Microcausalidad, propagadores y Reeh-Schlieder

Cuando uno quiere forzar las ecuaciones de la cinemática relativista para describir una partícula en movimiento con su función de onda, se encuentra con inconsistencias matemáticas. Estas se resuelven en el marco de la teoría cuántica de campos, permitiendo creación y aniquilación de partículas, es decir, pasando a una teoría en la cual la cantidad de partículas no está fijada. La partícula como objeto de estudio queda sustituida por el campo, un objeto complicado, cuyas excitaciones dan lugar a partículas. El hecho de no poder considerar un número fijo de partículas queda claro pensando por ejemplo en el problema de la localización de una única partícula: a medida queremos confinarla más y más y usamos más energía para ello en nuestro experimento de detección, de acuerdo con el principio de incertidumbre el momento de la partícua será cada vez mayor, y, dadas las altas energías involucradas, en la teoría cuántica de campos esto lleva a la aparición de pares de partículas del vacío.

La propagación de excitaciones del campo se denomina propagador. El propagador es una solución a las ecuaciones de movimiento del campo generada por la existencia de una fuente o una perturbación puntual - es lo que se conoce como función de Green de las ecuaciones de movimiento. En la mecánica cuántica no relativista el propagador de la ecuación de Schrödinger nos representa una partícula moviendose de un punto a otro. En la teoría cuántica de campos el propagador no representa una única partícula. De hecho, el propagador es diferente de cero fuera del cono de luz de un evento. Esto significa que la excitación del campo representada por el propagador tiene una probabilidad no nula de existir fuera de su propio cono de luz. Esto no puede representar una partícula ya que de otra forma esta partícula violaría la causalidad. La idea del propagador representando una partícula suele estar algo extendida. Por ejemplo en los diagramas de Feynman vemos líneas internas y pensamos que eso es una única partícula virtual que se intercambian dos líneas externas (partículas reales) para interactuar. Las líneas internas son precisamente propagadores del campo y no representan partículas, sino una suma sobre todos los momentos posibles. En cierta medida una suma sobre una cantidad infinita de estados básicos de partículas.

La causalidad se salva en la teoría cuántica de campos tan pronto uno considera correlaciones entre mediciones. En general cualquier influencia en mediciones está condicionada a quedarse dentro del cono de luz, un resultado famoso (conocido como microcausalidad). Un correlación de mediciones no es un objeto matemático como el propagador, sino algo relacionado con el commutador del campo. Si el commutador del campo en dos puntos diferentes es nulo entonces no existe correlación causal entre esos dos puntos. Y como las partículas son algo medible esto nos asegura que nunca podemos detectar una partícula fuera de su propio cono de luz un instante posterior. Es decir, dada una medición de una partícula en una región del espacio, una medición en otra región causalmente desconectada (fuera del cono de luz de la primera) debe tener probabilidad nula de encontrar la partícula. Este sobrio comportamiento causal en las mediciones se contrapone al comportamiento del propagador y en general de los estados en la teoría. Hay que diferenciar entre estados y mediciones.

Precisamente esta diferencia es esencial en el conocido teorema de Reeh-Schlieder. Este teorema nos dice que si tenemos una región acotada del espacio-tiempo S, la acción de los operadores O(S) (definidos como combinaciones del operador campo sobre funciones suaves en S y nulas fuera de S) sobre el vacío O(S) |0> es densa en el espacio de estados. Esto significa que cualquier medición realizada de forma local en S puede modificar el estado del campo en cualquier lugar del espacio-tiempo; ejecutando experimentos en un laboratorio, podemos crear estados en un lugar arbitrario del espacio-tiempo. Es chocante que este teorema sea consistente con la microcausalidad. Tan chocante que existe una gran cantidad de literatura al respecto. Pero modestamente creo que no lo es. Sólo hay que diferenciar entre estados y mediciones.

En concreto, al hablar de microcausalidad no nos interesan tanto los estados del campo que pueden existir fuera o dentro del cono de luz, sino que nos interesan las mediciones que vamos a realizar con nuestro detector fuera o dentro del cono de luz. Son las mediciones las que vienen fijadas por la condición de microcausalidad y no los estados. El teorema de Reeh-Schlieder nos habla de estados, la microcausalidad de mediciones. La condición de microcausalidad nos indica que dada una excitación del campo medida en x, la medición de otra excitación en en y, con en x, y separados espacialmente (fuera de sus respectivos conos de luz), no puede estar correlacionada con la anterior. Es el propagador del campo el que lo cambia de un estado a otro y con ello parece claro que mientras nos concetremos en los estados las contribuciones fuera del cono de luz van a ser posibles. Al final, sin embargo, estas contribuciones resultan cancelarse cuando uno estudia mediciones.