Estrellas oscuras

Noticia de prensa:
Las “estrellas oscuras” podrían haber poblado el inicio del universo.

La idea se puede entender desde el marco de un modelo sencillo de formación estelar. Todo empieza con una nube molecular, generalmente en equilibrio virial. En la nube existen inestabilidades gravitacionales que dan lugar a perturbaciones, inducidas por ejemplo a través de ondas de presión. Si la masa y consiguiente gravitación de la perturbación en la nube es suficiente como para vencer la presión del gas, entonces empieza un proceso de colapso gravitacional de la perturbación. A la masa de la perturbación necesaria para que el colapso pueda darse se la denomina masa de Jeans. Este valor varía proporcionalmente con la temperatura e inversamente con la densidad como:



En el estadio temprano del colapso la nube es todavía transparente a la radiación y es capaz de evacuar energía a través de emisión electromagnética. Esto significa que en el inicio del colapso la nube puede mantenerse a temperatura más o menos constante y se da un colapso aproximadamente isotermo. Por tanto, aumentando la densidad durante el colapso y manteniendo una temperatura constante, hace que la masa de Jeans disminuya. Esto lleva a que la nube sea capaz de fragmentar, al poderse dar el colapso en regiones cada vez menores.

La densidad de los fragmentos aumenta debido al colapso hasta que llega a un estado en el que la nube o sus fragmentos se hacen opacos a la radiación, convirtiendo el colapso de isotermo a adiabático, esto es, volviéndose incapaz de evacuar calor. La capacidad de evacuar calor depende de los mecanismos de enfriamiento en la nube original. Un mecanismo de enfriamiento determinante es la existencia de metales, moléculas o polvo con sus respectivas líneas de emisión. Una vez llegada la fase de colapso adiabático deja de tener lugas más fragmentación y el colapso continúa hasta que se inicia la fusión nuclear que genera presión suficiente como para lograr un equilibrio.

Añadir materia oscura a este cuadro resulta en que el colapso gravitacional inicial concentra la materia oscura y con ello aumenta la cantidad de colisiones entre partículas y antipartículas de esta. Nótese que la falta observacional de antimateria es un específico del sector bariónico, mientras que la materia oscura no-bariónica debería estar compuesta en partes iguales por ambos tipos de partículas. Así, la aniquilación da lugar a radiación electromagnética que, a su vez, genera más calor, dificultando el proceso natural de enfriamiento y evacuación de calor mencionado anteriormente, e incrementando la presión de radiación.

Este proceso de aniquilación entre materia y antimateria se da probablemente en toda estrella, como por ejemplo también en el sol. La cuestión es en qué medida. El estudio este sugiere que este proceso se da de forma esencial en las estrellas de populación III (o primera generación). En ellas, la falta de metales (al no proceder de supernovas previas) hace que el enfriamiento sea débil y esté dominado por la formación de hidrógeno molecular. Tal debilidad del enfriamiento hace que el el proceso de aniqulación se perfile como importante. El proceso domina incluso determinando una fase inicial de evolución estelar, en la cual el proceso de colapso asumido hasta hoy, y que lleva a la aparición de la fusión nuclear, es ralentizando.

La evolución posterior de ese tipo de estrellas creo que no está clara, o al menos yo no saco nada en claro tras leer el papel original Dark matter and the first stars: a new phase of stellar evolution. Una posibilidad es que la temperatura aumente y se inicie la fusión nuclear, dando probablemente lugar a una estrella de la secuencia principal. En este escenario la aparición de las primeras estrellas de populación III quedaría algo atrasada. Otra de las posibilidades que se barajan (o mencionan superficialmente) es que la fase oscura de alguno de esos objetos sea más estable y dure hasta la actualidad sin permitir el paso por la secuencia principal.

En general, el artículo menciona que la posible detección no está al alcance de los observatorios actuales y necesitará de un instrumento infrarrojo potente como el James Webb Space Telescope cuyo lanzamiento está previsto para el 2013.


Interesante página sobre las primeras estrellas aquí.

Breve nota sobre el método de la reverberación

En general, el método para calcular masas de agujeros negros es estudiar la cinemática de estrellas circundantes. Tal método ha mostrado que existe una curiosa relación, relativamente constante, entre la masa del agujero negro central y y el esferoide a su alrededor. Este esferoide circundando al agujero negro central es el núcleo en caso de galaxias espirales o toda la galaxia en caso de elípticas. La relación se conoce con el nombre de relación de Magorrian y nos dice que el agujero negro central conforma alrededor de un 0.5% de la masa del esferoide. Esta relación vale para agujeros negros centrales en galaxias cercanas a desplazamientos al rojo bajos.

Para cuásares la situación es diferente. El método cinemático se puede aplicar pero de una forma algo diferente, haciendo uso de algo que se denomina mapa o mapeo de reverberación (reverberation mapping) que a su vez da una estimación de tamaños. La emisión electromagnética de los cuásares se observa como un continuo fuerte mas unas lineas anchas ("broad line region"). El continuo aparece debido a la acreción de material cerca del agujero negro y las líneas anchas son debido a gas cercano excitado por la emisión de continuo. El ensanchamiento de las líneas es consecuencia de un ensanchamiento Doppler, ya que el gas está suficiéntemente cerca del agujero negro como para rotar por su acción y también como para no poder ser resuelta tal rotación observacionalmente. Pues bien, cambios en la zona continua del espectro tardan un tiempo en trasladarse a la zona de lineas del espectro. Este desfase temporal se conoce como reverberación o eco, y permite calcular la distancia a la que se encuentran las nubes de gas que dan lugar a las líneas anchas. Si se asume que la dinámica de las nubes está determinada por la gravitación y que la anchura de las líneas es básicamente debido al efecto Doppler mencionado, entonces, conociendo su distancia al agujero negro, se puede estimar la masa de este.

Más información en: An Introduction to Modern Astrophysics, Carroll & Ostile ed. 2007

Allegro ma non troppo: la cuerda bosónica

De un hilo en el foro de la asociaciónhubble.org y que archivo aquí.

La acción y la hoja de mundo

Un objeto adimensional, una partícula puntual, en un espacio-tiempo plano (de la relatividad especial) de d dimensiones, sigue una línea de mundo que representa su evolución temporal. Por ejemplo, aún en caso de estar estática la partícula, su línea de mundo es una línea vertical paralela al eje temporal. Su movimiento libre es tal que sigue una geodésica y su momento lineal se conserva. Este movimiento es consecuencia matemática del principio de acción mínima, que nos dice que la trayectoria que minimiza o en general hace estacionaria una acción es aquella que es física. La acción, para la partícula puntual, es proporcional a su tiempo propio τ que parametriza la línea de mundo proporcionando una medida de su longitud.

Un objeto unidimensional, una cuerda, en un espacio-tiempo plano d dimensiones sigue una hoja de mundo. Su centro de masas es un lugar geométrico adimensional, que se comporta como la partícula puntual. Es decir, si está libre se mueve por una geodésica y su momento lineal se conserva. El movimiento de una cuerda es, no obstante, más complejo, ya que presenta un grado de libertad interno en la dinámica de cada uno de los puntos de la cuerda.

La hoja de mundo tiene dos dimensiones, una que sigue con el centro de masas en la dirección del movimiento en el espacio-tiempo y la otra perpendicular a ella. Es decir, una vez localizados en la hoja de mundo en el espacio-tiempo, se necesitan dos parámetros (τ, σ) para definir un punto P dentro de ella, P(τ, σ), y, con ello, especificar un punto en la dinámica de la cuerda. Por otro lado, cada el punto P en la hoja de mundo está localizado dentro del espacio-tiempo de d dimensiones con coordenadas P(τ, σ) = {P0(τ, σ), P1(τ, σ), ..., Pd(τ, σ)}. Estas funciones Pi(τ, σ) determinan la forma de la hoja de mundo dentro del espacio-tiempo. Las coordenadas de la hoja de mundo son dependientes del sistema coordenado elegido para describir la física, pero su area es invariante.

Al igual que la acción de la partícula puntual se define proporcional a su tiempo propio τ, la acción de la cuerda se define proporcional al área de la hoja de mundo definida por (τ, σ). A esta acción se la denomina acción de Nambu-Goto. En la mayoría de las aplicaciones, trabajar con ella resulta algo complicado, por lo que se hace uso de una formulación equivalente de la acción, denominada acción de Polyakov.

Las simetrías de la acción

Un aspecto esencial a tener en cuenta son las simetrías de la acción. Una simetría es una operación que deja la acción invariante. Una de las características de la acción de la cuerda es que, al estar definida de forma libre un el espacio-tiempo de la relatividad especial, hereda la simetría de Poincaré (simetría de la relatividad especial). Es decir, la acción ha de ser invariante frente a cambios de coordenadas en el espacio-tiempo plano de d dimensiones. De otra forma la física no sería la misma para diferentes observadores inerciales.

Otra simetría es la simetría frente a reparametrizaciones de la hoja de mundo. Tomemos como analogía la partícula puntual. Su acción está definida proporcional al tiempo propio, pero igualmente puede definirse proporcional a otro parámetro (afín) que parametrice la curva de mundo y proporcione con ello una medida de su longitud. En el caso de la cuerda y su hoja de mundo la situación es similar, con invarianza frente a reparametrizaciones Pi(τ, σ) = Pi(τ', σ'). Esto significa que la física es independiente de las propiedades interiores a la hoja de mundo.

Por último, existe una simetría conforme, denominada también simetría de Weyl. En la hoja de mundo, al ser ésta una superficie bidimensional dentro del espacio-tiempo, se puede definir una métrica que nos diga cómo definir distancias dentro de ella haciéndo uso de τ y σ, y, que, a su vez, viene inducida por el espacio-tiempo de d dimensiones en el cual hemos definido la acción. Pues bien, la acción es invariante frente a cambios de escala de la métrica. Esto significa que es invariante frente a multiplicar la métrica la hoja de mundo bidimensional por una constante, de forma que las distancias varíen pero no los ángulos. Este tipo de simetría conforme es especial para espacios bidimensionales, ya que en ellos la métrica tiene un sólo componente independiente (la métrica es una matriz simétrica 2x2 con tres componentes, y dos de ellos se pueden eliminar imponiendo invarianza frente a cambios de coordenadas). En línea con la simetría anterior, esto significa que la física es independiente de la métrica interior de la hoja de mundo, ya que el único componente independiente de la métrica es eliminado por la simetría de Weyl.

Una consecuencia interesante de la parametrización realizada de la cuerda es que la física puede considerarse una teoría de campos en el espacio-tiempo bidimensional τ, σ, con d campos escalares dados por Pi(τ, σ) y con simetría conforme en el espacio-tiempo bidimensional. La simetría de Poincaré en este caso sería una simetría interna. En tal caso es interesante notar que la acción de Polyakov es físicamente independiente de la métrica de fondo definida sobre la hoja de mundo. En la otra formulación original, la acción de Polyakov es dependiente del fondo determinado que hemos elegido como el espacio-tiempo plano con simetría externa de Poincaré.

Las ecuaciones de movimiento

De la acción de Polyakov, o equivalentemente también de la de Nambu-Goto, se pueden derivar las ecuaciones de movimiento de la cuerda de acuerdo con el principio de acción mínima. La imposición del principio de acción mínima obliga a considerar un término de frontera en la integración, cuyo tratamiento, a su vez, determina una distinción fundamental entre cuerdas cerradas o abiertas. Por otro lado, para determinar una solución concreta a las ecuaciones de movimiento hace falta, además, fijar unas condiciones de contorno en los extremos de la cuerda. Para cuerdas cerradas esta condición viene fijada de forma natural por el hecho de que no tienen extremos. Para cuerdas abiertas aparecen dos clases diferentes de condiciones de contorno se denominan condiciones de Neumann y condiciones de Dirichlet.

Las primeras fijan las derivadas de los extremos de la cuerda e implican que el momento es conservado en los extremos, mientras que las segundas son equivalentes a mantener la posición de los extremos fija. La superficie p-dimensional en la que los extremos de una cuerda quedan fijos en el caso de condiciones de Dirichlet se denomina D-p-brana (D por Dirichlet y p por su dimensión). El resultado final es que la cuerda cumple una ecuación de onda: a lo largo de σ la cuerda puede vibrar subiendo y bajando a medida que transcurre τ. La proyección de esta vibración en cada una de las coordenadas espacio-temporales viene dada por los Pi(τ, σ) correspondientes. En general, la onda en cuestión puede expresarse como suma de dos soluciones cada una de ellas moviéndose hacia un lado diferente de la cuerda L y R. Para la cuerda abierta, no obstante, ambas soluciones no son independientes.

La onda general, solución a las ecuaciones de movimiento, puede descomponerse en una serie de Fourier, de la forma usual, sobre ondas básicas y con coeficientes sobre éstas que nos representan los modos oscilatorios de la cuerda. Hasta aquí todo son propiedades clásicas de una cuerda, que puede ser una cuerda cualquiera y no tiene por qué tener nada que ver con una teoría de unificación. Antes de proceder con el tratamiento cuántico de la cuerda, conviene aún mencionar que las ecuaciones de movimiento de la cuerda contienen grados de libertad no-físicos, representados por las simetrías mencionadas de la acción.

En general, ocurre que la relatividad especial y el requerimiento de invarianza frente a cambios coordenados nos impone describir la física de una forma muy determinada (covariante), cosa que lleva a que todos los grados de libertad no sean independientes. Por ejemplo, para el momento y la energía (p0 = E, p1, ..., pd) de una partícula puntual existe una relación entre ambos dada por E² - p1² - ... - pd² = m², que se reduce a E² - p² = m², ó la famosa E = m (con c = 1) en el sistema comóvil con la partícula. Para la cuerda la situación es similar, pero además tenemos una simetría interna de la hoja de mundo, la simetría de Weyl. Esta da lugar a otras condiciones (ligaduras) sobre los grados de libertad que serán de fundamental importancia a la hora de aplicar los principios de la mecánica cuántica.

Nota: la masa y las D-branas

Antes de pasar a hablar sobre qué ocurre cuando se aplican los principios de la cuántica a una cuerda relativista, quizás conviene hacer un par de puntualizaciones más.

Primera, sobre la masa de la cuerda. Al igual que para una partícula puntual vale la expresión E² - p² = m², de la cual se puede derivar la masa. Para la cuerda, no obstante, tal fórmula puede expresarse en términos de los coeficientes de la expansión de Fourier. Esto nos indica que la cuerda adquirirá una masa u otra dependiendo de su modo de vibración. Tal expresión es radicalmente modificada cuando se tratan los efectos cuánticos, pero da ya una idea de que va a haber un espectro de masas diferentes.

Segunda, sobre las D-p-branas. Como he mencionado, son superficies o espacios en los que se fija una condición de contorno de Dirichlet, es decir, se especifica que los extremos o uno de los extremos de la cuerda está obligado a quedarse en la brana. Para hacerse una idea más visual conviene imaginar dos situaciones extremas. Si la D-p-brana tiene dimension cero (una D-0-brana), entonces los extremos de la cuerda están fijos en un punto determinado del espacio de d dimensiones y la cuerda no puede moverse. Si, por contra, la D-p-brana tiene dimension d-1 (una D-(d-1)-brana), entonces los extremos pueden moverse libremente por todo el espacio de d-1 dimensiones (a lo largo del tiempo, evidentemente). Ambos casos extremos aparecen de considerar este concepto de forma general. Conviene notar también que la noción de D-p-brana emerge así de forma natural en la teoría de cuerdas y que no es un objeto que necesita introducirse como hipótesis adicional en la teoría.

La noción de cuantización

Para entrar en el mundo cuántico de la cuerda relativista conviene adquirir primero una idea de qué significa cuantizar. Cuantizar es un procedimiento matemático que consiste en crear una teoría cuántica a partir de una teoría clásica. Se trata de un mapa, el cual, a ciertos elementos de la teoría clásica, asigna nuevos elementos en un marco matemático diferente, que dará lugar a la formulación cuántica.

En concreto, el procedimiento probablemente más famoso es la cuantización canónica. Se parte de la teoría clásica con ciertos observables definidos como funciones en el espacio de fase (espacio de posiciones y momentos) - como, por ejemplo, la energía, y se los convierte luego en operadores actuando sobre estados o funciones de onda en un espacio vectorial (un espacio de Hilbert). Las relaciones matemáticas entre observables los hacen formar un álgebra determinada, que en la teoría cuántica tiene la propiedad especial de que importa el órden en el que estos actúan (no es lo mismo medir posición y luego momento que momento y luego posición de una partícula - hecho en íntima relación con el principio de incertidumbre).

Con esta breve y muy general introducción vamos ya con la cuerda relativista. En una primera aproximación, y dejando de lado una lista interminable de detalles sobre ligaduras y otros horrores, se puede aplicar este procedimiento de cuantización para cuerdas abiertas que se mueven libres por el espacio, es decir, cuerdas cuyos extremos están en una D-(d-1)-brana. Unas de las funciones más importantes en la teoría clásica que he descrito anteriormente son los modos de oscilación, es decir, los coeficientes de la expansión de Fourier en la solución a las ecuaciones de movimiento. Como funciones clásicas que se precian estos son promovidos a operadores en la teoría cuántica, y, al igual que para un oscilador armónico, estos modos añaden o eliminan una oscilación de determinada frecuencia. Se los denomina por ello operadores de creación y aniquilación (que abajo denotaré como a y a').

El espectro de masas de la cuerda abierta y cerrada

Recordemos que la masa de una cuerda, en concreto m² = E² - p², puede expresarse como función de los modos de oscilación. Pues bien, traducida esa expresión a la teoría cuántica, adquiere una constante de forma que, para un estado sin excitación alguna, la el valor de m² no es nulo. Esto es consecuencia del hecho que el órden de los operadores importa en la teoría cuántica pero no en la clásica. De forma muy general:

m² = - 1/s + F(a, a')

La constante es negativa (- 1/s). Debido a ello, el estado de no exitación alguna corresponde con m² = - 1/s, y, consiguientemente, con un m imaginario. Con ello hemos identificado el estado fundamental de la cuerda, en el cual la cuerda se comporta de igual forma que una partícula puntual, es decir, sin vibración alguna. Tal estado es un taquión debido a la masa imaginaria. La existencia de un taquión en la teoría es una característica muy ligada a las propiedades de las D-branas y lo que viene a mostrar este resultado es que la D-d-brana es inestable. El que tenga interés en estos detalles le recomiendo repasar el final del capítulo 12 de Zwiebach " A First Course in String Theory" que es al fin y al cabo la referencia que estoy resumiendo aquí.

Antes de pasar a mencionar las características del siguiente estado (el estado excitado con menor valor de m²) conviene notar algo sobre las condiciones de consistencia del procedimiento de cuantización. Imponiendo adecuadamente las relaciones algebráicas sobre operadores y exigiéndo, además, que las simetrías mencionadas anteriormente de la acción se mantengan igualmente en la teoría clásica, se llega a la conclusión que esto sólo es posible si el número de dimensiones espacio-temporales de d = 26. A este valor se lo denomina dimensión crítica. Teorías de cuerdas con dimensiones diferente de la crítica son posibles y estables, pero las simetrías clásicas de la acción dejan de serlo en la teoría cuántica. Con este resultado la teoría de cuerdas predice la dimensión del espacio-tiempo debido a condiciónes de consistencia.

Tras esto pasamos a mencionar las características del primer estado excitado y los siguientes. Un hecho curioso es que la primera excitación cancela exáctamente la constante negativa mencionada en la expresión para la m². Esto significa que el primer estado excitado es sin masa. El resto de los estados dan lugar a un espectro discuitinuo pero no acotado (infinito) de masas posibles. Estos estados resultan tener las mismas propieades que las partículas en la representación de partículas de la teoría cuántica de campos, y, por tanto, pueden identificarse como tales.

Nótese también que los estados van en saltos de 1/s partiendo desde -1/s. Aquí s es una constante relacionada con la tensión T de la cuerda como T = 1 / (s h c), con h la constante de Planck y c la velocidad de la luz en el vacío. Tal parámetro se relaciona también con una longitud característica de la cuerda lc como lc = (h/2pi) c (s)^1/2. La longitud lc puede ser o no igual a la longitud de Planck lp, pero probablemente similar lc ~ lp.

Especialmente interesante es también el espectro de la cuerda cerrada. Al igual que para la cuerda abierta el estado fundamental es taquiónico, aunque aquí la relación de tal hecho con la estabilidad de las D-branas no está dada. El siguiente estado, excitado y de menor valor de m² es también sin masa y tiene grados de libertad que pueden descomponerse en tres grupos: (i) su parte simétrica y sin traza que se identifica con el gravitón, (ii) su parte antisimétrica, que se denomina campo de Kalb-Ramond, y (iii) la traza, que se denomina campo dilatón. Con esto estamos frente a una de las propiedades más importantes de la teoría: sin haber postulado ningún tipo de teoría de la gravitación inicialmente nos hemos encontrado con exitaciones correspondientes al campo gravitatorio. Evidentemente para poder afirmar esto hay que mostrar que tal excitación cumple las ecuaciones de la relatividad general, cosa que se puede hacer.

Los otros dos campos asociados con la primera excitación de la cuerda cerrada tienen diferentes interpretaciones físicas que quizás mencionaré más adelante. Lo que conviene notar para finalizar esta parte es que todas las excitaciones, tanto de las cuerdas abiertas como de las cerradas, dan lugar a partículas de espín entero. Esto significa que la teoría sólo acomoda bosones y no fermiones, de ahí su nombre cuerda bosónica. No perdamos de vista que lo mencionado para cuerdas abiertas vale cuando estas son libres cuyos extremos están en D-25-branas. La próxima vez intentaré explicar qué ocurre con cuerdas fijas en D-p-branas (p < 25) y entraremos con ello en el mundo de las interacciones y la supuesta capacidad de la teoría de sacarse de la chistera al modelo estándar de partículas.

D-branas e interacciones

Intentemos entender ahora los efectos cuánticos de cuerdas asociadas a D-p-branas. La cuantización de las cuerdas cuyos extremos están fijos en D-p-branas (es decir, obligados a moverse en espacios de p dimensiones) es algo diferente del caso p = 25 (es decir, los extremos totalmente libres). Las condiciones de contorno han de ser impuestas, dando lugar a ecuaciones de movimiento diferentes, una expansión en modos de vibración diferente, y, consiguientemente, una fórmula diferente para m².

Para una única D-p-brana de p < 25 dimensiones dentro del espacio de 25, el estado fundamental sigue siendo un taquión, al igual que el caso de el espacio de 25 dimensiones (25+1 espacio-tiempo). Al igual también que en el caso D-25-brana, el primer estado será sin masa y los estados van aumentando en la misma proporcion 1/s que habíamos mencionado (se dice en estos casos que hay una torre infinita de estados o partículas de diferentes masas a partir del estado fundamental). Al contrario que en el caso de D-25-brana, no obstante, el primer estado no es único y puede diferenciarse en dos partículas diferentes. Esto es debido a que el operador de creación que actúa sobre el estado fundamental para crear el primer estado tiene componentes normales y componentes coplanares con la D-p-brana, las cuales dan lugar a efectos básicamente diferentes. Correspondiente con las componentes coplanares el primer estado es un fotón. Correspondiente con las componentes normales el primer estado es un bosón escalar, concrétamente un bosón escalar por cada una de las componentes normales a la D-p-brana, es decir, d-p bosones escalares.

Este ejemplo sencillo ya muestra como la consideración de D-p-branas puede dar lugar a una diversificación en el espectro de partículas. El siguiente ejemplo a considerar, y que trata también Zwiebach en su libro, es el caso de 2 D-p-branas paralelas con cuerdas que tienen un extremo en una D-p-brana y el otro extremo en la otra D-p-brana. Interesantemente, en tal caso el estado fundamental ya no es necesariamente un taquión y depende de la separación entre las D-p-branas. El valor de m² será mayor a mayor separación. Existe una separación crítica que hace del estado fundamental un estado sin masa. Separaciones menores darán lugar a un estado fundamental taquiónico y separaciones mayores darán lugar a un estado fundamental masivo. No obstante, este caso de dos D-p-branas paralelas con cuerdas entre ellas, es de interpretación física bastante dudosa, ya que las excitaciones de las cuerdas correspondientes existen en ambas D-p-branas a la vez, dando lugar a efectos no-locales.

La generalización de este caso es el caso de N D-p-branas paralelas, con cuerdas que van de una D-p-brana a otra, o de una D-p-brana a la misma D-p-brana. Si uno considerase interacciones, vería que las cuerdas que van de la D-p-brana 1 a la D-p-brana 2 podrán interactuar con cuerdas que van de la D-p-brana 2 a la 3, pero no con cuerdas que van de la D-p-brana 3 a la 4, por ejemplo. Un escenario así tiene el mismo problema de interpretación física que el anterior. Sin embargo, se puede exigir que la distancia entre las N D-p-branas sea cero. La identidad de las D-p-branas seguirá siendo tal y existirán igualmente, sólo que su distancia será nula. Los efectos de las excitaciones de las cuerdas correspondientes tendrán lugar en un único lugar accesible. Pues bien, ocurre que N D-p-branas coincidentes contienen como primera excitación de sus cuerdas a N² bosones sin masa correspondientes a un grupo de simetría interna U(N), los cuales interactúan entre sí de acuerdo con tal grupo (al estilo de una teoría de Yang-Mills).

En defintiva, las D-p-branas nos hacen emerger a las interacciones como una peculiaridad de las excitaciones de las cuerdas restringidas a esas D-p-branas. La sutil interdependencia entre cuerda y D-p-brana da lugar a un efecto fundamental aquí. Los grupos de simetría interna son una pieza clave a la hora de describir el modelo estándar de partículas. En él cada una de las interacciones es modelado por un grupo de simetría representado por matrices con ciertas propiedades, dando lugar a un grupo total formado por el producto de SU(3)xSU(2)xU(1) correspondiente con la fuerza nuclear fuerte, la débil y el electromagnetismo. U(N) significa aquí matrices unitarias de N dimensiones y en este contexto SU(N) matrices unitarias, de determinante uno y de dimensión N. Por ejemplo, el grupo de matrices que realiza rotaciones en el espacio tridimensional es SO(3), las matrices ortogonales de determinante uno. Esto para dar una idea, ya que para simetrías internas (y no externas del espacio-tiempo) la situación es similar. En general ocurre que U(N) = SU(N) x U(1), por lo que el hecho que la configuración anterior proporcione un grupo de simetría U(N), da que pensar si es acaso posible derivar el grupo de simetría del modelo estándar de partículas a partir de una configuración adecuada de D-p-branas.

Supongo que este último comentario es demasiado técnico, pero vale si entendemos que la interdependencia entre cuerda y D-p-brana da lugar a efectos nada triviales, que dan lugar a dependencias entre las excitaciones las cuales se puede entender como interacciones. Con ello voy a dar por finalizado mi resumen. Hay que tener en cuenta que es un resumen sobre los conceptos básicos de la cuerda bosónica. Quedan fuera otros aspectos generales de la teoría de cuerdas, como la naturaleza de las dimensiones adicionales, la compactificación, la supersimetría, las dualidades, las diferentes teorías de cuerdas, la naturaleza del dilatón o el campo de Kalb-Ramond en acciones efectivas, etc., etc.

Un par de referencias

Por último voy a listar un par de referencias introductorias que he ido consultando:

- A First Course In String Theory, B. Zwiebach
- Introduction to Bosonic String, E. A. Larrañaga-Rubio. http://arxiv.org/abs/gr-qc/0306060
- Introduction to String Theory, T. Mohaupt. http://arxiv.org/abs/hep-th/0207249

La variación de constantes fundamentales dimensionales y adimensionales

La variación de cualquier constante dimensional no tiene sentido de forma absoluta, porque en principio no hay forma de decidir si lo que varía es la constante o lo que varía son nuestros estándares de medida. Por ejemplo, si hoy medimos c = 299.792.458 m/s y mañana c = 300.000.000 m/s, es posible concluir que (i) c ha variado, o bien que (ii) el metro o el segundo han variado. Esto, asumiendo que tenemos una definición alternativa del metro y el segundo que sean independientes de la definición de c, ya que de otro modo tal diferencia entre la medida de hoy y la de mañana nunca sería obtenible.

Sólo la variación de las constantes adimensionales tiene un significado físico absoluto, como por ejemplo la constante de estructura fina alfa. Sin embargo, la variación de alfa puede ser formulada de distintas formas que son equivalentes: como una variación de c o como una variación de h. La elección dependerá de nuestra preferencia por una u otra formulación.

En el ejemplo de variación de c mencionado ambas descripciones, la variación de c misma y la variación del metro o el segundo, son equivalentes en su cinemática. No podemos diferenciar ambas a falta de una teoría que describa cómo tales cambios pueden llevarse a cabo en un marco dinámico adecuado. Sin embargo, ambos fenómenos pueden deberse a causas diferentes. El primero puede referir a un cambio en la estructura causal del espacio-tiempo. El segundo se puede referir a un cambio en la materia que nos hace posible definir los estándares de medida de acuerdo con ciertas reglas. Los mecanismos dinámicos para la variación de ambos pueden ser diferentes.

Una situación similar se da por ejemplo en cosmología con la expansión del espacio. Si mido hoy la distancia a una galaxia y obtengo L metros, pero *mañana* obtengo L' metros puedo concluir dos cosas: (i) el espacio ha expandido o (ii) mi metro o estándar de medida ha contraído. Ambas descripciones son cinemáticamente equivalentes. Sin embargo, la relatividad general sólo proporciona una dinámica que explica la expansión del espacio. En el marco de la relatividad general no existe la posibilidad de explicar la contracción del metro de medida sin la introducción de nuevos postulados. Por lo tanto, ambas situaciones no son equivalentes dinámicamente. Al menos no lo son si uno asume ciertos principios metafísicos como sencillez y economía de principios en la descripción.

Radiación de cargas aceleradas y el principio de equivalencia

(Actualización del 24-02-2008)

El tema de la radiación de cargas aceleradas uniformenente y en campos gravitatorios, y con ello la validez del principio de equivalencia, ha suscitado interés desde hace décadas. Científicos de la talla de Pauli, Born o Sommerfeld han dedicado tiempo a él. Hasta hoy no parece haber un punto de vista mayoritariamente aceptado y en la literatura uno encuentra diversas posiciones al respecto. No obstante, dos parecen ser las más relevantes, que vienen sintetizadas en dos papeles ejemplares:

• D. Boulware, “Radiation from a uniformly accelerated charge”, Annals of Physics 124, 169-187 (1980)


• S. Parrott, “Radiation from a Uniformly Accelerated Charge and the Equivalence Principle”, Found. Phys. 32, 407-440 (2002)

Este artículo presenta un breve resumen de mi propia interpretación de los papeles y algunas otras ideas. Antes de analizar el problema en un campo gravitatorio uniforme investiguemos brevemente sobre la aplicabilidad del principio de equivalencia para cargas en campos gravitatorios cualesquiera o en concreto de simetría esférica.

Campo gravitatorio con simetría esférica

En estos casos el principio de equivalencia no es aplicable, ya que este es un principio local. Recordemos, por ejemplo, el principio de equivalencia deja de tener validez cuando observamos fenómenos espacialmente separados en la tierra: no se puede considerar a ambos en un campo gravitatorio uniforme o uniformemente acelerados de igual forma, ya que el campo gravitatorio terrestre tiene simetría esférica. Para el caso de la radiación de una carga, tal principio depende esencialmente de lo que ocurre en el infinito y de la forma de las lineas de campo ahí. En defintiva, la radiación es un efecto del campo y su reajuste y este es un objeto extenso y no puntual estríctamente local.

La radiación viene caracterizada por campos transversales y sin componente longitudinal y un transporte de energía radial de acuerdo con el teorema de Poynting. Pero esto es cierto para regiones lejanas a la carga, donde la componente radiativa que decrece con 1/r es dominante. En regiones cercanas a la carga esa no es la componente dominante y no está claro dónde exite ya tal transporte radial. La razón es que la radiación de la carga acelerada es una característica del campo que la carga crea y no algo que emerge de la carga misma. Como campo electromagnético sólo hay uno, el cual no nos va por ahí diciendo cuál es su componente radiativa y cuál su componente de campo cercano, esto nos enfrenta a la dificultad de medir tal fenóneno experimentalmente en una región arbitrariamente cercana a la carga tal y como nos requiere el principio de equivalencia.

Hasta qué punto es válido el principio de equivalencia depende del espacio-tiempo en cuestión, sus variaciones, así como de la capacidad de detección del experimento en cuestión. La gravitación aquí tiene dos tipos de efectos relevantes. Por un lado una aceleración y por otro unas fuerzas de marea. La aceleración es eliminable por medio de un cambio de coordenadas al pasar a caída libre, pero las fuerzas de marea no lo son. Estas, no obstante, son un efecto de segundo orden.

Sabiendo que la componente radiativa varía con 1/R y la de Coulomb con 1/R², la componente 1/R es un efecto de segundo orden frente a 1/R² que contribuye de forma dominante al campo. Por otro lado, en la carga misma R = 0 la distinción entre ambas no es posible. Esto signfica que para poder detectar el componente radiativo del campo electromagnético (si es que este componente radiativo existe), hace falta separarse de la carga o la masa puntual suficiéntemente como para distinguirlo del campo estático. Una vez uno se separa suficiéntemente, en la dirección que sea, las fuerzas de marea pueden hacer aparición y el principio de equivalencia no tiene por qué ser aplicable ya.

Campo gravitatorio uniforme

En un campo gravitatorio uniforme el principio de equivalencia es aplicable siempre. En tal caso se nos presenta la legítima cuestión de si es violado o no, dependiendo de si una carga en su seno radia o no radia. El problema, en concreto, consiste en preguntarse si una carga estacionaria en un campo gravitatorio uniforme radia o no. Nótese que al estar estacionaria es aplicable el principio de equivalencia y la carga puede considerarse con aceleración uniforme, de forma que se aplica en principio la maquinaria de las ecuaciones de Maxwell a la situación.

Los papeles de Boulware y Parrott analizan este tema y la cuestión sobre si el principio de equivalencia es violado o no resulta reducirse a la definición de radiación y de energía transportada con el campo electromagnético, así como a la aplicación de la noción de reacción a la radiación (fórmula de Dirac-Lorentz).

La discrepancia entre ambos papeles se centra básicamente en la definición de radiación. Formalmente, la definición de energía como cantidad conservada correspondiente con las traslaciones del vector de Killing temporal en el espacio-tiempo correspondiente.

• Si uno elige calcular la energía transportada en el marco acelerado haciendo uso de la cantidad conservada con las traslaciones respecto del vector de Killing temporal en el espacio-tiempo de Rindler, entonces la energía transportada es nula.


• Si uno elige elige calcular la energía transportada en el marco acelerado haciendo uso de la cantidad conservada con las traslaciones respecto del vector de Killing temporal en el espacio-tiempo de Minkowski, entonces la energía transportada es diferente de cero.

En definitiva, en el primer caso uno se coloca en un marco coacelerado con la carga acelerada. En el segundo caso uno se coloca no acelerado respecto del espacio-tiempo de Minkowski y observa la carga acelerar. La primera definición es la usada por Boulware y la segunda la usada por Parrott.

Usando Boulware el espacio de Rindler en su descripción, significa esto que para aquellos observadores de Rindler, los coacelerados, no existe radiación. Boulware prueba en su papel que en el espacio de Rindler, la radiación para observadores coacelerados queda confinada más allá del horizonte de Rindler en una zona del espacio-tiempo causalmente inaccesible a ellos (ya que para observadores coacelerados existe un horizonte de Rindler). Tras probar esto, existe, no obstante, todavía una radiación medida por observadores no coacelerados:

Si existe una radiación para el observador no coacelerado, entonces este observador debería medir que la carga se comporta de forma diferente a como lo observa el observador coacelerado. Esto es de asumir así ya que una transferencia de energía debe ser compensada de alguna forma. Boulware invoca aquí la ecuación de Abraham-Lorentz o de Dirac-Lorentz, que refleja la acción de la radiación en términos de la segunda ley de Newton sobre la carga (reacción a la radiación). Para una aceleración uniforme la reacción a la radiación se cancela y la carga queda inafectada, moviéndose libremente.



El segundo término de la derecha, representando la acción de la radiación sobre la partícula que radia, se anula para aceleraciones uniformes. Por tanto, no hay fuerza adicional que realizar para soportar una partícula cargada en un campo gravitatorio. Hay que notar que la reacción a la radiación sólo puede ser nula para aceleraciones uniformes desde t -> -oo hasta t -> +oo. No obstante, la ecuación de Dirac-Lorentz no cumple con la conservación de la energía para tal caso ideal, y requiere de una zona de aceleración constante entre dos límites asintóticos desacelerados en t -> -oo y t -> +oo. Por esta razón la hipótesis de usar un espacio-tiempo de Rindler no es exáctamente correcta, en mi opinión.

Por otro lado, la idea de Parrott consiste en asumir la energía como cantidad conservada con las traslaciones respecto del vector de Killing temporal en el espacio-tiempo de Minkowski. Nótese que en este caso, para un observador de Minkowski, no existe horizonte alguno. En tal caso, tanto el observador coacelerado como el no coacelerado miden radiación con su correspondiente transporte de energía.

Parrott argumenta, además, que la ecuación de Dirac-Lorentz es incorrecta en términos de conservación de la energía, ya que ciertamente la energía radiada ha de proceder de algún lugar, copensada de alguna forma como he mencionado. Nos encontramos en este caso frente a una violación del principio de equivalencia, ya que ambos observadores coinciden en afirmar que la carga no se comporta igual que una partícula neutra de igual masa. Es decir, estando la carga estacionaria, la afirmación clave y que puede ser verificada experimentalmente de Parrott es que la fuerza necesaria para mantenerla estacionaria es mayor que para una masa igual pero sin carga.

Nota final

Ambos papeles son ámpliamente citados en la literatura sobre el tema, pero creo que hay que notar que en este tema las malinterpretaciones no son algo infrecuente. Estas reflexiones son mi propia interpretación de ambos papeles y no puedo asegurar estar libre de error, especialmente en la interpretación del papel de Boulware de considerable profundidad matemática. La experiencia debería dictar, pero no parece que tal fenómeno pueda ser probado aun.

Más sobre la expansión: velocidad de recesión vs. velocidad peculiar radial

Distinción formal

Para distinguir ambas velocidades formalmente lo que hay que hacer es partir del elemento de linea en un espacio-tiempo de Robertson-Walker. El elemento de linea es una forma de describir la métrica que nos define las distancias en función de las coordenadas. Considerando coordenadas esféricas y olvidándonos de posible movimiento angular (considerando sólo ), el elemento de línea para un espacio cosmológico es:



Donde a es el parámetro de escala de la expansión, que depende del tiempo y que da una medida de cómo de expandido está el universo (a = 0 para el big-bang y a = 1 en la actualidad). Como lo que observamos es un espacio en expansión desde una superficie o espacio de tiempo constante hasta el siguiente, lo que queremos es conocer la variación de la posición desde una superficie de tiempo constante hasta la siguiente. En definitiva, queremos calcular distancias espaciales. Para ello situémonos en un instante determinado sobre una superficie de tiempo constante (dt = 0):



Esto nos dice que la distancia sobre la superficie de tiempo constante, que llamaremos D, es proporcional a la distancia coordenada radial r, de forma que, integrando:



Tomemos la derivada temporal de la posición de un objeto a distancia D en un instante de tiempo sobre una determinada superficie de tiempo constante. Derivando la expresión anterior:



Esto significa que la variación de la magnitud D con el tiempo viene dada en el primer término por la velocidad aparente de recesión y en el segundo por la velocidad peculiar:



Consideremos el primer término:



Usando la definición del parámetro de Hubble como velocidad de expansión por unidad de longitud en un instante determinado del universo,



se tiene:



Sustituyendo con la definición dada arriba de D:



que es la ley de Hubble.

En definitiva, la variación de la posición o distancia espacial desde una superficie de tiempo constante hasta la siguiente viene dada por:



es decir, una variación debido a la expansión del espacio dada por la ley de Hubble y una velocidad peculiar del movimiento del objeto en el espacio.

Diferenciación observacional

Para desplazamientos al rojo bajos la velocidad peculiar radial de las galaxias contribuye notablemente al desplazamiento al rojo a través del efecto Doppler. La única forma de diferenciar entre desplazamiento al rojo cosmológico y efecto Doppler por velocidad peculiar radial es por medio de consideraciones y observaciones cinemáticas y dinámicas del entorno de la galaxia y su órbita en un cúmulo galáctico. Para las velocidades medias usuales de 1000 km/s el desplazamiento al rojo debido a velocidades peculiares es del órden de 0.001. Por tanto, sólo es relevante a distancias cosmológicamente pequeñas y a partir de 20 Mpc el desplazamiento al rojo cosmológico empieza a dominar.

En general, para filtrar las velocidades peculiares hay que seleccionar un método alternativo a la ley de Hubble para determinar la distancia D a una galaxia. Tras ello se puede proceder a restar la velocidad de recesión según la ley de Hubble con la distancia medida . A distancias grandes este método da lugar a errores que se pueden eliminar recurriendo a medir grandes cantidades de galaxias en una misma región, ya que en tal caso es de esperar que las velocidades peculiares se distribuyan de forma aleatoria cancelándose. En tal caso, no obstante, uno se enfrenta a problemas debidos a que una parte de las galaxias relevantes no son detectadas debido a su baja luminosidad dando lugar a un problema de selección de la muestra (denominado Malmquist bias).

Existen diferentes catálogos con velocidades peculiares como el ENEAR o el Mark III.

Por otro lado, está en desplazamiento al rojo gravitacional en cuásares. Aquí también es difícil diferenciar, pero usualmente este tampoco suele ser muy grande frente al desplazamiento cosmológico debido a que los cuásares están a distancias muy grandes. La relatividad general impone un límite máximo a la relación M/R de un objeto estático de simetría esférica. Esta relación ha de ser menor que 4/9 en unidades geométricas. Esto significa que la luz emitida de la superficie de un objeto así no puede tener un desplazamiento al rojo gravitacional mayor que 3. Esto sería un caso extremo e inusual de desplazamiento al rojo gravitacional.