, que son los artículos que yo he tomado como referencia.

Para entender los modelos empezemos recordando que la acción de la gravitación sobre la materia y vice-versa es proporcional a la constante de gravitación . Las ecuaciones de Einstein - de la relatividad general - las cuales nos describen tal comportamiento, contienen una parte que nos describe la gravitación como tal - o la geometría del espacio-tiempo - y otra que nos describen la materia. Parafraseando a Wheeler: la materia le dice al espacio-tiempo cómo curvarse y el espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse. Ambos procesos están en relación a través de la constante de gravitación. En el marco de la relatividad general esto es válido para todo espacio-tiempo de cuatro dimensiones, en concreto tres espaciales y una temporal (3+1).

Si uno extrapola la validez de las ecuaciones de la relatividad general a un espacio-tiempo de cuatro dimensiones espaciales y una temporal (4+1) las cosas no cambian básicamente. Aquí la geometría del espacio-tiempo de cinco dimensiones queda determinada por la distribución de materia y ambas vienen acopladas a través de una constante de gravitación. Tal constante la denotaremos para diferenciarla, en principio, de , aquella válida para la relación entre geometría y materia en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones.

Las cosas se ponen interesantes cuando uno considera que dentro del espacio-tiempo de cinco dimensiones la materia no está libremente distribuida, sino que está confinada en una 3-brana. Esto es un subespacio de tres dimensiones dentro del espacio de cuatro dimensiones. A su vez, la 3-brana y el tiempo conforman un espacio-tiempo de cuatro dimensiones dentro del espacio-tiempo de cinco dimensiones.

En una situación así es de esperar que la materia en la 3-brana de lugar de forma natural a un efecto sobre la gravitación en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Una forma de entender esto es en analogía con parte de lo mencionado en la entrada Speed of Light in Non-Trivial Vacua.

Recordemos que en aquella entrada considerabamos por un lado la propagación (o el propagador) de un fotón libre en una supuesta teoría que no contempla la interacción del campo electromagnético con el campo que da lugar a fermiones elementales de carga eléctrica no nula (por ejemplo, electrones y positrones). Esta propagación queda representada por la línea 1 de la figura de abajo:



Luego considerabamos el fotón en una teoría que contempla la interacción del campo electromagnético con el campo que da lugar a fermiones elementales de carga eléctrica no nula. Este es el caso más realista. En el caso de interacciones el propagador es corregido por efectos cuánticos. Estas interacciones se modelan como partículas virtuales, que son líneas internas en los diagramas (líneas que no tienen un extremo libre).

Precisamente estos efectos cuánticos pueden considerarse como una expansión en serie de diferentes formas. Una de ellas es en función del número de lazos (loops). El diagrama 2 de la figura de arriba nos muestra la corrección de un lazo al propagador del fotón y considera las correcciones de dos lazos como despreciables. El significado físico de ese diagrama es que el fotón, mientras se propaga, se convierte en un par electrón-positrón, los cuales se aniquilan luego en un fotón, que sigue propagándose. A este fenómeno se lo conoce con el nombre de polarización del vacío. El fotón propagándose por el vacío en el espacio-tiempo con todas sus correcciones debido a interacción con las partículas de carga eléctrica, se propaga por definición, en ese vacío de referencia, a la velocidad c.

En tal vacío, real y con interacciones, existe una corrección a su propagador que en primer órden equivale al diagrama 2. En aquella entrada mencionabamos que tal corrección abre una puerta a que la propagación sea a diferente velocidad en diferentes vacíos. Sobre el par electrón-positrón pueden actuar diferentes modificaciones del vacío, como por ejemplo un campo magnético externo. Una influencia de este tipo actúa diréctamente sobre la propagación del fotón. También otras como un campo gravitatorio o una cavidad dando lugar a un vacío de Casimir.

Lo que nos interesa es entender en general esta idea de la propagación y las partículas virtuales y su potencial influencia en la propagación del fotón. Pues bien, aquí la situación, con la gravitación en cinco dimensiones y la 3-brana es curisamente algo similar. No se trata aquí de posibles variaciones en la velocidad de propagación del fotón, sino de un efecto restrictivo, geométrico, en la propagación del gravitón que supuestamente porta la interacción gravitatoria. En cierta corrección al propagador, el gravitón que se propaga por el espacio-tiempo de cinco dimensiones, puede ser convertido en un par fermión-antifermión. Estos fermiones están confinados en la 3-brana, con lo que el gravitón está obligado en cierta corrección a actuar sobre la 3-brana o el espacio-tiempo de cuatro dimensiones.

Esto da lugar a la existencia de un término adicional en la acción de la gravitación sobre la materia. Recordemos que en cinco dimensiones espacio-temporales la acción de la gravitación (espacio-tiempo) sobre la materia y vice-versa es proporcional a la constante de gravitación . Ahora tenemos, adicionalmente, un término de acción de la gravitación sobre la materia y vice-versa ha de ser proporcional a la constante de gravitación en cuatro dimensiones , ya que se trata de materia en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones actuando sobre la geometría en cuatro dimensiones, u obligando a la geometría de cinco dimensiones a tenerla en cuenta sólo en un subespacio de cuatro.

Ahora pensemos en un modelo cosmológico para el espacio-tiempo de cuatro dimensiones dentro de ese espacio-tiempo de cinco. Tal modelo impondrá el principio cosmológico de homogeneidad e isotropía en la 3-brana. Varias posibilidades se presentan:

• Si las fluctuaciones cuánticas de la brana no existen, entonces el efecto mencionado sobre el gravitón no aparece y tampoco aparece el término de la acción mencionado. Con ello resulta una cosmología similar a la del espacio-tiempo de cuatro dimensiones para la 3-brana en el tiempo pero controlada por la constante de gravitación en cinco dimensiones.


• Si las fluctuaciones cuánticas de la brana existen y entonces se recobra la cosmología usual en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones. La condición es realmente algo diferente e involucra también al radio de Hubble, pero intuitivamente nos podemos quedar con esta. Tal condición viene a significar que la gravitación en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones no es influida por los efectos gravitatorios de un espacio-tiempo de dimensión superior. Para el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, el espacio-tiempo de cinco es como si no existiera.


• Por último, y este es el caso interesante, Si las fluctuaciones cuánticas de la brana existen y no se cumple entonces se la cosmología en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones aquiere una corrección. Tal corrección es debida a la existencia de gravitación que se propaga también en dimensiones superiores. Desde el punto de vista del espacio-tiempo de cuatro dimensiones se trata de una filtración de la gravedad hacia dimensiones superiores. Desde el punto de vista del espacio-tiempo de cinco dimensiones se trata de una restricción de la gravedad al espacio-tiempo de cuatro, forzada por los efectos cuánticos de la materia o de la gravitación que puede convertirse virtualmente en materia (los pares fermión-antifermión mencionados en una corrección de primer orden).

Pues bien, lo que Dvali muestra es que para la última situación, en determinados casos, esa corrección actúa acelerando la expansión del espacio. Además, y esto no en determinados casos sino siempre, existe una ligera desviación en la gravitación newtoniana y su ley del inverso del cuadrado de la distancia. El escape de los gravitones da lugar a un debilitamiento de la gravitación. Esto se puede entender pensando en la ley de Gauss que nos proporciona una forma de calcular la fuerza gravitatoria en una superficie que incluye fuentes (masas) en el volumen que contiene. Si las dimensiones adicionales actúan como sumideros, la fuerza en la superficie puede disminuir. Nótese que este disminuir no significa necesariamente que tal fuerza deba hacerse repulsiva a grandes escalas imitando una energía oscura que acelera la expansión del espacio. Este fenómeno no es nada trivial y es una consecuencia del modelo que se da sólo bajo determinadas situaciones.

Esto hasta aquí que ya me he extendido mucho. Quizás para otra vez algún que otro detalle más sobre estos modelos cosmológicos.