Allegro ma non troppo: la cuerda bosónica

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La acción y la hoja de mundo

Un objeto adimensional, una partícula puntual, en un espacio-tiempo plano (de la relatividad especial) de d dimensiones, sigue una línea de mundo que representa su evolución temporal. Por ejemplo, aún en caso de estar estática la partícula, su línea de mundo es una línea vertical paralela al eje temporal. Su movimiento libre es tal que sigue una geodésica y su momento lineal se conserva. Este movimiento es consecuencia matemática del principio de acción mínima, que nos dice que la trayectoria que minimiza o en general hace estacionaria una acción es aquella que es física. La acción, para la partícula puntual, es proporcional a su tiempo propio τ que parametriza la línea de mundo proporcionando una medida de su longitud.

Un objeto unidimensional, una cuerda, en un espacio-tiempo plano d dimensiones sigue una hoja de mundo. Su centro de masas es un lugar geométrico adimensional, que se comporta como la partícula puntual. Es decir, si está libre se mueve por una geodésica y su momento lineal se conserva. El movimiento de una cuerda es, no obstante, más complejo, ya que presenta un grado de libertad interno en la dinámica de cada uno de los puntos de la cuerda.

La hoja de mundo tiene dos dimensiones, una que sigue con el centro de masas en la dirección del movimiento en el espacio-tiempo y la otra perpendicular a ella. Es decir, una vez localizados en la hoja de mundo en el espacio-tiempo, se necesitan dos parámetros (τ, σ) para definir un punto P dentro de ella, P(τ, σ), y, con ello, especificar un punto en la dinámica de la cuerda. Por otro lado, cada el punto P en la hoja de mundo está localizado dentro del espacio-tiempo de d dimensiones con coordenadas P(τ, σ) = {P0(τ, σ), P1(τ, σ), ..., Pd(τ, σ)}. Estas funciones Pi(τ, σ) determinan la forma de la hoja de mundo dentro del espacio-tiempo. Las coordenadas de la hoja de mundo son dependientes del sistema coordenado elegido para describir la física, pero su area es invariante.

Al igual que la acción de la partícula puntual se define proporcional a su tiempo propio τ, la acción de la cuerda se define proporcional al área de la hoja de mundo definida por (τ, σ). A esta acción se la denomina acción de Nambu-Goto. En la mayoría de las aplicaciones, trabajar con ella resulta algo complicado, por lo que se hace uso de una formulación equivalente de la acción, denominada acción de Polyakov.

Las simetrías de la acción

Un aspecto esencial a tener en cuenta son las simetrías de la acción. Una simetría es una operación que deja la acción invariante. Una de las características de la acción de la cuerda es que, al estar definida de forma libre un el espacio-tiempo de la relatividad especial, hereda la simetría de Poincaré (simetría de la relatividad especial). Es decir, la acción ha de ser invariante frente a cambios de coordenadas en el espacio-tiempo plano de d dimensiones. De otra forma la física no sería la misma para diferentes observadores inerciales.

Otra simetría es la simetría frente a reparametrizaciones de la hoja de mundo. Tomemos como analogía la partícula puntual. Su acción está definida proporcional al tiempo propio, pero igualmente puede definirse proporcional a otro parámetro (afín) que parametrice la curva de mundo y proporcione con ello una medida de su longitud. En el caso de la cuerda y su hoja de mundo la situación es similar, con invarianza frente a reparametrizaciones Pi(τ, σ) = Pi(τ', σ'). Esto significa que la física es independiente de las propiedades interiores a la hoja de mundo.

Por último, existe una simetría conforme, denominada también simetría de Weyl. En la hoja de mundo, al ser ésta una superficie bidimensional dentro del espacio-tiempo, se puede definir una métrica que nos diga cómo definir distancias dentro de ella haciéndo uso de τ y σ, y, que, a su vez, viene inducida por el espacio-tiempo de d dimensiones en el cual hemos definido la acción. Pues bien, la acción es invariante frente a cambios de escala de la métrica. Esto significa que es invariante frente a multiplicar la métrica la hoja de mundo bidimensional por una constante, de forma que las distancias varíen pero no los ángulos. Este tipo de simetría conforme es especial para espacios bidimensionales, ya que en ellos la métrica tiene un sólo componente independiente (la métrica es una matriz simétrica 2x2 con tres componentes, y dos de ellos se pueden eliminar imponiendo invarianza frente a cambios de coordenadas). En línea con la simetría anterior, esto significa que la física es independiente de la métrica interior de la hoja de mundo, ya que el único componente independiente de la métrica es eliminado por la simetría de Weyl.

Una consecuencia interesante de la parametrización realizada de la cuerda es que la física puede considerarse una teoría de campos en el espacio-tiempo bidimensional τ, σ, con d campos escalares dados por Pi(τ, σ) y con simetría conforme en el espacio-tiempo bidimensional. La simetría de Poincaré en este caso sería una simetría interna. En tal caso es interesante notar que la acción de Polyakov es físicamente independiente de la métrica de fondo definida sobre la hoja de mundo. En la otra formulación original, la acción de Polyakov es dependiente del fondo determinado que hemos elegido como el espacio-tiempo plano con simetría externa de Poincaré.

Las ecuaciones de movimiento

De la acción de Polyakov, o equivalentemente también de la de Nambu-Goto, se pueden derivar las ecuaciones de movimiento de la cuerda de acuerdo con el principio de acción mínima. La imposición del principio de acción mínima obliga a considerar un término de frontera en la integración, cuyo tratamiento, a su vez, determina una distinción fundamental entre cuerdas cerradas o abiertas. Por otro lado, para determinar una solución concreta a las ecuaciones de movimiento hace falta, además, fijar unas condiciones de contorno en los extremos de la cuerda. Para cuerdas cerradas esta condición viene fijada de forma natural por el hecho de que no tienen extremos. Para cuerdas abiertas aparecen dos clases diferentes de condiciones de contorno se denominan condiciones de Neumann y condiciones de Dirichlet.

Las primeras fijan las derivadas de los extremos de la cuerda e implican que el momento es conservado en los extremos, mientras que las segundas son equivalentes a mantener la posición de los extremos fija. La superficie p-dimensional en la que los extremos de una cuerda quedan fijos en el caso de condiciones de Dirichlet se denomina D-p-brana (D por Dirichlet y p por su dimensión). El resultado final es que la cuerda cumple una ecuación de onda: a lo largo de σ la cuerda puede vibrar subiendo y bajando a medida que transcurre τ. La proyección de esta vibración en cada una de las coordenadas espacio-temporales viene dada por los Pi(τ, σ) correspondientes. En general, la onda en cuestión puede expresarse como suma de dos soluciones cada una de ellas moviéndose hacia un lado diferente de la cuerda L y R. Para la cuerda abierta, no obstante, ambas soluciones no son independientes.

La onda general, solución a las ecuaciones de movimiento, puede descomponerse en una serie de Fourier, de la forma usual, sobre ondas básicas y con coeficientes sobre éstas que nos representan los modos oscilatorios de la cuerda. Hasta aquí todo son propiedades clásicas de una cuerda, que puede ser una cuerda cualquiera y no tiene por qué tener nada que ver con una teoría de unificación. Antes de proceder con el tratamiento cuántico de la cuerda, conviene aún mencionar que las ecuaciones de movimiento de la cuerda contienen grados de libertad no-físicos, representados por las simetrías mencionadas de la acción.

En general, ocurre que la relatividad especial y el requerimiento de invarianza frente a cambios coordenados nos impone describir la física de una forma muy determinada (covariante), cosa que lleva a que todos los grados de libertad no sean independientes. Por ejemplo, para el momento y la energía (p0 = E, p1, ..., pd) de una partícula puntual existe una relación entre ambos dada por E² - p1² - ... - pd² = m², que se reduce a E² - p² = m², ó la famosa E = m (con c = 1) en el sistema comóvil con la partícula. Para la cuerda la situación es similar, pero además tenemos una simetría interna de la hoja de mundo, la simetría de Weyl. Esta da lugar a otras condiciones (ligaduras) sobre los grados de libertad que serán de fundamental importancia a la hora de aplicar los principios de la mecánica cuántica.

Nota: la masa y las D-branas

Antes de pasar a hablar sobre qué ocurre cuando se aplican los principios de la cuántica a una cuerda relativista, quizás conviene hacer un par de puntualizaciones más.

Primera, sobre la masa de la cuerda. Al igual que para una partícula puntual vale la expresión E² - p² = m², de la cual se puede derivar la masa. Para la cuerda, no obstante, tal fórmula puede expresarse en términos de los coeficientes de la expansión de Fourier. Esto nos indica que la cuerda adquirirá una masa u otra dependiendo de su modo de vibración. Tal expresión es radicalmente modificada cuando se tratan los efectos cuánticos, pero da ya una idea de que va a haber un espectro de masas diferentes.

Segunda, sobre las D-p-branas. Como he mencionado, son superficies o espacios en los que se fija una condición de contorno de Dirichlet, es decir, se especifica que los extremos o uno de los extremos de la cuerda está obligado a quedarse en la brana. Para hacerse una idea más visual conviene imaginar dos situaciones extremas. Si la D-p-brana tiene dimension cero (una D-0-brana), entonces los extremos de la cuerda están fijos en un punto determinado del espacio de d dimensiones y la cuerda no puede moverse. Si, por contra, la D-p-brana tiene dimension d-1 (una D-(d-1)-brana), entonces los extremos pueden moverse libremente por todo el espacio de d-1 dimensiones (a lo largo del tiempo, evidentemente). Ambos casos extremos aparecen de considerar este concepto de forma general. Conviene notar también que la noción de D-p-brana emerge así de forma natural en la teoría de cuerdas y que no es un objeto que necesita introducirse como hipótesis adicional en la teoría.

La noción de cuantización

Para entrar en el mundo cuántico de la cuerda relativista conviene adquirir primero una idea de qué significa cuantizar. Cuantizar es un procedimiento matemático que consiste en crear una teoría cuántica a partir de una teoría clásica. Se trata de un mapa, el cual, a ciertos elementos de la teoría clásica, asigna nuevos elementos en un marco matemático diferente, que dará lugar a la formulación cuántica.

En concreto, el procedimiento probablemente más famoso es la cuantización canónica. Se parte de la teoría clásica con ciertos observables definidos como funciones en el espacio de fase (espacio de posiciones y momentos) - como, por ejemplo, la energía, y se los convierte luego en operadores actuando sobre estados o funciones de onda en un espacio vectorial (un espacio de Hilbert). Las relaciones matemáticas entre observables los hacen formar un álgebra determinada, que en la teoría cuántica tiene la propiedad especial de que importa el órden en el que estos actúan (no es lo mismo medir posición y luego momento que momento y luego posición de una partícula - hecho en íntima relación con el principio de incertidumbre).

Con esta breve y muy general introducción vamos ya con la cuerda relativista. En una primera aproximación, y dejando de lado una lista interminable de detalles sobre ligaduras y otros horrores, se puede aplicar este procedimiento de cuantización para cuerdas abiertas que se mueven libres por el espacio, es decir, cuerdas cuyos extremos están en una D-(d-1)-brana. Unas de las funciones más importantes en la teoría clásica que he descrito anteriormente son los modos de oscilación, es decir, los coeficientes de la expansión de Fourier en la solución a las ecuaciones de movimiento. Como funciones clásicas que se precian estos son promovidos a operadores en la teoría cuántica, y, al igual que para un oscilador armónico, estos modos añaden o eliminan una oscilación de determinada frecuencia. Se los denomina por ello operadores de creación y aniquilación (que abajo denotaré como a y a').

El espectro de masas de la cuerda abierta y cerrada

Recordemos que la masa de una cuerda, en concreto m² = E² - p², puede expresarse como función de los modos de oscilación. Pues bien, traducida esa expresión a la teoría cuántica, adquiere una constante de forma que, para un estado sin excitación alguna, la el valor de m² no es nulo. Esto es consecuencia del hecho que el órden de los operadores importa en la teoría cuántica pero no en la clásica. De forma muy general:

m² = - 1/s + F(a, a')

La constante es negativa (- 1/s). Debido a ello, el estado de no exitación alguna corresponde con m² = - 1/s, y, consiguientemente, con un m imaginario. Con ello hemos identificado el estado fundamental de la cuerda, en el cual la cuerda se comporta de igual forma que una partícula puntual, es decir, sin vibración alguna. Tal estado es un taquión debido a la masa imaginaria. La existencia de un taquión en la teoría es una característica muy ligada a las propiedades de las D-branas y lo que viene a mostrar este resultado es que la D-d-brana es inestable. El que tenga interés en estos detalles le recomiendo repasar el final del capítulo 12 de Zwiebach " A First Course in String Theory" que es al fin y al cabo la referencia que estoy resumiendo aquí.

Antes de pasar a mencionar las características del siguiente estado (el estado excitado con menor valor de m²) conviene notar algo sobre las condiciones de consistencia del procedimiento de cuantización. Imponiendo adecuadamente las relaciones algebráicas sobre operadores y exigiéndo, además, que las simetrías mencionadas anteriormente de la acción se mantengan igualmente en la teoría clásica, se llega a la conclusión que esto sólo es posible si el número de dimensiones espacio-temporales de d = 26. A este valor se lo denomina dimensión crítica. Teorías de cuerdas con dimensiones diferente de la crítica son posibles y estables, pero las simetrías clásicas de la acción dejan de serlo en la teoría cuántica. Con este resultado la teoría de cuerdas predice la dimensión del espacio-tiempo debido a condiciónes de consistencia.

Tras esto pasamos a mencionar las características del primer estado excitado y los siguientes. Un hecho curioso es que la primera excitación cancela exáctamente la constante negativa mencionada en la expresión para la m². Esto significa que el primer estado excitado es sin masa. El resto de los estados dan lugar a un espectro discuitinuo pero no acotado (infinito) de masas posibles. Estos estados resultan tener las mismas propieades que las partículas en la representación de partículas de la teoría cuántica de campos, y, por tanto, pueden identificarse como tales.

Nótese también que los estados van en saltos de 1/s partiendo desde -1/s. Aquí s es una constante relacionada con la tensión T de la cuerda como T = 1 / (s h c), con h la constante de Planck y c la velocidad de la luz en el vacío. Tal parámetro se relaciona también con una longitud característica de la cuerda lc como lc = (h/2pi) c (s)^1/2. La longitud lc puede ser o no igual a la longitud de Planck lp, pero probablemente similar lc ~ lp.

Especialmente interesante es también el espectro de la cuerda cerrada. Al igual que para la cuerda abierta el estado fundamental es taquiónico, aunque aquí la relación de tal hecho con la estabilidad de las D-branas no está dada. El siguiente estado, excitado y de menor valor de m² es también sin masa y tiene grados de libertad que pueden descomponerse en tres grupos: (i) su parte simétrica y sin traza que se identifica con el gravitón, (ii) su parte antisimétrica, que se denomina campo de Kalb-Ramond, y (iii) la traza, que se denomina campo dilatón. Con esto estamos frente a una de las propiedades más importantes de la teoría: sin haber postulado ningún tipo de teoría de la gravitación inicialmente nos hemos encontrado con exitaciones correspondientes al campo gravitatorio. Evidentemente para poder afirmar esto hay que mostrar que tal excitación cumple las ecuaciones de la relatividad general, cosa que se puede hacer.

Los otros dos campos asociados con la primera excitación de la cuerda cerrada tienen diferentes interpretaciones físicas que quizás mencionaré más adelante. Lo que conviene notar para finalizar esta parte es que todas las excitaciones, tanto de las cuerdas abiertas como de las cerradas, dan lugar a partículas de espín entero. Esto significa que la teoría sólo acomoda bosones y no fermiones, de ahí su nombre cuerda bosónica. No perdamos de vista que lo mencionado para cuerdas abiertas vale cuando estas son libres cuyos extremos están en D-25-branas. La próxima vez intentaré explicar qué ocurre con cuerdas fijas en D-p-branas (p < 25) y entraremos con ello en el mundo de las interacciones y la supuesta capacidad de la teoría de sacarse de la chistera al modelo estándar de partículas.

D-branas e interacciones

Intentemos entender ahora los efectos cuánticos de cuerdas asociadas a D-p-branas. La cuantización de las cuerdas cuyos extremos están fijos en D-p-branas (es decir, obligados a moverse en espacios de p dimensiones) es algo diferente del caso p = 25 (es decir, los extremos totalmente libres). Las condiciones de contorno han de ser impuestas, dando lugar a ecuaciones de movimiento diferentes, una expansión en modos de vibración diferente, y, consiguientemente, una fórmula diferente para m².

Para una única D-p-brana de p < 25 dimensiones dentro del espacio de 25, el estado fundamental sigue siendo un taquión, al igual que el caso de el espacio de 25 dimensiones (25+1 espacio-tiempo). Al igual también que en el caso D-25-brana, el primer estado será sin masa y los estados van aumentando en la misma proporcion 1/s que habíamos mencionado (se dice en estos casos que hay una torre infinita de estados o partículas de diferentes masas a partir del estado fundamental). Al contrario que en el caso de D-25-brana, no obstante, el primer estado no es único y puede diferenciarse en dos partículas diferentes. Esto es debido a que el operador de creación que actúa sobre el estado fundamental para crear el primer estado tiene componentes normales y componentes coplanares con la D-p-brana, las cuales dan lugar a efectos básicamente diferentes. Correspondiente con las componentes coplanares el primer estado es un fotón. Correspondiente con las componentes normales el primer estado es un bosón escalar, concrétamente un bosón escalar por cada una de las componentes normales a la D-p-brana, es decir, d-p bosones escalares.

Este ejemplo sencillo ya muestra como la consideración de D-p-branas puede dar lugar a una diversificación en el espectro de partículas. El siguiente ejemplo a considerar, y que trata también Zwiebach en su libro, es el caso de 2 D-p-branas paralelas con cuerdas que tienen un extremo en una D-p-brana y el otro extremo en la otra D-p-brana. Interesantemente, en tal caso el estado fundamental ya no es necesariamente un taquión y depende de la separación entre las D-p-branas. El valor de m² será mayor a mayor separación. Existe una separación crítica que hace del estado fundamental un estado sin masa. Separaciones menores darán lugar a un estado fundamental taquiónico y separaciones mayores darán lugar a un estado fundamental masivo. No obstante, este caso de dos D-p-branas paralelas con cuerdas entre ellas, es de interpretación física bastante dudosa, ya que las excitaciones de las cuerdas correspondientes existen en ambas D-p-branas a la vez, dando lugar a efectos no-locales.

La generalización de este caso es el caso de N D-p-branas paralelas, con cuerdas que van de una D-p-brana a otra, o de una D-p-brana a la misma D-p-brana. Si uno considerase interacciones, vería que las cuerdas que van de la D-p-brana 1 a la D-p-brana 2 podrán interactuar con cuerdas que van de la D-p-brana 2 a la 3, pero no con cuerdas que van de la D-p-brana 3 a la 4, por ejemplo. Un escenario así tiene el mismo problema de interpretación física que el anterior. Sin embargo, se puede exigir que la distancia entre las N D-p-branas sea cero. La identidad de las D-p-branas seguirá siendo tal y existirán igualmente, sólo que su distancia será nula. Los efectos de las excitaciones de las cuerdas correspondientes tendrán lugar en un único lugar accesible. Pues bien, ocurre que N D-p-branas coincidentes contienen como primera excitación de sus cuerdas a N² bosones sin masa correspondientes a un grupo de simetría interna U(N), los cuales interactúan entre sí de acuerdo con tal grupo (al estilo de una teoría de Yang-Mills).

En defintiva, las D-p-branas nos hacen emerger a las interacciones como una peculiaridad de las excitaciones de las cuerdas restringidas a esas D-p-branas. La sutil interdependencia entre cuerda y D-p-brana da lugar a un efecto fundamental aquí. Los grupos de simetría interna son una pieza clave a la hora de describir el modelo estándar de partículas. En él cada una de las interacciones es modelado por un grupo de simetría representado por matrices con ciertas propiedades, dando lugar a un grupo total formado por el producto de SU(3)xSU(2)xU(1) correspondiente con la fuerza nuclear fuerte, la débil y el electromagnetismo. U(N) significa aquí matrices unitarias de N dimensiones y en este contexto SU(N) matrices unitarias, de determinante uno y de dimensión N. Por ejemplo, el grupo de matrices que realiza rotaciones en el espacio tridimensional es SO(3), las matrices ortogonales de determinante uno. Esto para dar una idea, ya que para simetrías internas (y no externas del espacio-tiempo) la situación es similar. En general ocurre que U(N) = SU(N) x U(1), por lo que el hecho que la configuración anterior proporcione un grupo de simetría U(N), da que pensar si es acaso posible derivar el grupo de simetría del modelo estándar de partículas a partir de una configuración adecuada de D-p-branas.

Supongo que este último comentario es demasiado técnico, pero vale si entendemos que la interdependencia entre cuerda y D-p-brana da lugar a efectos nada triviales, que dan lugar a dependencias entre las excitaciones las cuales se puede entender como interacciones. Con ello voy a dar por finalizado mi resumen. Hay que tener en cuenta que es un resumen sobre los conceptos básicos de la cuerda bosónica. Quedan fuera otros aspectos generales de la teoría de cuerdas, como la naturaleza de las dimensiones adicionales, la compactificación, la supersimetría, las dualidades, las diferentes teorías de cuerdas, la naturaleza del dilatón o el campo de Kalb-Ramond en acciones efectivas, etc., etc.

Un par de referencias

Por último voy a listar un par de referencias introductorias que he ido consultando:

- A First Course In String Theory, B. Zwiebach
- Introduction to Bosonic String, E. A. Larrañaga-Rubio. http://arxiv.org/abs/gr-qc/0306060
- Introduction to String Theory, T. Mohaupt. http://arxiv.org/abs/hep-th/0207249