La gravitación es una fuerza que viene modelada en la relatividad general por un objeto matemático de diez componentes independientes (un tensor simétrico de segundo orden) para cada punto del espacio-tiempo. Este objeto es la métrica del espacio-tiempo y representa algo así como el equivalente al “el potencial” gravitatorio en la gravitación newtoniana, como veremos más abajo. La métrica de denota guv, donde u y v son subíndices que van desde 0 hasta 3 (un total de 16 componentes, aunque sólo 10 de ellos independientes debido a la simetría).
Cuando uno analiza problemas de campos débiles (o por lo menos no extremadamente fuertes) la métrica se puede descomponer en dos partes:
guv = nuv + huv
donde nuv es la métrica de un espacio-tiempo plano n00 = -1, n11 = n22 = n33 = 1 (las demás cero) y huv una perturbación. La perturbación huv se puede separar en tres partes: (1) una parte escalar dada por h00, (2) una vectorial dada por h0i (igual a hi0 por simetría) y (3) una parte tensorial dada por hij. Aquí los índices latinos i, j van desde 1 a 3 (a diferencia de u, v que van de 0 a 3).
Para los efectos de gravitoelectricidad y gravitomagnetismo nuestra atención se centra en (1) y (2). Buscando la analogía con electromagnetismo, se pueden relacionar h00 con el potencial escalar Ф y h0i con el potencial vector Ai. Como, dados los potenciales, las ecuaciones de Maxwell se derivan tomando:
E = -▼ Φ - dA/dt
B = ▼ x A,
Se puede proceder de forma similar con h00 y h0i para obtener “ecuaciones de Maxwell gravitatorias”. El campo E resultante es el gravitoelectrico y el B es el gravitomagnético.
Notar que para el caso estático E = -▼ Φ y la divergencia del gradiente de Φ (el laplaciano de Φ) da lugar a la ecuación de Poisson para el campo gravitatorio que nos lleva a la gravitación newtoniana:
▼² Φ = - 4 π G ρ
De ahí que nombrase antes a la métrica “potencial gravitatorio”, ya que esa identificación vale, por lo menos en campos débiles, para h00.
Notar también que toda métrica diagonal, como por ejemplo la de Schwarzschild o la de Robertson-Walker, no presenta gravitomagnetismo (los g0v y por tanto h0i son cero).
Análogamente al electromagnetismo, se puede definir también una fuerza “de Lorentz” que actúa sobre cargas (q = m, masas para la gravitación) en el seno de esos campos.
F = q (E + v x B)
Como esa es la fuerza que ”actúa sobre” vemos que el campo gravitomagnético sólo ejerce fuerza sobre masas en movimiento (con velocidad v) y no sobre masas estáticas. Por otro lado notar que, al igual que en electromagnetismo, la separación entre E y B es dependiente del sistema de referencia.
Veamos ahora esto en relación con la Gravity Probe B. La intención es entenderlo de forma cualitativa y, por tanto, nos quedaremos en la analogía del electromagnetismo, pero antes de ello haremos un periplo por dos fenómenos más que no son objeto de la GP-B.
Supongamos que tenemos un cuerpo esférico (cuerpo pequeño de prueba) que rota alrededor de su eje y lo dejamos acercarse desde el infinito, por medio de la gravedad, hacia una gran masa esférica en rotación (también alrededor de su eje). A partir de ahora usaré el término rotación para denotar el giro del cuerpo sobre sí mismo y traslación para el giro del cuerpo alrededor de la gran masa esférica. En un principio, la masa grande puede generar tres efectos peculiares sobre la dirección del rotación del cuerpo esférico (un cambio en la dirección de rotación se denomina precesión), además de un efecto sobre la traslación.
Antes de explicar los efectos de precesión vamos brevemente con el cambio de trayectoria. Incluso si el cuerpo se acerca en su trayectoria inicial a la masa por el lado opuesto a la dirección de rotación de la masa grande, llegará a un límite de distancia radial a partir de la cual se verá obligado a cambiar su dirección para dar vueltas alrededor de la masa en el mismo sentido de giro que esta. Es decir, el cuerpo que se acerca se ve arrastrado y obligado a desviar su trayectoria en la dirección de la rotación de la masa. Este límite se denomina “ergo-región”. Este efecto es característico de un espacio-tiempo de Kerr (masa con simetría esférica pero en rotación) y, que yo sepa, no es objeto de interés en la GP-B. Vamos ahora con los efectos de precesión.
El primer efecto de precesión se conoce como precesión de Thomas y es meramente una consecuencia de la relatividad especial (y no tiene nada que ver con la gravitación). Es debido a que los ángulos durante rotaciones dependen del sistema de referencia (contracción de Lorentz), cosa que hace que los vectores transportados en una rotación acaben cambiando algo su dirección. Es el caso, por ejemplo, del electrón con su espín girando alrededor del núcleo atómico para el cual la precesión de Thomas hará cambiar la dirección de su espín. Creo que para el caso de movimiento geodésico (sin aceleraciones adicionales a las producidas por la gravedad) del cuerpo de prueba que se acerca a la masa, este efecto debería ser nulo (pero no lo puedo afirmar con seguridad).
Tras este periplo por los efectos que realmente no son objeto del estudio con la GP-B, volvemos al gravitomagnetismo. Precisamente los dos efectos siguientes son resultado de él.
El átomo de hidrógeno formado por un protón y un electrón nos va a servir de analogía para el caso. Podemos imaginarlo de forma clásica: el protón y el electrón ambos con su espín, es decir, como bolitas rotando respecto de su eje, y a su vez el electrón girando en órbita alrededor del protón.
El efecto que nos interesa entender es el siguiente: La dirección del espín del electrón se verá modificada según el campo magnético en el que se encuentre sumergido. Volviendo al caso gravitatorio: El eje de rotación del cuerpo test, se verá modificado según el campo gravitomagnético en el que se encuentre sumergido.
El campo magnético en el que se encuentra sumergido el electrón se constituye como suma del campo magnético generado por momento magnético del espín (momento magnético intrínseco) del protón y el campo magnético generado por el momento magnético producido por el movimiento angular del protón (el electrón ve moverse al protón con su carga, y cargas en movimiento producen campos magnéticos).
La razón de la forma de ambos campos es consecuencia de la ley de Ampere, que nos dice que todo flujo de cargas (J) - en traslación o rotación - da lugar a un campo magnético (B):
▼ x B = J
El flujo de carga aparece al considerar el protón girando respecto del electrón y el protón mismo como una bola que, al girar, hace moverse la carga (la suya propia). Para el caso gravitatorio hay una ecuación similar el flujo de masas - en traslación o rotación (concretamente la de traslación de la gran masa respecto de la masa test y la de rotación de la gran masa respecto de su eje) - dará lugar a un campo gravitomagnético.
Aparece, por tanto, una precesión debida a dos efectos: Lo que se viene a llamar la interacción espín-órbita y lo que se viene a llamar interacción espín-espín, denotando lo el primer “espín” aquello que se ve influido (precesión) y lo segundo (órbita o espín) aquello que influye.
Para ver la influencia de estos campos sobre el electrón volvamos a la fuerza de Lorentz F = q v x B. El electrón lo imaginamos como una bola, la cual “mueve” carga generando una velocidad de la carga. La fuerza de Lorentz se convierte en un torque, con la dirección:
T ~ w x B
Siendo w un vector paralelo al eje de giro. Tanto el campo producido por la rotación del protón, como el campo producido por la traslación del protón girando alrededor del electrón (desde el punto de vista del electrón), crearán ambos una fuerza sobre el electrón haciendo girar su eje de rotación. Si el eje de rotación del electrón está alineado con el campo magnético, la fuerza no se aparece (el efecto neto es nulo). No creo que sea necesario ir a mayores detalles. En la figura abajo he dibujado un caso. El campo magnético es horizontal (saliendo de la pantalla) y el electrón rota respecto del eje vertical. La fuerza de Lorentz creará un torque para inclinar su eje de giro.
Algo parecido ocurre en el caso gravitacional. Uno de los efectos se conoce como precesión geodética o precesión de de-Sitter. Se trata de la interacción espín-órbita y ocurre sólo si el eje de rotación del cuerpo no está alineado con el eje perpendicular al plano de su movimiento alrededor de la masa (para el caso electromagnético la interacción espín órbita se conoce como precesión de Larmor). En el caso de la tierra, por ejemplo, el eje de rotación también sufre una precesión (debido a la posición del plano lunar), de la cual una parte es el efecto relativista. El otro efecto se conoce como precesión de Lense-Thirring y se trata de la interacción espín-espín. Es posible elegir una trayectoria óptima de movimiento tal que ambos efectos actúen de forma perpendicular para poder ser medidos mejor. Esta trayectoria óptima resulta ser una órbita polar: El eje de la órbita polar es perpendicular al eje de rotación de la tierra por lo que los campos gravitomagnéticos que generan también lo son.
En la figura de abajo: El campo gravitomagnético producido por la órbita es perpendicular a la pantalla y genera la flecha (variación de la dirección de la rotación de la masa pequeña) donde pone “geodetic” (T ~ w x B). El campo gravitomagnético producido por el espín es vertical y genera la flecha donde pone “frame dragging” (T ~ w x B).
La Gravity Probe B fue lanzada hace más de un año y en el 2006 proporcionara el primer conjunto de datos que nos mostrarán si la relatividad general es correcta o no. Si hasta entonces todavía escribo aquí me dedicaré intensivamente a analizar los resultados, así que a estar atentos.
GP-B STATUS AT A GLANCE
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Mission Elapsed Time: 437 days (62 weeks/14.32 months)
Science Data Collection: 308 days (44 weeks/10.10 months)
Current Orbit #: 6,449 as of 4:30PM PST
Spacecraft General Health: Good
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