Large Number Hypothesis

En 1937 Dirac publicó su hipótesis del número grande, Large Number Hypothesis.

En ella partía de la observación que la relación adimensional entre la atracción eléctroestática y la gravitatoria entre dos protones, 1/αp = ħ c / G mp² (fórmula que se obtiene de la ley de Coulomb en unidades en las que la constante de Sommerfeld es 1 = α = e²/ ħ c), es un número que corresponde con la edad del universo cuando ésta es expresada en unidades del tiempo atómico tales que tp = ħ mp / c².

Dada tal relación de ese número con la edad del universo y asumiendo que no es una casualidad y que determina de hecho el valor de 1 / αp, significa que tenemos una variación del alguna de las constantes dimensionales que lo componen. Dirac propuso que G ~ 1 / t. Esto es, si la edad del universo es t ~ 1 / H, siendo H el parámetro de Hubble (como nos indica la cosmología basada en las ecuaciones de Friedmann), tenemos G ~ H. Para un universo con densidad crítica se tiene G ρ ~ H².

Por otro lado, si postulamos que toda masa del universo está sólo sometida a la interacción gravitatoria en un límite newtoniano, tenemos m c² - G S(m mj / rj) = 0, con S(m mj / rj) un sumatorio sobre las masas y distancia a otras masas. Si tomamos un universo con una distribución homogenea e isótropa de densidad crítica de masa, en esta última ecuación se puede sustituir la suma por una integral sobre el universo observable para obtener 1 = G ρ 2 π R² / c². Si el radio del universo obsevable es R ~ c / H, se tiene G ρ ~ H².

¿Coincidencias? Quizás. La variación de G queda postulada formalmente en una modificación de la relatividad general denominada teoría de Brans-Dicke. Mientras el Lagrangiano de la relatividad general (en la acción de Einstein-Hilbert) toma la forma Leh = F(R, g) / 8 π G, con F(R, g) una función del escalar de Ricci y la métrica, el Lagrangiano de Brans-Dicke es Lbh = F(R, g) / f(l), siendo f(l) una función que varía a través del espacio-tiempo. Comparando ambos se puede concluir que G ~ f(l).

Esto significa una modificación de la relatividad general, al estilo de las teoría de que podría haber pasado inadvertida hasta hoy debido a las mínimas diferencias a las cuales los tests estándar de la relatividad general habrían sido insensibles. Sobre esta la posibilidad, los resultados de Gravity Probe B deberían proporcionarnos algo de luz en abril del próximo año.

Pero las implicaciones de una relación como la postulada por Dirac van algo más allá, o, mejor, digamos que también van en otra dirección.

Asumamos que 1 / αp = ħ c / G mp², constante adimensional, varía con el tiempo cosmológico de forma que 1 / αp ~ t. La hipótesis de Dirac consiste en asumir G ~ 1 / t, no obstante, de forma muy estricta, no tenemos forma de afirmar que la constante dimensional G varíe con el tiempo, porque cualquier medición depende de nuestros estándares de medida. Estríctamente debemos, por tanto, recurrir a las constantes adimensionales como única referencia, y ese es precisamente el punto de partida que asume 1 / αp ~ t. Para pasar de este punto de partida a una teoría "física" hay que elegir. La elección de Dirac fue G ~ 1 / t, sin embargo, ħ c ~ t manteniendo G constante, también vale y es completamente equivalente al proporcionar igualmente 1 / αp ~ t.

Aparecen así dos posibles teorías duales, que describen la misma realidad. La elección de la una sobre la otra sólo se debe a criterios de simplicidad, elegancia y mayor "sentido físico", pero no a posibles resultados experimentales.

El tiempo dirá. Quizás tengamos una animada primavera del 2007.