El desplazamiento al rojo cosmológico como resultado de la curvatura del espacio-tiempo

Consideremos el espacio-tiempo de Schwarzschild, con su métrica de la cual sólo nos van a interesar las coordenadas temporal y radial. El elemento de linea escrito en las coordenadas de Schwarzschild es (c = G = 1):



Consideremos dos observadores, ambos localizados en puntos espaciales constantes, digamos y . El tiempo propio de un observador cualquiera es:



Como r = constante y por tanto dr = 0 para ambos, se tiene:





La relación entre intervalos de tiempos propios es el inverso que la relación entre frencuencias , por lo que:



Esto proporciona un desplazamiento al rojo o al azul de un fotón emitido en y recibido en . La terminología usual es que se trata de un efecto debido a la curvatura del espacio-tiempo.

Pasemos a cosmología, con un espacio de Robertson-Walker, del cual sólo nos interesan las coordenadas temporal y radial. El elemento de linea escrito en coordenadas comóviles es (c = G = 1):



Igual que antes, dos observadores en puntos constantes y , tienen unos tiempos propios:





La relación entre frecuencias es:



No hay variación de frecuencias debido a la curvatura del espacio-tiempo. La variación de frecuencias entre un fotón emitido y otro recibido en una posición y época diferente es de naturaleza distinta y se debe a la expansión del espacio. Si alguien está interesado en la derivación de la variación de frecuencias para tal caso le remito al Wald capítulo 5. Esta relación resulta ser:



Ahora, si escribimos la métrica cosmológica de Robertson-Walker en coordenadas conformes:



tenemos que dos observadores en puntos constantes y , tienen unos tiempos propios:





y la relación de frecuencias es:



Con esto realmente o estríctamente hablando no hemos demostrado nada, pero creo que sirve de indicador que el mismo resultado de la relación entre frencuencias puede interpretarse de formas diferentes. Por un lado la expansión del espacio tal y como Wald deriva ese resultado, y por otro como curvatura del espacio-tiempo, en analogía a la relación entre frecuencias en un espacio-tiempo de Schwarzschild.