Determinismo y condiciones iniciales del universo

Consideremos un modelo simplificado de universo clásico, concrétamente el modelo de de-Sitter. El modelo de de-Sitter resulta cuando se considera un espacio-tiempo completamente vacío pero con una constante cosmológica. Este modelo es homogeneo e isótropo no solo en el espacio, sino también en el tiempo. Se trata de un modelo de en el cual cualquier punto del espacio-tiempo es igual a todos los demás.

En las soluciones de Friedmann-Robertson-Walker con singularidad inicial sólo los puntos de una sección espacial son todos iguales, mientras que los puntos en secciones espaciales diferentes no tienen por qué ser iguales, es decir, no tienen por qué tener características iguales de densidad, curvatura, etc. En el modelo de-Sitter, sin embargo, todos los puntos son iguales. Esto significa que el modelo no presenta una singularidad inicial.


La desconocida naturaleza de la constante cosmológica, que produce la expansión un modelo de-Sitter

La métrica del espacio-tiempo de de-Sitter es ds² = - dt² - a² dl² con a = 1/H cosh(Ht) siendo H el parámetro de Hubble que es constante en este modelo. Para t = 0 el factor de escala tiene un valor mínimo con a = 1/H. El modelo clásico de-Sitter impide la existencia de un universo que se inicia en t = 0 comportándose ya como uno de-Sitter, ya que el espacio-tiempo está perféctamente definido en -oo < t < +oo.


La evolución del factor de escala en el modelo de de-Sitter

Lo sorprendente es que la cosmología cuántica canónica en el minisuperespacio (véase entrada anterior) hace posible aparición de un universo que empieza a comportarse en t = 0 como uno de-Sitter, haciéndolo aparecer en el régimen clásico t > 0. El mecanismo involucrado es el efecto túnel que tiene lugar desde un estado sin correspondencia clásica alguna, a través de un potencial efectivo, hasta el estado clásico de de-Sitter.

Para verlo, partamos de la primera ecuación de Friedmann con una constante cosmológica, para un espacio cerrado k = 1:

a'²/ a² + 1 / a² - L = 0

Tomando el momento conjugado del factor de escala p = a a':

p²/a + a - a³ L = 0

Sustituyendo según la prescripción del método de cuantización de Dirac a -> a, p -> - i h d/da, a operadores que actúan sobre una función de onda del universo F(a), se tiene:

[h² d²/da² - V(a)] F(a) = 0

Esta es la ecuación de Wheeler-deWitt para este modelo concreto. Es similar a la ecuación de Schrödinger para una partícula en un potencial V, que describe su comportamiento cuántico. Para resolver esta ecuación se procede igual que en el caso de una partícula puntual sometida a un potencial haciendo uso de la aproximación semiclásica de WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin). Las soluciones se separan en dos tipos, las clásicas oscilatorias y las de efecto túnel exponencialmente decrecientes. Es decir, la partícula o bien se mueve como una onda ahí donde no está el potencial, o bien pasa a través del potencial debido al efecto túnel.


El efecto túnel a través del potencial efectivo V(a)

Para obtener las soluciones concretas hace falta imponer condiciones iniciales, tal y como he mencionado en la entrada anterior de este blog.

Una de las diferencias esenciales de la ecuación de Wheeler-deWitt para este modelo concreto y la ecuación de Schrödinger es que la segunda describe una evolución respecto de un parámetro temporal t externo al sistema. Sin embargo, en la relatividad general tal parámetro no existe y uno ha de decidirse por la elección de un parámetro interno, de entre muchos posibles. En muchos de los modelos de cosmología cuántica, como el modelo tratado aquí, ese parámetro interno es el factor de escala.

No obstante, hay una diferencia fundamental en imponer condiciones iniciales para un tiempo externo o imponerlas para el factor de escala en a = 0 como parámetro interno. Dado que un modelo cerrado puede colapsar en un big-crunch, la imposición de condiciones iniciales en a = 0 corresponde con dos valores diferentes del tiempo clásico. Esto parece ir en contra del determinismo de las trayectorias clásicas del universo así como de la flecha del tiempo.

Este tipo de problema requiere de una diferenciación y clara interpretación de las condiciones iniciales para la función de onda del universo y sus trayectorias clásicas. A veces el problema se suele dejar de lado ya que la cosmología cuántica pretende describir primero solo el orígen del universo que queda claramente en nuestro pasado. Pero en definitiva esto es un ejemplo de algo fascinante: si tomamos totalmente en serio los modelos de cosmología cuántica y también gravitación cuántica, las consecuencias para nuestra comprensión de la realidad han de ser radicales.