On the Origin of Inertia

En la mecánica newtoniana el movimiento acelerado de un cuerpo viene definido respecto de una clase o conjunto de sistemas de referencia, concrétamente, todos los sistemas de referencia inerciales. De acuerdo con la relatividad general un sistema así puede ser encontrado de forma local en todo punto del espacio-tiempo. Pero ¿qué determina la existencia de tal conjunto de sistemas?

En la relatividad general ocurre también que lejos de toda masa tales sistemas pueden existir. Esto es debido a que el espacio-tiempo se vuelve plano, el mismo que el de la relatividad especial, donde la clase de sistemas de referencia inerciales representan una clase preferida y en cierta medida absoluta o independiente del resto del universo. De forma equivalente se puede pensar que un cuerpo alejado de toda masa puede adquirir inercia, esa propiedad de todo cuerpo que liga aceleraciones a fuerzas. Esto es debido a que el espacio-tiempo se vuelve plano y la inercia aparece como propiedad absoluta de los cuerpo.

La cuestión es si esto es conceptualmente aceptable. Si postulamos que todas las propiedades del movimiento deben ser expresables en términos observables y de forma dinámica, entonces la posibilidad de una determinación absoluta de los sistemas inerciales va claramente en contra de nuestro postulado. En cierta medida queremos hacer física con el menor bagaje posible en lo referente a artilugio teórico absoluto. La existencia de soluciones sin masas pero con sistemas inerciales en la relatividad general va en contra de esto.

En defintiva, la motivación es lograr que movimientos cinemáticamente equivalentes sean también dinámicamente equivalentes. Esta es una forma de expresar lo que se conoce a veces como principio de Mach. Esto no es así en la mecánica newtoniana. Para ilustrarlo recordemos el ejemplo del cubo de agua que gira. Que el agua suba por la pared del cubo y se hunda en el centro del cubo (concavidad) significa que el cubo gira. En la mecánica newtoniana el cubo gira o es acelerado respecto de la clase de sistemas inerciales. Las fuerzas que actúan sobre el agua aparecen de forma absoluta. De acuerdo con la mecánica newtoniana si todo el universo girase pero el cubo no, entonces sobre el cubo no actuarían fuerzas.

Pero que todo el universo gire y el cubo no es cinemáticamente equivalente a que el cubo gire pero el resto del universo no. De acuerdo con nuestro postulado hay que encontrar por tanto también una mecánica que describa estos dos fenómenos como dinámicamente equivalentes. Es decir, si el universo girase pero el cubo no deberá actuar una fuerza sobre el cubo que será igual que si el cubo gira pero el universo no.

Esta hipótesis proporciona además una nueva perspectiva al problema del péndulo de Foucault. La determinación de la velocidad angular de la tierra que se sigue de este experimento ha de ser equivalente a la determinación de la velocidad angular de la tierra que se puede hacer con experimentos cinemáticos; midiéndo posiciones de estrellas fijas en el infinito. Esto es debido a que movimientos cinemáticamente equivalentes sean también dinámicamente equivalentes.

¿Cómo proceder para encontrar una teoría así? El primer indicio nos lo proporciona el principio de equivalencia. Este nos dice que localmente la fuerza gravitatoria es indistinguible de cualquier otra fuerza inercial. Es decir, localmente un campo gravitatorio es equivalente a una aceleración uniforme. Parece sensato intentar encontrar una teoría en la cual la inercia sea consecuencia de la gravitación. Asumiendo un modelo simplificado en el cual no existen otras fuerzas mas que la gravitación, la condición de que movimientos cinemáticamente equivalentes sean también dinámicamente equivalentes vendrá dada por la condición de que:

En el sistema de referencia comóvil con un cuerpo la fuerza gravitatoria que el resto del universo realiza sobre este cuerpo es nula

La condición parece razonable: si cinemáticamente somos capaces de ponernos en movimiento comóvil con el cuerpo de forma que él está en reposo respecto de nosotros, parece sensato exigir que dinámicamente no actúen fuerzas sobre él. Al fin y al cabo estamos intentando que cinemática y dinámica sean equivalentes. Aunque parezca increible esta es la única condición necesaria para establecer la teoría.

Lo mencionado hasta aquí es la base conceptual del trabajo de Dennis Sciama, físico inglés (1926-1999), sobre este tema. En su artículo:

• On the origin of inertia

presenta magistralmente un modelo de teoría así. El artículo es una joya, por lo bien escrito que está, por la forma de proceder, por sus ideas bellas conceptualmente bien fundadas, por sus predicciones y por su sencillez en la presentación.

Para imponer la condición mencionada Sciama considera un universo homogeneo e isótropo cumpliendo la ley de Hubble y en el cuál existe una inhomogeneidad representada por una masa gravitacional M. Este es el "resto del universo" que va a actuara sobre una masa test, en la cual se impone el principio mencionado. El modelo que presenta Sciama es una teoría vectorial de la gravitación. Es conocido que una teoría de la gravitación debe ser tensorial, pero el modelo vectorial sirve para extraer suficientes consecuencias físicas interesantes. Sciama promete el modelo tensorial para un segundo trabajo futuro, pero a mí me es desconocido si ese trabajo realmente existió o no.

Debido a que en el universo existen masas en movimiento respecto de nuestra masa gravitacional test, una teoría vectorial de la gravitación consistirá en un campo gravitoeléctrico E y otro gravitomagnético H sobre la masa test - análogamente a las ecuaciones de Maxwell. El campo total F = E + H será cero en el sistema comóvil de la masa test y esta condición, F = 0, valdrá para derivar la segunda ley de Newton con una expresión no trivial para la masa inercial de nuestra masa (gravitacional) test (véase ecuación (5) en el artículo).

No voy a mostrar aquí los pasos matemáticos, pero son sencillos. Sólo requiren de entender ecuaciones análogas a las de Maxwell. Recomiento encarecidamente leer el artículo al que no lo conozca.

Las consecuencias de la teoría son: (i) la constante gravitacional en un punto del espacio-tiempo depende de la distribución de materia local en tal punto, (ii) la energía total de un cuerpo (gravitacional e inercial) es nula (iii) el principio de equivalencia es una consecuencia de la teoría, (iv) la teoría permite calcular la densidad media del universo, (v) para el universo que observamos la mayor parte de la inercia de los cuerpos viene generada por masas a distancias mayores de 100 Mpc, y otras más mencionadas en el artículo.

Visto esto uno se pregunta si realmente la relatividad general puede ser la teoría clásica correcta de la gravitación. La belleza conceptual del principio de Mach, el cual la relatividad general no implementa consistentemente, es tan grande que parece una pena que el universo no haya hecho uso de él. ¿Qué teorías tensoriales y más realistas hay que incorporen este principio? ¿Cómo difieren de la relatividad general? y ¿están experimentalmente refutadas? Estas preguntas nos ocuparán en una segunda entrada en un futuro próximo.