Galileo y el principio de equivalencia

Existe un famoso argumento de Galileo sobre la validez del principio de equivalencia, que viene a decir algo así:

Consideremos un cuerpo de masa M y otro de masa m, con M > m. Asumamos que los cuerpos más masivos caen más rápido. Si unimos M y m por medio de algún cable o cuerda sin masa en un solo sistema de masa M+m, al caer este, m frenará a M (hemos asumudo que m cae más despacio que M), por lo que M+m caerá más despacio que M. Esto contradice la hipótesis de partida, por lo que todos los cuerpos han de caer con la misma aceleración.

Vamos a ver que este argumento tiene parte de verdadero, pero también parte de falso. Consideremos que el principio de equivalencia no es válido, que es en definitiva el punto de partida del argumento de Galileo. Es decir, la masa inercial no es igual a la masa gravitatoria .

Consideremos dos cuerpos, el 1 y el 2, ambos en caída libre hacia la tierra que ejerce un campo gravitatorio sobre ellos:



La fuerza sobre ellos es:



Por tanto, las aceleraciones de los cuerpos aplicando la segunda ley de Newton son:





Por otro lado, la aceleración del sistema conjunto es:



Ahora, consideremos que . Esto significa que:



Desarrollando esto:





Que es cierto si:





Es decir, si:



Si ahora imponemos la condición que y desarrollamos igual que antes, llegamos que la condición es cierta si:



Es decir, ambas no pueden cumplirse a la vez y, por tanto, está entre y de forma que una de las masas "estira" de la otra.

Volviendo ahora al argumento de Galieo nos encontramos con que su primera conclusión es correcta: el cuerpo M+m no puede caer con aceleración mayor que M y m.

No obstante, la segunda conclusión que se sigue de esa primera no es correcta. Es decir, de la primera conclusión no se sigue que M+m, M y m hayan de caer todos con la misma aceleración. Como hemos visto M+m podría caer más rápido que uno de los dos y más despacio que el otro. Cuál de los dos depende de la relación entre masas inerciales y gravitatorias. Esto sería consistente con una posible violación del principio de equivalencia.


Galileo Galilei

Sirva esta entrada como pequeño homenaje al Galileo Galilei. Que conste que el hecho que yo pueda hoy analizar así sus ideas no hace mas que honor a la cita de Max Gluckman: "Ciencia es toda disciplina en que los tontos de una generación pueden llegar más lejos que los genios de la precedente"