El Camino Óctuple (The Eightfold Way)

Hace cuarenta años, en 1969, se otorgó el premio Nobel de física a Murray Gell-Mann, por sus descubrimientos sobre partículas elementales. Si hay algo que destaca en la línea de descubrimientos e ideas de Gell-Mann es la belleza y la armonía. El camino óctuple o en inglés eightfold way, es la punta del iceberg del maravilloso mundo de las simetrías en la física de partículas.

Simetrías y cargas conservadas

El universo está lleno de simetrías que son cumplidas por ciertos sistemas. Es decir, existen acciones las cuales, realizadas sobre ciertos sistemas, dejan sus propiedades físicas invariantes. Ejemplo. Imaginemos un condensador con dos placas infinitas conductoras y paralelas la una a la otra, y ambas perpendiculares a un eje z, localizadas en z = - L, z = + L. Entre ellas existe un campo eléctrico paralelo al eje z. Este sistema tiene una clara simetría de traslación en dos direcciones: las dos direcciones x, y paralelas a las placas. La situación es indéntica independientemente de en qué punto x, y nos situemos.


Si uno imagina estas dos placas infinitas, el sistema tiene una simetría de traslación en las dos direcciones perpendiculares al eje z

Uno de los resultados más importantes de la física del siglo pasado es el teorema de Noether. Este nos dice más o menos que para tales simetrías existe siempre una carga conservada. El término carga debemos entenderlo en un contexto general, y no pensar sólo en la carga eléctrica por ejemplo. En el ejemplo anterior, el teorema de Noether nos dice que van a existir dos cargas conservadas, una para cada simetría: una a lo largo del eje x, otra a lo largo del eje y. Estas cantidades conservadas resultan ser las componentes x, y del momento lineal px, py.

Para entenderlo supongamos que entre las placas ponemos un electrón. No existen fuerzas en el plano x, y, y con ello según la segunda ley de Newton el momento lineal px, py del electrón se conserva. La forma de su movimiento es independiente del punto en el plano x, y en el que se encuentra inicialmente. Es diferente al momento lineal en z (pz). Dado que existe un campo eléctrico en z, ocurrirá que pz variará con el tiempo de acuerdo con la segunda ley de Newton. Por contra px, py se mantienen siempre constantes mientras el electrón se mueve entre las placas.

¿Qué valores pueden tomar estas cargas conservadas? Cada una px, py un valor infinito en la recta real. Sea cual sea, este valor se mantiene constante siempre. En definitiva, nada cambia en el electrón y su estado de movimiento por desplazarlo en x, y. Este hecho nos resulta en la conservación de su momentos lineales px, py.

El isospín y la simetría entre neutrón y protón

Una de las brillantes ideas de Werner Heisenberg fue proponer que existe una simetría entre protón y neutrón, tal que nada cambia por intercambiar el uno por el otro. A primera vista esto puede parecer sorprendente, dado que ambos tienen cargas eléctricas y masas diferentes, pero la física trabaja con simplificaciones. La masa entre ambos es muy parecida, por lo que a Heisenberg le pareció razonable pensar en primera instancia que en un universo sin interacción electromagnética el protón y el neutrón serían completamente iguales - incluso la diferencia de masa podría tener su origen en la interacción electromagnética, pensó.

Esta simetría postulada por Heisenberg es realmente expresión de una simetría entre los quarks que componen el protón y el neutrón. Estos son el up y el down (u, d). Su masa es muy parecida, pero se diferencian en la carga eléctrica. ¿Qué tipo de simetría es esta entre u, d? En el ejemplo anterior vimos una simetría de traslación en el espacio, aquí se trata de una simetría de rotación en un espacio interno. En esta aproximación o simplifación debe aparecernos por tanto una carga conservada, a la cual se conoce con el nombre de isospín.

¿Qué valores tomará la carga conservada del isospín? Bien, la respuesta a esta pregunta es uno de los episodios más bellos de la teoría cuántica - y cuya justificación se sale del marco de esta entrada. Las matemáticas nos muestran que al contrario de simetrías de traslación para simetrías de rotación los valores posibles son discretos. Para especificar un estado de isospín hacen falta dos números. La situación es similar al caso del espín. Un electrón por ejemplo tiene espín 1/2 y la proyección de este espín sobre un eje determinado será +1/2 ó -1/2 dependiendo de la orientación del electrón respecto del eje. En el caso del isospín igual y se tiene que tanto u como d tienen isospín 1/2 y la proyección de este son u = +1/2, d = -1/2. Al igual que con la proyección del espín, para la proyección del isospín vale que toma valores -I, -I+1, ... I-1, I, en saltos de 1 desde menos el valor del isospín hasta más el valor del isospín (por ejemplo: -1/2, +1/2 para un isospín de 1/2 y -1, 0, 1 para un isospín de 1).


Proyección del espín para un espín de 1/2, detalles sobre el espín y la teoría de rotaciones por ejemplo en el artículo de wikipedia

A su vez el espín de los quarks es 1/2, tanto del u como del d. A diferencia del isospín el espín no nos permite clasificar en grupos de dos partículas - es decir el u en una de +1/2 y otra de -1/2 dependiendo de la proyección en un eje, ya que esta proyección depende de nuestra elección de los ejes de coordenadas - y la física es independiente de estos. Es decir, la proyección del espín se mezcla en una misma partícula y no está asociada a tipos de partículas. La proyección del isospín, por contra, es en un espacio interno de simetría donde tal libertad no existe en principio.

En definitiva, tenemos dos quarks con dos valores diferentes de la proyección del isospín, y con igual espín. Por contra, tienen diferente carga eléctrica. No obstante, hemos dicho que la interacción electromagnética la vamos a ignorar.

Ahora vamos a construir bariones, que son combinaciones de tres quarks, con igual espín. Que la carga eléctrica sea igual o no en estas combinaciones nos trará sin cuidado. Consideremos primero combinaciones de u, d. ¿Qué combinaciones son posibles? Pues tenemos uuu, ddd, udd, uud. De estas combinaciones, en su estado fundamental las combinaciones uuu, ddd tienen espín 3/2, mientras que las combinaciones udd, uud espín 1/2.

Las combinaciones uud y udd de espín 1/2 corresponden con el protón y el neutrón respectivamente. En estas combinaciones dado que dos quarks son siempre u y d, el valor de la proyección del isospín se hereda del tercer quark. Por tanto tienen isospín 1/2 y la proyección 1/2 y -1/2 respectivamente.

El octeto de bariones

Además de considerar los quarks u, d podemos considerar también el quark s (strange = extraño). Su masa no es tan parecida como las de u, d, pero podemos postular igualmente que en cierta simplificación habría una simetría entre los estados formados por estos tres quarks. Al igual que hemos clasificado los estados de isospín +1/2 y -1/2 obteniendo un grupo de dos partículas con masa muy similar, podemos clasificar los estados de isospín + extrañeza (por convención extrañeza -1 si la combinación tiene un quark extraño, -2 si tiene dos, etc.) y obtener un grupo de partículas con masas similares.

Como hemos mencionado antes, distinguiremos entre aquellas combinaciones de espín 1/2 y aquellas de espín 3/2. Las combinaciones de tres quarks iguales sólo pueden tener espín 3/2. Nos concentraremos en las combinaciones de espín 1/2. Estas son las siguientes.

• Con cero s quarks: uud, udd


• Con un s quark: uus, uds, dds


• Con dos s quarks: uss, dss

¿Qué valores de la proyección del isospín tendrán estas combinaciones? En el fondo está claro. Por ejemplo, uss tendrá uss = +1/2 y dss = -1/2, ambas heredadas del valor de la proyección del isospín de u, d respectivamente. La siguiente tabla nos muestra las combinaciones de espín 1/2 con sus valores de isospín y extrañeza, así como las posibles proyecciones del isospín y los nombres de estos bariones:



Ahora lo que vamos hacer ahora es dibujar estas combinaciones en un plano con eje horizontal con la proyección del isospín I3 y eje vertical la extrañeza S. Obtenemos esto (en esta gráfica están dibujadas además la carga eléctrica Q y la hipercarga Y):



Cualquiera que vea esta clasificación con este diagrama por primera vez no puede mas que sorprenderse de la fascinación de la física de partículas. La belleza de esta clasificación llevó a su inventor, Murray Gell-Mann, a denominarlo eightfold way, camino óctuple, en referencia al noble camino óctuple del budismo. El camino óctuple de Gell-Mann representa el comienzo de la aventura de la física de partículas, una historia de descubrimientos cada cual más bello y profundo.

Otras combinaciones

Clasificaciones similares existen para el caso de bariones con espín 3/2, en cuyo caso se tiene no un octeto sino un grupo de diez elementos, también para mesones (compuestos por un par quark-antiquark).

También se han hecho clasificaciones añadiendo quarks y números cuánticos adicionales. Es decir, además de u, d, s, considerar también los quarks c, b, t. Añadiendo por ejemplo el quark c (charmed, encanto) hay que añadir una dimensión más al diagrama que queda algo así (el subíncie representa la cantidad de quarks c en la combinación) - donde nuestro octeto está en la base:



Las diferencias de masas empiezan a hacer estas simetrías insostenibles y poco útiles, y, además, clasificaciones con más de u, d, s, c, ya no son visualizables.