La termodinámica del fondo cósmico de microondas

Consideremos el fondo cósmico de microondas, un gas de fotones homogeneo e isótropo. Imaginemos un volumen V determinado, esférico, con centro en nosotros.

El término volumen comóvil se usa para denotar el volumen independiente de la expansión del espacio. Es decir, consideremos una esfera imaginaria, estática, de volumen Vc. Tras un millón de años su volumen comóvil seguirá siendo Vc. A este concepto se contrapone el de volumen propio Vp, que consiste en multiplicar el volumen comóvil tres veces por el factor de escala (que da una medida de cuánto ha expandido una distancia a lo largo del tiempo cosmológico).

En general vale que Dp = Dc a, siendo Dp la distancia propia, Dc la distancia comóvil y a el factor de escala. Por tanto, si tomamos Vp = Vc inicialmente, tras un millón de años tenemos Vc = Vc, pero Vp = a^3 Vc. El volumen propio y la distancia propia son los conceptos más físicos y tangibles.

El principio cosmológico impide la transmisión de materia y radiación a través de volúmenes comóviles. Es decir, el volumen V que hemos considerado del fondo cósmico de microondas se mantiene siempre constante ya que este es comóvil con la expansión y puede, por tanto, considerarse comóvil con una esfera imaginaria en el espacio (como arriba).

Esto nos indica que la expansión del gas de fotones es adiabática. El fondo cósmico aumenta su volumen exáctamente igual que la expansión del espacio. Un gas en expansión adiabática pierde temperatura debido a la dismunución de su energía interna por el trabajo que realiza al expandirse. Aquí, contrario a la situación usual de expansión adiabática, no hay un borde externo sobre el cual el gas realiza una presión.

No obstante, el gas realiza un trabajo gastando su energía debido a la expansión del espacio y este trabajo ocurre no en los bordes sino en cada uno de los puntos internos, al ser la expansión del espacio algo que ocurre en todos los puntos. Tenemos, por tanto:

dU + dW = 0
dU + P dV = 0

con P la presión “interna” del gas, que en función de la energía interna U, para un gas relativista es:

P = U / 3 V

Por tanto:

dU = - (U / 3 V) dV

Que se resuelve en:

U ~ V^(-1/3)

Como V ~ a^3, se tiene:

U ~ 1 / a

Esto se corresponde con la fórmula para la energía de un fotón U = h f, ya que la frecuencia varía tal que f ~ 1 / a con la expansión del espacio.

Para partículas en equilibrio termodinámico, bosones o fermiones, uno puede obtener una relación:

U / V ~ T^4

Por lo que, con la relación de arriba para U:

T ~ 1 / a

A esta conclusión se puede llegar de otra forma: Partir de que el fondo es una distribución de Planck de un cuerpo negro y que su energía interna cumple la ley de Stefan-Boltzman:

U / V ~ T^4

Por otro lado, la energía por unidad de volumen U, es igual h f por el número de fotones en el volumen a con frecuencia f:

U = h f Nv(f)

El número de fotones no cambia, como hemos visto, debido al principio cosmológico. Con esto:

T^4 ~ h f / V

y

T ~ 1 / a

Introduciendo este valor en la fórmula de Planck para el cuerpo negro y sabiendo que f ~ 1 / a se puede mostrar que el fondo es siempre un cuerpo negro, aunque cada vez a temperaturas menores.

Por otro lado, siendo la expansión del fondo un proceso adiabático la variación de su entropía es nula, ya que:

T dS = 0