Las condiciones para la paradoja de Olbers

La paradoja de Olbers nos dice que en un universo estático e infinito el cielo nocturno debería ser totalmente brillante sin regiones oscuras o desprovistas de luz. Formular las condiciones de la paradoja con precisión nos ayudará a entenderla mucho mejor.

En concreto, la formulación matemática de la paradoja consiste en calcular el flujo de luz que recibimos estando situados en el orígen de un sistema coordenado esférico. Para empezar establecemos dos hipótesis. La primera hipótesis es que las fuentes de luz se distribuyen de forma homogenea en el espacio. La segunda es que el espacio es estático.

Primero consideramos el flujo de luz que llega a nosotros emitido desde una fuente a una distancia r. En un espacio estático este flujo es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia, f ~ 1/r². Luego consideramos la cantidad de fuentes de luz en una corona esférica. Esta cantidad n aumenta con el radio al cuadrado, n ~ r². Por tanto, la suma del flujo de luz de todas las fuentes de luz localizadas en una capa esférica a un radio cualquiera es F ~ f n. Este valor es una constante ya que la dependencia con r se cancela.

¿Cuántas capas esféricas queremos sumar? Empezamos con r = 0 y vamos avanzando a radios cada vez más grandes. Ahora establecemos dos hipótesis más. Primera que el universo es infinito en extensión. Segunda que sus fuentes de luz son eternas. Con ello vemos que la suma de capas esféricas es infinita y que cada capa contribuye con un valor constante (y no infinitésimo) al flujo total de luz. El resultado es por tanto infinito. Esta es la paradoja de Olbers.

Resumiendo, hemos dado con un flujo infinito combinando cuatro hipótesis:

1. Las fuentes de luz se distribuyen de forma homogenea en el espacio
2. El espacio es estático
3. El universo es infinito en extensión
4. Las fuentes de luz son eternas

Vamos a ir desglosando las hipótesis tomadas una a una.

Primera, la homogeneidad de las fuentes de luz. Si la distribución de fuentes no es homogenea la paradoja no tiene por qué darse. Benoit Mandelbrot, el creador de las fractales, propuso una cosmología que solucionaba la paradoja de Olbers precisamente de esa forma. En concreto, en un universo en el cual la distribución de fuentes de luz es de dimensión fractal menor que dos, la paradoja no se da aun en caso de tener infinitas fuentes en un universo infinito cuya existencia es eterna.

La razón es que ya no vale n ~ r² y no va a haber cancelación con f ~ 1/r². Lo que vale en general es que para una dimensión fractal D, n ~ r^{D-1}, haciendo que la paradoja se solucione si D < 2. La justificación de un modelo cosmológico así viene del hecho que a cierta escala las fuentes de luz parecen agruparse en distribuciones fractales en el universo - aunque según me consta a mí los estudios no son concluyentes y no son extrapolables a muy grandes escalas.

Segunda hipótesis, el espacio estático. Si el espacio no es estático ya no se cumple que f ~ 1/r², sino que en general para un universo en expansión el flujo está más diluido. En determinados modelos esto soluciona la paradoja. Esta era la solución del modelo estacionario de cosmología de Hoyle y Burbridge que se basaba en un espacio-tiempo de-Sitter.

Tercera hipótesis, la extensión infinita del espacio. Si el espacio no es infinito y tiene un borde (o digamos que la distribución de fuentes de luz tiene un borde), entonces la suma sobre coronas esféricas se acaba a un radio determinado. Con ello la suma del flujo es finita.

Ahora bien, cuidado, si el espacio es finito pero ilimitado (y el resto de las hipótesis siguien siendo válidas, en concreto la edad infinita de las fuentes de luz), entonces las luz emitida en pasados cada vez más remotos da una o varias veces la vuelta al universo hasta llegarnos. Dado que la edad de las fuentes es infinita la cantidad de coronas a considerar es otra vez infinita y la paradoja no se soluciona.

Cuarta hipótesis, la edad infinita de las fuentes de luz. Esta es evidente: si las fuentes de luz no existen desde un pasado infinito sino desde un tiempo T, entonces, dado que la velocidad de la luz c es finita, la cantidad de coronas a considerar es finita, en concreto hasta un radio R = c T.

Es maravilloso ver como esta paradoja tan simple y cotidiana nos pone frente a un misterio cosmológico sin precedentes y se convierte en una piedra angular de la cosmología, tal y como nos muestra la profundidad de las posibles soluciones a la paradoja. Cualquier modelo sobre el universo debe necesariamente de enfrentarse a ella.