Una cuestión de perspectiva

Imagina que observas un lápiz de l = 0.1 metros y lo ves cubrir en tu campo de visión un ángulo de a = 0.1 radianes. Sabes, por tanto, que la distancia a la que se encuentra de tu nariz es d = l / a = 1 metro.

A esta distancia se la llama distancia angular. Se sigue de la observación empírica de el tamaño angular de un objeto, junto con el conocimiento de su tamaño físico. En este caso hemos medido el ángulo que el lápiz cubre en nuestro campo de visión y, además, conocemos la naturaleza o constitución física del lápiz (probablemente porque lo hemos tenido en nuestras manos) para decir que mide 0.1 metros.

Para un objeto determinado de tamaño físico l, a medida que disminuye el tamaño angular observado, la distancia angular es mayor a través de la relación d = l / a. Es decir, los objetos más lejanos son observados más pequeños. Si el tamaño angular se hace nulo es porque la distancia es infinita. Esta es una regla básica de la perspectiva.

El concepto de distancia angular es uno de los varios conceptos de distancia usado en cosmología. La definición es la misma que la dada arriba, no obstante, en el modelo cosmológico estándar las cosas son mucho más interesantes. La relación entre d y a no es inversamente proporcional como la anterior, sino mucho más compleja.

Para un objeto determinado de tamaño físico l, su tamaño angular en el cielo se va haciendo más pequeño a medida nos alejamos, pero, a partir de cierta distancia que corresponde con un desplazamiento al rojo de z ~ 1.8, empieza a hacerse más grande. Un objeto localizado a desplazamiento al rojo infinito (la distancia máxima) debería verse cubriendo todo el cielo...

The universe is wider than our views of it. (Henry David Thoreau)

Tratando de comprender la naturaleza del tiempo IV

Parte IV
Nuestra manera de pensar. (editado)

Uno de los postulados de Euclides dice: “existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos” ¿Pero dónde existen? En la mente del hombre por supuesto. Un punto matemático no tiene tamaño ni forma ni dimensiones, podemos si lo deseamos visualizar al punto matemático como un círculo o una circunferencia o una esfera o una superficie esférica tan pequeños como lo deseemos, pero el radio de ese círculo o esa esferita no es diez a la menos un millón de cm ni tampoco diez a la menos diez mil trillones de cm ni mas pequeño aún, sencillamente el punto matemático no tiene tamaño ni tampoco forma alguna es sólo una “idea” un ente abstracto que existe solamente en “el mundo de las ideas”. Una hoja de papel es “algo” real que se acerca a la “idea” de “plano ideal” que existe en nuestra mente, pero la hoja de papel posee un espesor por ínfimo que este sea en comparación con el largo y el ancho de la hoja, el plano “ideal” de nuestra mente en cambio no posee “espesor”, su espesor es cero absoluto, no existe nada así en la realidad práctica de todos los días. (¿no existe nada así?, ¿una imágen reflejada en un espejo qué espesor tiene? ¿esa imágen existe en el espejo o solamente en mi cerebro?¡qué bonito es preguntar dice Alshain en un post!).
El volúmen tridimensional de un cuerpo es “algo” que es mas accesible al tacto que a la vista ya que la imagen visual que nos ofrecen nuestros ojos es plana. Lo que vemos no es el volúmen sólido sino una imagen puramente visual, "bidimensional". Poseer dos ojos no nos da una visión tridimensional sino que aumenta nuestro campo de visión, todo lo que vemos con dos ojos cabe dentro de una elipse y todo lo que vemos con un solo ojo cabe dentro de un círculo. El tacto en cambio nos permite “palpar” el volumen de un cuerpo. Si tomo un pequeño cubo entre mis manos puedo tomar contacto con las seis caras del cubo simultaneamente, mi vista no me permite hacer lo mismo, si pudiera ver de frente a las seis caras de un cubo simultaneamente, esa sí sería una visión tridimensional. Pero lo importante no es tanto los datos que nos proporcionan los sentidos sino como nuestra mente interpreta esa información, lo importante es nuestra manera de pensar. La mente humana al interpretar la realidad la “descompone” en entes abstractos “ideales” para poder medir y comparar. Si deseo conocer el volumen de un prisma rectangular multiplico: largo por ancho por alto y obtengo el volumen buscado. Surge en la mente del geómetra la “idea” de espacio tridimensional y la “idea” de coordenadas X , Y , Z pero en la realidad esas tres dimensiones no existen “por separado” no existen “en forma aislada”es decir: no existe el “largo” sin el “ancho” y el “alto” por ejemplo. En la realidad existe una sola “cosa”, “algo” llamado cuerpo o prisma “algo” que en nuestra mente diríamos que está “hecho” o “compuesto” de “largo”, “ancho” y “alto”. ¿alguien quiere saber que es el largo? Pues no es sino: Largo= Volumen / ancho por alto ( en el mundo de las ideas tampoco existe el largo sin el ancho y el alto pero nuestra mente se empeña en “despejarlo”) ¿alguien quiere visualizar al “largo” por separado, aislado, independientemente del “ancho” y el “alto”? esto no es posible porque en la realidad los tres son una sola cosa, los tres forman una sola realidad indivisible: el volumen del prisma. Nuestra mente al interpretar esa realidad la ha descompuesto en tres entes abstractos ideales, tres “ideas” para poder comparar y medir. Sólo tenemos ideas de la realidad.
El lenguaje matemático es una forma de representar esas ideas de nuestra mente, una forma de expresar nuestra manera de pensar. Veamos algunos ejemplos.

Si yo digo: "Yo soy igual a mí mismo", matemáticamente puedo escribirlo así: Max = Max, esto no significa que existe un Max a la izquierda del signo de igualdad y otro Max a la derecha, existe un solo Max que soy yo.
De igual manera si digo: a = b/c, no existe "a" a la izquierda y "b/c" a la derecha, esta es una forma de escribir que expresa una manera de pensar, existe una sola cosa llamada "a" o"b/c", así como si a un hombre llamado Pablo Luis puedo llamarlo Pablo o puedo llamarlo Luis pero se trata de la misma única persona. Matemáticamente podría expresarlo así: Pablo = Luis
Esta manera de escribir es muy propia de una manera de pensar que "descompone a la realidad unificada en entes abstractos ideales"

Toda la expresión a = b/c debe considerarse una sola cosa, una sola realidad, un objeto único indivisible.
a = b/c ; b = ac ; c = b/a no son tres expresiones diferentes, sino un objeto único visto desde tres ángulos diferentes.
Pensemos en un prisma rectangular, sólido, monolítico, compacto ¿Porqué no un "monolito"? semejante a los de la película "2001: Una Odisea del Espacio"
Pensemos en sus tres dimensiones, largo, alto y ancho, las tres son una sola cosa indivisible, no existen la una sin la otra, podemos plasmatizar o volatilizar a ese monolito, podemos enfrentarlo a un "antimonolito" y convertirlo en energía pura, pero no se puede hacer lo mismo con el espacio que ocupa, ese espacio que es suceptible de ser ocupado por el volúmen del monolito. Podemos descomponer al monolito en electrones y quarks o convertirlo en fotones pero no podemos descomponer al espacio que ocupa en "largo" ; "ancho" y "alto" ese espacio tridimensional es "indivisible".
Las tres dimensiones existen en el mundo real pero formando una unidad indivisible, la descomposición de esas tres dimensiones solo puede efectuarse en nuestra mente tratando a esas dimensiones como a entes ideales, o sencillamente "ideas".

Volvamos ahora a nuestro móvil que se mueve con MRU con velocidad v = 5m/seg y cuya ecuación horaria es x = f (t) = 5t
¿Qué es el movimiento sino un cambio de posición en el espacio de algo con respecto a algo? Cambio de posición en el espacio que se lleva a cabo a lo largo del tiempo, tiempo que medimos con nuestros relojes.

x = vt ; v = x/t ; t = x/v , estas tres son una sola cosa, un objeto único indivisible, tanto como aquél monolito o como el espacio que ocupa. Al interpretar la realidad de ese movimiento nuestra mente ha descompuesto a ese objeto único e indivisible en tres entes abstractos ideales: v ; t ; x
Nuestra mente dice: "el movimiento es algo que está construido de v ; t , x ,el movimiento es algo que está compuesto de v ; t , x. Pero en la realidad "x" ; "t" y "v" forman una unidad indivisible llamada movimiento. Visto de esta manera el tiempo y el espacio son dos "componentes" del movimiento, el movimiento está hecho de espacio y de tiempo y no existe uno sin el otro, no existen espacio y tiempo sin movimiento ni movimiento sin espacio o sin tiempo ni tiempo sin espacio así como no existe largo sin ancho y alto. El tiempo el espacio y la velocidad son tres entes abstractos ideales, que existen en nuestra mente, en el mundo real el espacio el tiempo y la velocidad sí existen pero en forma de una unidad indivisible. Pretender aprhender al tiempo por sí mismo es como pretender aprehender al largo por si mismo. Aunque no lo hemos expresado formalmente, considerar a "v" , "t" y "x" como a un objeto único es como decir que "t" es una cuarta dimensión que forma una sola cosa indivisible con el "largo" el "ancho" y el "alto". Largo, alto, ancho y tiempo son una sola cosa indivisible, una sola realidad, "algo" llamado "espacio-tiempo", "algo" tan unificado como aquél monolito sólido y compacto.

Volvamos por un momento a nuestra manera de pensar y a la forma de expresar nuestra manera de pensar a través del lenguaje matemático.
Tratemos de comprender el significado de la multiplicación de un número concreto por otro número concreto, por ejemplo multipliquemos una naranja por una manzana: tenemos al número abstracto 1 multiplicado por el factor "naranja" y por el factor "manzana" ¿Qué se obtiene de esta multiplicación? obtenemos un "ente frutal" que no es una manzana ni una naranja sino ambas cosas, una "naranjo-manzana" o una "manzano-naranja" un ente frutal indivisible, unificado. La multiplicación de un número concreto por otro parecería expresar la idea de "fusión" de dos o mas cosas en una sola indivisible.

Algo similar ocurre con la constante de Planck: h = et ; energía por tiempo (energía = fuerza por distancia = masa por aceleración por distancia) h es un ente "espacio-temporal" indivisible, un ente energético-espacio-temporal.
[Energía = Fuerza por Distancia] [1] ; [Energía = masa por aceleración por distancia] [2], tomaré la [1] y desecharé la [2]
La constante de Planck sería: h = Fuerza por Distancia por Tiempo un "ente" que no es ni fuerza ni distancia ni tiempo sino "los tres", Fuerza, Distancia (espacio unidimensional) y Tiempo "fusionados" en una sola cosa.
Nuestras magnitudes fundamentales son: masa, distancia y tiempo, en el sistema CGS por ejemplo las unidades fundamentales correspondientes a esas magnitudes fundamentales son el centímetro, el gramo y el segundo. La "fuerza" es una magnitud, secundaria, una combinación de unidades fundamentales, la dina (unidad de fuerza en el CGS) es la fuerza que aplicada a una masa de 1g le comunica una aceleración de 1cm/seg.seg, tenemos: fuerza = masa por aceleración, 1dina = 1g por 1cm/seg.seg, como podemos ver la dina está determinada por las unidades fundamentales cm, g, seg.
Me pregunto si las tres magnitudes fundamentales no serán: "Fuerza", "Espacio" y "Tiempo" y si no habría que considerar a la masa una magnitud secundaria.
"h = fuerza por espacio por tiempo", da que pensar la constante de Planck, vale la pena meditar en ella.

Volvamos ahora a nuestro móvil que se mueve con MRU con velocidad v = 5m / seg y cuya ecuación horaria es x = f (t) = 5t

Recordemos el gráfico de esa función: x = 5t representado en coordenadas cartesianas siendo t el eje vertical y x el eje horizontal, la gráfica de la función x = 5t es una recta que forma un ángulo de aproximadamente 11º con el eje x. Recordemos que el eje t es una recta de números reales ("un continuo" porque la recta real no presenta lagunas, entre dos números reales tan próximos como se quiera siempre existirán infinitos números reales) en la que cada número real está multiplicado por la unidad de tiempo: "el segundo", cada punto del eje t representa una posición de la manecilla del reloj, de igual manera el eje x es una recta de números reales en la que cada número real está multiplicado por la unidad de longitud: "el metro".

Ahora tomaré la siguiente convención, multiplicaré al eje t por la velocidad v = 1 m / seg para que las unidades sobre el eje vertical sean unidades de longitud, es decir que multiplico a cada número "t segundos" del eje t por 1 m / seg, el eje t se ha convertido en el eje "vt" ¿qué he obtenido mediante esta convención? he obtenido una superficie continua, un "continuo espacio-tiempo" indivisible de dos dimensiones, una temporal y una espacial, el gráfico de la función x = f(t) , la recta x = 5t es en este continuo espacio-tiempo la "trayectoria espacio-temporal" del móvil que se mueve con velocidad constante v = 5 m / seg, como podemos ver la trayectoria está "compuesta" de "t" y de "x" , cada punto de esta superficie continua espacio-temporal es un suceso o evento, algo que existe en el espacio y en el tiempo o como me gusta expresarlo, "algo" que está compuesto de espacio y de tiempo formando una unidad indivisible.

Si llamamos mundo o universo al continuo espacio-tiempo de este ejemplo, podemos llamar a la recta x = 5t "línea de mundo" o "línea de universo" del móvil que se mueve con veloc. v = 5 m / seg .

De la misma manera podemos considerar a un eje temporal "t" que sea pependicular a las coordenadas X, Y, Z del espacio tridimensional euclídeo, podemos tomar en los ejes X, Y, Z la siguiente escala: 1 cm = 300.000Km y en el eje t tomamos la escala siguiente: 1cm = 1 seg, luego tomamos la siguiente convención: multiplicamos al eje t por la velocidad c = 300.000Km/seg para que las unidades sobre el eje t también sean unidades de longitud, el eje t se convierte en el eje "ct", obtenemos así un continuo espacio-tiempo tetradimensional, en los ejes X, Y, Z, ct 1cm representa una distancia de 300.000 Km. Si observamos una sección bidimensional de este continuo espacio-tiempo tetradimensional, por ejemplo el plano x; ct vemos que la trayectoria espacio-temporal de un fotón es siempre una recta que forma un ángulo de 45º con el eje x. Esta es la famosa "malla del espacio-tiempo", ¿es sólo una convención físico-geométrica o existe realmente? pues, en mi humilde opinión la "convención" solamente ha consistido en multiplicar al eje t por c y en tomar unidades de 300.000Km cada una en los cuatro ejes, pero yo diría que la "malla del espacio-tiempo" no es sólo una convención ideada por Hendrick Lorentz, Albert Einstein y Hermann Minkowsky" (ellos sólo la descubrieron) ¡la malla del espacio-tiempo realmente existe!

¿Qué es el tiempo? la coordenada tiempo del espacio-tiempo, un ente abstracto ideal como el largo o el ancho, un componente del movimiento, una dimensión del continuo tetradimensional indivisible llamado espacio-tiempo. El tiempo no es una cuarta dimensión del espacio, si esta existiera la materia en nuestro mundo sería materia tetradimensional, los volúmenes de los cuerpos se medirían en "centímetros cuárticos", nuestros cuerpos serían sólidos tetradimensionales, no, nuestro mundo o universo o nuestra "realidad" es tetradimensional, tres de sus dimensiones son de distancia y una es "temporal", la realidad es una realidad móvil, una realidad energético-espacio-temporal, el tiempo existe precisamente porque existe el movimiento.

No creo ni remotamente tener comprehendido o aprehendido al "tiempo" (ni tampoco al "largo" o al "alto"), sólo veo la punta del iceberg emergiendo sobre la superficie del mar, seguramente hay un inmenso témpano de hielo bajo la superficie, seguramente debajo de la superficie del conocimiento hay un abismo insondable de desconocimiento ¿llegaremos algún día al fondo?

Señalemos lo mas interesante que nos dice la Relatividad Especial:

Cuando la velocidad de un móvil tiende a c sucede simultaneamente lo siguiente:

Su longitud en el sentido del movimiento tiende a cero (el volúmen del móvil tiende a convertirse en una superficie) la unidad de longitud en el sentido del movimiento "se contrae"

La manecilla del reloj (y todo movimiento o proceso en marcha) tiende a detenerse, la unidad de tiempo "se estira"

La masa del móvil tiende a infinito.

Estos tres fenómenos son tres expresiones diferentes de una misma cosa, un sólo fenómeno indivisible, unificado, el espacio-tiempo y la masa ( o la energía pues la masa es una especie de condensación de la energía) están interrelacionados de tal manera que si uno varía los otros tanbién lo hacen. Creo que las ecuaciones de campo de la Relatividad General (esto nos lo puede decir el compañero Alshain) nos dicen que un espacio-tiempo "sin campo" no puede existir, si esto es así parecería ser que no existe espacio-tiempo sin materia (o energía) y viceversa.

Si la velocidad de un móvil tiende a c la coordenada tiempo del espacio-tiempo se estira, la manecilla del reloj tiende a detenerse, la masa aumenta y la longitud se contrae. ¿Si lográramos operar sobre el espacio-tiempo (no importa como) de manera que la coordenada t se "contraiga", la manecilla del reloj marcharía mas rápido, la longitud se estiraría y la masa y la velocidad del móvil disminuirían? "Preguntas".

Nos preguntamos ¿qué es el tiempo? pero...¿y qué es el espacio?

Un saludo.

Tratando de comprender la naturaleza del tiempo III

Parte III
¿Existen realmente el pasado y el futuro?

Nuestra mente posee dos facultades llamadas memoria e imaginación, los antiguos (Aristóteles, Tomás de Aquino) decían que esas dos facultades eran una sola "potencia del alma" y la llamaban memoria, para ellos el alma del hombre era una "sustancia espiritual" (un ente metafísico-ontológico)
Yo "creo" (así como ellos "creían") que lo que ellos llamaban alma es una especie de "software cerebral" (un ente absolutamente físico-material) complejísimo al que llamo "mente" (la cual debe tener infinidad de subprogramas). Recomiendo leer aquí: http://www.jcce.org.cu/libros/Libros_3/ciencia3/160/htm/lcpt160.htm
"La Mente" y "Las Computadoras".

Bien, la memoria almacena experiecias vividas por una persona en forma de imágenes, es algo así como un archivo de imágenes y grabaciones etc.
La imaginación puede construir imágenes nuevas, pero no las construye a partir de la nada sino a partir de las imágenes almacenadas en la memoria. Por ejemplo si yo he visto una letra E de color negro en un letrero puedo imaginarme una letra E invertida (como vista en un espejo) y de color verde aunque jamás haya visto una así.

Las imágenes vividas se van almacenando en la memoria a medida que se van viviendo siempre en "el presente en el que la persona vive" pues la persona está siempre en una realidad que llamo "presente" pero en la memoria esas imágenes tienen una cierta ordenación algo así como una ordenación lineal de derecha a izquierda o de izquierda a derecha, algo que nos da la sensación de adelante y atrás o de antes o después y se crea en nuestra mente la ilusión de "pasado" que sólo existe en nuestra memoria pero no en la realidad, en la realidad sólo existe "el presente". Ese "presente" es una realidad "movil", una realidad "cambiante" es un presente móvil no es un presente "estático" es un presente sometido a "cambio continuo".
De igual manera se crea en nuestra en nuestra imaginación la ilusión de "futuro" que en la realidad no existe.
Este es un concepto psicológico del tiempo, es lo que Einstein llamaba "concepto subjetivo del tiempo" ni mas ni menos que lo que San Agustín llamaba "una impresión en el alma" (recordemos para los antiguos alma = entendimiento, voluntad y memoria) Decía San Agustín que el tiempo era una impresión en el alma (proceso psicológico de ordenación en la memoria de imágenes de experiencias vividas "en el presente") y que el tiempo "fluía" de futuro a pasado (ordenación lineal de imágenes).

Bien, no es este "tiempo psicológico-subjetivo" el que estoy "tratando de comprender" sino el de la física.
Cuando se dice que un rayo de luz parte de un observador hacia el futuro o que un rayo de luz llega al observador desde el pasado, el pasado y el futuro se consideran imaginarios y se considera real al presente.
Cuando vemos la luz de una estrella situada a 500.000.000 de años luz de la Tierra, esa luz fué emitida hace 500.000.000 de años, lo que no quiere decir que el rayo de luz venga del pasado viajando por el tiempo como lo hace la "máquina del tiempo de H. G. Wells".

Alguien podrá preguntar: ¿y cuándo es el presente?
Recordemos que se trata de un presente sometido a "cambio continuo"
Pensemos en el cambio continuo como la llama en la que arde un leño, eso evitará que nos imaginemos un atrás o un adelante, un pasado o un futuro, la llama flamea "continuamente" pero no hay pasado ni futuro, sólo presente, un presente cambiante.

Un saludo.

Large Number Hypothesis

En 1937 Dirac publicó su hipótesis del número grande, Large Number Hypothesis.

En ella partía de la observación que la relación adimensional entre la atracción eléctroestática y la gravitatoria entre dos protones, 1/αp = ħ c / G mp² (fórmula que se obtiene de la ley de Coulomb en unidades en las que la constante de Sommerfeld es 1 = α = e²/ ħ c), es un número que corresponde con la edad del universo cuando ésta es expresada en unidades del tiempo atómico tales que tp = ħ mp / c².

Dada tal relación de ese número con la edad del universo y asumiendo que no es una casualidad y que determina de hecho el valor de 1 / αp, significa que tenemos una variación del alguna de las constantes dimensionales que lo componen. Dirac propuso que G ~ 1 / t. Esto es, si la edad del universo es t ~ 1 / H, siendo H el parámetro de Hubble (como nos indica la cosmología basada en las ecuaciones de Friedmann), tenemos G ~ H. Para un universo con densidad crítica se tiene G ρ ~ H².

Por otro lado, si postulamos que toda masa del universo está sólo sometida a la interacción gravitatoria en un límite newtoniano, tenemos m c² - G S(m mj / rj) = 0, con S(m mj / rj) un sumatorio sobre las masas y distancia a otras masas. Si tomamos un universo con una distribución homogenea e isótropa de densidad crítica de masa, en esta última ecuación se puede sustituir la suma por una integral sobre el universo observable para obtener 1 = G ρ 2 π R² / c². Si el radio del universo obsevable es R ~ c / H, se tiene G ρ ~ H².

¿Coincidencias? Quizás. La variación de G queda postulada formalmente en una modificación de la relatividad general denominada teoría de Brans-Dicke. Mientras el Lagrangiano de la relatividad general (en la acción de Einstein-Hilbert) toma la forma Leh = F(R, g) / 8 π G, con F(R, g) una función del escalar de Ricci y la métrica, el Lagrangiano de Brans-Dicke es Lbh = F(R, g) / f(l), siendo f(l) una función que varía a través del espacio-tiempo. Comparando ambos se puede concluir que G ~ f(l).

Esto significa una modificación de la relatividad general, al estilo de las teoría de que podría haber pasado inadvertida hasta hoy debido a las mínimas diferencias a las cuales los tests estándar de la relatividad general habrían sido insensibles. Sobre esta la posibilidad, los resultados de Gravity Probe B deberían proporcionarnos algo de luz en abril del próximo año.

Pero las implicaciones de una relación como la postulada por Dirac van algo más allá, o, mejor, digamos que también van en otra dirección.

Asumamos que 1 / αp = ħ c / G mp², constante adimensional, varía con el tiempo cosmológico de forma que 1 / αp ~ t. La hipótesis de Dirac consiste en asumir G ~ 1 / t, no obstante, de forma muy estricta, no tenemos forma de afirmar que la constante dimensional G varíe con el tiempo, porque cualquier medición depende de nuestros estándares de medida. Estríctamente debemos, por tanto, recurrir a las constantes adimensionales como única referencia, y ese es precisamente el punto de partida que asume 1 / αp ~ t. Para pasar de este punto de partida a una teoría "física" hay que elegir. La elección de Dirac fue G ~ 1 / t, sin embargo, ħ c ~ t manteniendo G constante, también vale y es completamente equivalente al proporcionar igualmente 1 / αp ~ t.

Aparecen así dos posibles teorías duales, que describen la misma realidad. La elección de la una sobre la otra sólo se debe a criterios de simplicidad, elegancia y mayor "sentido físico", pero no a posibles resultados experimentales.

El tiempo dirá. Quizás tengamos una animada primavera del 2007.