La relatividad general queda condensada en las ecuaciones de Einstein, que describen cómo la geometría del espacio-tiempo (concrétamente la métrica) se ve modificada por la existencia de materia. Concrétamente, las ecuaciones tienen la forma Guv = k Tuv. La parte izquierda representa la geometría, la cual puede expresarse en función de la métrica del espacio-tiempo que describe distancias e intervalos temporales. La parte derecha representa la energía y el momento de la materia. La letra k es una constante (que contiene G y c) y los subíndices u, v toman valores desde cero hasta tres, dando lugar, por tanto, a dieciseis ecuaciones.
Cuando uno no considera materia en estas ecuaciones obtiene Guv = 0. De esto se obtienen varias clases de soluciones de espacio-tiempos vacíos. Por ejemplo, soluciones cosmológicas con un espacio en el cual el factor de escala a (que da una relación entre la distancia entre dos puntos en dos épocas cosmológicas diferentes) varía proporcionalmente con el tiempo a = K t, con K un número real. Por ejemplo, también, el espacio-tiempo estático y plano de la relatividad especial. Otro ejemplo: Ondas gravitacionales propagándose causalmente (a partir de unas condiciones iniciales impuestas a las ecuaciones) sobre un fondo estático como el de la relatividad general.
Esto nos indica que, en general, la distribución de materia que entra en las ecuaciones Guv = k Tuv no determina la métrica del espacio-tiempo de forma única. Esta situación es similar al electromagnetismo en el cual las distribuciones de carga tampoco determinan las soluciones a las ecuaciones de Maxwell de forma única. Dada una distribución de carga determinada, por ejemplo ninguna (cero carga) en todo el espacio, puede haber perféctamente ondas electromagnéticas viajando por el espacio siempre que las condiciones de contorno o las condiciones iniciales sean las adecuadas. Resumiendo, dadas unas condiciones iniciales y una distribución de materia, la solución a las ecuaciones de Einstein es única.
A la luz de esto las soluciones de espacio-tiempos vacíos tienen una peculiaridad, la cual se suele poner de manifiesto con el denominado "argumento del agujero" o "hole argument" de Einstein. Advierto que lo que sigue no es fácil de entender, pero puedo asegurar que vale la pena intentarlo ya que sirve para comprender mejor la esencia de la relatividad general y representa, además, una de las claves históricas de su formulación.
En su formulación moderna este argumento dice lo siguiente. Consideremos un espacio-tiempo lleno de materia excepto en una zona o "agujero". Para imaginarlo adecuadamente pensemos en 2+1 dimensiones (dos espaciales y una temporal) en vez de las usuales 3+1. Hay que notar que se trata de un agujero en el espacio-tiempo y no en el espacio. Un "agujero" en el espacio 2+1 sería una circunferencia y sería la sección de un "cilindro" en el espacio-tiempo 2+1. Este agujero se encuentra entre dos superficies materiales que determinan sus condiciones iniciales y finales. Imaginemos que en la sección siguente a la primera superficie material que determina sus condiciones iniciales aparecerá ya visible el agujero. El agujero evolucionará con el tiempo y, luego, con la segunda superficie material desaparecerá del espacio-tiempo. Se podría decir también que es una "burbuja" de espacio-tiempo vacío, la cual aparece y desaparece.
Con este espacio-tiempo tomemos una transformación o desplazamiento de todas las variables dinámicas en él. Esta transformación será tal que en las partes del espacio-tiempo donde existe materia todo quedará igual (la transformación es la identidad). Sin embargo, en el agujero habrá una pequeña modificación la cual afectará o desplazará sólo a la métrica del espacio-tiempo y no a la materia (al estar el agujero vacío). Este tipo de transformaciónes que pueden ser distinan sobre distintos puntos, pero han de ser suaves (diferenciables) y en un punto determinado ha de actuar de igual forma sobre todas las variables dinámicas se denominan difeomorfismos activos.
Tenemos ahora, por tanto, dos espacio-tiempos iguales salvo en el agujero. Las ecuaciones de movimiento de la relatividad general no determinan la métrica de forma única, salvo que se fijen unas condiciones iniciales determinadas. Pero para la parte donde ambos espacio-tiempos son distintos es eso precisamente lo que hemos hecho antes: hemos determinando una superficie que sirve como condición inicial a la dinámica del agujero. Por tanto éste ha de ser solución única a las ecuaciones de movimiento. Si ambos espacio-tiempos fueran dos soluciones distintas, la relatividad general sería una teoría no determinista, ya que la imposición de fuentes y condiciones de contorno no sería suficiente para determinar la física.
Todo esto se resume diciendo que la relatividad general se basa en el principio de covarianza, el cual afirma, en su versión "activa" y moderna, que un mismo cambio o desplazamiento en todas las variables dinámicas (un difeomorfismo activo) ha de resultar en la misma solución a las ecuaciones de movimiento. En general, ha de resultar en la misma física. Esto a veces se conoce como equivalencia de Leibniz.
La conclusión es que siendo los dos espacio-tiempos con el agujero iguales, el significado físico de los puntos del espacio-tiempo como entidades per se (substantivismo del espacio-tiempo) queda cuestionado. El espacio-tiempo sólo parece adquirir un sentido tal y como lo conocemos cuando existe materia que permite "calibrar" posiciones para calcular distancias. Las posiciones, sin más, no tienen sentido en la relatividad general.
La pregunta que se plantea entonces es si esto convierte a las soluciones de espacio-tiempos vacíos, en las cuales queda la libertad de imponer unas condiciones iniciales a placer, en algo sin sentido físico. El caso es que esas soluciones existen, pero la interpretación del espacio-tiempo en ellas, tal y como la conocemos, no tiene sentido.
La siguiente analogía con el electromagnetismo es válida también para entender el argumento del agujero. En el electromagetismo existe el potencial electromagnético, el cuál puede redefinirse o calibrarse como uno quiera, poniendo su "cero" en el infinito o en otro punto. Esto es algo arbitrario y físicamente irrelevante, ya que lo que importa son las diferencias entre potenciales entre dos puntos. Esto no quiere decir que el potencial electromagnético no exista, sino que hay un grado de libertad en la teoría, el cual no es físico, sino sólo de representación, que nos permite cambiarlo sin consecuencias físicas. Algo similar ocurre con el espacio-tiempo vacío en la relatividad general.
Otra forma de aproximarse a la conclusión del argumento del agujero es decir que los puntos del espacio-tiempo no existen con individualidad. Para analizar la conclusión de la falta de individualidad de los puntos del espacio-tiempo, John Stachel usa los términos ingleses quiddity y haecceity, que provienen del latín quidditas y haecceitas y que en español corresponden a quididad y ecceidad. Muchas veces se usan como sinónomos, refiriendo a ambos la esencia, pero estríctamente se distingue entre el primero como refiriendo a las cualidades genéricas o la substancia y el segundo refiriendo a cualidades individuales o la forma individualizadora. Esto queda claro por ejemplo en este diccionario de términos filosóficos o en este artículo de wikipedia.
Las partículas en la cuántica no tienen ecceidad, pero sí quididad. De ahí que sean indistinguibles y puedan ser intercambiadas sin dar lugar a diferencia alguna, cosa que se expresa matemáticamente con el formalismo que da lugar a la invarianza de las ecuaciones frente a la simetría de permutaciones en los elementos de un sistema de múltiples partículas. Esta simetría de permutación da lugar a situaciones como los condensados de Bose-Einstein, donde todos las partículas del sistema se comportan como una sola.
Algo similar podría ocurrir con los puntos del espacio-tiempo. No obstante la simetría aquí es distinta y no de permutación.
Pero, lo curioso es que el argumento del agujero sirve igual de bien y debería llegar a la misma conclusión si, en vez de modificar la métrica dentro del agujero de forma suave, se intercambian o permutan dos puntos dentro del agujero. Algo similar a la invarianza frente a permutaciones de un sistema de múltiples partículas cuánticas. Y este principio estadístico de permutabilidad es quizás algo que esté a un nivel mucho más profundo que la estructura del espacio y el tiempo con su causalidad. Del papel Understanding Permutation Symmetry:
Thus at the famous Solvay Conference of 1927, Langevin noted that quantum particles could apparently no longer be identified as individuals and that same year, both Born and Heisenberg insisted that quantum statistics implied that the “individuality of the corpuscle is lost” (Born 1926; see Miller 1987, 310). Some years later, in 1936, Pauli wrote to Heisenberg that he considered this loss of individuality to be “... something much more fundamental than the space-time concept”
No hay comentarios:
Publicar un comentario