The last monolith

Despedida - Farewell

2009-12-17T13:09:00.001+01:00

Queridos lectores y amigos,

Este blog de física se acaba aquí. La vida trae retos nuevos y hay cambios que afrontar. Gracias por las lecturas y los comentarios.

This blog is finished. Life brings new challenges and there are new situations to be faced. Thanks for reading and commenting.

Un saludo cordial,
Juanjo

Relativity

2009-10-15T10:36:00.000+02:00

The origins of geometry

2009-10-14T11:06:00.002+02:00

La definición de campo gravitatorio

2009-09-30T13:45:00.008+02:00

En los libros de texto modernos el campo gravitatorio o a veces también la fuerza gravitatoria se idenfitica con la curvatura del espacio-tiempo. Esto es, ahí donde el espacio difiere de uno plano, donde el espacio-tiempo adquiere curvatura, ahí existe un campo gravitatorio actuando. No obstante, esta no era por ejemplo la posición de Einstein. Einstein identificaba la gravitación con los símbolos de Christoffel, en definitiva, con aceleraciones. Einstein tomaba su principio de equivalencia al pie de la letra y asumía que gravitación y aceleraciones no son sólo equivalentes en cierto sentido, sino que son estríctamente lo mismo.

El principio de equivalencia en la formulación original de Einstein

Un observador que está cayendo desde el tejado de su casa no experimenta campo gravitatorio, al menos en sus inmediaciones. Este cruel experimento mental es lo que Albert Einstein denominó "der glückischste Gedanke meines Lebens" (la idea más feliz de mi vida), y sintetiza básicamente la esencia de la relatividad general (un interesante artículo sobre la historia de la relatividad general en astroseti Historia de la Teoría General de la Relatividad), en concreto el principio de equivalencia.

El principio de equivalencia nos dice que en caída libre el campo gravitatorio no existe y que los observadores en caída libre pueden considerarse, por tanto, como observadores inerciales, es decir, libres de cualquier fuerza que actúa sobre ellos. Impedir la caída de uno de estos observadores, por ejemplo por medio de una superficie que lo sostenga y lo deje en reposo, equivale a someterlo a una aceleración uniforme. En la superficie de la tierra es lo mismo considerar que estamos en un campo gravitatorio uniforme que apunta hacia abajo, que considerar que estamos en un sistema acelerado hacia arriba y medimos con ello una fuerza inercial (ficticia) hacia abajo. La gravitación es con ello una fuerza ficticia, y de hecho es esto lo que permite eliminar a la gravitación de forma local con un cambio de coordenadas. En definitiva, para un observador en reposo el efecto del campo gravitatorio uniforme y el de una aceleración uniforme son equivalentes. Existe por tanto una equivalencia entre ambas descripciones.

La definición de campo gravitatorio en la formulación de Einstein y la moderna

Según esta definición de Einstein, el campo gravitatorio es todo aquello que actúa de forma universal desviando a las partículas de trayectorias rectas y velocidad uniforme, acelerándolas, es decir, cambiando , que es la forma de la ecuación geodésica cuando los símbolos de Christoffel son cero. Esta ecuación geodésica en la relatividad general se generaliza a para t un tiempo propio a lo largo de la geodésica. Las dos ecuaciones son equivalentes cuando , es decir, los símbolos de Christoffel son cero. Según la definición de Einstein el campo gravitatorio son los . Aquí un par de citas de Einstein sobre el tema ("The Foundation of the General Theory of Relativity" de 1916):

It will be seen from these reflections that in pursuing the general theory of relativity we shall be led to a theory of gravitation, since we are able to “produce” a gravitational field merely by changing the system of coordinates.

If the vanish, then the point moves uniformly in a straight line. These quantities therefore condition the deviation of the motion from uniformity. They are the components of the gravitational field.

Los símbolos de Christoffel pueden hacerse cero con un cambio de coordenadas, pero la curvatura no ya que es invariante (el escalar de curvatura por ejemplo). El ejemplo más sencillo que soporta la interpretación de Einstein es el campo gravitatorio uniforme. Un campo gravitatorio uniforme es un campo gravitatorio, pero su curvatura es nula. No obstante, se habla de "campo gravitatorio", y, en un sistema de coordenadas apropiado, existe una aceleración, resultado de símbolos de Christofell no nulos, que se identifica con la fuerza de la gravedad. En ese sentido la "fuerza de la gravedad" es algo dependiente del observador. Todo acorde con su formulación del principio de equivalencia.

En la interpretación moderna de la gravitación el término "campo gravitatorio" se suele reservar sin embargo para la curvatura del espacio-tiempo. Independientemente de terminologías en la relatividad general lo que hay es una geometría del espacio-tiempo, descrita por el tensor de Einstein acoplada a un momento y energía de la materia, descrita por el tensor de energía momento . En concreto, se trata de las ecuaciones de Einstein: . Desde el punto de vista de la discusión terminológica mencionada aquí se pueden distinguir varios casos:

Espacio-tiempo con curvatura. En la terminología moderna tan pronto existe curvatura (generada, en general, por un tensor de energía-momento) se habla de campo gravitatorio. El problema terminológico aparece cuando no hay curvatura.

Espacio-tiempo sin curvatura y sin energía-momento. Este es el caso del campo gravitatorio uniforme, con aceleraciones no nulas resultado de un cambios de coordenadas en un espacio-tiempo plano.

Espacio-tiempo sin curvatura y con energía-momento. Estas suelen ser soluciones que violan alguna condición energética, pero en principio posibles. Concrétamente por ejemplo una "cuerda cósmica" o una "pared cósmica". El espacio-tiempo creado por una cuerda cósmica es plano globalmente, pero no es topológicamente equivalente al espacio-tiempo plano de Minkowski. Este espacio-tiempo puede imaginarse de la siguiente forma: una circunferencia concéntrica a la cuerda en una sección perpendicular a ella no mide 2 pi r, sino menos, ya que al espacio-tiempo le falta un sector angular (es un espacio-tiempo cónico). En estos casos no hay campo gravitatorio con la terminología moderna ni con la de Einstein. No obstante, está claro que algo pasa ahí, algo producido por un contenido material, dando lugar a algo diferente al espacio-tiempo plano.

El concepto de campo gravitatorio de Einstein provenía de ajustarse a su formulación del principio de equivalencia. En la forma moderna de la teoría el concepto de campo gravitatorio es diferente, como hemos visto. Más allá de definiciones arbitrarias la verdad, desde el punto de vista de la teoría, está en las ecuaciones de Einstein. Como hemos visto, tampoco el concepto moderno de campo gravitatorio tampoco captura completamente la esencia de la gravitación que nos es dada en las ecuaciones de Einstein. En principio de equivalencia, por su lado, ha sido reformulado a tres versiones diferentes, el principio débil, el de Einstein y el fuerte. Su relación con las ideas originales de Einstein y las relaciones entre estas tres versiones nos ocuparán en otro artículo.

Observables dependientes y difeomorfismos

2009-09-28T15:23:00.005+02:00

La noción de observables parciales y completos, dependientes e independientes, viene definida en el artículo Partial Observables de Carlo Rovelli, http://arxiv.org/abs/gr-qc/0110035. Para entenderla lo mejor es un ejemplo mencionado en el artículo mismo. Imaginemos un conjunto de cartas. Cada una de ellas tiene escrito un número natural N en una de sus caras y un número natural n en la otra cara. Leemos una carta tras la otra y observamos que siempre existe una correlación entre N y n, es decir, N es una función de n, N = N(n). Por ejemplo: si n menor que 5, entonces N = 0, si n mayor o igual que 5, entonces N = 1.

Según las definiciones de arriba, n y N, por separado, son observables parciales. Podemos leerlos pero no podemos predecirlos por separado. No obstante, N(n) es un observable completo. Los pares (N, n) podemos leerlos pero además predecirlos, en el sentido que sabemos que si n toma un determinado valor, como por ejemplo 7, entonces N valdrá N(7) = 1. Si la correlación entre observables parciales n y N se puede expresar como la función de N respecto de n, pero no de n respecto de N, como es el caso en el ejemplo, entonces n es un observable independiente, mientras que N es un observable dependiente.

En la teoría cuántica de campos los observables parciales son las posiciones y tiempos, así como los valores del campo. No obstante, hay una diferencia entre ambos, ya que mientras los valores del campo son observables dependientes, las posiciones y los tiempos son observables independientes. Finalmente el valor del campo para una posición y un tiempo determinado es un observable completo. Lo importante de notar es que esto refiere a la teoría cuántica de campos que, de alguna forma, representa nuestra intuición de lo que es espacio y tiempo absolutos y estáticos sobre los cuales los campos actúan. No obstante, en la relatividad general no existen observables independientes. Esto es así porque el espacio y el tiempo, y en definitiva el campo gravitatorio, no deben tener una preferencia conceptual frente a los demás campos.

Sin duda el campo gravitatorio es algo especial debido a su universalidad. Es precisamente la universalidad del campo gravitatorio, su efecto sobre todo ente físico, lo que nos lleva a identificar espacio y tiempo como observables parciales independientes en la teoría cuántica de campos: posiciones y tiempos son algo identificable de forma independiente ya que el espacio-tiempo es considerado un escenario donde el resto de las interacciones tienen lugar. No obstante, en la relatividad general su universalidad no lo convierte en un escenario predefinido sino que su existencia y sus propiedades están en relación a la existencia y propiedades de la materia, como muestra el famoso argumento del agujero de Albert Einstein.

Una manera formal de hablar sobre el argumento del agujero es tratando con el concepto de difeomorfismos. Los difeomorfismos son transformaciones de coordenadas activas, mientras que las meras transformaciones de coordenadas son pasivas. La mera transformación de coordenadas deja el espacio-tiempo intacto y mueve las coordenadas, mientras que el difeomorfismo mueve todos los campos del espacio-tiempo y deja las coordenadas intactas. Mientras que una transformación de coordenadas nunca puede dar lugar a una simetría dinámica de una acción los difeomorfismos sí pueden y esa es la diferencia principal. La idea de difeomorfismos captura bien esa eliminación del escenario absoluto, cualquier campo es relativo al otro y la noción de puntos del espacio-tiempo carece de valor absoluto.

Estríctamente la noción de difeomorfismo como mapa entre dos variedades se aplica sobre todas las variables dinámicas de una acción. Las coordenadas no son variables dinámicas por lo que, intuitivamente, su transformación ha de ser deshecha de forma que sean evaluadas en la variedad original. Formalmente la mejor forma de entender esto es la noción de derivada de Lie a lo largo de un campo vectorial . Se define como:

El primer término representa la transformación de la variedad a lo largo de las curvas integrales de un campo vectorial:

Esto significa que todos las variables dinámicas en el espacio-tiempo son movidas a lo largo de las flechas adquiriendo un valor nuevo. El segundo término de la expresión de la derivada de Lie es una transformación de coordenadas de los valores nuevos dados por el campo vectorial que define la transformación a los valores antiguos. Por tanto, una acción es invariante frente a difeomorfismos si y sólo si la derivada de Lie de todas las variables dinámicas o todos los campos tensoriales que aparecen en ella es cero. Y esto es precisamente lo que ocurre en la acción de Einstein-Hilbert de la relatividad general, y, en general cualquier acción escrita en forma covariante.

Detalles matemáticos en: Symmetry Transformations, the Einstein-Hilbert Action, and Gauge Invariance, E. Bertschinger.

El cerebro de Boltzmann

2009-09-21T15:22:00.012+02:00

El problema de la entropía del universo y sus condiciones iniciales es uno que levanta mucho polvo y trae una larga lista de literatura. El siguiente artículo lo trata desde dos perspectivas que están sacadas de las referencias citadas al final - un artículo publicado y una entrada de blog. En concreto, Sean Carroll, cosmólogo, defendiendo su planteamiento del problema, el clásico en gran parte de la literatura, y Lubos Motl, físico teórico, proporcionando una visión muy consistente en mi parecer sobre el problema en cuestión y que en definitiva viene a negarlo como tal.

El problema de las condiciones iniciales

Las ecuaciones diferenciales de la física nos permiten obtener soluciones que resuelven la evolución temporal del universo a partir de ciertas condiciones en un instante determinado. Esto es, dado por ejemplo el estado de nuestro universo en el momento presente y dadas esas leyes dinámicas, se puede, en principio, resolver toda su historia, y dar por ejemplo con el estado en el instante de la singularidad inicial hace 13.7 mil millones de años. De igual forma, dadas las condiciones iniciales en la singularidad inicial y dadas esas leyes se puede explicar o dar con el estado del universo en el presente.

En un problema de valores iniciales es precisamente esto lo que se quiere: encontrar o predecir un estado futuro a partir de ciertas condiciones iniciales dadas. Pero ¿cuáles han de ser estas condiciones iniciales? ¿Por qué deberíamos decirle al nuestro universo que observamos hoy cómo empezar a ser o a expandir? Nihil est sine ratione: cualquier elección injustificada convierte las condiciones en indemostrables y no ducibles, elevándolas al mismo estatus conceptual que los mismos principios y leyes de la teoría.

En concreto, lo que nos gustaría es dar con unas condiciones iniciales de nuestro universo las cuales podemos calificar de naturales en cierto modo. El concepto de naturalidad en este contexto es algo vago, pero en ciertos casos simples lo vemos claramente relacionado con las leyes conocidas. Por ejemplo, la homogeneidad y la isotropía en la distribución de materia es un estado inestable frente al colapso gravitacional siempre creciente del cualquier fluctuación de densidad. Es por ello por lo que estas condiciones no pueden ser naturales y se intentan obtener de forma dinámica, por medio de la hipótesis del periodo inflacionario.

La entropía del universo y la flecha del tiempo

Uno de los problemas más acuciantes con las condiciones iniciales es, según consta en una larga lista de literatura, el problema de la entropía. En concreto, explicar por qué observamos tal grado de orden en el universo. Un simple cálculo vale para mostrar que si toda la materia estuviese concentrada en agujeros negros la entropía sería mucho mayor que la actual, al menos si nuestra noción del concepto de entropía y cómo calcularla es correcta hoy. Dado que la segunda ley de la termodinámica afirma que la entropía en el universo siempre aumenta se nos presenta la pregunta de por qué es la entropía actual tan baja en comparación con la entropía máxima posible que somos capaces de calcular. O, de otra forma, por qué el universo empezó en un estado de entropía muy baja, por qué fueron precisamente esas sus condiciones iniciales.

La cantidad de entropía de un sistema es proporcional al logaritmo de su número de microestados posibles. Si imaginamos una elección de las condiciones iniciales al azar, con una probabilidad uniforme para la elección de los microestados, un sistema con un número finito de grados de libertad normalmente se encuentra en un estado de máxima entropía. La entropía de un sistema en un microestado determinado es nula y si la probabilidad para su elección es uniforme parece más bien improbable encontrar al sistema en un microestado determinado. En este sentido una entropía baja corresponde con algo muy poco natural y sólo a la entropía alta la calificaríamos como una condición inicial natural.

El cerebro de Boltzmann

Hace más de un siglo Ludwig Boltzmann propuso que este estado de baja entropía apareció como una fluctuación dentro de un universo mucho mayor de entropía muy alta. Esto no atenta en contra de la segunda ley de la termodinámica, ya que incluso en un sistema en equilibrio termodinámico pueden existir fluctuaciones aleatorias locales (no en el sistema total) en el nivel de entropía. La mayoría de las fluctuaciones serán pequeñas pero algunas serán mayores. En este contexto aparece la denominada paradoja del cerebro de Boltzmann. El principio antrópico nos exige que al menos exista un observador o una estructura compleja en el seno de esa fluctuación. Por esta razón este principio no es suficiente para explicar la existencia de muchos observadores, ya que la existencia de una fluctuación con uno solo es mucho más probable (al ser una fluctuación menor). Deberán existir muchos universos en lo que sólo deambule una sola mente en ellos.

Este argumento adolece de un problema serio: no considera que la evolución del universo puede llevar de forma natural a la aparición de estructuras complejas una vez acaecidos ciertos hechos. La aparición de millones de observadores o estructuras complejas no tiene en ese sentido que ser más improbable que la aparición de una planta. Los conceptos de probabilidad y evolución temporal empiezan a tomar un caracter sospechoso cuando uno intenta tratar este tema con rigor. El problema de la entropía en el universo es seguramente uno de los más profundos en la física.

En cualquier caso, nos dicen, nos quedamos con el interrogante de explicar el universo como resultado de condiciones iniciales que podamos considerar naturales. Estas condiciones son estados de alta entropía, configuraciones de equilibrio con fluctuaciones ocasionales, las cuales no parecen suficientes para explicar nuestro universo observado. En definitiva, queremos explicar la flecha del tiempo desde un estado de entropía baja a uno de entropía alta.

La diferencia entre descripción macroscópica y microscópica

Sin embargo, no es oro todo lo que reluce. La descripción de un universo en un estado inicial de baja entropía es una descripción macroscópica. Toda descripción macroscópica significa necesariamente un desconocimiento del estado real del sistema. Es decir, no sabemos en qué microestado se encuentra el universo en su estado inicial, desconocemos sus condiciones iniciales. Es por eso por lo que expresamos el macroestado como una serie de microestados posibles, cada uno con una probabilidad asociada a él. Tal probabilidad depende de la información que poseemos sobre el sistema. Una forma de medir este desconocimiento es por medio de la idea de entropía. La entropía es una medida del desorden de un sistema y, en términos de teoría de la información, representa nuestra ignorancia del estado del sistema.

Por otro lado, un sistema microscópico, cuya evolución temporal queda descrita por las leyes de la cuántica, está en un microestado concreto. En un microestado concreto la entropía es nula, ya que el microestado es conocido perféctamente. Con esta reflexión, pienso yo, se empieza a poner un poco el dedo en la llaga de los argumentos anteriores. Si pasamos a un régimen microscópico de descripción, entonces tiene sentido hablar de estados concretos de cada una de las partículas del universo o en concreto de cada uno de sus grados de libertad fundamentales. En tal descripción la entropía es siempre nula. Esto es así porque las leyes fundamentales de la física son reversibles temporalmente, en ellas la entropía se mantiene constante y nula si el microestado es conocido.

En este sentido aparece también una de los frecuentes malentendidos sobre el teorema de recurrencia de Poincaré. Este teorema nos dice que ciertos sistemas acaban por volver a su estado inicial si uno espera tiempo suficiente. Esta afirmación se entiende a veces como una violación de la segunda ley de la termodinámica. Pero está claro que el teorema de recurrencia de Poincaré es un teorema sobre la evolución de un microestado. Es decir, la evolución de un sistema de partículas (por ejemplo) cuyas posiciones y velocidades son exáctamente conocidas en un tiempo dado. El teorema afirma que esta configuración se dará tras cierto tiempo otra vez. La violación de la segunda ley de la termodinámica no es realmente tal: sólo podemos hablar de la segunda ley de la termodinámica cuando hablamos de macroestados. En este caso hablamos de un microestado concreto y la entropía del sistema durante todo el tiempo es nula.

Entropía o no entropía...

En definitiva, ¿existe un problema con la entropía inicial del universo? ¿qué significa la flecha del tiempo? ¿puede ser una ilusión generada por el tipo de descripción? Si es este el caso ¿por qué sufrimos tal ilusión y qué la genera? Ya me gustaría sabelo. Ahí está la gravedad con su naturaleza estadística (el hecho que las ecuaciones de Einstein no sean mas que reflejo estadístico de unos grados de libertad aún desconocidos) que quizás tenga bastante que decir sobre el tema. Esto igual para otra vez. Sirva lo mencionado para reflexionar, porque respuesta no tengo ninguna.

Referencias

S. Carroll: Spontaneous Inflation and the Origin of the Arrow of Time
L. Motl: George Wing & Poincaré recurrences

La tumba de Ludwig Bolzmann en el Zentralfriedhof de Viena

The horizon of eternity

2009-09-16T16:14:00.005+02:00

A moving body whose motion was not retarded by any resisting force would continue to move to all eternity.

Es wird sich alles finden, wenn die Zeit dafür gut ist. S. H.

The butterfly effect

2009-09-16T08:36:00.005+02:00

... I have never believed that reality could turn out to be fixed by an unimaginative initial condition. Bryce deWitt

Ylem

2009-09-16T00:02:00.005+02:00

Ha pasado ya más de medio siglo desde que George Gamow, uno de los pioneros y creadores del modelo del big-bang, planteara junto con Ralph Alpher y Robert Herman la idea de la nucleosíntesis en el marco de este modelo, postulando la formación de elementos ligeros durante una fase muy temprana del universo. Gamow también dió nombre a la substancia inicial de la que debió haber estado compuesto el universo en el instante de la creación. La llamó "ylem", un término procedente del inglés medieval, usado para denominar materia, que llegó al inglés del término griego υλη (hyle, madera). Para celebrar aquel trabajo conjunto, Gamow puso una etiqueta con el nombre de ylem a su botella de licor...

El caso es que el orígen griego del término ylem se remonta a hyle que pasó también a denotar materia, y de tal orígen nos ha llegado el término hilozoísmo. Se trata de una filosofía, de una concepción de la materia y toda la naturaleza que considera que está dotada de vida. El artículo inglés de wikipedia explica el concepto bastante bien: Hylozoism. Al menos en su versión más inmediata esta es una posición difícil de mantener hoy en día, pero no exenta de belleza.

Yo siempre he pensado que la física, y en general la ciencia, debe ser sentida y no sólo pensada para ser entendida. De forma muy ligera es lo que he pretendido algo con las últimas entradas. La reflexión sobre conceptos físicos es también un juego poético, la ciencia es al fin y al cabo una metáfora de la realidad, y estos están ligados a sentimientos y sensaciones. Podría hablar más sobre esto que me ha tenido ocupados mis pensamientos un buen tiempo. Pero lo mejor creo que es incitar a pensar para encontrar el propio camino hacia el cosmos - "a personal voyage" en palabras de Carl Sagan. Y la mejor forma que se me ha ocurrido es con imágenes y citas. Es curioso que una forma de calcular mentalmente es relacionando números con sensaciones e imágenes. Es el método usado por Daniel Tammet (una de las pocas personas con síndrome del sabio - inglés "savant" - capaz de explicar cómo calcula), que mencionaba en una entrevista que el número once es simpático. Creo que es sólo una manifestación de algo mayor, de una conexión espiritual y poética con la realidad.

Pero hilozoísmo es otra cosa, claro. Ya me gustaría a mí saber si el átomo de hidrógeno es simpático o no. Estoy bastante seguro que debe serlo, sencillo y simpático, con capacidad de hacer buenos amigos, algo que nos ha venido muy bien a estructuras tan complejas como nosotros.

Desolation

2009-09-15T16:27:00.004+02:00

For small creatures such as we the vastness is bearable only through love. Carl Sagan

The principle of locality

2009-09-15T11:03:00.001+02:00

An object is influenced directly only by its immediate surroundings...

At the center

2009-09-13T15:43:00.003+02:00

Center: (1) A point or place that is equally distant from the sides or outer boundaries of something; the middle (2) A point around which something rotates or revolves (3) A part of an object that is surrounded by the rest; a core (4) A person or thing that is the chief object of attention, interest, activity, or emotion (5) A point of origin, as of influence, ideas, or actions (6)...

Collisions and gravity

2009-09-07T11:04:00.004+02:00

But the most impressive fact is that gravity is simple. It is simple to state the principles completely and not have left any vagueness for anybody to change the ideas of the law. It is simple, and therefore it is beautiful. It is simple in its pattern. I do not mean it is simple in its action—the motions of the various planets and the perturbations of one on the other can be quite complicated to work out, and to follow how all those stars in a globular cluster move is quite beyond our ability. It is complicated in its actions, but the basic pattern or the system beneath the whole thing is simple. This is common to all our laws; they all turn out to be simple things, although complex in their actual actions. Richard P. Feynman

Supernovae at home

2009-09-05T17:57:00.006+02:00

When one tugs at a single thing in nature, he finds it attached to the rest of the world. John Muir

Un único fotón contra el espacio-tiempo discreto

2009-08-25T14:46:00.002+02:00

La invarianza de Lorentz es un pilar fundamental de la teoría de cuerdas. La acción basada en el área de la hoja de mundo de la cuerda (la acción de Nambu-Goto) es invariante frente a transformaciones de Lorentz, tal y como uno puede leer en los primeros capítulos de cualquier introducción a la teoría. Esta es una simetría fundamental la cual puede ser rota de forma dinámica, espontánea, pero cuya validez como simetría fundamental está en la raíz de la teoría. Pues bien, un único fotón ha venido a revolucionar el mundo de la física teórica estos días en un papel publicado por la colaboración del telecopio Fermi (anteriormente denominado GLAST):

Testing Einstein's special relativity with Fermi's short hard gamma-ray burst GRB090510
Authors: Fermi GBM/LAT Collaborations

Abstract: Gamma-ray bursts (GRBs) are the most powerful explosions in the universe and probe physics under extreme conditions. GRBs divide into two classes, of short and long duration, thought to originate from different types of progenitor systems. The physics of their gamma-ray emission is still poorly known, over 40 years after their discovery, but may be probed by their highest-energy photons. Here we report the first detection of high-energy emission from a short GRB with measured redshift, GRB 090510, using the Fermi Gamma-ray Space Telescope. We detect for the first time a GRB prompt spectrum with a significant deviation from the Band function. This can be interpreted as two distinct spectral components, which challenge the prevailing gamma-ray emission mechanism: synchrotron - synchrotron self-Compton. The detection of a 31 GeV photon during the first second sets the highest lower limit on a GRB outflow Lorentz factor, of >1200, suggesting that the outflows powering short GRBs are at least as highly relativistic as those powering long GRBs. Even more importantly, this photon sets limits on a possible linear energy dependence of the propagation speed of photons (Lorentz-invariance violation) requiring for the first time a quantum-gravity mass scale significantly above the Planck mass.

Esto significa que el fotón en cuestión cumple de forma muy exacta h f / c = p, la relación de dispersión impuesta por la relatividad especial basada en la simetría de Lorentz. Existen teorías con espacio-tiempos discretos que predicen desviaciones de esta relación de dispersión a la escala de Planck. Estas teorías deberían empezar a ponerse en duda frente a este resultado. Lubos Motl defiende vehementemente esta posición en su blog y argumenta sobre la refutación experimental de teorías como la gravedad cuántica de lazos o las triangulaciones dinámicas y a su vez la confirmación de la teoría de cuerdas:

Fermi kills all Lorentz-violating theories

Mitos y leyendas: el big-rip y el destino del universo

2009-08-14T11:39:00.002+02:00

Una característica especial del big-rip es que es producido por un fluído perfecto con parámetro de estado menor que -1, usualmente denominado energía fantasma, y lleva a una evolución asintótica del factor de escala de forma que este se hace infinito en un tiempo finito.

Es importante notar que esta evolución, al contrario que la evolución provocada por una energía oscura con mayor o igual que -1 y menor que -1/3, no lleva a una muerte térmica. Intuitivamente podríamos pensar que es así: si la expansión es aún más fuerte que con energía oscura o por ejemplo constante cosmológica, entonces, llevando estas a una muerte térmica, el big-rip llevará con aún más razón a una muerte térmica.

El problema es que este argumento basado en la diluición de la densidad energética, sólo es válido para la energía ordinaria, pero no para la energía fantasma. Todo lo contrario, la densidad energética de la energía fantasma aumenta con el tiempo, llevando a lo que se conoce como singularidad del big-rip (una densidad energética infinita).

Esto es fácil de ver si se considera que de la conservación local de energía para un fluído perfecto se obtiene la conocida ecuación

Para menor que -1 está claro que va a aumentar a medida que aumenta y se hará infinita cuando sea infinito. Más detalles sobre las propiedades de la energía oscura en el famoso papel de Caldwell:

A Phantom Menace? Cosmological consequences of a dark energy component with super-negative equation of state

Microcausalidad, propagadores y Reeh-Schlieder

2009-05-29T14:27:00.004+02:00

Cuando uno quiere forzar las ecuaciones de la cinemática relativista para describir una partícula en movimiento con su función de onda, se encuentra con inconsistencias matemáticas. Estas se resuelven en el marco de la teoría cuántica de campos, permitiendo creación y aniquilación de partículas, es decir, pasando a una teoría en la cual la cantidad de partículas no está fijada. La partícula como objeto de estudio queda sustituida por el campo, un objeto complicado, cuyas excitaciones dan lugar a partículas. El hecho de no poder considerar un número fijo de partículas queda claro pensando por ejemplo en el problema de la localización de una única partícula: a medida queremos confinarla más y más y usamos más energía para ello en nuestro experimento de detección, de acuerdo con el principio de incertidumbre el momento de la partícua será cada vez mayor, y, dadas las altas energías involucradas, en la teoría cuántica de campos esto lleva a la aparición de pares de partículas del vacío.

La propagación de excitaciones del campo se denomina propagador. El propagador es una solución a las ecuaciones de movimiento del campo generada por la existencia de una fuente o una perturbación puntual - es lo que se conoce como función de Green de las ecuaciones de movimiento. En la mecánica cuántica no relativista el propagador de la ecuación de Schrödinger nos representa una partícula moviendose de un punto a otro. En la teoría cuántica de campos el propagador no representa una única partícula. De hecho, el propagador es diferente de cero fuera del cono de luz de un evento. Esto significa que la excitación del campo representada por el propagador tiene una probabilidad no nula de existir fuera de su propio cono de luz. Esto no puede representar una partícula ya que de otra forma esta partícula violaría la causalidad. La idea del propagador representando una partícula suele estar algo extendida. Por ejemplo en los diagramas de Feynman vemos líneas internas y pensamos que eso es una única partícula virtual que se intercambian dos líneas externas (partículas reales) para interactuar. Las líneas internas son precisamente propagadores del campo y no representan partículas, sino una suma sobre todos los momentos posibles. En cierta medida una suma sobre una cantidad infinita de estados básicos de partículas.

La causalidad se salva en la teoría cuántica de campos tan pronto uno considera correlaciones entre mediciones. En general cualquier influencia en mediciones está condicionada a quedarse dentro del cono de luz, un resultado famoso (conocido como microcausalidad). Un correlación de mediciones no es un objeto matemático como el propagador, sino algo relacionado con el commutador del campo. Si el commutador del campo en dos puntos diferentes es nulo entonces no existe correlación causal entre esos dos puntos. Y como las partículas son algo medible esto nos asegura que nunca podemos detectar una partícula fuera de su propio cono de luz un instante posterior. Es decir, dada una medición de una partícula en una región del espacio, una medición en otra región causalmente desconectada (fuera del cono de luz de la primera) debe tener probabilidad nula de encontrar la partícula. Este sobrio comportamiento causal en las mediciones se contrapone al comportamiento del propagador y en general de los estados en la teoría. Hay que diferenciar entre estados y mediciones.

Precisamente esta diferencia es esencial en el conocido teorema de Reeh-Schlieder. Este teorema nos dice que si tenemos una región acotada del espacio-tiempo S, la acción de los operadores O(S) (definidos como combinaciones del operador campo sobre funciones suaves en S y nulas fuera de S) sobre el vacío O(S) |0> es densa en el espacio de estados. Esto significa que cualquier medición realizada de forma local en S puede modificar el estado del campo en cualquier lugar del espacio-tiempo; ejecutando experimentos en un laboratorio, podemos crear estados en un lugar arbitrario del espacio-tiempo. Es chocante que este teorema sea consistente con la microcausalidad. Tan chocante que existe una gran cantidad de literatura al respecto. Pero modestamente creo que no lo es. Sólo hay que diferenciar entre estados y mediciones.

En concreto, al hablar de microcausalidad no nos interesan tanto los estados del campo que pueden existir fuera o dentro del cono de luz, sino que nos interesan las mediciones que vamos a realizar con nuestro detector fuera o dentro del cono de luz. Son las mediciones las que vienen fijadas por la condición de microcausalidad y no los estados. El teorema de Reeh-Schlieder nos habla de estados, la microcausalidad de mediciones. La condición de microcausalidad nos indica que dada una excitación del campo medida en x, la medición de otra excitación en en y, con en x, y separados espacialmente (fuera de sus respectivos conos de luz), no puede estar correlacionada con la anterior. Es el propagador del campo el que lo cambia de un estado a otro y con ello parece claro que mientras nos concetremos en los estados las contribuciones fuera del cono de luz van a ser posibles. Al final, sin embargo, estas contribuciones resultan cancelarse cuando uno estudia mediciones.

Por fin, el lanzamiento del Planck

2009-05-27T17:13:00.002+02:00

Este blog está últimamente poco movido pero no puedo pasar sin mencionar el lanzamiento del Planck en día 14 de Mayo, como muy probablemente cualquier lector sabrá de las noticias en los medios de comunicación. El satélite se dirige hacia el punto Lagrange 2 donde empezará a operar. Si nos atenemos a la misión WMAP probablemente los primeros resultados estén disponibles dentro de un año o un año y medio.

El lanzamiento del Planck a la vuelta de la esquina

2009-04-08T10:06:00.004+02:00

No hay decisión definitiva aún para el día del lanzamiento del satélite Planck, el cual será lanzado junto con el telescopio Herschel a bordo del Ariane. La previsión era un lanzamiento a mediados de Abril, en concreto el día 16, pero fue aplazado sin fecha definitiva. La razón parece ser la complejidad del Herschel, según la página de noticias de la ESA:

The Herschel telescope mirror, the largest ever to be launched in space, is a novel and advanced concept using 12 silicon carbide petals brazed together into a single piece; it is one of the major technological highlights of the mission. The complexity of the structure and its uniqueness means great care must be taken to ensure that stresses exerted on it during launch are well understood.

Over the next few days, a panel of independent experts led by the ESA Inspector General and Arianespace will carry out a final cross-check of the documentation to demonstrate that the required safety margins for the telescope are met.

The new launch date will be defined shortly.

Estamos atentos. Información de última hora en: Herschel and Planck launch campaign.

El experimento de Afshar

2009-04-07T11:09:00.004+02:00

El experimento de Afshar es controvertido ya que su autor afirma refutar con él el principio de complementariedad. Este establece que ambas descripciones, la ondulatoria y la corpuscular, son necesarias para comprender el mundo cuántico, pero lo son de forma complementaria: cuando vale la una la otra no es válida, y al revés. Esta conclusión puede ponerse en duda como veremos a continuación.

Para entender el experimento partamos del experimento usual de la doble ranura.

En este experimento sabemos que si ambas ranuras están abiertas se nos muestra el comportamiento ondulatorio en forma de interferencia en la placa fotográfica a la derecha. Si no obstante somos capaces de determinar en principio y de alguna forma el camino que una partícula ha tomado (ranura S1 o S2), entonces en la placa no aparecerá interferencia y lo que se nos muestra es comportamiento corpuscular.

Imaginemos ahora primero que tras las ranuras ponemos una rejilla. Esta rejilla es tal que sus aberturas corresponden a los picos de interferencia. Esto significa que para el caso de las dos ranuras abiertas la rejilla no atenúa nada la señal final en la placa fotográfica, ya que está dejando pasar los fotones correctos en los picos.

Volvamos al experimento usual de la doble ranuda, sin la rejilla mencionada. Consideremos ahora que detrás de las ranuras ponemos una lente, que actúa de la siguiente forma. Cuando sólo la ranura 1 está abierta, la lente manda los fotones que pasan por ella al detector 1. Cuando sólo la ranura 2 está abierta, la lente manda los fotones que pasan por ella al detector 2.

Ahora imaginemos que juntamos ambas cosas, la rejilla tras las ranuras y la lente tras las ranuras.

Este es el experimento de Afshar. El resultado es que no hay atenuación en la señal de la placa fotográfica. Es decir, que existe interferencia entre las ondas que pasan por cada una de las ranuras.

Asfhar concluye que ocurren estas dos cosas a la vez: existe interferencia debido a la falta de atenuación y existe determinación del camino de cada fotón debido al uso de la lente. Con ello se viola el principio de complementariedad, ya que en un mismo experimento los fotones han mostrado características ondulatorias y corpusculares.

No obstante, esta conclusión no tiene por qué ser correcta. Lo que parece bastante fuera de duda es que existe interferencia. Pero lo que no parece nada claro es que la lente realmente esté determinando el camino en el caso de dos ranuras abiertas. Lo que está probado es que la lente manda los fotones que pasan por la ranura 1 al detector 1 en el caso de estar la ranura 2 cerrada, y al revés. Concluir de esto que existe una determinación del camino para el caso de dos ranuras abiertas es una extrapolación muy probablemente inaceptable.

Para ilustrarlo consideremos un electrón en un estado de superposición de la proyección de su espín sobre el eje z (|up>, |down>), que no obstante, es un estado determinado en el eje x (|s>).

|s> ~ |up> + |down>

Una medición sobre el eje x mostrará que el sistema se encuentra en el estado mencionado |s>. Más tarde, una medición en el eje z hará colapsar el estado en una de las dos proyecciones posibles sobre el eje z, aleatoriamente sobre |up> o sobre |down>. Sin embargo, no nos es permitido preguntar si el sistema estaba realmente en |up> o |down> mientras se propagaba.

En el experimento de Afshar la situación es similar. El sistema, la partícula, se prepara en un estado que es aproximadamente un autoestado de momento. Se propaga en superposición de posiciones, y, si se le deja propagarse así (es decir, si se mantienen ambas ranuras abiertas), la medición de la posición en la placa fotográfica nos muestra que no podemos afirmar nada sobre la posición durante el trayecto. No podemos preguntarnos por qué rendija pasó el electrón, ya que el sistema no está en un autoestado de la base sobre la que proyectamos.

La diferencia en este experimento es que la proyección final del estado de la partícula no es sobre todas las posiciones posibles verticales en una placa fotográfica, sino en lo que Ruth Kastner (en Why the Afshar Experiment Does Not Refute Complementarity) denomina "slit-basis":

En el experimento de la doble ranura el sistema preparado en un estado concreto puede proyectarse sobre todas las posiciones posibles en el eje vertical haciendo uso de una medición de posición con una placa fotográfica. En este caso, haciendo uso de lentes, el sistema puede proyectarse sólo sobre L' y U'. No obstante, estos dos estados básicos no tienen correlación uno a uno con los estados L y U.

Más información en:
http://en.wikipedia.org/wiki/Afshar_experiment

Las condiciones para la paradoja de Olbers

2009-04-06T17:31:00.001+02:00

La paradoja de Olbers nos dice que en un universo estático e infinito el cielo nocturno debería ser totalmente brillante sin regiones oscuras o desprovistas de luz. Formular las condiciones de la paradoja con precisión nos ayudará a entenderla mucho mejor.

En concreto, la formulación matemática de la paradoja consiste en calcular el flujo de luz que recibimos estando situados en el orígen de un sistema coordenado esférico. Para empezar establecemos dos hipótesis. La primera hipótesis es que las fuentes de luz se distribuyen de forma homogenea en el espacio. La segunda es que el espacio es estático.

Primero consideramos el flujo de luz que llega a nosotros emitido desde una fuente a una distancia r. En un espacio estático este flujo es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia, f ~ 1/r². Luego consideramos la cantidad de fuentes de luz en una corona esférica. Esta cantidad n aumenta con el radio al cuadrado, n ~ r². Por tanto, la suma del flujo de luz de todas las fuentes de luz localizadas en una capa esférica a un radio cualquiera es F ~ f n. Este valor es una constante ya que la dependencia con r se cancela.

¿Cuántas capas esféricas queremos sumar? Empezamos con r = 0 y vamos avanzando a radios cada vez más grandes. Ahora establecemos dos hipótesis más. Primera que el universo es infinito en extensión. Segunda que sus fuentes de luz son eternas. Con ello vemos que la suma de capas esféricas es infinita y que cada capa contribuye con un valor constante (y no infinitésimo) al flujo total de luz. El resultado es por tanto infinito. Esta es la paradoja de Olbers.

Resumiendo, hemos dado con un flujo infinito combinando cuatro hipótesis:

1. Las fuentes de luz se distribuyen de forma homogenea en el espacio
2. El espacio es estático
3. El universo es infinito en extensión
4. Las fuentes de luz son eternas

Vamos a ir desglosando las hipótesis tomadas una a una.

Primera, la homogeneidad de las fuentes de luz. Si la distribución de fuentes no es homogenea la paradoja no tiene por qué darse. Benoit Mandelbrot, el creador de las fractales, propuso una cosmología que solucionaba la paradoja de Olbers precisamente de esa forma. En concreto, en un universo en el cual la distribución de fuentes de luz es de dimensión fractal menor que dos, la paradoja no se da aun en caso de tener infinitas fuentes en un universo infinito cuya existencia es eterna.

La razón es que ya no vale n ~ r² y no va a haber cancelación con f ~ 1/r². Lo que vale en general es que para una dimensión fractal D, n ~ r^{D-1}, haciendo que la paradoja se solucione si D < 2. La justificación de un modelo cosmológico así viene del hecho que a cierta escala las fuentes de luz parecen agruparse en distribuciones fractales en el universo - aunque según me consta a mí los estudios no son concluyentes y no son extrapolables a muy grandes escalas.

Segunda hipótesis, el espacio estático. Si el espacio no es estático ya no se cumple que f ~ 1/r², sino que en general para un universo en expansión el flujo está más diluido. En determinados modelos esto soluciona la paradoja. Esta era la solución del modelo estacionario de cosmología de Hoyle y Burbridge que se basaba en un espacio-tiempo de-Sitter.

Tercera hipótesis, la extensión infinita del espacio. Si el espacio no es infinito y tiene un borde (o digamos que la distribución de fuentes de luz tiene un borde), entonces la suma sobre coronas esféricas se acaba a un radio determinado. Con ello la suma del flujo es finita.

Ahora bien, cuidado, si el espacio es finito pero ilimitado (y el resto de las hipótesis siguien siendo válidas, en concreto la edad infinita de las fuentes de luz), entonces las luz emitida en pasados cada vez más remotos da una o varias veces la vuelta al universo hasta llegarnos. Dado que la edad de las fuentes es infinita la cantidad de coronas a considerar es otra vez infinita y la paradoja no se soluciona.

Cuarta hipótesis, la edad infinita de las fuentes de luz. Esta es evidente: si las fuentes de luz no existen desde un pasado infinito sino desde un tiempo T, entonces, dado que la velocidad de la luz c es finita, la cantidad de coronas a considerar es finita, en concreto hasta un radio R = c T.

Es maravilloso ver como esta paradoja tan simple y cotidiana nos pone frente a un misterio cosmológico sin precedentes y se convierte en una piedra angular de la cosmología, tal y como nos muestra la profundidad de las posibles soluciones a la paradoja. Cualquier modelo sobre el universo debe necesariamente de enfrentarse a ella.

El Camino Óctuple (The Eightfold Way)

2009-03-16T14:39:00.018+01:00

Hace cuarenta años, en 1969, se otorgó el premio Nobel de física a Murray Gell-Mann, por sus descubrimientos sobre partículas elementales. Si hay algo que destaca en la línea de descubrimientos e ideas de Gell-Mann es la belleza y la armonía. El camino óctuple o en inglés eightfold way, es la punta del iceberg del maravilloso mundo de las simetrías en la física de partículas.

Simetrías y cargas conservadas

El universo está lleno de simetrías que son cumplidas por ciertos sistemas. Es decir, existen acciones las cuales, realizadas sobre ciertos sistemas, dejan sus propiedades físicas invariantes. Ejemplo. Imaginemos un condensador con dos placas infinitas conductoras y paralelas la una a la otra, y ambas perpendiculares a un eje z, localizadas en z = - L, z = + L. Entre ellas existe un campo eléctrico paralelo al eje z. Este sistema tiene una clara simetría de traslación en dos direcciones: las dos direcciones x, y paralelas a las placas. La situación es indéntica independientemente de en qué punto x, y nos situemos.

Si uno imagina estas dos placas infinitas, el sistema tiene una simetría de traslación en las dos direcciones perpendiculares al eje z

Uno de los resultados más importantes de la física del siglo pasado es el teorema de Noether. Este nos dice más o menos que para tales simetrías existe siempre una carga conservada. El término carga debemos entenderlo en un contexto general, y no pensar sólo en la carga eléctrica por ejemplo. En el ejemplo anterior, el teorema de Noether nos dice que van a existir dos cargas conservadas, una para cada simetría: una a lo largo del eje x, otra a lo largo del eje y. Estas cantidades conservadas resultan ser las componentes x, y del momento lineal px, py.

Para entenderlo supongamos que entre las placas ponemos un electrón. No existen fuerzas en el plano x, y, y con ello según la segunda ley de Newton el momento lineal px, py del electrón se conserva. La forma de su movimiento es independiente del punto en el plano x, y en el que se encuentra inicialmente. Es diferente al momento lineal en z (pz). Dado que existe un campo eléctrico en z, ocurrirá que pz variará con el tiempo de acuerdo con la segunda ley de Newton. Por contra px, py se mantienen siempre constantes mientras el electrón se mueve entre las placas.

¿Qué valores pueden tomar estas cargas conservadas? Cada una px, py un valor infinito en la recta real. Sea cual sea, este valor se mantiene constante siempre. En definitiva, nada cambia en el electrón y su estado de movimiento por desplazarlo en x, y. Este hecho nos resulta en la conservación de su momentos lineales px, py.

El isospín y la simetría entre neutrón y protón

Una de las brillantes ideas de Werner Heisenberg fue proponer que existe una simetría entre protón y neutrón, tal que nada cambia por intercambiar el uno por el otro. A primera vista esto puede parecer sorprendente, dado que ambos tienen cargas eléctricas y masas diferentes, pero la física trabaja con simplificaciones. La masa entre ambos es muy parecida, por lo que a Heisenberg le pareció razonable pensar en primera instancia que en un universo sin interacción electromagnética el protón y el neutrón serían completamente iguales - incluso la diferencia de masa podría tener su origen en la interacción electromagnética, pensó.

Esta simetría postulada por Heisenberg es realmente expresión de una simetría entre los quarks que componen el protón y el neutrón. Estos son el up y el down (u, d). Su masa es muy parecida, pero se diferencian en la carga eléctrica. ¿Qué tipo de simetría es esta entre u, d? En el ejemplo anterior vimos una simetría de traslación en el espacio, aquí se trata de una simetría de rotación en un espacio interno. En esta aproximación o simplifación debe aparecernos por tanto una carga conservada, a la cual se conoce con el nombre de isospín.

¿Qué valores tomará la carga conservada del isospín? Bien, la respuesta a esta pregunta es uno de los episodios más bellos de la teoría cuántica - y cuya justificación se sale del marco de esta entrada. Las matemáticas nos muestran que al contrario de simetrías de traslación para simetrías de rotación los valores posibles son discretos. Para especificar un estado de isospín hacen falta dos números. La situación es similar al caso del espín. Un electrón por ejemplo tiene espín 1/2 y la proyección de este espín sobre un eje determinado será +1/2 ó -1/2 dependiendo de la orientación del electrón respecto del eje. En el caso del isospín igual y se tiene que tanto u como d tienen isospín 1/2 y la proyección de este son u = +1/2, d = -1/2. Al igual que con la proyección del espín, para la proyección del isospín vale que toma valores -I, -I+1, ... I-1, I, en saltos de 1 desde menos el valor del isospín hasta más el valor del isospín (por ejemplo: -1/2, +1/2 para un isospín de 1/2 y -1, 0, 1 para un isospín de 1).

Proyección del espín para un espín de 1/2, detalles sobre el espín y la teoría de rotaciones por ejemplo en el artículo de wikipedia

A su vez el espín de los quarks es 1/2, tanto del u como del d. A diferencia del isospín el espín no nos permite clasificar en grupos de dos partículas - es decir el u en una de +1/2 y otra de -1/2 dependiendo de la proyección en un eje, ya que esta proyección depende de nuestra elección de los ejes de coordenadas - y la física es independiente de estos. Es decir, la proyección del espín se mezcla en una misma partícula y no está asociada a tipos de partículas. La proyección del isospín, por contra, es en un espacio interno de simetría donde tal libertad no existe en principio.

En definitiva, tenemos dos quarks con dos valores diferentes de la proyección del isospín, y con igual espín. Por contra, tienen diferente carga eléctrica. No obstante, hemos dicho que la interacción electromagnética la vamos a ignorar.

Ahora vamos a construir bariones, que son combinaciones de tres quarks, con igual espín. Que la carga eléctrica sea igual o no en estas combinaciones nos trará sin cuidado. Consideremos primero combinaciones de u, d. ¿Qué combinaciones son posibles? Pues tenemos uuu, ddd, udd, uud. De estas combinaciones, en su estado fundamental las combinaciones uuu, ddd tienen espín 3/2, mientras que las combinaciones udd, uud espín 1/2.

Las combinaciones uud y udd de espín 1/2 corresponden con el protón y el neutrón respectivamente. En estas combinaciones dado que dos quarks son siempre u y d, el valor de la proyección del isospín se hereda del tercer quark. Por tanto tienen isospín 1/2 y la proyección 1/2 y -1/2 respectivamente.

El octeto de bariones

Además de considerar los quarks u, d podemos considerar también el quark s (strange = extraño). Su masa no es tan parecida como las de u, d, pero podemos postular igualmente que en cierta simplificación habría una simetría entre los estados formados por estos tres quarks. Al igual que hemos clasificado los estados de isospín +1/2 y -1/2 obteniendo un grupo de dos partículas con masa muy similar, podemos clasificar los estados de isospín + extrañeza (por convención extrañeza -1 si la combinación tiene un quark extraño, -2 si tiene dos, etc.) y obtener un grupo de partículas con masas similares.

Como hemos mencionado antes, distinguiremos entre aquellas combinaciones de espín 1/2 y aquellas de espín 3/2. Las combinaciones de tres quarks iguales sólo pueden tener espín 3/2. Nos concentraremos en las combinaciones de espín 1/2. Estas son las siguientes.

Con cero s quarks: uud, udd

Con un s quark: uus, uds, dds

Con dos s quarks: uss, dss

¿Qué valores de la proyección del isospín tendrán estas combinaciones? En el fondo está claro. Por ejemplo, uss tendrá uss = +1/2 y dss = -1/2, ambas heredadas del valor de la proyección del isospín de u, d respectivamente. La siguiente tabla nos muestra las combinaciones de espín 1/2 con sus valores de isospín y extrañeza, así como las posibles proyecciones del isospín y los nombres de estos bariones:

Ahora lo que vamos hacer ahora es dibujar estas combinaciones en un plano con eje horizontal con la proyección del isospín I3 y eje vertical la extrañeza S. Obtenemos esto (en esta gráfica están dibujadas además la carga eléctrica Q y la hipercarga Y):

Cualquiera que vea esta clasificación con este diagrama por primera vez no puede mas que sorprenderse de la fascinación de la física de partículas. La belleza de esta clasificación llevó a su inventor, Murray Gell-Mann, a denominarlo eightfold way, camino óctuple, en referencia al noble camino óctuple del budismo. El camino óctuple de Gell-Mann representa el comienzo de la aventura de la física de partículas, una historia de descubrimientos cada cual más bello y profundo.

Otras combinaciones

Clasificaciones similares existen para el caso de bariones con espín 3/2, en cuyo caso se tiene no un octeto sino un grupo de diez elementos, también para mesones (compuestos por un par quark-antiquark).

También se han hecho clasificaciones añadiendo quarks y números cuánticos adicionales. Es decir, además de u, d, s, considerar también los quarks c, b, t. Añadiendo por ejemplo el quark c (charmed, encanto) hay que añadir una dimensión más al diagrama que queda algo así (el subíncie representa la cantidad de quarks c en la combinación) - donde nuestro octeto está en la base:

Las diferencias de masas empiezan a hacer estas simetrías insostenibles y poco útiles, y, además, clasificaciones con más de u, d, s, c, ya no son visualizables.

El número de fotones en ondas electromagnéticas

2009-03-14T11:51:00.003+01:00

Uno de los resultados más sencillos y a la vez bellos de la difícil teoría cuántica de campos y la óptica cuántica es que nos muestra que una onda electromagnética clásica, tal y como nos la describe las ecuaciones de Maxwell, debe estar formada por un número indeterminado de fotones.

El campo electromagnético puede expresarse en función de sus modos básicos de excitación con monento determinado, que denominamos fotones. Si el campo está en un estado S en el cual existen exáctamente n fotones, escribimos:

S = |n>

denotando que S es un estado completamente determinado por esos n fotones. Si por contra el campo está en un estado de superposición, podemos escribir:

S = a0 |0> + a1 |1> + ... + an |n>

Esto significa un estado de superposición entre estados de cero hasta n fotones. Es similar a la partícula que puede estar en estado de superposición entre diferentes posiciones posibles en el espacio. Aquí lo mismo, pero en vez de posiciones fotones, como excitaciones básicas del campo electromagnético. Pues bien, el valor esperado - clásico - del campo eléctrico y magnético sólo es diferente de cero si el campo está en un estado de superposición.

Pueden existir conjuntos de fotones sin campo eléctico y magnético, pero para que estos existan y oscilen en una onda, tal y como lo requieren las ecuaciones de Maxwell, y la cual pueda actuar sobre cargas acelerándolas, entonces el número de fotones debe ser indeterminado. Un resultado sencillo - fácil de demostrar haciendo uso de operadores de creación y aniquilación - pero profundo a su vez.

On the Origin of Inertia

2009-02-05T11:06:00.003+01:00

En la mecánica newtoniana el movimiento acelerado de un cuerpo viene definido respecto de una clase o conjunto de sistemas de referencia, concrétamente, todos los sistemas de referencia inerciales. De acuerdo con la relatividad general un sistema así puede ser encontrado de forma local en todo punto del espacio-tiempo. Pero ¿qué determina la existencia de tal conjunto de sistemas?

En la relatividad general ocurre también que lejos de toda masa tales sistemas pueden existir. Esto es debido a que el espacio-tiempo se vuelve plano, el mismo que el de la relatividad especial, donde la clase de sistemas de referencia inerciales representan una clase preferida y en cierta medida absoluta o independiente del resto del universo. De forma equivalente se puede pensar que un cuerpo alejado de toda masa puede adquirir inercia, esa propiedad de todo cuerpo que liga aceleraciones a fuerzas. Esto es debido a que el espacio-tiempo se vuelve plano y la inercia aparece como propiedad absoluta de los cuerpo.

La cuestión es si esto es conceptualmente aceptable. Si postulamos que todas las propiedades del movimiento deben ser expresables en términos observables y de forma dinámica, entonces la posibilidad de una determinación absoluta de los sistemas inerciales va claramente en contra de nuestro postulado. En cierta medida queremos hacer física con el menor bagaje posible en lo referente a artilugio teórico absoluto. La existencia de soluciones sin masas pero con sistemas inerciales en la relatividad general va en contra de esto.

En defintiva, la motivación es lograr que movimientos cinemáticamente equivalentes sean también dinámicamente equivalentes. Esta es una forma de expresar lo que se conoce a veces como principio de Mach. Esto no es así en la mecánica newtoniana. Para ilustrarlo recordemos el ejemplo del cubo de agua que gira. Que el agua suba por la pared del cubo y se hunda en el centro del cubo (concavidad) significa que el cubo gira. En la mecánica newtoniana el cubo gira o es acelerado respecto de la clase de sistemas inerciales. Las fuerzas que actúan sobre el agua aparecen de forma absoluta. De acuerdo con la mecánica newtoniana si todo el universo girase pero el cubo no, entonces sobre el cubo no actuarían fuerzas.

Pero que todo el universo gire y el cubo no es cinemáticamente equivalente a que el cubo gire pero el resto del universo no. De acuerdo con nuestro postulado hay que encontrar por tanto también una mecánica que describa estos dos fenómenos como dinámicamente equivalentes. Es decir, si el universo girase pero el cubo no deberá actuar una fuerza sobre el cubo que será igual que si el cubo gira pero el universo no.

Esta hipótesis proporciona además una nueva perspectiva al problema del péndulo de Foucault. La determinación de la velocidad angular de la tierra que se sigue de este experimento ha de ser equivalente a la determinación de la velocidad angular de la tierra que se puede hacer con experimentos cinemáticos; midiéndo posiciones de estrellas fijas en el infinito. Esto es debido a que movimientos cinemáticamente equivalentes sean también dinámicamente equivalentes.

¿Cómo proceder para encontrar una teoría así? El primer indicio nos lo proporciona el principio de equivalencia. Este nos dice que localmente la fuerza gravitatoria es indistinguible de cualquier otra fuerza inercial. Es decir, localmente un campo gravitatorio es equivalente a una aceleración uniforme. Parece sensato intentar encontrar una teoría en la cual la inercia sea consecuencia de la gravitación. Asumiendo un modelo simplificado en el cual no existen otras fuerzas mas que la gravitación, la condición de que movimientos cinemáticamente equivalentes sean también dinámicamente equivalentes vendrá dada por la condición de que:

En el sistema de referencia comóvil con un cuerpo la fuerza gravitatoria que el resto del universo realiza sobre este cuerpo es nula

La condición parece razonable: si cinemáticamente somos capaces de ponernos en movimiento comóvil con el cuerpo de forma que él está en reposo respecto de nosotros, parece sensato exigir que dinámicamente no actúen fuerzas sobre él. Al fin y al cabo estamos intentando que cinemática y dinámica sean equivalentes. Aunque parezca increible esta es la única condición necesaria para establecer la teoría.

Lo mencionado hasta aquí es la base conceptual del trabajo de Dennis Sciama, físico inglés (1926-1999), sobre este tema. En su artículo:

On the origin of inertia

presenta magistralmente un modelo de teoría así. El artículo es una joya, por lo bien escrito que está, por la forma de proceder, por sus ideas bellas conceptualmente bien fundadas, por sus predicciones y por su sencillez en la presentación.

Para imponer la condición mencionada Sciama considera un universo homogeneo e isótropo cumpliendo la ley de Hubble y en el cuál existe una inhomogeneidad representada por una masa gravitacional M. Este es el "resto del universo" que va a actuara sobre una masa test, en la cual se impone el principio mencionado. El modelo que presenta Sciama es una teoría vectorial de la gravitación. Es conocido que una teoría de la gravitación debe ser tensorial, pero el modelo vectorial sirve para extraer suficientes consecuencias físicas interesantes. Sciama promete el modelo tensorial para un segundo trabajo futuro, pero a mí me es desconocido si ese trabajo realmente existió o no.

Debido a que en el universo existen masas en movimiento respecto de nuestra masa gravitacional test, una teoría vectorial de la gravitación consistirá en un campo gravitoeléctrico E y otro gravitomagnético H sobre la masa test - análogamente a las ecuaciones de Maxwell. El campo total F = E + H será cero en el sistema comóvil de la masa test y esta condición, F = 0, valdrá para derivar la segunda ley de Newton con una expresión no trivial para la masa inercial de nuestra masa (gravitacional) test (véase ecuación (5) en el artículo).

No voy a mostrar aquí los pasos matemáticos, pero son sencillos. Sólo requiren de entender ecuaciones análogas a las de Maxwell. Recomiento encarecidamente leer el artículo al que no lo conozca.

Las consecuencias de la teoría son: (i) la constante gravitacional en un punto del espacio-tiempo depende de la distribución de materia local en tal punto, (ii) la energía total de un cuerpo (gravitacional e inercial) es nula (iii) el principio de equivalencia es una consecuencia de la teoría, (iv) la teoría permite calcular la densidad media del universo, (v) para el universo que observamos la mayor parte de la inercia de los cuerpos viene generada por masas a distancias mayores de 100 Mpc, y otras más mencionadas en el artículo.

Visto esto uno se pregunta si realmente la relatividad general puede ser la teoría clásica correcta de la gravitación. La belleza conceptual del principio de Mach, el cual la relatividad general no implementa consistentemente, es tan grande que parece una pena que el universo no haya hecho uso de él. ¿Qué teorías tensoriales y más realistas hay que incorporen este principio? ¿Cómo difieren de la relatividad general? y ¿están experimentalmente refutadas? Estas preguntas nos ocuparán en una segunda entrada en un futuro próximo.

Estado de la misión Planck

2009-02-05T10:03:00.003+01:00

Dentro del retraso que ha supuesto aplazar el lanzamiento del Planck y el Herschel hasta Abril de este año (previsto estaba inicialmente para el verano del 2008 y luego para Octubre del 2008), parece que las cosas siguen ahora su curso.

La lista de correo de la ESA informa que el Herschel está listo para ser mandado a Kourou en la Guayana Francesa, donde será lanzado. Para el Planck por otro lado se ha acabado una parte del software (proporcionado por el Instituto Max Planck para Astrofísica) para la comparación con mapas previos del fondo de microondas.

Si todo va bien, tendremos lanzamiento el día 16 de Abril.

http://herschel.esac.esa.int/
http://www.rssd.esa.int/index.php?project=planck

[Editado] Desde aquí se podrá seguir en directo en lanzamiento:
http://www.videocorner.tv/

Observatorios y experimentos en google maps (I)

2009-02-03T16:39:00.001+01:00

Una pequeña lista de algunos observatorios y lugares de experimentos de física para visitar con google maps:

Radiotelescopio Arecibo en Puerto Rico

Observatorio de Paranal

LIGO (Laser Inteferometer Gravitational-Wave Observatory) en el estado de Washington

Observatorio Keck en Hawaii

Observatorio de Tenerife en el Teide

Very Large Array en New Mexico

Pierre Auger en la provincia de Mendoza, Argentina

Mount Wilson en California

Ruido en el GEO600

2009-01-28T10:48:00.009+01:00

La descripción que nos da wikipedia sobre el principio holográfico es bastante buena:

El principio holográfico es una conjetura especulativa acerca de las teorías de la gravedad cuántica, que dice que toda la información contenida en el volumen de un espacio puede ser representada por una teoría que yace en la frontera de tal región. En otras palabras, si usted tiene un cuarto, usted puede modelar todos los eventos que ocurren en éste creando una teoría que sólo tome en cuenta lo que pasa en las paredes del cuarto.

En concreto existe una relación entre los grados de libertad del volumen y las areas de Planck en la frontera. La información y los grados de libertad en el interior vienen determinados completamente por la frontera, haciendo del universo algo mucho más simple de lo que en principio podría ser.

Craig J. Hogan, director del Center for Particle Astrophysics en el Fermilab, propone un modelo óptico para estudiar el principio holográfico. Un rayo de luz que es medido en dos puntos, emitido en y recibido en , se mueve a lo largo de una geodésica nula. Hogan propone que debido al principio holográfico existe una indeterminación en la posición transversal de la llegada del rayo de luz en :

Cómo llega a esta ecuación es algo que he estado mirando un poco pero no he entendido. La idea parece relacionada con la teoría clásica de difracción (proyectar una rejilla en la frontera en una superficie dentro del volumen). Abajo están las referencias para el que quiera profundizar.

Lo interesante de esta relación es que no está únicamente ligada a la longitud de Planck , sino a la distancia entre mediciones, la cual puede tomarse arbitrariamente grande. Con ello, la indeterminación puede crecer dependiendo de esa distancia:

measurement of relative transverse position of two objects separated by macroscopic distance L, at events separated by a null trajectory, yields an indeterminate result. This property implies that measurements of relative transverse positions show a new source of random noise that increases with spatial and temporal separation like

Hogan afirma que esto debería ser especialmente visible en experimentos de detección de ondas gravitacionales. Precisamente en el GEO600 vienen preguntandose desde hace un tiempo por un extraño ruido cuyo orígen sigue siendo desconocido, y que, según Hogan, corresponde exáctamente con lo predicho por él.

New Scientist tiene esta historia muy bien contada, con comentarios del investigador principal del GEO600: Our world may be a giant hologram.

Lo no entiendo tampoco, y me resulta chocante, es que, siendo que esta indeterminación existe para el desplazamiento transversal de geodésicas nulas, no se haya observado ya en experimentos de óptica. Probablemente hay algo que se me ha escapado, pero tampoco he dedicado demasiado tiempo y esfuerzo a entender los artículos de Hogan. En cualquier caso, de ser esta idea consistente, estamos ante algo realmente intrigante.

Verdad, revolución y unificación

2009-01-23T11:14:00.000+01:00

Las teorías físicas tienen dos aspectos que pueden diferenciarse bastante bien: aplicación e interpretación. La aplicación de una teoría son los números que proporciona. La interpretación es una visión del mundo y una ontología que nos da. La aplicación de una teoría verificada es siempre válida en el rango de fenómenos en el que la teoría fue verificada. La interpretación no obstante no, ya que esta queda obsoleta con teorías nuevas.

Por ejemplo, el sistema geocéntrico de Ptolomeo, como ejemplo extremo. En principio su aplicación puede ser justificada incluso hoy, ya que proporciona números o trayectorias que no están del todo mal. Es decir, a alguien le podría apetecer hacer uso del tal modelo para calcular trayectorias en la bóveda celeste siempre y cuando su precisión requerida no sobrepase cierto límite. No obstante, la interpretación física del modelo es errónea, ya que ha sido superada por el modelo heliocéntrico de Copernico y tras él la gravitación y mecánica newtonianas.

Otro ejemplo menos extremo es la gravitación de Newton. Su aplicación sigue siendo válida hoy, por la simple razón de que proporciona números adecuados para ciertos problemas gravitatorios. Sin embargo, su interpretación ha sido superada por la relatividad general, en la cual la gravitación es entendida de forma totalmente diferente.

Esta diferenciación entre interpretación y aplicación es necesaria cuando se habla de verdad en la ciencia. Tomando la definición de verdad de una teoría como adecuación con la realidad "veritas est adequatio intellectus et rei" es evidente que se obtienen respuestas diferentes enfocándo este criterio desde el punto de vista de la aplicación que de la interpretación.

En cierta medida la física no es o ha sido hasta hoy nunca verdad si con ello se la mide por su capacidad de proporcionarnos una ontología de lo real, es decir, una interpretación fundamental de la realidad. Sin embargo, es verdad en su aplicación ya que cada teoría suele tener su rango de aplicación indiscutible desde el momento en el que es válida proporcionando números correctos para ciertos fenómenos.

Las revoluciones científicas suelen afectar a la idea de verdad, a nuestra visión del mundo y no tanto a la forma de hacer números. Estos son los que son, válidos en su rango de aplicación, pese a teorías nuevas. Una revolución científica nos pone frente a una nueva realidad, más profunda, pero usualmente también más ámplia y a la vez más misteriosa y más sorprendente. Amplía nuestro horizonte, nuestro conocimiento, pero con ello también el perímetro de "nuestra orilla cósmica" de desconocimiento.

Es por lo que todo nuevo cambio de paradigma suele ser aún más radical que el anterior. Requiere de explicar problemas conceptuales cada vez más profundos.

El ejemplo de la revolución científica de principios del siglo anterior es bastante ilustrativo. La relatividad y la teoría cuántica nos han proporcionado formas completamente diferentes de entender el mundo. Su formulación fue necesaria debido a inconsistencias en las teorías en aquel tiempo. El mundo que nos presentan es mucho más rico que la realidad asumida antes de ellas. Su formulación ha abierto a su vez nuevos interrogantes e inconsistencias entre ambas.

¿Cómo será la unificación de los dos mundos que nos describen la relatividad y la teoría cuántica? No lo sabemos aún, pero yo tengo la impresión que la unión de ambas no dejará a ninguna de las dos a salvo, al menos no tal y como las entendemos hoy. La madre de todas las revoluciones científicas está por llegar.

A successful unification of quantum theory and relativity would necessarily be a theory of the universe as a whole. It would tell us, as Aristotle and Newton did before, what space and time are, what the cosmos is, what things are made of, and what kind of laws those things obey. Such a theory will bring about a radical shift - a revolution - in our understanding of what nature is. It must also have wide repercussions, and will likely bring about, or contribute to, a shift in our understanding of ourselves and our relationship to the rest of the universe. Lee Smolin.

Unfinished revolution, Carlo Rovelli

La longitud de onda de de-Broglie

2008-12-11T17:24:00.003+01:00

Hablemos sobre la longitud de onda de de-Broglie, en concreto de la existencia de tal longitud de onda para objetos macroscópicos. Aviso de entrada que lo que sigue es mi opinión personal. Aunque creo que está bien justificada, debo advertir que con ella me enfrento aparentemente contra miles de referencias en las que se afirma que la longitud de onda de de-Broglie para objetos macroscópicos existe, pero que es muy pequeña e indetectable. Yo dudo muy firmemente de tal cosa, aunque no descarto que haya algo que se me escapa en este asunto.

Leemos aquí y allá sobre la longitud de onda de la onda de probabilidad asociada a una pelota, a una persona, etc. No obstante, para poder afirmar esto hay que partir de la hipótesis que un objeto macroscópico tiene asociado una onda de probabilidad con su longitud de onda determinada. Veamos qué condiciones hay que plantear para aceptar tal situación.

En principio, la longitud de onda de la onda asociada tiene completo sentido para soluciones sinusoidales de la ecuación de Schrödinger. Para objetos más complejos, aunque no necesariamente macroscópicos, van a ocurrir dos cosas que creo ponen en cuestión este cuadro simplificado.

Primera, si el objeto está en un estado puro, en general van a ser superposición de muchas diferentes longitudes de onda, por lo que hay que ser cuidadosos al hablar de esa única longitud de onda asociada.

Segunda, el objeto puede estar en un estado mezclado. La ecuación de Schódinger, de la cual se deriva la relación de de-Broglie, describe la evolución temporal de estados puros. Por contra, un objeto macroscópico es un estado mezclado descrito por una matriz de densidad que no va a ser reducible a una función de onda, la cual a su vez tiene una evolución temporal diferente.

En general, los estados de un sistema se pueden clasifican en dos tipos, los estados puros y los estados mezclados. Los estados puros son estados de superposición cuántica y los estados mezclados son estados de desconocimiento. En los estados puros existen varios estados posibles sobre los cuales el sistema está en superposición. Según la cuántica esta superposición no tiene que ver con desconocimiento, sino que es un fenómeno básico de la naturaleza. Veamos especialmente el segundo punto de los de arriba con detalle tras mencionar cómo salvar el primero.

En el primer caso el objeto tiene una onda asociada al cumplir la ecuación de Schrödinger. No obstante, esta es superposición compleja de ondas planas. Para salir al paso podemos usar un elegante truco que se me ha mencionado en este hilo del foro de la web de física. Podemos utilizar el concepto de centro de masas. El valor esperado del momento del centro de masas nos permite definir una única longitud de onda a través de la relación de de-Broglie.

En el segundo caso las cosas cambian.

Los estados mezclados necesitan de una matriz de densidad para ser descritos, la cual a su vez no reducible a una función de onda. Este hecho hace que su evolución temporal no cumpla la ecuación de Schrödinger sino en general . Y de ahí no es extraíble una onda asociada. Al menos a mí no me es conocida una forma de asignar una onda asociada a estados mezclados en general, cosa que veo respaldada por el experimento que voy a mencionar abajo.

El hecho de que un objeto esté en un estado mezclado se puede deber a dos razones: (a) entrelazamiento (b) desconocimiento. Estas son las dos razones que dan lugar a estados mezclados. Dejemos primerdo de lado la opción (b) y concentrémonos primero en la (a).

El entrelazamiento es una propiedad muy especial. Los estados entrelazados son puros, pero los subsistemas dentro de estados entrelazados son mezclados. En parte esto se puede entender en términos de pérdida de información: los estados mezclados suponen una falta de información para el que los considera, mientras que los puros no. Cuando hay entrelazamiento y nos preguntamos sólo sobre un subsistema resulta haber información faltante, ya que existen correlaciones con el otro subsistema que quedan "fuera" del subsistema en consideración. Esta falta de información es natural en subsistemas de sistemas entrelazados, ya que, por definición, los subsistemas de un sistema enrelazado son imposibles de separar debido a una correlación cuántica fuerte entre ellos. Esto lo muestro en mi página sobre la decoherencia, pero lo vamos a ver aquí mencionando un conocido experimento.

Imaginemos una fuente que emite partículas de momento lineal antiparalelo en dos direcciones diferentes y . Digamos que están a la derecha y a la izquierda.

Esto es, si en la derecha se encuentra una partícula en , entonces la partícula correspondiente en la izquierda debe encontrarse en y si en la derecha se encuentra la partícula en , entonces la partícula correspondiente debe encontrarse en . Para tales pares entrelazados se tiene:

Este estado total es un estado puro y entrelazado (esto se ve notando que no es posible factorizar en los estados de las partículas individuales). Para una sola de las partículas - por ejemplo la que se mueve hacia la derecha, que no tiene prima - no obstante se trata de un estado mezclado. Es decir, no existe una sola función de onda para una de las partículas que cumpla la ecuación de Schrödinger. Al ser un estado mezclado los estados básicos cumplen la ecuación de Schrödinger, pero no el estado mezclado resultante de ambos. La ecuación de Schrödinger es válida para el estado total entrelazado que es puro, pero no para un subsistema del estado entrelazado que es mezclado. Para mostrar que se trata de un estado mezclado refiero a mi página sobre la decoherencia o a Wikipedia que también explica con un ejemplo sencillo cómo los subestados de estados entrelazados son todos mezclados.

En definitiva, las partículas generadas así no pueden crear interferencia en un experimento de doble ranura (por ejemplo, todas las lanzadas hacia la derecha). Esto es debido a que su estado no es puro. Este experimento ha sido realizado ya y está descrito por ejemplo en Experiment and the foundations of quantum physics de Anton Zeilinger. Podemos por tanto asignar un momento a tal partícula, el que resulta de calcular el valor esperado más probable del momento de la partícula. Pero no podemos asignar luego una onda asociada al momento con su longitud de onda.

Fijémonos en la diferencia con la partícula libre y no entrelazada. En tal caso también tenemos un valor esperado del momento (está en un autoestado de momento), sin embargo sí decir que a tal momento asociamos una onda plana solución de la ecuación de Schrödinger. Esta onda plana describe completamente y de forma correcta a la partícula libre y no entrelazada. La partícula libre y no entrelazada presenta inteferencia cuando es lanzada contra una doble rendija (cuando son lanzadas muchas idénticas). Por contra, las partículas entrelazadas no la presentan. En mi opinión estamos obligados a concluir que en este segundo caso la asociación con un fenómeno ondulatorio de probabilidades no es correcta.

He mencionado antes que existen dos razones para tener estados mezclados: (a) entrelazamiento (b) desconocimiento. La cuestión ahora qué ocurre con los objetos macroscópicos. En principio yo asumo que ambas razones son relevantes. Por ejemplo, la radiación térmica de cualquier objeto macroscópico debería estar entrelazada con este. Ahora bien, uno puede cuestionarse - al menos yo con mi conocimiento parcial del tema - si para objetos macroscópicos el entrelazamiento es relevante. Quizás tal fenómeno es despreciable.

No obstante, lo que está claro es que un objeto macroscópico es un macroestado, es decir, una clase de equivalencia de muchos microestados. No conocemos las funciones de onda de las partículas y esto es precisamente una propiedad que define a lo que comúnmente denominamos mundo macroscópico. El objeto está en un estado mezclado, descrito por una matriz de densidad, donde aparecen factores de probabilidad debido al desconocimiento, y no por una función de onda.

La cuestión ahora es si el argumento previamente presentado sobre la imposibilidad de asignar una onda asociada a un estado mezclado sigue siendo válido para el caso de estados mezclados por desconocimiento. En el formalismo yo no veo cómo asignar ondas asociadas a estados que no cumplen la ecuación de Schrödinger. La cuestión es si describir a un estado macroscópico como mezclado debido al desconocimiento es sólo una forma de ver las cosas y si de igual forma podría habérselo descrito como un estado puro si se conociese perféctamente. Y con esto entramos ya en un terreno muy difícil: ¿es un macroestado sólo un artilugio de nuestra descripción, parcial, o algo genuínamente real? ¿es la entropía algo real? ¿aumentaría la entropía del universo si conociesemos perféctamente la función de onda de todas sus partículas? etc.

Resumen: un tema para pensar y debatir mucho.

El sombrero dorado de Schifferstadt

2008-12-02T13:27:00.005+01:00

A las puertas de la Selva Negra y al sur de la maravillosa región vinícola de la Mosela en Alemania se encuentra la cuidad de Schifferstadt. A las afueras de Schifferstadt un campesino encontró un sombrero dorado enterrado en el campo en el que trabajaba un 29 de abril de 1835. Fué el primero de cuatro sombreros de oro encontrados en Alemania y Francia. Tras el sobrero de Schifferstadt vinieron el sombrero de d'Avanton en 1844, el de Ezelsdorf-Buch en 1953 y más recientemente el conocido como sombrero dorado de Berlín.

El sombrero dorado de Schifferstadt data de los siglos diecinueve o veinte antes de Cristo. A los sombreros se los considera un símbolo religioso usado por los sacerdotes de una a finales de la Edad de Bronce en Europa Central. El culto al sol estaba entonces muy extendido en Europa Central. Tres de los cuatro sombreros tienen un pedestal como ampliación en la parte inferior del cono y sus aberturas son ovaladas (no redondas), con diámetros y formas más o menos equivalentes a las de un cráneo humano.

La representación figural de un objeto parecido a un sombrero cónico sobre una losa de piedra de la tumba del Rey en el pueblo de Kivik, en el sur de Suecia, apoya firmemente su asociación con la religión y de culto, así como el hecho de que los conocidos ejemplos parecen haber sido depositados (enterrados) cuidadosamente (véase wikipedia).

Esta conexión con escandinavia la muestra también la relación con el culto al sol que muestra el carro de Trundholm:

Lo espectacular de los sombreros de oro es que en diferentes alturas tienen marcas que permiten la determinación de calendarios y la conversión entre ellos. No necesariamente fueron usados como tales, pero sí parece claro que al menos reflejan los conocimientos de la época, quizás sólo como adorno.

En esta entrada en este blog: Glaubendorf 2 y el orígen de la astronomía en Europa reflexionaba sobre los conocimientos astronómicos de los antiguos pobladores europeos quizás plasmados en los círculos existentes en el centro de Europa. Tanto los sombreros de oro como el disco celeste de Nebra muestran que los conocimientos astronómicos entre los europeos eran considerables en el segundo milenio antes de Cristo. Está por ver en qué medida parte de estos conocimientos estaban existentes ya varios milenios antes. Los círculos en el centro de Europa son un indicio de ello, aunque pruebas definitivas con descripciones detalladas evidentamente faltan.

En cualquier caso es bonito ver como estos objetos - los círculos, los sombreros dorados, el disco de Nebra - nos marcan el inicio en la línea del desarrollo del conocimiento astronómico. La historia está viva en nosotros mismos y esos objetos son en definitiva un instrumento para conocernos mejor y aprender a valorar nuestro pasado.

Desastre con el LaTeX

2008-11-27T15:39:00.001+01:00

El servidor de LaTeX de www.forkosh.dreamhost.com impide el uso de LaTeX enlazando desde fuera:

En este blog he escrito muchas entradas haciendo uso de este servidor, por lo que ahora va a haber muchas que quedan illegibles, sin las fórmulas correspondientes. Una solución es pasar todo el blog a wordpress.com, que tiene servidor con LaTeX propio. Antes de tomar tal drástica medida voy a empezar a hacer uso externo de www.codecogs.com:

E iré corrigiendo las entradas antiguas. Esta es una medida que vuelve a ser una trampa en definitiva, por lo que quizás no está de más pensar seriamente en el traslado a wordpress.com. Un fastidio.

El coche y el garaje

2008-11-27T15:35:00.002+01:00

La clásica paradoja del coche y el garaje, conocida en inglés como "the barn and the pole" o similares, es explicada muchas veces con diagramas espacio-temporales. Aquí una explicación con números, que pretende ser lo más sencilla posible.

Tenemos un coche de longitud (en las unidades que sea) y un garaje de longitud . El garaje tiene una puerta de entrada a su principio (en y a su final una puerta de salida (en ). El coche se mueve a velocidad relativista con en hacia el garaje. Esto corresponde con una velocidad y es elegida así para simplificar luego los cálculos.

Desde el punto de vista del garaje

La situación es simple. La longitud del coche medida en el sistema de referencia estacionario con el garaje es:

Esta es la contracción de Lorentz. Por tanto, desde el punto de vista del garaje, el coche va a caber dentro del garaje. Para comprobar la veracidad de la contracción de Lorentz, alguien dedice capturar el coche de la siguiente forma.

Las puertas del garaje quedan ambas abiertas hasta que el coche está dentro. En el momento en el que el coche queda dentro, ambas puertas se cierran sólo un instante y luego se vuelven a abrir. La puerta de salida se cierra cuando la parte trasera del coche llega a y la puerta de entrara se cierra cuando la parte trasera del coche sobrepasa .

Inmediatamente después que se dan estas condiciones, ambas puertas se abren otra vez. El coche, sin cambiar en ningún momento su velocidad, queda capturado un instante en el garaje y luego sigue, pasando de largo hacia mayores de .

Desde el punto de vista del coche

La longitud del garaje medida en el sistema de referencia comóvil con el coche es:

Aparentemente el garaje es demasiado pequeño para que quepa el coche, pero ahora veremos que la relatividad de la simultaneidad sale al rescate. Supongamos que el coche entra en el garaje.

Sea el intervalo de tiempo entre los eventos (A) llegada de la parte frontal del coche a la pared final del garaje y (B) llegada de la parte trasera del coche a la puerta de entrada al garaje.

Medido en el sistema de referencia estacionario respecto del garaje estos dos eventos A y B son simultaneos . Medidos en el sistema de referencia comóvil con el coche:

Esta es la transformación de coordenadas de acuerdo con las transformaciones de Lorentz. Prima son cantidades en el sistema del coche y sin-prima en el sistema del garaje.

es la separación espacial entre ambos eventos A y B, medida en el sistema del garaje, es decir, la longitud del coche medida en el sistema del garaje: . El intervalo corresponde con la separación temporal entre los eventos, medido en el sistema del garaje, que vimos que es cero. Por tanto:

Esto significa que los eventos A y B no son simultaneos en el sistema comóvil con el coche. Cuando la parte frontal del coche llega al final del garaje (evento A) y la puerta de salida se cierra, el observador en el sistema comóvil con el coche ve que hay tiempo todavía hasta que la puerta de entrada se cierre. Si durante ese tiempo la parte trasera del coche se mueve con velocidad , el coche podrá meter todavía una longitud

dentro del garaje. Como la longitud del garaje es medido desde el coche, y el coche mide medido en el coche, ocurre que una vez el coche dentro del garaje quedan de coche fuera (todo esto medido en el coche). Precisamente estos que quedan fuera pueden ser metidos aún debido a que el cierre de puertas no es simultaneo.

El Cosmos y el misterio

2008-11-24T13:01:00.004+01:00

El Cosmos es todo lo que es o lo que podrá ser. Nuestras más ligeras contemplaciones del cosmos nos hacen estremecer - sentimos como un cosquilleo nos llena los nervios, una voz muda, una ligera sensación como en un recuerdo lejano o como si cayéramos desde la altura. Sabemos que nos aproximamos al más grande de los misterios. Cosmos. Carl Sagan.

El día 13 de diciembre de 1985 recibí como regalo el libro Cosmos de Carl Sagan. Recuerdo el día y recuerdo la magnífica sensación al leerlo, entendiendo poco, pero maravillado con las palabras de Sagan y las fotos y dibujos en el libro. Desde entonces habre leído pasajes en él hasta mil veces, y siempre me vuelve a gustar. Cosmos es sin duda el libro entre libros para toda una generación de amantes del universo que ha determinado el destino de aficciones y profesiones de muchos.

La física es bella por la relación con las matemáticas, y es bella por la sencillez de sus principios. Pero exste otro tipo de belleza más profunda, no intelectual. Es lo que nos hace sentir esa voz muda o el nudo en el estómago cada vez que admiramos cómo el universo oculta y codifica sus secretos más valiosos en un lenguaje que empezamos a entender. En esta época tendemos a valorar quizás excesivamente lo que sabemos, y queremos encontrar rápidamente explicaciones completas y unificadoras, cuando lo más humano en la física es precisamente el misterio de lo desconocido. La capacidad de formular rigurosamente preguntas adecuadas que son actuales tras una y otra generación, y sobre las cuales encontramos atisbos de respuestas.

Precisamente eso, el misterio de un universo increible, es lo que más me atrae de ella. Muchos científicos han intentado transmitir esta sensación, como Albert Einstein por ejemplo en EL SENTIMIENTO CÓSMICO RELIGIOSO, o ver la bonita entrada: Einstein y belleza en el blog de José Ignacio Latorre. Pero ha sido Carl Sagan el que ha sabido plasmar esto como ningún otro para la generación que ha tenido la suerte de verle en la televisión y leerle luego. Cuanto más sabemos sobre el universo, más podemos maravillarnos y sorprendernos de su naturaleza. Parafraseando a John Archibald Wheeler en una metáfora que proviene de Huxley:

We live on an island surrounded by a sea of ignorance. As our island of knowledge grows, so does the shore of our ignorance.

Qué bello es estar en la orilla y mirar hacia el horizonte.

Carl Sagan

Mitos y leyendas: la radiación de Hawking

2008-11-12T11:10:00.007+01:00

Vamos a ver en este artículo una explicación detallada de la radiación de Hawking, más allá de las explicaciones populares en la red.

La explicación usual

Nos dice el artículo de wikipedia:

Una de las consecuencias del principio de incertidumbre de Heisenberg son las fluctuaciones cuánticas del vacío. Estas consisten en la creación, durante brevísimos instantes, de pares partícula-antipartícula a partir del vacío. Tales pares se desintegran rápidamente entre sí devolviendo la energía prestada para su formación. Sin embargo, en el límite del horizonte de sucesos de un agujero negro, la probabilidad de que un miembro del par se forme en el interior y el otro en el exterior no es nula, por lo que uno de los componentes del par podría escapar del agujero negro.

Es decir, algo así:

En la explicación heurística el horizonte impide la aniquilación de un par creado en el vacío por el principio de incertidumbre.

Esta es la explicación usual heurística de la radiación de Hawking, que uno encuentra en la mayoría de las páginas de la red. No obstante, esta explicación dista bastante de la realidad teórica y lleva a malentendidos. Veamos un par de conceptos que pretenden aclarar la situación, o al menos proporcionar una idea más cercana a la teoría.

Las partículas virtuales

Las partículas virtuales son un concepto que da lugar a muchas confusiones, especialmente a nivel de divulgación. Aparecen de forma natural en la teoría cuántica de campos cuando se estudian las interacciones. Consideremos por ejemplo la interacción electromagnética. La teoría cuántica de campos nos dice que toda interacción viene descrita por lo que se denomina vértices. Estos son puntos de interacción entre uno o varios campos. Estos vértices vienen determinados por diferentes exigencias que se imponen a la teoría, usualmente debido a condiciones de simetría.

El vértice para el electromagnetismo es uno único y consiste de dos elementos de partícula cargada y uno de fotón. Esto son tres elementos o tres líneas en un diagrama:

El vértice electromagnético.

El fotón es la línea ondulada. Las dos líneas gruesas representan una partícula antes y después de la interacción. Por tanto, si interactúan dos partículas cargadas sin emisión de radiación electromagnética (fotones) la línea del fotón debe mantenerse interna:

Interacción electrostática entre dos partículas cargadas, en la aproximación más simple que describe tal interacción.

Pues bien, todas las líneas internas de este tipo en los diagramas son partículas virtuales. Las líneas con extremos abiertos son partículas reales, que acaban en el detector de la colisión o se propagan libremente por el espacio. Al no haber líneas onduladas con extremos abiertos se trata de una interacción sin emisión de radiación electromagnética. El fotón en el diagrama sólo transporta una interacción y no es detectable, de ahí su nombre "virtual".

No hay otra forma mas que el diagrama de arriba de hacer que dos partículas cargadas, reales y de líneas con extremos abiertos, interaccionen por medio del vértice electromagnético. Bueno, realmente sí la hay, pero a costa de incrementar la complejidad:

Interacción electrostática entre dos partículas cargadas, describiendo tal interacción con mayor precisión.

Aquí se ve bien que las condiciones experimentales son las mismas: dos partículas cargadas - líneas de extremos abiertos - interactúan entre sí. La forma de la interacción es la electromagnética: el mismo vértice siempre con dos líneas gruesas y una ondulada, aunque repitiéndose varias veces. Se ve bien en los diagramas que se puede incrementar la complejidad pero siempre manteniendo dos condiciones: (1) siempre debe haber cuatro extremos abiertos (pasado y futuro respectivamente de las dos partículas cargadas) y (2) en cualquier intersección de líneas debe haber dos líneas gruesas y una ondulada, es decir, el vértice es siempre el electromagnético.

El incremento de complejidad también hace aparecer aquí partículas virtuales diferentes de fotones: hay líneas internas gruesas que corresponden por ejemplo con electrones y positrones virtuales. Con esto también queda clara otra cosa: sin interacciones - sin vértices - no hay partículas virtuales.

Entropía y osciladores armónicos

Las ondas en un estanque son ondas de entropía muy alta. Las moléculas del agua están en movimiento caótico y sus oscilaciones no siguen ninguna pauta determinada a nivel microscópico, salvo que se unen para dar lugar a una onda macroscópica. Por contra, las vibraciones en un sólido cristalino a muy baja temperatura tienen lugar en un entorno de entropía baja. Existe una red cristalina con átomos localizados, los cuales no cambian sus posiciones. Una perturbación en la posición de uno se propaga por la red, pero lo hace manteniendo la estructura.

Las ondas en el agua se produce en un entorno de alta entropía, que desplazan caóticamente a las moléculas en el líquido.

Este tipo de ondas, que tienen lugar en entornos de entropía muy baja, son ondas cuantizadas, es decir, con cuantos energéticos. En el caso de las vibraciones en sólidos a estos cuantos se los denomina fonones. El hecho que en el agua del estanque no se presenten ondas cuantizadas reside precisamente en el diferente nivel de entropía. Los sólidos cristalinos se modelan usualmente asumiendo que en cada punto de la red existe un oscilador armónico. El oscilador armónico es uno de los sistemas más generales de la física y consiste en algo que es desplazado de su posición de equilibrio una mínima cantidad y que es llevado hacia el equilibrio después por una fuerza de restauración, todo ello dando lugar a un característico movimiento sinusoidal a una determinada frecuencia fija. El el caso del sólido la perturbación es algo externo y la fuerza de restauración son las fuerzas moleculares que hacen que los átomos se mantengan en sus posiciones.

Las ondas en un sólido a baja temperatura sólo mantienen la escturctura y se dan en un entorno de baja entropía.

El oscilador armónico es un sistema interesante desde el punto de vista de la mecánica cuántica. En el estado de reposo clásico el oscilador armónico, o un oscilador armónico clásico por ejemplo de un objeto macroscópico enganchado a un muelle, está quieto y en su punto de reposo. Si consideramos un sistema cuántico que sigue las leyes del oscilador armónico (un átomo o una partícula ligada a alguna fuerza por ejemplo), en su estado de reposo no puede tener energía nula. Esto es así por el principio de incertidumbre, que impide al sistema tener una posición y un momento ambos determinados. El oscilador armónico cuántico tendrá por tanto siempre una mínima energía o momento diferente de cero. A este estado se lo denomina estado fundamental. La energía en el estado fundamental de un oscilador armónico es 1/2 h f, siendo h la constante de Planck y f la frecuencia de las posibles de oscilaciones del oscilador (cuando se pone a oscilar).

Niveles de energía del oscilador armónico cuántico para los átomos en una molécula.

La idea de campo y la energía del vacío

Esta introducción sirve para pasar a la teoría cuántica de campos, ya que en la teoría cuántica de campos los campos quedan descritos por una colección de osciladores armónicos. (En la teoría cuántica de campos, el campo es la noción fundamental de la que se derivan las partículas como excitaciones de este.) Es similar a la red cristalina, pero aquí es más extraño: hay una cantidad infinita de osciladores armónicos en cada punto del espacio. En un punto dado hay un oscilador por cada longitud de onda posible a la que el campo puede oscilar. Si hay un oscilador en un punto determinado está oscilando lejos de su estado fundamental, es decir oscilando a una determinada frecuencia, se dice que existe una exictación del campo dando lugar a una o varias partículas de esa longitud de onda (o momento lineal según la relación de de-Broglie). Cuando no existen partículas en todo el espacio los osciladores están inactivos y en su estado fundamental. Se dice igualmente que el campo está en su estado fundamental o vacío.

En la teoría cuántica de campos la energía de vacío del campo viene creada por el estado fundamental de todos los osciladores. Tenemos por tanto una cantidad infinita de contribuciones a la energía del vacío en cada punto (densidad de energía de vacío), una por cada 1/2 h f para todas las f, pese a que los osciladores no están activos. Este estado vacío es igual para todo sistema de referencia inercial. Esto significa que si yo estoy en un sistema inercial y tú también lo estás, y estamos tú y yo midiendo un determinado campo en una región del espacio, coincidiremos ambos en decir que el campo está en su estado fundamental y que, por tanto, no hay partículas y todos esos osciladores están inactivos. Esto es parte de la forma en la que una onda sinusoidal (movimiento del oscilador) transforma frente a transformaciones inerciales: cambia su frecuencia y da lugar a un efecto Doppler. Pero al ser la energía del vacío o el vacío mismo una suma sobre todas las frecuencias posibles, tal efecto es irrelevante ya que todas las frencuencias se desplazan una misma cantidad - y en un rango infinito tal cosa no se nota. Aprovecho para hacer notar que esta idea de osciladores es una representación matemática y algo abstracto, y no es que haya o se asuman muellecitos o algo similar en cada punto del espacio.

Un excurso sobre el término "campo"

El término "campo" se usa en la física de dos formas diferentes, que pueden llevar a confusión. Una acepción, la más fundamental, es la que hemos usado aquí. El universo contiene sólo unos cuantos campos, tantos como tipos de partículas elementales. Para un determinado tipo de partícula elemental (por ejemplo el electrón) todas las partículas de tal tipo (todos los electrones del universo) con sus respectivas antipartículas (todos los positrones del universo) son excitaciones de un único campo. Lo mismo por ejemplo con todos los fotones del universo, creados por el campo electromagnético (o campo del fotón). Esta es la noción fundamental de campo en la teoría cuántica de campos.

Esta es la forma de hablar cuando se habla de campos en la teoría cuántica de campos. Luego, hay otra noción de campo, cuando se dice por ejemplo que un electrón crea un campo electrostático alrededor de él. Hay que tener en cuenta que son dos formas diferentes de hablar. ¿Cómo se reduce esta segunda a la primera, que es la fundamental? Denotemos por *campo* a la noción fundamental dada por la teoría cuántica de campos y por **campo** a la idea procedente de la física clásica, de que una partícula crea un campo a su alrededor. Por un lado, el *campo* electromagnético (el campo del fotón) crea o puede crear fotones como excitaciones de si mismo. Por otro lado el electrón (excitación a su vez del *campo* del electrón) crea un **campo** alrededor de él y que este ejerce una fuerza sobre cualquier carga que esté dentro de él.

Pues bien, cuando un electrón crea una fuerza sobre una carga cualquiera existen excitaciones del *campo* electromagnético que se propagan por el espacio en forma de partículas virtuales. La acción de estas partículas virtuales da lugar al **campo** del electrón. El **campo** y su geometría (simetría esférica, etc.) es consecuencia de las partículas virtuales y excitaciones del *campo*. Estas partículas virtuales son creadas sólo en caso de interacciones; el *campo* del electrón actúa como fuentes y sumideros para el *campo* electromagnético.

Esto también es un campo, pero ni es un *campo* ni un **campo**.

La radiación de Hawking

Volvamos con la noción del vacío de un campo (*campo*). El acuerdo sobre las propiedades del vacío entre sistemas inerciales, se pierde en caso de sistemas acelerados y también en caso de sistemas sometidos a la gravitación. Si yo estoy en un sistema inercial y tú estás siendo acelerado, y estamos tú y yo midiendo un determinado campo en una región del espacio, yo diré que el campo está vacío, pero tú podrás decir que no, que hay partículas en él. Este es uno de los resultados menos intuitivos de la teoría cuántica de campos y muestra que la noción de partícula es algo relativo, mientras que lo fundamental es la idea de campo. La transformación de ondas planas sinusoidales frente a aceleraciones es muy diferente a frente a transformaciones inerciales. Aquí no ocurre que todas las frecuencias se desplacen un valor constante, sino que ciertas frecuencias se aglomeran y dan lugar a una distribución diferente. Para una aceleración uniforme se puede mostrar que lo que se obtiene es una distribución térmica en las ondas planas mencionadas.

Al igual que una aceleración uniforme crea una distribución térmica de oscilaciones (denominada radiación de Unruh), por el principio de equivalencia un campo gravitatorio uniforme crea una distribución térmica de oscilaciones. Este resultado se puede extrapolar para otro tipo de campos gravitatorios, como el creado por un agujero negro. Lo que ocurre es que el observador estacionario el en campo (y por tanto acelerado) ve un vacío diferente al observador en caída hacia el agujero negro (y por tanto inercial). El vacío cerca de un agujero negro puede considerarse en cierta medida como en libre hacia él (por argumentos que me voy a ahorrar aquí) por lo que el observador acelerado (estacionario en el infinito) verá una distribución térmica de partículas saliendo de allí.

En definitiva, el orígen de esta distribución no tiene nada que ver con partículas virtuales, sino con la naturaleza del campo en su estado fundamental. Las partículas virtuales sólo aparecen cuando hay dos o más campos en interacción. La radiación de Hawking, de existir, se daría también si en el universo hubiese un único campo. Si hay más de un campo, como en la realidad por ejemplo electromagético, gluones, quarks, electrón/positrón, etc. la radiación de Hawking significará que de cada tipo de campo aparecerá una radiación térmica hacia el infinito. Naturalmente tal fenómeno es más notable para fotones debido a la fuerza de la interacción electromagnética, pero, en principio, cualquier campo sufre el mismo efecto.

Epílogo

Hemos visto que la densidad de energía del vacío viene dada por las contribuciones de las energías de los estados fundamentales de los osciladores armónicos con los que se modela un campo. Esto considerando un campo o cada campo aislado. Habiendo dos campos en su estado fundamental - sin partículas - puede que estos estén en interacción. Dado que no hay partículas que se propagan por el espacio-tiempo hasta detectores no hay líneas con extremos abiertos, sino sólo burbujas de partículas virtuales:

La figura muestra arriba una burbuja para el caso del electromagnetismo y abajo para otro tipo de interacción.

Hemos visto que si tenemos un sólo campo en el universo hay radiación de Hawking, térmica, de los agujeros negros. Si tenemos varios y los consideramos todos libres, habrá igualmente radiación de Hawking, térmica, de cada campo por separado. Pero, ¿y si tenemos varios campos en interacción? ¿Habrá alguna corrección a la radiación de Hawking, térmica, de cada campo por separado? Desconozco la respuesta, y parece una pregunta digna de ser estudiada.

Más sobre la anomalía de muones

2008-11-11T13:50:00.003+01:00

El blog A Quantum Diaries Survivor ha vuelto a publicar un par de notas sobre el fenómeno de a anomalía de los muones en el Collider Detector at Fermilab. Son artículos interesantes aunque técnicos, pero el autor se para a explicarlos con detenimiento. Igual que antes me limito a enlazarlos sin mayor comentario por el momento, salvo la encarecida recomendación de hacer un esfuerzo por leerlos:

Some notes on the multi-muon analysis - part I

Some notes on the multi-muon analysis - part II

Some notes on the multi-muon analysis - part III

¿La primera señal de física de partículas más allá del modelo estándar?

2008-11-03T13:13:00.003+01:00

El grupo de colaboración del Collider Detector at Fermilab (CDF), del Tevatron, ha publicado un resultado sorprendente, que puede resultar ser un hito en la física de partículas.

Dicho de forma muy simple ocurre que se ha observado cierta producción de muones demasiado lejos de las colisiones, la cual no es explicable por el modelo estándar de partículas por lo que se ha venido a llamar "multi-muon anomaly". Dejado de lado el problema estadístico, parece que la señal es clara y robusta.

Yo ni puedo ni tengo tiempo de estudiarlo para comentar más, así que enlazo un post estupendo en el blog A Quantum Diaries Survivor:

CDF publishes multi-muons!!!!

Este blog está siguiendo el tema muy de cerca, como se puede ver en el siguiente post:

Interpretation of multi-muons!

La explicación aparentemente más a mano es que debe existir una partícula pesada, desconocida, que viaja tras la colisión y se desintegra para crear esos muones. El blog de A Quantum Diaries Survivor promete una continuación sobre este apasionante tema. Estemos atentos.

La masa de la materia y el bosón de Higgs

2008-10-24T10:53:00.007+02:00

Hemos leído estos días ya varias veces que el LHC espera encontrar al bosón de Higgs, una partícula, la cual, según se nos dice, es responsable de dar masa a la materia. Muchas noticias de prensa han escrito esto, no voy a poner enlaces concretos, pero seguro que cualquiera que ha seguido un poco el tema lo ha leído así.

Ocurre que tal afirmación es básicamente incorrecta. El bosón de Higgs lo que hace es proporcionar masa a las partículas elementales. No obstante, esta masa es sólo una mínima parte de la masa total de la materia. La mayor parte de la masa de la materia viene dada por la dinámica de los quarks en en marco de la cromodinámica cuántica.

Consideremos sólo a los quarks como los principales constituyentes de la masa de la materia. La contribución de la masa del electrón es despreciable. Asumamos que los quarks tienen masa en reposo nula. Esto es, en este caso no nos hace falta el bosón de Higgs para dar masa a los quarks (en los términos de Yukawa). Al estar los quarks y gluones confinados en el protón, la masa en reposo del protón no será nula en este caso, pese a suponer nula la masa en reposo de los quarks, sino que será el equivalente energético de la energía cinética de los quarks y los gluones que se intercambian dentro del protón.

Si consideramos luego de forma más realista que los quarks tienen masa en reposo, proporcionada por el bosón de Higgs, la masa resultante del protón será el equivalente energético de la energía cinética de los quarks y los gluones que se intercambian dentro del protón, más la masa en reposo de los quarks.

La diferencia con el caso anterior es que en este segundo caso la masa es algo mayor, pero sólo en un poco por ciento. En definitiva, el bosón de Higgs da masa a las partículas elementales, pero la masa de la materia es en su mayor parte un resultado de la cromodinámica cuántica en el cuál el Higgs no tiene nada que ver.

Peter Higgs en el LHC

Premio Nobel de física 2008

2008-10-07T14:54:00.004+02:00

Mitad del premio Nobel de física de este año va a parar a manos de Makoto Kobayashi y Toshihide Maskawa:

for the discovery of the origin of the broken symmetry which predicts the existence of at least three families of quarks in nature

http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2008/

En el modelo estándar de partículas existen tres generaciones diferentes de partículas. Las partículas de dos generaciones diferentes se diferencian sólo en su masa, mientras que el resto de números cuánticos permanecen iguales. Las generaciones más altas tienen masa mayor.

La diferencia en masa las hace comportarse no obstante de formas muy diferentes, posibilitando sobre todo decaimientos de generaciones altas hacia generaciones más bajas, permitidos por la conservación de masa-energía. Por otro lado, el decaimiento de una generación baja a una alta está prohibido precisamente por la conservación de masa-energía. Son las partículas de la primera generación las que dan lugar a la materia observada debido a su estabilidad.

¿Cuál es la razón de que haya tres generaciones y no dos o cuatro?

Estríctamente la razón fundamental para la existencia de tres generaciones es desconocida, pero hace ya más de treinta años los físicos japoneses Kobayashi y Maskawa descubrieron que en el modelo estándar son necesarias al menos tres generaciones de partículas elementales para permitir la violación de la simetría CP (carga y paridad) observada experimentalmente. Esta simetría, a su vez, se la cree responsable, entre otros mecanismos, de la asimetría entre materia y antimateria en el universo.

Ahora bien, tales condiciones sólo exigen un mínimo de tres generaciones y no impiden la existencia de cuatro o más. Una de las razones por las que se cree que no puede haber más de tres generaciones es la vida media del bosón Z. En su decaimiento este tiene contribuciones de todas las generaciones. Por tanto, si existiesen cuatro o más generaciones, la vida media debería ser menor. Griffiths en "Introduction to Elementary Particles" pone aquí muy acertadamente el ejemplo de las enfermedades graves o letales: a mayor cantidad de tales enfermedades posibles, menor la vida media de las personas.

El ajuste fino: una invitación al universo matemático de Max Tegmark

2008-09-26T10:20:00.003+02:00

En artículo de wikipedia describe el problema del ajuste fino de la siguiente forma, que creo refleja bastante bien una idea generalizada sobre este problema:

The fine-tuned Universe is the idea that the conditions that allow life in the Universe can only occur when certain universal physical constants lie within a very narrow range, so that if any of several fundamental constants were only slightly different the universe would be unlikely to be conducive to the establishment and development of matter, astronomical structures, elemental diversity, or life as it is presently understood.

Es decir, problema del ajuste fino significa que las las constantes fundamentales de un modelo físico para el universo deben ser ajustados de forma precisa para permitir la existencia de vida. Sobre estas constantes fundamentales no hay nada en la teoría que nos indique que deban tomar esos valores que toman. Podemos fijarlas de acuerdo con las observaciones, pero esto supone fijarlas de entre un rango de valores colosal. Esto da la impresión de cierta arbitrariedad y sugiere que el universo podría ser una realización improbable entre tal rango de valores. He ahí el problema.

Las siguientes figuras ilustran la situación. Son del papel Is ``the theory of everything'' merely the ultimate ensemble theory? de Max Tegmark, y nos muestran relaciones entre ciertas constantes fundamentales en nuestro universo - el punto negro - dentro del rango de posibilidades:

Una distinción: constantes fundamentales vs. condiciones iniciales o de contorno

Consideremos el problema de las condiciones iniciales con la constante cosmológica. Si el universo contiene una constante cosmológica de densidad actual similar a la de la materia y si la densidad de esta constante cosmológica es constante en el tiempo, tal y como especifica la relatividad general, entonces el valor de la densidad de la constante cosmológica cerca del big-bang debe estar ajustado con una precisión de varias decenas de ceros tras la coma. El rango de valores es inmenso y el rango de valores apto para dar lugar al universo que observamos es insignificante.

Este problema nos presenta una variante algo especial de ajuste fino. De entre todas las posibilidades de fracción de energía oscura actual, la que da lugar al universo que observamos es una muy determinada y concreta. Pero con encontrar ese valor de entre los muchos posibles no está todo dicho. Aún peor: para que tal valor sea posible nos encontramor que el ajuste en el pasado debe ser extremadamente preciso. Es decir, el valor actual es muy sensible a las condiciones iniciales del universo. Por otro lado, fijar una constante fundamental es una operación algo diferente: no es algo dinámico y variable con la evolución del universo.

La zona rosa representa el valor actual posible, de acuerdo con los datos, para la constante cosmológica en relación con la densidad de la materia

Reformulación del problema del ajuste fino

Estríctamente el problema del ajuste fino requiere una formulación más general que la que nos da wikipedia. En concreto, el problema del ajuste fino significa que las las constantes fundamentales y condiciones iniciales o condiciones de contorno de un modelo físico del universo deben ser ajustados de forma precisa para concordar con las observaciones. Usualmente, "las observaciones", se identifica con la existencia de galaxias, estrellas y complejidad que puede dar lugar a vida. Esto es no obstante una simplificación, la cual vale para plantear el problema pero no para analizarlo con rigor.

Debemos entender el concepto de observaciones de forma más amplia. No sólo identificarlas con la existencia de galaxias, estrellas y complejidad que puede dar lugar a vida, cosa que podría ser en principio un rango de ciertos valores, sino también con toda una serie de características muy concretas de nuestro universo - picos en el fondo de microondas, fracciones de bariones, etc., - en definitiva, ciertos valores muy exactos que habría que definir con rigor. De hecho, si identificásemos las razones de las condiciones y parámetros adecuados para la vida, siempre nos quedaría la pregunta de la razón de las condiciones y parámetros adecuados para concordar con las observaciones.

El problema del ajuste fino para las constantes fundamentales

Toda teoría física ha de presentar al menos una constante fundamental que sea dimensional, de otra forma no sería mas que matemáticas sin relación con cantidades y unidades medibles. El problema de la elección del valor de las constantes fundamentales es por tanto intrínseco a la física como ciencia natural. Si varío un parámetro y llego a la misma física, en concreto, llego siempre a modelos o teorías que da lugar a universos que concuerdan exáctamente con las observaciones, entonces tal parámetro no es físico. El efecto de variarlo no produce diferencias en la física y no puede ser por tanto un parámetro dimensional fundamental. El problema del ajuste fino significa que existen parámetros, cuya variación no está prohibida por la teoría, los cuales, al variarlos dan lugar a físicas diferentes no observadas. Este problema es intrínseco a la física.

La variación de el (o los) parámetro(s) externos mencionado(s) podría dar por tanto lugar a diferentes físicas y diferentes universos. En tal caso, el problema del ajuste fino sólo desaparecería si de hecho se dieran todos los universos físicamente posibles y si tal cosa fuese comprobable experimentalmente. Si sólo se diese nuestro universo o si sólo tuviesemos acceso a él, entonces estaríamos otra vez preguntandonos por qué nosotros y no otros. Esto, aún en caso de que fuesemos capaces de definir probabilidades y constatar que nuestro universo es el más probable de entre varios: no parece razonable librarse de la pregunta de por qué otros universos no fueron realizados pese a la posibilidad que la teoría presenta.

En definitiva, todo parece indicar que si realmente queremos una solución al problema del ajuste fino debemos (i) aceptar la idea de multiversos - en el sentido de diferentes realizaciones de los parámetros (ii) tener acceso experimental a esos multiversos para comprobar la solución al problema. Si una de estas dos condiciones no se cumple el problema del ajuste fino será un problama sin solución.

El problema del ajuste fino para las condiciones iniciales

Concentrémonos ahora en el problema del ajuste fino para las condiciones iniciales y formulémoslo de una forma más general. En concreto, hemos dicho que el problema del ajuste fino significa que las condiciones iniciales o condiciones de contorno de un modelo deben ser ajustados de forma precisa para concordar con las observaciones. ¿Pero qué es exáctamente "las observaciones"? Si queremos describir el universo exáctamente tal y como lo observamos - el estado de cada partícula y cada campo, etc. - necesitamos probablemente una teoría con una cantidad de parámetros y condiciones iniciales conteniendo tanta información como la que contiene el universo actual. La formulación de tal teoría sería imposible. En cierta medida, existirá siempre una cierta indeterminación debido a la generalidad con la que la física describe nuestro universo. El universo exacto que observamos es indescriptible.

Este problema lo describe muy bien Max Tegmark en su artículo The Mathematical Universe:

Loosely speaking, the apparent information content rises when we restrict our ttention to one particular element in an ensemble, thus losing the symmetry and simplicity that was inherent in the totality of all elements taken together. The complexity of the whole ensemble is thus not only smaller than the sum of that of its parts, but it is even smaller than that of a generic one of its parts.

Estamos frente a un problema de falta de determinación de la teoría. Nuestro universo observable en su concreción y falta de generalidad es, de acuerdo con la cosmología actual, resultado de unas fluctuaciones cuánticas - aleatorias - en un periodo inflacionario. En definitiva, la concreción de nuestras condiciones se reduce a la generalidad del mecanismo inflacionario. Esto significa, no obstante, que la teoría permite igual de bien otras condiciones y otros universos. ¿Por qué este y no otros? ¿Acaso por casualidad aleatoria?

El universo matemático de Max Tegmark

Max Tegmark es un cosmólogo del MIT, que ha dedicado gran parte de su labor científica al estudio del fondo cósmico de microondas y los censos de estructuras. Además de su prolífica actividad en ese campo, tiene ideas interesantes sobre ajuste fino, multiversos y teoría cuántica.

En su artículo The Mathematical Universe, Tegmark propone la hipótesis de que una teoría fundamental deberá ser una estructura matemática, y, por tanto, atemporal:

Mathematical Universe Hypothesis (MUH): Our external physical reality is a mathematical structure.

Esta simple hipótesis tiene consecuencias muy profundas y variadas. Una de ellas es que elimina la necesidad de condiciones iniciales. Sea como sea la formulación final de la teoría, será tal que en ella sólo haya relaciones matemáticas entre elementos. De igual forma, tal hipótesis elimina el concepto de aleatoriedad de la física:

The traditional view of randomness [...] is only meaningful in the context of an external time, so that one can start with one state and then have something random “happen”, causing two or more possible outcomes. In contrast, the only intrinsic properties of a mathematical structure are its relations, timeless and unchanging. In a fundamental sense, the MUH thus implies Einstein’s dictum “God does not play dice”.

¿Cómo soluciona Max Tegmark otros de los problemas mencionados argumentando en base a su hipótesis del universo matemático? ¿Cuáles son otras consecuencias de tal hipótesis? ¿Cómo encaja tal hipótesis con la física actual? Con estas preguntas voy a finalizar este comentario. Quizás volvamos sobre ello en otra entrada. La intención hoy era sólo aclarar un par de conceptos e invitar a una lectura calmada de las interesantes y peculiares ideas de Max Tegmark al respecto:

Modulación anual en la señal del DAMA

2008-09-22T16:11:00.010+02:00

Un estudio relativamente reciente - R. Bernabei et al., 0804.2741 (astro-ph) - resultado del experimento DAMA, proporciona pruebas de una modulación anual en las tasas de retroceso nuclear por colisiones. Esta modulación de la señal aparece de forma natural el flujos de partículas interestelares que llegan a la tierra y por ello se ha planteado como prueba de la existencia de un fondo galáctico de materia oscura no bariónica, la cual colisiona con los núcleos haciéndolos moverse un poquito. La señal, no obstante, no ha podido ser reproducida por ningún otro de los experimentos actuales según wikipedia.

Cómo surge esta modulación anual es algo que vamos a intentar entender en esta entrada, de forma muy breve e intuitiva. Primero, debemos volver a parte de los resultados de la entrada El movimiento del sistema solar, en la cual veíamos que el sistema solar se mueve en la galaxia hacia la constelación del Cisne localizada en AR = 20:62h, Dec =+42:00. Pues bien, si en la galaxia existe un fondo isótropo de partículas dentro del cual el sistema solar se mueve, el flujo sobre el sistema solar, en el plano de la eclíptica, estará por tanto proveniendo de AR ~ 20h más o menos.

La constelación del zodiaco correspondiente con AR ~ 20h es Sagitario. Cuando la tierra se encuentra en el signo zodiacal de Sagitario - en diciembre - el sol está tapando tal constelación. Es decir, la tierra se encuentra localizada en el mes de diciembre cuando el flujo de partículas de materia oscura proviene de detrás del sol. Que la componente del flujo en el plano de la eclíptica provenga de detrás del sol resulta curiosamente en un máximo en la detección, por el efecto focalizador que el sol ejerce:

Esta imagen es una toma instantánea de una animación de esta página. Vemos que precisamente cuando el flujo viene desde detrás del sol, éste ejerce un efecto focalizador del flujo sobre la tierra. Es por tanto por ello por lo que el máximo se producirá más o menos en diciembre, durante el signo zodiacal de Sagitario. Este tipo de efecto de modulación se da también para partículas del medio interestelar y es perféctamente conocido. El papel del experimento DAMA afirma haber encontrado un efecto idéntico en su señal en la búsqueda de WIMPs (con máximo en día dos de diciembre). Aparentemente otros experimentos no han podido verificar que tal modulación sea debida realmente a WIMPs y no otra causa no identificada, por lo que la relevancia de tal conclusión está en entredicho.

Libros online

2008-09-18T14:51:00.003+02:00

Cientos de libros científicos online en:
http://www.theassayer.org/cgi-bin/asbrowsesubject.cgi

Físicos húngaros...

2008-09-15T16:00:00.005+02:00

Los húngaros son conocidos por poner su apellido delante de su nombre. Una costumbre que seguramente ha provocado más de una situación divertida, tal y como nos sugiere Istvan Örkény en su "historia de un minuto":

Sobre Örkény nos dice wikipedia:

Örkény es el perfecto representante del drama absurdo húngaro. Un humor grotesto penetra sus obras, no hay en ellas inequívocamente buena o mala gente, las tragedias a veces se vuelven comedias y los protagonistas de sus escritos, reaccionan a los acontecimientos ora así ora asá.

Su figura me es prácticamente desconocida, salvo por este divertido, interesante, brevísimo y a la vez profundo librito de "historias de un minuto", que ha caído en mis manos.

En este blog el relato tiene cabida, hoy en una entrada algo diferente, porque trata sobre un ficticio físico húngaro y nos sirve como puente para enlazar la página de wikipedia con biografías de físicos húngaros:

http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Hungarian_physicists.
http://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Physicists_from_Hungary

En ella encontramos nombres conocidos como Eötvös, von Neumann, Wigner, Lanczos o Szilárd y quizás otros menos conocidos pero igual de interesantes como Gabor o Krausz.

Invito a pasearse brevemente por esas entradas de wikipedia.

La regla de Born y el principio de exclusión

2008-09-09T13:47:00.003+02:00

La función de onda de una partícula nos da una medida de probabilidad para encontrarla en un determinado lugar. A esta interpretación de la función de onda se la conoce como regla de Born. Esta función de onda se propaga ondulatoriamente. Esto vale para un electrón no-relativista, por ejemplo. Su función de onda cumple la ecuación de Schrödinger, cuyas soluciones se pueden expresar como superposición de ondas planas. Lo mismo vale para el fotón, al menos en principio, aunque con ciertos matices. La función de onda del fotón nos dará una medida de la probabilidad de encontrarlo en un lugar del espacio. Y lo mismo vale en principio para cualquier otra partícula, siempre que tenga cierta libertad de propagarse por el espacio.

Hasta aquí la descripción microscópica. Ahora bien, podemos preguntarnos si en el régimen macroscópico vamos a ser capaces de observar estas ondulaciones. Con ello podríamos hablar de la propagación ondulatoria de un campo, un campo clásico como el electromagnético o quizás como el campo gravitatorio. Evidentemente podemos obsevar ese tipo de fenómeno, como nos muestra la luz descrita por las ecuaciones de Maxwell. Aquí, la onda, o su amplitud, nos da una medida de la cantidad o la densidad de fotones que podemos encontrar. Esta noción se reduce muy bien a la idea de probabilidad de encontrar un sólo fotón para el caso de una única partícula que hemos visto antes. Vemos, por tanto, que el hecho del comportamiento ondulatorio de la luz viene bien explicado por el comportamiento microscópico, basado en la regla de Born, de las partículas que la componen.

La pregunta clave es por qué podemos observar la luz propagándose macroscópicamente como onda, pero no podemos observar por ejemplo los electrones macroscópicamente propagándose como ondas. Entendemos aquí "propagarse como ondas" una forma de hablar para decir que existe una formulación clásica y macroscópica de los efectos macroscópicos ondulatorios. Nótese que es cierto que se pueden observar de forma macroscópica los fenómenos ondulatorios de electrones, en el sentido que podemos encontrar una forma de definir experimentos que nos revelen que los electrones tienen su onda asociada y que la regla de Born es aplicable. No obstante, a un conjunto de electrones no podemos darles una descripción macroscópica y clásica como lo hacemos para fotones con las ecuaciones de Maxwell. Un conjunto de fotones viene descrito por las ecuaciones de Maxwell, o en concreto por la ecuación de onda que se sigue de ellas. Esta ecuación es válida de forma clásica y macroscópica, y de hecho la usamos para describir tales fenómenos. Una onda plana como solución más sencila a tal ecuación puede ser usada para describir un conjunto de fotones. De hecho, un conjunto de fotones todos con la misma onda plana y coherentes es una solución que existe en la realidad: el láser. La ecuación de movimiento para el electrón no-relativista también tiene soluciones expresables como superposición de ondas planas. Pero tales soluciones básicas no puede ser usadas para describir conjuntos de electrones, sino como mucho un sólo electrón.

Con ello estamos ya a la clave del asunto, que nos lo proporcina el principio de exclusión de Pauli. El principio de Pauli afirma que dos fermiones no pueden encontrarse en el mismo estado cuántico, esto es, la misma posición y los mismos números cuánticos. Los bosones, por contra, sí pueden. La propagación de un conjunto de fermiones no puede ser tal que la densidad del número de ellos que podemos medir en una región determinada (la de nuestro detector) crezca ilimitadamente. Para bosones esto no obstante no ocurre y la densidad del número de ellos que podemos medir en una región puede crecer ilimitadamente. Esto, junto con la regla de Born, hace que a un conjunto de fotones, digamos con la misma longitud de onda, se les pueda asociar una amplitud común a ellos, la de un campo electromagnético, o luz monocromática en este caso, dando una medida de la densidad del número de fotones.

El radio del universo observable: un cálculo sencillo

2008-09-02T17:09:00.003+02:00

El universo observable es la distancia de nosotros a la que se encuentra hoy un supuesto fotón que fue emitido desde nuestra posición en t = 0. Esta distancia actual no es igual a , 13.700 millones de años-luz, o la edad del universo en años por la distancia que recorre la luz en un año. No lo es porque durante esa distancia el espacio entre ese supuesto fotón y nosotros ha expandido. El fotón se encontraría por tanto hoy más lejos. ¿Cómo calcular tal distancia?

Primero, debemos entender el significado del elemento de línea. Para proceder primero hay que saber qué es un elemento de línea. Un elemento de línea nos dice cómo medir distancias. Por ejemplo, en un espacio bidimensional, cartografiado por las coordenadas , sabemos que una distancia cualquiera r se miden de acuerdo con el teorema de Pitágoras:

Para una distancia infinitesimal esto se escribe así:

Consideremos ahora la relatividad especial en una dimensión espacial y una temporal . El elemento de línea para la distancia espacio-temporal es:

Para entender esto debemos tener claro que estamos frente a una generalización del elemento de línea espacial, como el ejemplo de arriba, a un caso espacio-temporal. Los puntos del espacio bidimensional se generalizan ahora a eventos en el espacio-tiempo . Al contrario que el elemento de línea espacial, el cual sólo puede ser positivo (las distancias espaciales son siempre números positivos), el elemento de línea espacio-temporal puede ser un valor negativo, positivo o nulo:

En el caso positivo estamos frente a una distancia espacial, al igual que con el elemento de línea espacial, cuyos dos extremos no son conectables por medio de un rayo de luz. Ejemplo: la distancia espacio-temporal entre un evento que ocurre en la tierra ahora y otro evento que ocurre en el sol también exáctamente ahora.

En el caso negativo estamos frente a una distancia temporal, cuyos dos extremos son conectables por medio de algo que viaja más despacio que la luz. Ejemplo: la distancia espacio-temporal entre dos tic de mi reloj.

En el caso nulo estamos frente a una distancia nula, cuyos dos extremos son conectables exáctamente por medio la luz. Ejemplo: la distancia espacio-temporal entre un evento que ocurre en la tierra ahora y otro evento que ocurre en el sol dentro de ocho minutos.

Por tanto, la luz se mueve tal que el intervalo espacio-temporal entre dos eventos que conecta es nulo :

Antes de seguir, debemos ahora entender la diferencia entre dos definiciones distintas de distancia espacial. Las dos que nos interesan son la distancia recorrida por la luz y la distancia propia. La distancia recorrida por la luz es la distancia que recorre la luz. Fácil esta y tampoco tiene mucha vuelta para darle: la luz siempre recorre 1 año-luz en 1 año. Por otro lado, la distancia propia es la distancia en un espacio de simultaneidad. Aquí debemos definir con cuidado y atención. Un espacio de simultaneidad es por ejemplo la sección del espacio-tiempo correspondiente con años; es decir, el espacio actual del universo. La distancia medida sobre tal espacio correspondería con poner un metro entre dos puntos suyos, marcar y leer instantaneamente.

Ambas definiciones de distancia coinciden en un espacio plano y estático de la relatividad especial: la luz recorre 1 año luz en 1 año, y tras ese tiempo, el punto que alcanza tras 1 año de viaje se encuentra a 1 año-luz de nosotros. En un espacio dinámico en expansión esto no es así. Si la luz recorre 1 año luz en 1 año, el punto que alcanza tras 1 año de viaje se encuentra a más de 1 año-luz, ya que durante ese año el espacio entre el punto de emisión y el frente de luz en cuestión ha expandido. Vayamos sin más al caso cosmológico. Consideremos el elemento de línea espacio-temporal en un universo en expansión:

La diferencia con el caso anterior de la relatividad especial está clara: aquí hay un factor delante de . Se trata del factor de escala que nos dice cómo de expandido está el universo en una determinada época (el factor de escala depende del tiempo) y vale a = 0 para el big-bang y a = 1 hoy.

Recordemos que un espacio de simutaneidad es un subespacio del espacio-tiempo (una sección espacial) en el cual no transcurre el tiempo. Se trata de un espacio para un valor único y determinado del tiempo . Por tanto, matemáticamente, en un espacio de simultaneidad se cumple . En el elemento de línea anterior, se tiene para un espacio de simultaneidad:

La distancia sobre un espacio de simutaneidad la hemos denominado distancia propia y la denotaremos con :

Para poder calcular esta distancia debemos conocer . El valor de , el factor de escala, es , ya que lo que nos interesa es la distancia hoy. En definitiva:

El en cuestión (la distancia asumiendo x = 0 como nuestra posición u orígen) es el que conecta un rayo de luz emitido desde (desde nuestra posición) y recibido en años. Esto es así por la definición de universo observable. Por tanto, para calcular consideramos ahora otra vez el elemento de línea, pero ahora para una distancia nula - recorrida por la luz:

y sabemos que debemos integrar entre y años, por lo que sólo nos falta conocer . Para un modelo general puede tener una forma complicada, pero podemos simplificar considerando que el universo ha estado siempre dominado por la densidad de la materia y ha sido siempre plano. Se puede mostrar que de tal condición las ecuaciones de Friedmann nos dicen que:

Probemos esto brevemente. La primera ecuación de Friedmann para un universo plano y sin constante cosmológica es:

Si el universo ha estado siempre dominado por la materia se tiene que , ya que la densidad de la materia no relativista decrece de forma proporcional al aumento de volumen. En definitiva:

Esto se resuelve precisamente en:

Con el factor de escala hay cierta libertad de tomar su escala de valores, pero ya nos hemos impuesto que en el big-bang y hoy, por lo que realmente:

con en años. Volviendo a la definición de distancia y haciéndo la integral para :

entre y se tiene que:

años-luz. Como se puede comprobar en mi calculadora cosmológica este valor corresponde bastante bien con el valor que resulta sin hacer la aproximación de dominio de la materia durante toda la historia del universo.

Abell 520

2008-08-28T10:33:00.008+02:00

El reciente estudio de colisiones de cúmulos galácticos está siendo una mina de oro para inferir sobre la validez de los modelos de materia oscura. Un ejemplo reciente es el "bullet cluster" o cúmulo bala, que comentábamos en este blog en la entrada "Prueba directa" de la existencia de materia oscura. Recordémoslo en líneas generales.

En el modelo de materia oscura no-bariónica, un cúmulo galáctico está formado básicamente por tres componentes diferentes: el plasma intracumular, la materia bariónica y luminosa en las galaxias y la materia oscura circundante. Durante una colisión las dos nubes de materia oscura, que no interactúan electromagnéticamente, pasan la una a través de la otra. Lo mismo ocurre con la materia bariónica y luminosa en las galaxias. Esta interactúa electromagnéticamente, pero la separación entre galaxias es grande y las colisiones no son frecuentes. Son sólo las nubes de plasma las que colisionan sin pasar a lo largo, calentándose y conformando una nube caliente en el lugar de la colisión. En el cúmulo bala se observa precisamente eso. Los dos lúbulos de materia oscura son identificados por medio de lentes gravitacionales de fuentes de luz que se encuentran tras el cúmulo en la línea de visión. La nube de plasma en el centro es identificada por su emisión de rayos-X. Y los dos lúbulos de galaxias por observaciones visuales. Galaxias y materia oscura están en los mismos lugares, dos lóbulos, los cuales a su vez quedan desplazados respecto de la nube de plasma.

Otro caso de cúmulos en colisión es Abell 520. Aquí no obstante no parece observarse lo descrito anteriormente. Se trata de una colisión en la que las observaciones de lentes gravitacionales indican que en la zona del núcleo con la nube de plasma existe también un único núcleo de materia oscura. Además, tal zona está vacía de galaxias. Estas se encuentran alejadas del núcleo en una zona de baja luminosidad. A primera vista, con las observaciones existentes, este choque de cúmulos no puede ser explicado por el modelo de materia oscura no-bariónica. Quizás observaciones más detalladas revelen una historia más compleja de choque. En cualquier caso, Abell 520 es sin duda un objeto que requerirá nuestra atención en el futuro.

El artículo que describe las observaciones es: A Dark Core in Abell 520, A. Mahdavi (UVic), H. Hoekstra (UVic), A. Babul (UVic), D. Balam (UVic), P. Capak (Caltech).

Una noticia de prensa en new scientist: Cosmic 'train wreck' defies dark matter theories.

En la imagen preparada: la materia oscura en azul y en rojo el plasma intracumular:

Comparación con la imagen preparada del cúmulo bala:

"It's full of stars"

2008-07-21T15:49:00.002+02:00

Felices vacaciones de verano.

La edad del universo ¿una coincidencia cósmica? (Segunda parte)

2008-07-20T21:40:00.004+02:00

En la entrada La edad del universo ¿una coincidencia cósmica? vimos una interesante coincidencia en la edad del universo. Se trata de que la edad del universo actual en el modelo cosmológico estándar es igual al inverso del parámetro de Hubble con un error de menos de 1%, siendo que realmente la expresión general para la edad en un modelo cosmológico cualquiera es mucho más compleja. ¿Es esta coincidencia de menos de 1% algo que requiere ser explicado, o se trata de una casualidad sin importancia? La cosmología actual no nos da una respuesta a esta pregunta.

En la literatura científica hay alguna que otra idea sugerente al respecto. Entre ellas hoy nos va a ocupar un artículo con el pomposo título Age of the Universe, Average Deceleration Parameter and Possible Implications for the End of Cosmology, que, dicho sea de paso, no me consta que haya sido publicado (¿aún?). En cualquier caso, el artículo nos valdrá para profundizar algo más en el tema tratado en aquella primera entrada.

La reflexión inicial en tal artículo es la siguiente. Partamos del parámetro de deceleración . Este es un valor adimensional que mide cuánto decelera la expansión del universo. Un valor menor que cero significa que la expansión acelera y uno mayor que cero significa que la expansión decelera. Si uno calcula el promedio del valor del parámetro de deceleración desde la singularidad inicial hasta un valor del tiempo :

obtiene, insertando definiciones estándar, una expresión de la cual puede despejar el valor como

De esto se ve que para que el promedio del parámetro de deceleración debe ser cero. ¿Qué interpretación física se le puede dar a esto? La idea es que el universo evoluciona de tal forma que tal promedio, nulo, se mantiene más o menos. Existe una solución cosmológica en torno a la cual la evolución real del universo oscila. Esta es la solución para la cual se cumple de forma exacta y no sólo en promedio. No es difícil mostrar que a partir de las dos ecuaciones de Friedmann se obtiene

con el parámetro de estado que relaciona presión con densidad para un componente del universo . Para que el parámetro de deceleración sea cero se debe cumplir . Este parámetro de estado aparece de forma más o menos natural en ciertas soluciones denominadas k-essence, pero en cualquier caso el mecanismo que debería ser responsable de las oscilaciones en el parámetro de deceleración en torno a esa solución es desconocido y desconocida es también la forma y cinemática de tales oscilaciones. En defintiva, el artículo sugiere una idea, pero no la justifica de ninguna forma.

El parámetro de deceleración nulo se da para siempre y cuando el universo contenga materia. Adicionalmente un parámetro de deceleración nulo también se da en un modelo de universo completamente vacío (el universo de Milne) que expande de forma lineal. Este modelo también ha sido usado para intentar explicar la coincidencia o al menos para intentar profundizar sobre su significado. Eso para otra entrada.

Filtración de la gravedad y energía oscura

2008-07-18T14:25:00.013+02:00

Mucho se ha hablado sobre Gia Dvali y su modelo de branas con filtración de la gravedad. Ejemplos de noticias las tenemos por ejemplo en Leaking Gravity May Explain Cosmic Puzzle o en Evidencia muy cercana de energía oscura. Pese a ser un tema ciertamente complejo creo que la física puede entenderse de forma intuitiva sin necesidad de quedarse en la imagen muy incompleta que tales artículos proporcinan.

Los modelos de Dvali se encuentran detalladamente expuestos en Cosmology on a Brane in Minkowski Bulky y 4D Gravity on a Brane in 5D Minkowski Space, que son los artículos que yo he tomado como referencia.

Para entender los modelos empezemos recordando que la acción de la gravitación sobre la materia y vice-versa es proporcional a la constante de gravitación . Las ecuaciones de Einstein - de la relatividad general - las cuales nos describen tal comportamiento, contienen una parte que nos describe la gravitación como tal - o la geometría del espacio-tiempo - y otra que nos describen la materia. Parafraseando a Wheeler: la materia le dice al espacio-tiempo cómo curvarse y el espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse. Ambos procesos están en relación a través de la constante de gravitación. En el marco de la relatividad general esto es válido para todo espacio-tiempo de cuatro dimensiones, en concreto tres espaciales y una temporal (3+1).

Si uno extrapola la validez de las ecuaciones de la relatividad general a un espacio-tiempo de cuatro dimensiones espaciales y una temporal (4+1) las cosas no cambian básicamente. Aquí la geometría del espacio-tiempo de cinco dimensiones queda determinada por la distribución de materia y ambas vienen acopladas a través de una constante de gravitación. Tal constante la denotaremos para diferenciarla, en principio, de , aquella válida para la relación entre geometría y materia en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones.

Las cosas se ponen interesantes cuando uno considera que dentro del espacio-tiempo de cinco dimensiones la materia no está libremente distribuida, sino que está confinada en una 3-brana. Esto es un subespacio de tres dimensiones dentro del espacio de cuatro dimensiones. A su vez, la 3-brana y el tiempo conforman un espacio-tiempo de cuatro dimensiones dentro del espacio-tiempo de cinco dimensiones.

En una situación así es de esperar que la materia en la 3-brana de lugar de forma natural a un efecto sobre la gravitación en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Una forma de entender esto es en analogía con parte de lo mencionado en la entrada Speed of Light in Non-Trivial Vacua.

Recordemos que en aquella entrada considerabamos por un lado la propagación (o el propagador) de un fotón libre en una supuesta teoría que no contempla la interacción del campo electromagnético con el campo que da lugar a fermiones elementales de carga eléctrica no nula (por ejemplo, electrones y positrones). Esta propagación queda representada por la línea 1 de la figura de abajo:

Luego considerabamos el fotón en una teoría que contempla la interacción del campo electromagnético con el campo que da lugar a fermiones elementales de carga eléctrica no nula. Este es el caso más realista. En el caso de interacciones el propagador es corregido por efectos cuánticos. Estas interacciones se modelan como partículas virtuales, que son líneas internas en los diagramas (líneas que no tienen un extremo libre).

Precisamente estos efectos cuánticos pueden considerarse como una expansión en serie de diferentes formas. Una de ellas es en función del número de lazos (loops). El diagrama 2 de la figura de arriba nos muestra la corrección de un lazo al propagador del fotón y considera las correcciones de dos lazos como despreciables. El significado físico de ese diagrama es que el fotón, mientras se propaga, se convierte en un par electrón-positrón, los cuales se aniquilan luego en un fotón, que sigue propagándose. A este fenómeno se lo conoce con el nombre de polarización del vacío. El fotón propagándose por el vacío en el espacio-tiempo con todas sus correcciones debido a interacción con las partículas de carga eléctrica, se propaga por definición, en ese vacío de referencia, a la velocidad c.

En tal vacío, real y con interacciones, existe una corrección a su propagador que en primer órden equivale al diagrama 2. En aquella entrada mencionabamos que tal corrección abre una puerta a que la propagación sea a diferente velocidad en diferentes vacíos. Sobre el par electrón-positrón pueden actuar diferentes modificaciones del vacío, como por ejemplo un campo magnético externo. Una influencia de este tipo actúa diréctamente sobre la propagación del fotón. También otras como un campo gravitatorio o una cavidad dando lugar a un vacío de Casimir.

Lo que nos interesa es entender en general esta idea de la propagación y las partículas virtuales y su potencial influencia en la propagación del fotón. Pues bien, aquí la situación, con la gravitación en cinco dimensiones y la 3-brana es curisamente algo similar. No se trata aquí de posibles variaciones en la velocidad de propagación del fotón, sino de un efecto restrictivo, geométrico, en la propagación del gravitón que supuestamente porta la interacción gravitatoria. En cierta corrección al propagador, el gravitón que se propaga por el espacio-tiempo de cinco dimensiones, puede ser convertido en un par fermión-antifermión. Estos fermiones están confinados en la 3-brana, con lo que el gravitón está obligado en cierta corrección a actuar sobre la 3-brana o el espacio-tiempo de cuatro dimensiones.

Esto da lugar a la existencia de un término adicional en la acción de la gravitación sobre la materia. Recordemos que en cinco dimensiones espacio-temporales la acción de la gravitación (espacio-tiempo) sobre la materia y vice-versa es proporcional a la constante de gravitación . Ahora tenemos, adicionalmente, un término de acción de la gravitación sobre la materia y vice-versa ha de ser proporcional a la constante de gravitación en cuatro dimensiones , ya que se trata de materia en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones actuando sobre la geometría en cuatro dimensiones, u obligando a la geometría de cinco dimensiones a tenerla en cuenta sólo en un subespacio de cuatro.

Ahora pensemos en un modelo cosmológico para el espacio-tiempo de cuatro dimensiones dentro de ese espacio-tiempo de cinco. Tal modelo impondrá el principio cosmológico de homogeneidad e isotropía en la 3-brana. Varias posibilidades se presentan:

Si las fluctuaciones cuánticas de la brana no existen, entonces el efecto mencionado sobre el gravitón no aparece y tampoco aparece el término de la acción mencionado. Con ello resulta una cosmología similar a la del espacio-tiempo de cuatro dimensiones para la 3-brana en el tiempo pero controlada por la constante de gravitación en cinco dimensiones.

Si las fluctuaciones cuánticas de la brana existen y entonces se recobra la cosmología usual en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones. La condición es realmente algo diferente e involucra también al radio de Hubble, pero intuitivamente nos podemos quedar con esta. Tal condición viene a significar que la gravitación en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones no es influida por los efectos gravitatorios de un espacio-tiempo de dimensión superior. Para el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, el espacio-tiempo de cinco es como si no existiera.

Por último, y este es el caso interesante, Si las fluctuaciones cuánticas de la brana existen y no se cumple entonces se la cosmología en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones aquiere una corrección. Tal corrección es debida a la existencia de gravitación que se propaga también en dimensiones superiores. Desde el punto de vista del espacio-tiempo de cuatro dimensiones se trata de una filtración de la gravedad hacia dimensiones superiores. Desde el punto de vista del espacio-tiempo de cinco dimensiones se trata de una restricción de la gravedad al espacio-tiempo de cuatro, forzada por los efectos cuánticos de la materia o de la gravitación que puede convertirse virtualmente en materia (los pares fermión-antifermión mencionados en una corrección de primer orden).

Pues bien, lo que Dvali muestra es que para la última situación, en determinados casos, esa corrección actúa acelerando la expansión del espacio. Además, y esto no en determinados casos sino siempre, existe una ligera desviación en la gravitación newtoniana y su ley del inverso del cuadrado de la distancia. El escape de los gravitones da lugar a un debilitamiento de la gravitación. Esto se puede entender pensando en la ley de Gauss que nos proporciona una forma de calcular la fuerza gravitatoria en una superficie que incluye fuentes (masas) en el volumen que contiene. Si las dimensiones adicionales actúan como sumideros, la fuerza en la superficie puede disminuir. Nótese que este disminuir no significa necesariamente que tal fuerza deba hacerse repulsiva a grandes escalas imitando una energía oscura que acelera la expansión del espacio. Este fenómeno no es nada trivial y es una consecuencia del modelo que se da sólo bajo determinadas situaciones.

Esto hasta aquí que ya me he extendido mucho. Quizás para otra vez algún que otro detalle más sobre estos modelos cosmológicos.

A la caza de las enanas marrones - WISE

2008-07-16T11:14:00.019+02:00

La naturaleza, evolución y población de enanas marrones es una de las grandes preguntas abiertas en la teoría y observaciones estelares. La misión WISE (Wide-field Infrared Survey Explorer) de la NASA será un telescopio infrarrojo en órbita que deberá revelar definitivamente la naturaleza y el alcance de la población de enanas marrones.

Nuevas clases espectrales

La presión en el interior de estrellas con masas de menos de unas 0.08 masas solares (unas 80 veces la masa de júpiter) no es suficientemente alta para dar lugar a la fusión de hidrógeno en helio. Sin esta fuente de energía estas estrellas se enfrían hasta hacerse básicamente invisibles en el rango óptico del espectro electromagnético. No obstante, pueden ser detectadas en la región infrarroja del espectro.

Varios nuevos tipos espectrales, L y T, y adicionalmente también el Y, fueron definidos hace relativamente poco tiempo por el ahora investigador de WISE Davy Kirkpatrick para poder clasificar las enanas marrones dentro de la clasificación estelar OBAFGKM.

La letra L fue elegida por ser alfabéticamente cercana a M. La clase M contiene las estrellas frías como enanas rojas pero también supergigantes. Algunos de los objetos de la clase L tienen masa lo suficientemente grande como para iniciar la fusión de hidrógeno en helio, pero en general este no es el caso y se dice que su masa es subestelar. Con ello se diferencia entre estellas como tales, capaces de generar fusión, y enanas marrones en este caso de tipo L. Las enanas del tipo L son de color rojo muy oscuro, pero brillantes en el infrarrojo. Por otro lado, la clase T son enanas aún más frías con temperaturas de la superficie de entre 1500 y 700K. Por último, la postulada clase Y, aún más frías que las T y denominadas enanas marrones ultra-frías, con temperaturas superficiales menores que 700 K.

En general, tanto las enanas marrones como los planetas gigantes tipo júpiter emiten una gran parte de su radiación en el infrarrojo cercano a los 5 micrones. Dado que su combustible es sólo su agitación térmica estos objetos tienen una vida muy larga.

Evolución y población de enanas marrones

Las enanas marrones podrían ser las más comunes e incluso superar en número al resto de estrellas de todas las otras clases juntas. Estas estimaciones se basan especialmente en el estudio de discos protoplanetarios, que indican que el número de estrellas en la galaxia debería ser varios órdenes de magnitud superior a lo que observamos hoy. El resto inobservado de estrellas deberían ser precisamente enanas marrones.

La teoría sugiere que los discos protoplanetarios, formados inicialmente por colapso de nubes (teoría de Jeans), se encuentran en una carrera evolutiva los unos contra los otros: el primero de ellos en formarse se convertirá en una protoestrella, que será muy probablemente un objeto muy violento emitiendo fuertes vientos estelares con altas presiones, y, con ello, barriendo el gas de los los discos protoplanetarios vecinos y destrozándolos. Tras ello, estos discos protoplanetarios destrozados, y faltos de masa, probablemente se convertirán en enanas marrones de clases L, T o Y. Dado que viven tanto tiempo, estos objetos se acumularán a lo largo del tiempo y pasarán a englosar el grueso de objetos en la galaxia.

De hecho, hay estudios que demuestran que quizás existan unas 200 enanas marrones con una masa 10 veces la masa de júpiter a menor distancia que unos 8 parsec (26 años luz) del sol. En general, la población de objetos de este tipo en el vecindario galáctico debería ser igual de grande que la estelar.

La siguiente figura representa una muestra de estrellas dentro de un radio de 26 años luz del sol visibles desde el hemisferio norte. Las estrellas están a la izquierda y una estimación del número de enanas marrones en la derecha. A pesar de que existen al menos el mismo número de enanas marrones que estrellas, las estrellas son los responsables de la mayor parte de la masa.

Estadísticamente hablando hay una probabilidad considerable de que exista una enana marrón más cercana al sol que Proxima Centauri.

La misión WISE

A pesar del éxito de censos como el 2MASS y el SDSS no se han podido encontrar las enanas marrones más frías que unos 750 K. Los objetos más fríos emiten en una región que queda inexplorada por los censos y es precisamente en esta región donde trabajará WISE. Con WISE será posible observar enanas marrones de 450 K a unos 75 años luz de distancia, enanas marrones de 300 K a unos 20 años luz y enanas marrones de 150 K a unos 10 años luz.

WISE será sensible básicamente a la radiación en 5 micrones. La figura de abajo muestra una gráfica de la emisión electromagnética de un planeta tipo júpiter (FFP) a una distancia de un año luz de nosotros y la de una enana marrón (BD) de 200 K a la distancia de Próxima Centauri. Frente a estas curvas se muestra la sensitividad de WISE.

WISE será un satélite que estará en órbita alrededor de la tierra. Su telescopio de 40 cm y los detectores se mantendrán muy fríos (15 K) para ser sensitivos a la radiación infrarroja. Su lanzamiento está previsto para finales del 2009. Todavía un largo tiempo, pero este es sin duda un proyecto que merece nuestra atención. El investigador principal de WISE es Ned Wright.

Referencias e información adicional

The Next Generation Sky Survey and the Quest for Cooler Brown Dwarfs, J. Davy Kirkpatrick (IPAC/Caltech), astro-ph/0207655.

L Dwarfs and the Substellar Mass Function, I.N. Reid, et al, astro-ph/9905170.

WISE mission y WISE science: brown dwarfs.

Ned Wright: Wide-field Infrared Survey Explorer.

WISE fact sheet.

Stellar classification, wikipedia.

Galaxias activas

2008-07-14T11:27:00.007+02:00

Entre otras cosas este blog ha resultado serme útil para recopilar en él mis aportaciones o resúmenes de discusiones interesantes en foros. Aquí viene una reciente aportación en el foro de la web de física sobre galaxias activas. Se trata de una muy corta introducción a las característicias principales desde un punto de vista más bien teórico, algo diferente a los artículos de wikipedia y basado en la segunda parte (la teoría) del capítulo correspondiente en [1].

Las galaxias activas son galaxias con un núcleo de actividad o luminosidad sobresaliente en alguna parte del espectro. El nombre común a esta variedad de fenómenos observados refleja también una naturaleza común que la proporciona la existencia de un disco de acreción.

El disco de acreción

El disco de acreción en estos casos circunda a un agujero negro supermasivo central. Generalmente la materia del disco de acreción cae hacia el agujero negro y la energía gravitacional es transformada en calor, haciendo que el disco emita radión térmica, usualmente en el ultravioleta extremo (que para galaxias activas se suele conocer como "big blue bump").

En general, la cantidad de materia por unidad de tiempo que puede caer en un agujero negro depende de la presión de la radiación que esta misma materia genera. Si la presión de radiación es muy grande aparece un límite, denominado límite de Eddington, en el cual existe un equilibrio hidroestático entre la presión de radiación y la gravitación de la materia. El cociente entre la luminosidad del disco de acreción y la luminosidad de Eddington, en definitiva la tasa de acreción, es uno de los factores más determinantes de la estructura y forma del disco de acreción.

Precisamente la forma del disco de acreción y su orientación relativa respecto a nosotros determina el tipo de fenómeno que observamos. Por ejemplo, un objeto Seyfert tipo 1 es el mismo que uno tipo 2 pero su orientación respecto a nosotros es diferente.

Las líneas de emisión

Por otro lado, esta emisión electromagnética del disco se observa como un continuo fuerte mas unas líneas anchas ("broad line region") y también unas líneas algo más estrechas ("narrow line region").

El continuo aparece debido a la emisión térmica cerca del agujero negro y las líneas anchas son debido a gas algo más lejano, aunque aún cercano, excitado por la emisión de continuo. El ensanchamiento de las líneas es consecuencia de un ensanchamiento Doppler, ya que el gas está suficiéntemente cerca del agujero negro como para rotar por su acción y también como para no poder ser resuelta tal rotación observacionalmente. Adicionalmente también se excita material más lejano que resulta en la emisión de líneas más estrechas, al no sufrir estas líneas ensanchamiento Doppler.

La corona

Otro componente, aunque no tan relevante, es la existencia de una denominada corona. A diferencia del disco de acreción la corona no es un componente que se espera encontrar en el núcleo de todas las galaxias activas.

La corona es un envolvente de electrones y protones muy energéticos los cuales interactúan con los fotones emitidos, dándoles aún más energía y convirtiéndolos en rayos-X (scattering de Compton inverso) y dando lugar a un continuo de rayos-X. Esta nube de electrones y protones se forma debido a la existencia de campos magnéticos como consecuencia de la carga eléctrica del agujero negro en rotación (lo que se conoce como mecanismo de Blandford-Znajek).

Los jets y la emisión de radio

Hay luego otra característica fundamental que es diferenciadora y clasifica a las galaxias activas en dos grupos básicamente. Se trata de la existencia de jets.

Los jets se forman cuando la materia es expelida por aceleraciones en el campo magnético. Presentan emisión de radio por sincrotrón y usualmente polarización de la radiación. Probablemente cierto fenómeno de jet aparezca siempre debido a los campos magnéticos, pero es un hecho que existen algunos núcleos de galaxias activas con jets potentísimos en la emisión de radio. Esto clasifica a las galaxias activas en radio-quiet y radio-loud.

Las galaxias activas radio-quiet se asume que corresponden con acreciones moderadas con agujeros negros de masa relativamente pequeña, mientras que las galaxias activas radio-loud corresponden con acreciones fuertes y agujeros negros de gran masa.

La variabilidad

Por último hay que mencionar la variabilidad. Este fenómeno se da de forma muy variada y tomando todas las observaciones se puede decir que aparece en todo el espectro electromagnético. Hay básicamente dos tipos, de corto plazo y de largo plazo.

En general, la variabilidad a corto plazo es un fenómeno que se cree nos dice algo sobre la forma del emisor en la región, como por ejemplo inhomogeneidades, flujos relativistas variables, etc. Para la variabilidad a largo plazo se postulan por ejemplo como causa cambios en la estructura del disco de acreción. No hay un modelo unificador para explicar la variabilidad en todo el espectro y la cantidad de hipótesis propuestas es variada.

Clasificación

Dejando de lado la emisión de contínuo, que es relativamente similar en todas las galaxias activas, se tienen por tanto las siguientes características: (i) líneas anchas y estrechas (ii) emisión de rayos-X (iii) emisión de radio (iv) polarización de la luz (v) variabilidad y (vi) tipo de galaxia en la que se encuentra el núcleo activo. Estas observaciones se reparten de la siguiente forma en las siguientes clases de objetos (clasificación según Carroll & Ostlie [1]):

Galaxias Seyfert: Sus características generales son líneas anchas y estrechas, emisión de radio débil, emisión de rayos-X y gamma hasta 100 keV, tienen lugar en galaxias espirales, y presentan variabilidad. Se clasifican en tipo 1 y tipo 2. Las de tipo 1 son variables y tienen una emisión de rayos-X más fuerte que las de tipo 2, las cuales, a su vez, no presentan variabilidad.

Cuásares: Sus características generales son líneas anchas y estrechas, emisión de radio, variabilidad, emisión de rayos X y gamma hasta 100 MeV. Se clasifican en radio-quiet y radio-loud. Las radio-loud presentan una fuerte emisión de radio y polarización.

Galaxias radio: Sus características generales son emisión de radio fuerte (son radio-loud), tienen lugar en galaxias elípticas, y no presentan variabilidad. Se clasifican en BLRG (Broad Line Radio Galaxy) y Galaxias radio, NLRG (Narrow Line Radio Galaxy). Las BLRG presentan líneas anchas y adicionalmente polarización. Las NLRG presentan líneas estrechas.

Blazars: Sus características generales son una emisión de radio muy fuerte con un jet en la línea de visión y polarización, además de variabilidad y una luminosidad muy alta. Se clasifican en objetos BL Lac que no tienen líneas y se encuentran todos a desplazamientos al rojo muy altos, y cuásares OVV (Optically Violent Variable) con líneas anchas y estrechas y mucho más luminosos que los objetos BL Lac.

Por último están los objetos ULIRG (Ultra-Luminous Infrared Galaxy) que son cuásares envueltos en polvo interestelar, y los objetos LINER (Low-Ionization Nuclear Emission-line Regions) que son probablemente galaxias espirales con starburst o regiones de HII con emision fuerte.

Existen modelos que unifican las observaciones basandose en las características mencionadas arriba. Como hemos mencionado, por ejemplo, un objeto Seyfert tipo 1 es el mismo que uno tipo 2 pero su orientación respecto a nosotros es diferente. La unificación entre radio-quiet y radio-loud no parece del todo posible por un mismo modelo y aparentemente son clases de objetos diferentes debido a la naturaleza del disco de acreción, especialmente la tasa de acreción que ocurre en él. La imagen de abajo nos muestra cómo las diferentes observaciones pueden resultar de un mismo objeto:

Otra imagen más en la red para ilustrar la situación. La parte de arriba representa el modelo radio-loud y la de abajo el radio-quiet (son modelos diferentes, ya que, el jet, si existe, aparece en ambas direcciones):

Referencias

[1] An Introduction to Modern Astrophysics, Carroll & Ostlie
[2] Active galactic nucleus, wikipedia

Las espirales barradas y la materia oscura

2008-07-10T10:36:00.006+02:00

La dinámica de galaxias espirales y espirales barradas es extremadamente compleja y necesita de gran sofisticación matemática recurriendo a teoría de N-cuerpos, perturbaciones y dinámica de fluidos. No obstante existen algunos resultados y criterios que son relativamente sencillos e ilustran intuitivamente ciertas situaciones. La teoría sobre la formación de barras, y en general sobre la estabilidad de discos galácticos, fue especialmente desarrollada en los años ochenta por Toomre. Antes de ello existían ciertos resultados generales de simulaciones numéricas, como el trabajo de Ostriker y Peebles, que no obstante ha resultado mantener cierta validez después.

Consideremos el movimiento de las estrellas dentro de una galaxia. Como vimos en la entrada sobre el movimiento del sistema solar el movimiento puede descomponerse en una órbita circular más una perturbación de esta órbita. En el caso del sol, recordemos, el movimiento de rotación alrededor del centro galáctico viene dado por el LSR, Local Standard of Rest, que se mueve a unos 220 km/s alrededor del centro. El movimiento peculiar respecto del LSR es de unos 20 km/s debido a varios factores diferentes, desde el hecho que la órbita no es realmente circular, hasta la existencia de fuerzas locales que actúan sobre el sol. Todo en uno, nos permite esto dividir la energía cinética de una estrella en dos, una parte debida a la órbita circular alrededor del centro de la galaxia, y otra parte relativa a la energía cinética debido al movimiento peculiar.

Al primer componente, debido a la rotación circular, lo denominaremos T. A la energía cinética debida a la velocidad peculiar la denominaremos P. Un parámetro para cuantificar el movimiento peculiar es t = 2 P / T. A menor valor de t, mayor la parte de energía cinética en movimiento rotatorio. Para galaxias espirales, los estudios de Jeremiah Ostriker y Jim Peebles, mostraron que cuando t < 5 existe una inestabilidad que lleva a la formación de una barra central. A este criterio se lo denomina criterio de Ostriker-Peebles. El trabajo posterior de Toomre mostró que su relación física con la inestabilidad frente a barras es sólo indirecto, pero sorprendentemente la validez del criterio ha resultado ser aceptable.

Intuitivamente la aplicación de este criterio se entiende de la siguiente forma. Imaginemos un disco galáctico en el cual todas las estrellas están rotando en órbitas circulares perfectas. Las estrellas no se desplazan las unas respecto de las otras. Cualquier perturbación de densidad en tal disco hará que las estrellas circundantes empiecen a caer hacia ella haciéndola aún más densa. Tal proceso es inestable y resulta llevar a la formación de una barra. Esta es una situación ideal, pero que nos sirve como indicación que la existencia de discos va a ser algo relativamente inestable. No obstante las estrellas no se mueven en órbitas perfectamente circulares debido a su movimiento peculiar. El ajuste a un movimiento perféctamente circular nos lo da el parámetro t. A medida que la desviación del movimiento circular es mayor, con mayores velocidades peculiares (y un disco "más caliente") la facilidad de esas estrellas para caer en una perturbación de densidad es menor.

Para aplicar el criterio a nuestra galaxia debemos considerar que la velocidad peculiar media de las estrellas dominantes en el vecindario del sistema solar es de unos 60 km/s. Vemos con ello que t = 2 60² / 220² = 0.15, que es mucho menor que el valor requerido para la estabilidad (t > 5). La desviación del movimiento circular es muy pequeña. En general, el criterio de Ostriker-Peebles exige velocidades peculiares o desviaciones de la órbita circular altísimas para alcanzar una estabilidad del disco frente a la formación de una barra. No parece razonable que con este criterio puedan existir galaxias espirales sin barra. Pese a que el criterio de Ostriker-Peebles puede ser algo excesivo, el resultado cualitativo es correcto como han mostrado las observaciones. La conclusión es que la estabilidad de los discos galácticos debe ser garantizada por alguna otra cosa. Esta cosa es precisamente el halo esférico de materia oscura que envuelve a las galaxias espirales y tiene también masa en el disco. Este halo es muy caliente y cumple 2 P / T >> 1, contribuyendo con ello a la estabilidad del disco frente a la formación de una barra.

Si las galaxias no tuviesen halos de materia oscura serían muy inestables frente a la formación de barras y probablemente no observaríamos ninguna galaxia espiral sin barra debido a las altas velocidades peculiares requeridas. Este es un fenómeno interesante, independiente de las curvas de rotación, que indica (aunque no prueba) la necesidad de masa adicional en las galaxias espirales.

Esta pequeña entrada se basa completamente en lo mencionado en el capítulo 6 de "Galactic Dynamics", de Tremaine y Binney. Al interesado en la teoría, especialmente en el interesante trabajo de Toomre, lo refiero ahí. Adicionalmente, un par de páginas en la red interesantes sobre galaxias espirales barradas:

Astrophysical Dynamics, capítulo 17

Barred Galaxies

El destino de las galaxias

2008-07-06T22:18:00.012+02:00

Muchas veces se imagina uno que una masa central, en especial un agujero negro, es como un sumidero que tiende a engullirlo todo, una analogía probablemente fomentada por algunos artículos de prensa. Esta imagen de la gravitación es equivocada. Los agujeros negros o en general masas grandes no son como sumideros en la bañera que tienden a tragarse todo el agua en ella. Una analogía mucho mejor para dos masas que la de un sumidero es la de una cuerda atada en uno de sus extremos con una masa en su otro extremo. Si la cuerda no existiese la masa seguiría en línea recta. Al existir la cuerda la masa es obligada a describir una trayectoria circular. Las órbitas gravitatorias son estables, tanto en torno a masas grandes como en torno a agujeros negros.

Hasta aquí algo muy trivial para el que ha oído alguna vez hablar de gravitación y órbitas keplerianas. El problema que nos va a ocupar sin embargo en esta entrada es si realmente una galaxia espiral va a acabar engullida por su agujero negro supermasivo central o va a dispersarse por el espacio. Este problema no es tan trivial debido a que ahora tratamos un sistema de muchísimos cuerpos. Cuando vemos una foto de una galaxia espiral tendemos a pensar intuitivamente que eso se parece mucho al remolino que se forma en un desagüe e imaginamos que todas esas estrellas acabarán engullidas por el agujero negro supermasivo central. La imagen vuelve a ser equivocada, independiéntemente del resultado de un análisis correcto. La imagen es equivocada porque la forma de remolino que nos dan los brazos espirales no es debida a tal fenómeno sino a ondas de densidad que tienen lugar en un disco en rotación.

Bien, el caso es que tenemos a nuestra disposición una interesante página de John Baez con el sugerente título The End of the Universe, en la que se nos dice al respecto del destino de las galaxias:

most of the stars, as well as interstellar gas and dust, will eventually be hurled into intergalactic space. This happens to a star whenever it accidentally reaches escape velocity through its random encounters with other stars. It's a slow process, but computer simulations show that about 90% of the mass of the galaxies will eventually "boil off" this way - while the rest becomes a big black hole.

La respuesta sobre el destino final de una galaxia depende algo del modelo, pero esta es una afirmación bastante bien fundada y probablemente correcta. Así que nos pararemos a entender algo mejor el trasfondo teórico de ella.

Para esto necesitamos un par de resultados básicos de la teoría de sistemas de N cuerpos. Estos son sistemas de muchas masas puntuales que interactúan entre si gravitacionalmente. En la gravitación el problema de varios cuerpos es sólo resoluble analíticamente para dos cuerpos, por lo que aquí se hace uso de otras técnicas para el análisis. En concreto, la mecánica estadística en analogía con la teoría de gases.

Tenemos por tanto un sistema de N masas. Estas masas pueden ser todas iguales de masa m, pero en el caso más general habrá un espectro de masas desde un valor menor m_mínima a otro mayor m_máxima. En primera instancia para simplificar el modelo uno suele considerar una distribución esférica y estadísticamente homogenea e isótropa. El ejemplo real más parecido a esta situación ideal es un cúmulo globular de estrellas. Las masas se mueven por el espacio e interactúan entre si. Estas interacciones son tales que una masa pasa a una distancia mínima de la otra y debido a la gravitación desvía su trayectoria, su velocidad, y con ello su energía cinética. Las colisiones directas, de frente, son muy, muy raras.

Al cabo de un tiempo las masas tenderán a encontrar una situación de equilibrio en lo referente a la energía cinética, al igual que un gas en una caja que tiende al equilibrio termodinámico. El gas lo hace muy rápido, pero las estrellas en un cúmulo globular no. Este tiempo hasta alcanzar esta situación de equilibro se denomina tiempo de relajación. Con el tiempo de relajación el sistema tiende a la equipartición de la energía y la distribución de energías es de Maxwell-Boltzmann:

(Distribución de velocidades para partículas de igual masa de un gas en equilibrio termodinámico.)

La equipartición de la energía 1/2 m v², de forma estadística, lleva al fenómeno que las masas mayores, en promedio, tienen velocidades menores y las masas menores, en promedio, tienen velocidades mayores. Si recordamos el concepto de velocidad de escape, vemos que esta aumenta a medida que uno se aleja del centro de una distribución uniforme de masa. Con ello las masas de mayores velocidades tenderán a estar localizadas en el exterior y las de velocidades menores en el interior. Este proceso se denomina segregación de masa. Ahora bien, algunas masas con velocidades altas (las masas menores) tenderán a tener tanta velocidad de escape que escaparán del sistema. El sistema se quedará sin algunos elementos y volverá otra vez al equilibro dado por la distribución de Maxwell-Boltzmann, en la cual volverá a haber algunas masas con velocidad de escape suficiente como para salir del sistema. A este proceso se lo conoce como evaporación.

La segregación hace tender a las masas mayores hacia el colapso en el centro y la evaporación hace tender a la dispersión del sistema. ¿Quién gana al final o cómo se reparten segregación y evaporación la masa del sistema? Pues bien, para los modelos usuales de cúmulos globulares se tiene que la parte interna del cúmulo conteniendo un 10% de la masa tiende a colapsar y el resto, con el 90% de la masa en la parte externa, tiende a evaporarse. Esto explica la afirmación en la página de John Baez, que vemos por tanto basada en los modelos usuales de cúmulos globulares. El tiempo de relajación de un cúmulo globular es de unos 10^8 años, pero el de una galaxia es de > 10^15 años, mayor que la edad del universo. Es por lo que las galaxias aun pueden considerarse sistemas sin colisiones, las cuales no han llevado al sistema a un equilibrio. No obstante, es de esperar que los mismos resultados cualitiativos para cúmulos globulares sean válidos en el futuro para galaxias.

Una puntualización que conviene hacer, probablemente necesaria, es que el modelo cosmológico es relativamente irrelevante aquí. Si queremos preguntarnos por la estabilidad de la galaxia frente a la expansión del espacio debemos comparar aceleraciones. Al estar una estrella normal ligada al resto de la galaxia gravitacionalmente, debemos comparar la aceleración gravitatoria de toda la galaxia sobre un punto en su periferia, frente a la aceleración de la expansión del espacio cuando es observada desde puntos de la periferia. Un cálculo en órdenes de magnitud para el modelo cosmológico estándar y para la Vía Láctea nos convencerá que hay una diferencia de casi diez órdenes de magnitud. En el modelo cosmológico estándar la aceleración de la expansión va a aumentar, pero no tanto y llegará un tiempo en el cual se mantenga ya constante y no aumente más. Esta aceleración de la expansión supone una perturbación de la órbita de la estrella. Tal perturbación, aunque muy pequeña (unos diez órdenes de magnitud) no sabemos en principio cómo va a evolucionar, pero lo pequeño de la perturbación indica que pasará desapercibida frente a fuerzas gravitatorias locales entre estrellas vecinas (por ejemplo de una estrella típica como el sol a una distancia típica de un parsec). Tales fuerzas también son varios órdenes de magnitud mayores que la expansión del espacio a nivel galáctico.

Las matemáticas elementales para estos conceptos básicos sobre cúmulos globulares se pueden encontrar aquí. Aquí un detallado artículo sobre la equipartición y la distribución de Maxwell-Boltzmann. Una página interesante sobre teoría de simulaciones de N-cuerpos aquí.

El movimiento de la galaxia

2008-07-01T14:28:00.009+02:00

En la entrada anterior hemos analizado el movimiento del sistema solar en la galaxia. En esta entrada vamos a analizar el movimiento de la galaxia en el universo. Para analizar el movimiento del sistema solar en la galaxia fuimos desde lo más grande a lo más pequeño: primero el movimiento del LSR en la galaxia y luego el movimiento del sol dentro del LSR. Ahora vamos a proceder alrevés. Nos vamos a encontrar básicamente con tres velocidades que se superponen: (i) la velocidad de la galaxia dentro del Grupo Local de galaxias (ii) el movimiento del Grupo Local de galaxias dentro del supercúmulo de Virgo y, por último, (iii) el movimiento del supercúmulo de Virgo respecto del centro del baricentro (centro de masas) del universo observable. Entender estos movimientos, su magnitud, dirección en el cielo nocturno, su dinámica y las estructuras de materia que dan lugar a él, será la meta de esta entrada.

La distribución de materia a gran escala

Estos tres movimientos son órbitas debido a la gravitación de estructuras cada vez mayores. No obstante, a escalas mucho mayores (más de 300 Megaparsec) es de esperar que el movimiento deje de existir. Esto es debido al principio cosmológico, que dice que no podemos encontrar una dirección preferida en el movimiento de materia y esta ha de encontrarse por tanto en reposo. El centro de masas del universo observable está en reposo respecto de un sistema de referencia en el cual el fondo cósmico de microondas es observado como homogeneo e isótropo y en el cual la expansión del espacio es también observada isótropa y cumpliendo la ley de Hubble. A este respecto conviene no obstante notar que en los últimos años ha habido algo de controversia sobre el tema con un famoso estudio de Lauer & Postman de 1994 que afirmaron haber encontrado un movimiento a muy grandes escalas (large scale bulk flow) no nulo, pero este tema parece haberse ido aclarando con los últimos grandes censos de galaxias dando razón al principio cosmológico.

Conviene también notar antes de seguir que el tipo de movimiento que tratamos aquí es un movimiento peculiar, debido a fuerzas locales. No es un movimiento de recesión debido a la expansión del espacio. La expansión del espacio (o flujo de Hubble) empieza a ser observacionalmente notable ya a distancias cosmológicamente pequeñas de incluso un Mpc (Megaparsec) o menor, pero en muchos casos es indetectable debido a que las galaxias tienen movimientos peculiares muy fuertes que la desfiguran, anulan o superan. Dada esta eventualidad, de lo que tratamos aquí es por tanto de un residuo de velocidad, una vez substraido el flujo de Hubble, denominado velocidad peculiar. Medir la desviación del flujo de Hubble de las galaxias cercanas no es tarea sencilla, ya que para ello hay que seleccionar un método alternativo a la ley de Hubble para determinar las distancias de galaxias. A distancias grandes los métodos alternativos tienen errores no despreciables. Esto se puede aliviar recurriendo a medir grandes cantidades de galaxias en volúmenes mayores, pero entonces aparece el peligro de tener muestras sesgadas por galaxias indetectadas debido a su baja luminosidad (a esto se lo conoce como Malmquim bias).

El caso es que, al igual que es de esperar que el movimiento deje de existir a escalas muy grandes, la distribución de materia sólo es de suponer homogenea e isótropa a escalas considerablemente mayores que 100 Mpc. En definitiva, la validez del principio cosmológico se nos presenta a partir de esas escalas colosales. Por debajo de ella, las galaxias se encuentran casi en su totalidad agrupadas en grupos y/o cúmulos. Los cúmulos y grupos a su vez en supercúmulos. Los supercúmulos son agrupaciones de miles de galaxias, con forma aplanada o alargada usualmente. Entre ellos hay filamentos que los unen y vacíos que los separan. Todo en uno, el universo presenta una pauta de filamentos y supercúmulos - los cuales se agrupan a su vez en paredes - y de grandes vacíos, que todo en uno le dan un aspecto de esponja. Las agrupaciones de filamentos y las paredes están sólo parcialmente ligadas gravitacionalmente y este tipo de pauta es resultado transitorio del colapso gravitacional. En general, la dinámica de gravitacional que da lugar a los filamentos y la pauta de esponja se puede obtener de simulaciones, pero no está del todo bien entendida aún.

Una de las estructuras con forma de pared es en la que nosotros nos encontramos y se denomina plano supergaláctico. Contiene al supercúmulo local (o supercúmulo de Virgo), el supercúmulo de coma, el supercúmulo de Perseo-Piscis y el supercúmulo de Shapley. Esta pared separa dos enormes vacíos conocidos como supervacío local norte y supervacío local sur. Existe un tipo de coordenadas denominadas coordenadas supergalácticas de de-Vaucoleurs, en las cuales el plano supergaláctico se encuentra en z = 0 (SGZ = 0) cortando los dos vacíos.

En este enlace hay un diagrama de la localización en el cielo los cúmulos conocidos a desplazamientos al rojo muy bajos.

It may be - I hope it is - redemption to guess and perhaps perceive that the universe, the hell which we see for all its beauty, vastness, majesty, is only part of a whole which is quite unimaginable. William Golding

El movimiento de la galaxia

El Grupo Local de galaxias es un grupo de galaxias formado por la Vía Láctea, la galaxia Andrómeda (M31), M33 (galaxia del Triángulo) y unas treinta galaxias restantes menores como por ejemplo las nubes de Magallanes. Su masa viene determinada en un 90% por la masa de la Vía Láctea y Andrómeda y el momento angular del grupo es prácticamente nulo. Esto significa que su baricentro está entre ambas y que ambas están en una órbita de ecentricidad muy cercana a uno, es decir, en rumbo de colisión. La velocidad de la Vía Láctea respecto del baricentro del Grupo Local es de unos 60 km/s. Su dirección, la de la galaxia Andrómeda, la cual podemos encontrar con prismáticos en la constelación de Andrómeda en el cielo de otoño.

El Grupo Local de galaxias, a su vez, se mueve aproximadamente hacia el baricentro del supercúmulo de Virgo a una velocidad del órden de unos 200 km/s, localizado en el cúmulo de Virgo en la constelación de Virgo en el cielo nocturno de primavera. A este movimiento se lo denomina virgocentric flow (flujo virgocéntrico). Por su parte, el supercúmulo de Virgo, así como el supercúmulo de Hydra-Centauro se mueven todos como en un colosal rio hacia el Gran Atractor, una concentración enorme de materia quizás de unas 10^16 masas solares (más de diez veces la masa del supercúmulo de Virgo) a unos 600 km/s. La dirección correspondiente del cielo resulta ser la constelación de Centauro.

Fue con los estudios de Lyndel-Bell et al a finales de los ochenta, como por ejemplo este, con los que tal movimiento peculiar fue identificado postulando su orígen en lo que se denominó Gran Atractor:

The excess must be ~ 5.4 10^16 Msol, comparable to the largest superclusters in order to generate the streaming motion at the Sun

El Gran Atractor se ha postulado también con una velocidad peculiar, acercándose a su vez algo hacia el rio de cúmulos que se acercan a él, pero no parece haber conclusiones claras al respecto. En defintiva, o se acerca un poco o está en reposo respecto del centro de masas del universo observable y del sistema de referencia en el cual el fondo cósmico de microondas es observado como homogeneo e isótropo y en el cual la expansión del espacio es también observada isótropa y cumpliendo la ley de Hubble. La mínima desviación de la isotropía del fondo que produce nuestro movimiento peculiar (el sistema solar en la galaxia y la galaxia respecto del fondo) se conoce como dipolo. Esto es un patrón debido al efecto Doppler, dando lugar a unos fotones desplazados al azul en una dirección del cielo, en la dirección de la constelación de Centauro que es la componente dominante de la velocidad, y otros fotones desplazados al rojo en la dirección opuesta.

La localización exácta del Gran Atractor, su masa y distancia, siguen siendo objeto de controversia. Se ha postulado también que el flujo de supercúmulos se extiende mucho más allá del supercúmulo de Hydra-Centauro, pero no hay conclusiones claras al respecto (ver [1] capítulo 27). La idea más aceptada parece ser que el Gran Atractor es probablemente un (o una colección de) supercúmulo(s) formada principalmente por el cúmulo de Norma como el cúmulo central a ellos.

Referencias adicionales

[1] An Introduction To Modern Astrophysics, Carroll & Ostlie
[2] Principles of Physical Cosmology, J.P.E Peebles

El movimiento del sistema solar

2008-06-26T11:01:00.003+02:00

En esta entrada vamos a tratar de entender cómo se mueve el sistema solar en nuestra galaxia. Queremos llegar a entenderlo de forma intuitiva y queremos ser capaces de localizar la dirección del movimiento del sistema solar en el cielo nocturno. Para ello tenemos que entender antes algo de teoría.

Primero, hay que mencionar que el sol gira alrededor de el centro galáctico con un período de unos 230 millones de años a una velocidad de unos 220 km/s. Estos números no son conocidos con gran exactitud, pero para hacernos una idea bastarán (ver aquí y aquí para más información). Podemos considerar en primera aproximación, idealizada, que se trata de una órbita circular alrededor del centro de la galaxia.

Pero sabemos por un lado que las órbitas gravitatorias no son circulares en general sino elípticas. Por ejemplo, el movimiento de la tierra alrededor del sol es una órbita elíptica o kepleriana. No obstante, la galaxia no es un cuerpo central esférico sino una distribución de masa con simetría cilíndrica. Esto desvía ligéramente la órbita respecto de una órbita kepleriana. Por otra parte, el sol es gravitacionalmente influido por las estrellas cercanas a él. Todo en uno estas desviaciones del movimiento del sol respecto de la órbita circular ideal son pequeñas y el movimiento puede separarse razonablemente en dos partes (i) un movimiento de traslación circular en torno al centro galáctico y (ii) un movimiento peculiar debido a interacciones gravitacionales que lo desvían del movimiento circular. Definamos con precisión estos dos movimientos.

El Sistema de Reposo Local o Local Standard of Rest (LSR) en inglés es un marco de referencia que se encuentra en una órbita circular alrededor del centro galáctico. El movimiento del Sol con respecto a la dinámica del LSR se denomina movimiento peculiar o movimiento solar básico. Es de unos 16.6 km/s hacia AR = 17:49:58, Dec = 28:07:04. Este valor difiere de una referencia a otra, pero para nuestra precisión un valor de AR = 18:00:00, Dec = 28:00:00 será suficiente. Esta dirección, hacia la que el Sol se mueve con respecto al LSR, se denomina ápex. El ápex a AR = 17:49:58, Dec = 28:07:04 se encuentra en la constelación de Hércules en el cielo nocturno.

Los valores de AR (Ascensión Recta) y Rec (Declinación) son en coordenadas ecuatoriales, un tipo de coordenadas celestes muy usadas en astronomía que determinan la posición de un objeto en la esfera celeste respecto al ecuador celeste y al equinoccio vernal. Si esto te es desconocido conviene que visites la página de wikipedia sobre las coordenadas ecuatoriales.

El movimiento del sol respecto de las estrellas cercanas, dentro del LSR, se establece midiendo la velocidad radial de las estrellas en la vecindad solar. El resultado, por ejemplo, el valor dado anteriormente, depende de la profundidad de la muestra (el número de estrellas usado para la media), y las clases espectrales de las estrellas seleccionadas (que da lugar a mayor o menor dispersión de la muestra). Para evitar esta incertidumbre en esta definición tan importante, los astrónomos han definido un marco respecto del cual el movimiento solar es de 20 km/s hacia AR = 18:00:00.0, Dec = 30:00:00. Este marco se denomina LSR cinemático (kinematical LSR) y el movimiento del sol dentro del LSR cinemático se denomina movimiento solar estándar. Estríctamente el LSR mencionado anteriormente, respecto del cual el sol se mueve con unos 16,6 km/s hacia AR = 17:49:58, Dec = 28:07:04 se denomina LSR dinámico (dynamical LSR). A pesar de que el LSR cinemático es el más utilizado, vamos a olvidarnos de él y centrarnos en el LSR dinámico que es más intuitivo de entender.

Observemos la siguiente imagen:

Esto se supone que representa la mitad de la galaxia, con el núcleo galáctico y centro a la derecha. El LSR se mueve en una órbita circular alrededor del centro galáctico. Por otra parte, dentro de o respecto del LSR, en el recuadro pequeño, el sol tiene su propio movimiento peculiar con su velocidad peculiar. Para entender mejor el movimiento del LSR debemos echar un vistazo a las coordenadas galácticas. El siguiente dibujo da una idea de este sistema coordenado:

Estas coordenadas se definen de tal modo que la longitud LII = 90 apunta en la dirección de la rotación de la galaxia. La latitud BII = 0 corresponde con el plano galáctico. De este modo, el LSR se mueve hacia LII = 90, BII = 0. ¿Dónde está esa dirección ubicada en el cielo nocturno? Esta dirección corresponde en el cielo con la constelación del Cisne. Para comprobarlo podemos ir a esta página donde podemos convertir las coordenadas ecuatoriales de la constenación del Cisne (aprox AR = 20:62h, Dec =+42:00) a galácticas. Por medio de esta página podemos comprobar también la orientación de la eclíptica (el plano del movimiento de la tierra alrededor del sol) respecto del plano galáctico. Del dibujo de las coordenadas ecuatoriales en el enlace mencionado de wikipedia, vemos que la normal a la eclíptica se encuentra a AR: 16.00.00 y Dec: 66.5h. Insertando en la calculadora se tiene LII= 99.8 BII= 41.3, es decir, la normal apunta casi en la dirección del movimiento del sol.

Así llegamos a nuestro primer resultado: el sistema solar se mueve en órbita circular con el LSR hacia la constelación del Cisne, a una velocidad de unos 220 km/s y con la eclíptica orientada de forma casi perpendicular a su movimiento de traslación.

Además, hemos visto que el sistema solar se mueve dentro de o respecto del LSR hacia la constelación de Hércules con una velocidad de unos 20 km/s. Ahora queremos comparar las dos velocidades.

En primer lugar, es evidente que la peculiar velocidad del sol es pequeña si se compara con la velocidad circular (menos del 10%). En segundo lugar, nos gustaría saber la dirección del peculiar movimiento en coordenadas galácticas. Para ello tenemos que convertir las coordenadas ecuatoriales del ápex en coordenadas galácticas. Para ello volvemos a la página mencionada e insertamos AR = 18:00:00, Dec = 28:00:00, para obtener más o menos LII = 54.00 y BII = 23.00. Si observamos la figura anterior, teniendo en cuenta que LII = 90, BII = 0 es la dirección de movimiento del LSR, se puede ver que el movimiento peculiar del sol, LII = 54.00, BII = 23.00, tiene un componente en la misma dirección que el movimiento del LSR, otro componente hacia el centro galáctico y otro componente hacia el polo norte galáctico:

El movimiento vertical respecto del plano galáctico es interesante ya que el sol resulta tener un periodo de oscilación de varios millones de años respecto del plano galáctico. Este movimiento se ha especulado como causa de extinciones masivas, postulándose el paso por el plano galáctico como causa de perturbaciones de la nube de Oort y el consiguiente bombardeo del interior del sistema solar con cometas. El movimiento horizontal respecto del plano galáctico es consecuencia de la simetría cilíndrica de la galaxia, que hace que las órbitas deban ser modeladas por medio de epiciclos en general (más información por ejemplo en An Introduction to Modern Astrophysics, Carroll & Ostile).

Hemos situado las direcciones del movimiento del LSR y peculiar en el cielo y las hemos comparado, tanto en coordenadas ecuatoriales como galácticas. Ahora queremos saber cómo se mueve el sistema solar hacia el ápex ¿se mueven hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda, hacia la derecha, etc? Evidentemente estos términos no tienen ningún significado en el espacio exterior, pero podemos preguntarnos con sentido sobre el movimiento del sistema solar respecto del plano de la eclíptica (el plano de la órbita terrestre alrededor del Sol).

Lo que queremos saber es el ángulo entre la dirección normal al plano de la eclíptica y la dirección el ápex. Sea R1 la dirección celeste del polo norte (Dec = 90:00:00). Sea R2 la dirección celeste hacia el ápex (AR = 18:00:00, Dec = 28:00:00). Sea R3 la dirección celeste de la normal a la eclíptica. Estos tres vectores cortan la esfera celeste en tres puntos que forman un triángulo esférico. Sabemos que el ángulo entre R1 y R2 es 90-28 = 62 grados. Sabemos que el ángulo entre R1 y R3 es igual a la inclinación de la eclíptica que son 23.5 grados.

Aplicando trigonometría esférica:

cos(R2 - R3) = cos(R1 - R3) cos(R1 - R2) + sin(R1 - R3) sin(R1 -R2)

(R2 - R3) = arccos [cos(23.5) cos(62) + sin(23.5) sin(62)] (R2 - R3) = 40

En definitiva, nuestro sistema solar se mueve hacia la constelación de Hércules con un ángulo de 40 grados respecto de la normal a la eclíptica:

El vacío no está vacío

2008-06-25T09:45:00.002+02:00

Cotidianamente el término "vacío" se usa para denotar algo sin un contenido determinado. Los anglosajones usan aquí la palabra "empty". Por otro lado, en la física teórica el término "vacío" tiene un significado muy preciso dependiendo del contexto. Los anglosajones usan aquí la palabra "vacuum". En castellano no usamos habitualmente dos palabras para diferenciar entre estos dos conceptos y caemos a veces en la confusión de mezclarlos. Veamos qué diferentes significados que se le da a este término y qué contexto aparecen.

El vacío en la teoría cuántica de campos

En la teoría cuántica de campos el término "vacío" se usa para denotar el estado sin partículas de un campo cuántico. En general, en la teoría cuántica de campos los campos quedan descritos por una colección o serie de osciladores armónicos cuyos modos de oscilación posibles corresponden en principio con todas las longitudes de onda posibles. Esto se sigue del mero hecho de modelar el comportamiento del campo como una superposición de ondas a distintas frencuencias, y asumir unas ecuaciones de movimiento a nivel clásico. Para más información véase El efecto Casimir y la energía negativa. En un estado así el campo existe y tiene propiedades muy concretas, pero lo que no hay son excitaciones de él que den lugar a partículas propagándose.

Este vacío no puede estar sin contenido alguno. Esto es así porque todo campo fluctua y es una superposición de modos de oscilación fundamentales. Estos modos de oscilación sin embargo no son partículas como las que podemos medir en el laboratorio, pero contribuyen a la energía del vacío y son con ello físicos (más detalles sobre esto en la entrada mencionada anteriormente). Esto hace que el vacío mismo tenga una energía y, con ello, en cierta medida no esté libre de contenido. En defintiva, el "vacío no está vacío" o en inglés, "vacuum is not empty".

En realidad el vacío es un concepto muy sutil y curiosamente dependiente de la aceleración del observador. Lo que para un observador es vacío no tiene por qué serlo para otro en espacio-tiempos curvos o sistemas acelerados. Este es el orígen del efecto Hawking.

El vacío en la relatividad general

En la relatividad general el término "vacío" se usa para denotar soluciones sin materia o sin campo alguno a las ecuaciones e la relatividad general. Aquí se trata de una situación en la que sólo hay un espacio-tiempo. Es importante notar que este espacio-tiempo puede ser plano, sin gravitación alguna, pero también puede tener singularidades u ondas gravitacionales, etc., en definitiva, cualquier propiedad geométrica siempre y cuando no tenga materia. En este sentido esta definición se ajusta mejor a la cotidiana, ya que el espacio-tiempo se puede considerar o imaginar aquí como el recipiente y la materia como su contenido.

En general tanto los campos cuánticos como el espacio-tiempo son algo que existe en todo lugar. Existen ambos no sólo ahí donde no hay partículas, sino también donde las hay. Es decir, el espacio-tiempo es un contínuo sobre el cual o en el cual se encuentra la materia. La materia a su vez queda descrita como un continuo que puede ser excitado para dar lugar a partículas.

Por último mencionar que una descripción rigurosa del estado vacío del campo gravitatorio, como su estado de mínima energía con cierto contenido energético, es algo desconocido. Esto es porque no tenemos aún una teoría cuántica de la gravitación que esté bien fundada y probada. Si queremos aplicar este concepto a la gravitación debemos alejarnos del uso del término "vacío" que se hace en la relatividad general, ya que sólo será vacío aquel estado de mínima energía del campo y no cualquier estado falto de materia. La situación es análoga a por ejemplo la electrodinámica: el vacío en ella es un estado sin campos creados por cargas, pero también un estado sin ondas propagándose. Es luego en la cuántica en la que este estado se nos muestra como algo que fluctua y puede tener un contenido energético.

Cotidianamente diremos que esta copa está vacía. No tiene sin embargo vacío en su interior. En la física cuántica diremos que la copa, incluso si tuviese vacío en su interior, nunca podrá estar vacía

Tiempo inextenso, espacio extenso

2008-06-23T11:17:00.016+02:00

(Editada el 5 de septiembre de 2008: addendum al final)

¿Por qué observamos el espacio con extensión pero el tiempo no? En esta entrada vamos a intentar una respuesta a tal pregunta aparentemente tan sencilla, cosa que además nos servirá de pretexto para tocar de refilón el tema de la causalidad en la relatividad.

Esta entrada es el resultado de una discusión en los foros de la web de física que tenía como intención una definición rigurosa de observar con extensión además de la diferenciación en este aspecto entre espacio y tiempo. No considero que la dada sea una explicación acabada del todo, y creo que aún se le podría sacar algo de partido a este tema o a esta pregunta aparentemente tan sencilla.

Empecemos con la causalidad en la relatividad. En la relatividad especial un evento sólo puede ser influido por eventos que se encuentran dentro de su cono de luz. Esto es una consecuencia de la velocidad finita de la luz, como velocidad máxima de propagación de efectos a partir de sus causas. Como su nombre indica el cono de luz tiene forma de cono con vértice en un evento determinado P (OBSERVER en el dibujo de abajo) como muestra el diagrama de abajo para el caso de dos dimensiones espaciales.

Un evento cualquiera es un punto en el espacio-tiempo que puede o no puede afectar a P. Si le afecta, es porque está dentro de su cono de luz. Le afectará en un instante determinado, pero no le afectará antes o más tarde, al tener el cono de luz forma de cono. La existencia de conos de luz da lugar a la posibilidad de ecuaciones diferenciales hiperbólicas que permiten formular problemas de valores iniciales bien definidos. Por ejemplo, la ecuación de onda. La solución en un punto determinado P a la ecuación de onda depende de los puntos dentro del cono de luz de P. Los puntos exteriores al cono de luz de P no afectan la forma de la solución de la función de onda en P.

Esta observación quizás trivial viene mejor ilustrada considerando en analogía un espacio en el cual los conos de luz no existen. Por ejemplo, el espacio euclídeo sin tiempo. En él las ecuaciones diferenciales son elípticas, como por ejemplo la ecuación de Laplace. En la ecuación de Laplace una solución en un punto determinado viene determinada por los valores de la solución en cualquier esfera con centro en ese punto. Esto es una consecuencia del conocido teorema de Gauss. Si definiesemos un punto en ese espacio como evento, todos los eventos de ese espacio afectarían a todos los eventos, constantemente y siempre.

Por otro lado, conviene notar cómo se comportan los conos de luz en un supuesto espacio en el cual la velocidad de la luz es infinita. En tal caso la generatiz del cono está inclinada noventa grados respecto del eje temporal y es paralela a los ejes espaciales. Esto significa que un evento P es afectado simultaneamente por todos los eventos localizados a un tiempo constante, o, equivalentemente, en la misma sección espacial del espacio-tiempo. Esta es la aproximación newtoniana que se aplica en nuestra vida cotidiana.

La relación de la noción de cono de luz con la de predictabilidad es digna de mención. En general, una definición de simultaneidad distante debe especificar los puntos del espacio-tiempo que se encuentran en una misma sección espacial (véase esto y esto). Los espacio-tiempos causalmente bien definidos son tales que contiene una sección espacial en la que se pueden definir las condiciones iniciales de todo problema de valor inicial que cubra todo el espacio-tiempo. Esto es la definición de superficie de Cauchy. Equivalentemente una superficie de Cauchy es una sección del espacio-tiempo por la cual pasa de un lado a otro de la superficie toda curva temporal una y sólo una vez. La figura siguiente muestra una superficie de Cauchy, que es, por ejemplo, el plano paralelo a xy, donde se encuentra el punto P. Si no hay curvas temporales cerradas todas las curvas temporales de los puntos en el espacio-tiempo (aquí: espacio de dos dimensiones y espacio-tiempo de tres) pasan una y sólo una vez por la superficie de Cauchy (el plano de dos dimensiones paralelo a xy). Existen otras superficies de Cauchy, de hecho existen infinitas, por ejemplo el mismo plano xy.

Vemos en la figura de arriba que para curvas temporales normalitas podemos definir superficies de x constante o y constante que sean cortadas dos veces por las curvas, sin que con ello peligre la causalidad. Pero las superficies de tiempo constante no pueden ser cortadas dos veces por la misma curva temporal. La definición de un problema de valores iniciales bien definido necesita por tanto de una clara diferenciación o asimetría entre espacio y tiempo. Los espacios con conos de luz como el de la relatividad especial tienen esta característica (relacionada por otro lado claramente con la signatura de la métrica). La especificación de los valores iniciales para cualquier evolución temporal bien definida debe ser realizada en una sección espacial del espacio-tiempo.

Lo que queremos explicar no obstante es una característica que es más bien observacional: el espacio lo consideramos o vemos como extenso, pero el tiempo usualmente no. En mi opinión la observación en extenso de algo es una consecuencia de la velocidad tan grande de la luz a efectos cotidianos. Es decir, observar algo con extensión sería sólo una apariencia, resultado de que nos veamos cotidianamente inmersos en un mundo gobernado por la mecánica newtoniana. Para poder precisar esto necesitamos una definición de lo que entendemos por considerar o observar algo extenso.

Consideremos la siguiente definición de observar algo en extenso:

Observo algo con extensión si observo simultaneamente sus extremos.

Esto es posible para un segmento espacial, ya que la luz se mueve en la horizontal en la aproximación newtoniana. Sin embargo, es imposible para un intervalo temporal, precisamente porque la luz se mueve en la horizontal. Esta definición refleja el hecho que podamos observar lo espacial como extenso y que lo temporal nos parezca inextenso.

La explicación también parece ser consistente con la interpretación usual que sólo existe el presente y el pasado y futuro no existen. Esta interpretación o ontología de la teoría es sin duda aplicable en la mecánica newtoniana, pero puede ponerse en duda en un marco de la relatividad especial, en la cual el pasado de alguien puede ser presente de otro debido a la relatividad de la simultaneidad.

En un marco relativista la situación es diferente. Un observador para el cual la luz se moviese muy despacio ¿observaría también el espacio con extensión y el tiempo sin extensión? Imaginemos las dos siguientes situaciones. Ambas por un lado en un marco de la relatividad especial con una velocidad finita de la luz, y, por otro en un marco de la mecánica newtoniana con una velocidad infinita de la luz. Las situaciones pretenden describir una situación análoga para el eje temporal y para el eje espacial en un espacio-tiempo de dos dimensiones. En todas las situaciones nosotros estamos localizados en x = 0.

Primero, dos extremos espaciales de algo A y B.

Para el caso newtoniano recibimos luz de sus extremos simultaneamente:

Diferentes extremos espaciales en la apoximación newtoniana

Para el caso con velocidad finita de la luz recibimos luz de sus extremos en dos instantes diferentes de tiempo:

Diferentes extremos espaciales en la relatividad especial

Segundo, una duración temporal de algo con extremos temporales 1 y 2.

Para el caso newtoniano recibimos luz de sus extremos instantaneamente para el instante 1 y luego para el 2:

Diferentes extremos temporales en la apoximación newtoniana

Para el caso con velocidad finita de la luz recibimos luz de sus extremos en dos instantes diferentes de tiempo:

Diferentes extremos temporales en la relatividad especial

Desde el punto de vista relativista la situación es algo sorprendente, porque la situación es simétrica desde el punto de vista observacional para el eje temporal y para el espacial. No obstante, algo hay que nos permite identificar A y B con los extremos de, por ejemplo, una barra, o en definitiva un objeto que existe a lo largo del tiempo, pero, sin embargo, nada nos permite identificar 1 y 2 como los extremos temporales de algo que existe a lo largo del espacio. Por ejemplo en x = 0 podemos decir que estamos escuchando los diez segundos que dura el sonido de nuestro reloj para despertarnos, pero el mismo sonido a cierta distancia de nosotros no es "el mismo", sino otro al provenir de otro reloj diferente que está alejado.

En el caso newtoniano parece más claro que podamos identificar A y B con los extremos de una barra y no podamos identificar 1 y 2 como los extremos temporales de algo que existe a lo largo del espacio. La observación de los extremos A y B es simultanea para nosotros, cosa que nunca puede ocurrir con 1 y 2. Esto se ajusta bien a la definición de observar con extensión dada. Adicionalmente, el hecho que todo fluya en el tiempo irremediablemente en una dirección da lugar a la situación que tras observar 2 nunca podamos volver a observar 1 otra vez. En el caso relativista este hecho no cambia prácticamente las cosas, ya que al igual que podemos recibir luz desde diferentes valores de t proveniente de A y B, podemos recibir luz desde diferentes valores de x proveniente de 1 y 2.

Para finalizar mencionar que esto, especialmente la definición dada, es una interpretación mía y con mucho gusto la discutiré con quien quiera ponerla en duda.

Addendum 5 de septiembre de 2008:

A veces las cosas son más sencillas de lo que parecen. Creo que el rollo anterior no viene al caso y es completamente prescindible. La razón de que observamos al tiempo inextenso y al espacio extenso está realmente en que todo fluye en el tiempo en una misma dirección.

Las reflexiones que hice antes en este tema son relacionadas de alguna forma con la noción de extensión espacial, pero creo que fallé en identificar ese punto como el esencial. Creo que hay una forma muy sencilla de entender la relación del paso del tiempo con su inextensión.

Como definición de observar algo con extensión tomaré la misma que tomé antes: observo algo con extensión si observo simultaneamente sus extremos. En un diagrama de espacio-tiempo para una dimensión espacial tal cosa puede representarse así:

Las líneas a trazos son rayos de luz que provienen de los extremos de algo que se encuentra en t = 0 y que observamos simultaneamente más tarde. Ahora bien - y esto creo que es una observación lamentablemente sencilla que no veo cómo no se me ocurrió antes - para que la misma cosa sea posible con el tiempo, debería ocurrir que:

Es decir, la luz (el rayo de arriba) debería viajar hacia atrás en el tiempo o fluir en contra de los demás objetos que van siempre hacia valores de t mayores.

La edad del universo ¿una coincidencia cósmica?

2008-06-19T14:42:00.017+02:00

A partir de la primera ecuación de Friedmann y haciendo unos cuantos pasos se puede llegar a una expresión para la edad del universo de la forma:

Aquí las son las densidades respecto de la crítica de la materia, la radiación y la constante cosmológica, todas ellas evaluadas en el instante actual, y es el factor de escala. Además

Curiosamente en nuestro universo, para el cual

Se cumple que

¿Es esto una coincidencia cósmica o es el resultado de alguna ley más fundamental? La cosmología actual no nos responde esta pregunta. En general, para que se cumpla

debe ocurrir que la siguiente integral sea igual a uno (despreciando la densidad de la radiación):

Para el caso general esta integral sólo puede ser resuelta por medio de integración numérica. Una simple macro de excel sirve para esto y proporciona el siguiente resultado para valores de densidades de materia y constante cosmológica entre cero y la crítica (hacer clic en la imagen):

Se ve que existe una recta o casi recta de valores que dan lugar a una integral igual a uno. Para verlo en detalle en la siguiente gráfica se muestran los valores de y que hacen la integral igual a uno (hacer clic en la imagen):

¿Conclusiones? Ninguna por el momento. Esto es sólo un bello un ejercicio de integración numérica y representación de resultados. Volveremos a este tema a través de referencias sobre coincidencias cósmicas.

El átomo de hidrógeno - Christie Jeyaratnam Eliezer

2008-06-16T14:41:00.011+02:00

El día 12 de junio hizo noventa años del nacimiento de Christie Jeyaratnam Eliezer, un físico matemático prácticamente desconocido pero de interesante biografía. Eliezer murió en marzo del 2001 y dejó tras de si una larga trayectoria científica en Inglaterra, Sri Lanka y Australia. La entrada de wikipedia sobre Eliezer nos da una breve esbozo de su vida.

Su identidad tamil determió gran parte de su actividad, apoyando el movimiento pacífico para la independencia tamil en Sri Lanka. Eliezer estudió en Cambrige, donde su tesis doctoral fue dirigida por Dirac. Más tarde regresó a Sri Lanka donde ocupó la cátedra de matemáticas de la Universidad de Ceylon de entonces separada en varias universidades en 1978. Desde finales de los cincuenta hasta finales de los sesenta estuvo al frente de la facultad de ciencias de la universidad de Malasia en Kuala Lumpur. Por último, fue profesor de matemáticas en La Trobe University de Victoria en Austrialia.

El aspecto de su trayectoria que más nos interesa en esta entrada de mi blog es su trabajo sobre la estabilidad del átomo de hidrógeno con Dirac. El mismo Eliezer lo describía así (de aquí):

After months of my preliminary reading, Dirac suggested that I look into the hydrogen atom problem, with radiation taken into account. From the family of mathematical solutions, one had to select a physically acceptable solution.

I first tried the three-dimensional case, then the two-dimensional and finally the straight line case where an electron is projected towards a stationary proton. I had expected (and so had Dirac) that one would get different solutions with the electron hitting the proton in different ways...

Methods of solving non-linear differential equations were not well known in those days. I was foolish enough to think that an exact solution could exist, but I could not find one. I wrote off to Miss.M.L.Cartwright and Professor J.E.Littlewood for advice. Both of them very kindly helped. It turned out that the electron got stopped before it could reach the proton.

I told this to Dirac, and he seemed surprised. Then he asked the obvious question which foolishly I had not asked myself. What does the electron do after it gets stopped? At the spur of the moment, I said: 'The electron would start moving outwards, then come to a halt, and move back towards the proton and get stopped, probably closer to the proton, and continue this oscillating motion till it falls into the proton'. Dirac's face lit up with pleasure. That is a very beautiful solution, he said.

I left the room in high spirits. But my elation was short lived. When I worked out the equation, I found that the electron, after its first stop, would move away from the proton in a run-away type solution. At the earliest opportunity, I met Dirac again and told him. He said he too had worked it out and come to the same conclusion. Write up what you have in a paper, he said. That paper was published in the Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (1943)

Lo que Eliezer fue capaz de probar es ni más ni menos que la estabilidad clásica del átomo de hidrógeno. Todos sabemos de los libros de texto que la física clásica no podría explicar la estabilidad del átomo de hidrógeno, ya que el electrón acelerado emite radiación, y la consiguiente pérdida de energía lo debería hacer colisionar contra el protón alrededor del cual orbita. Los libros de texto nos explican que la mecánica cuántica fue capaz de solucionar este problema al ser la función de onda del electrón en el átomo estacionaria y el valor de expectación de la velocidad del electrón nulo.

Pero independiéntemente de si la conclusión sobre el colapso clásico del electrón es correcta o no, el argumento para llegar a ella que nos muestran ingénuamente los libros de texto no es correcto porque ignora la reacción de la carga (el electrón) a su propia radiación. Lo que Eliezer mostró en los años cuarenta es que asumiendo que la reacción a la radiación viene dada por la fórmula de Dirac-Lorentz (o Abraham-Lorentz), el electrón no colisionará nunca con el protón, y el átomo será estable sin necesidad de introducir la cuántica. Se sabe no obstante que la fórmula de Dirac-Lorentz predice situaciones clásicas inaceptables, por lo que se puede poner en duda las conclusiones de Eliezer.

En cualquier caso, mi impresión (personal) es que el problema de la estabilidad del átomo de hidrógeno sirvió como uno de los muchos pretextos para introducir la cuántica a principios de siglo, pero creo que todavía hoy no está claro si puede existir una solución clásica al problema debido precisamente al problema de analizar clásicamente la reacción a la radiación. Un problema extremadamente complejo.

Francisco José Ynduráin - In memoriam

2008-06-13T09:40:00.010+02:00

Hace unos meses, que será ya casi más de un año, tuvimos un debate interesante en los foros de la asociacionhubble.org sobre la función de onda del fotón. La discusión rondaba en torno al famoso libro sobre mecánica cuántica de Francisco José Ynduráin. Queríamos saber si la afirmación del libro sobre la existencia de una función de onda para el fotón era una afirmación soportada por algún argumento riguroso, o si se trataba sólo de un recurso didáctico. Dejando de lado detalles técnicos de esta discusión, el caso es que para aclarar la situación mandé un email a Ynduráin, el cual me contestó muy amablemente.

Después de un corto pero interesantísimo intercambio de emails tras su primera respuesta, Yunduráin se ofreció a mandarme por correo postal su libro mecánica cuántica relativista, editado, pero aparentemente nunca puesto a la venta, y, del cual, según me dijo, tenía varias montañas de ellos en su despacho. Me sorprendió muy agradablemente la sincera intención de ayudar de forma desinteresada. El libro lo recibí en un par de días en casa, muy contento de haber contactado con alguien tan dispuesto a ayudar pese a mi nula relación con el mundo académico de la física teórica.

Cómo son las cosas, que tras un intercambio de emails que vino después, resultó inesperadamente que el pasado zaragozano de Francisco José Ynduráin, el cual vivió hasta los 26 años en la cuidad de Palafox, se había cruzado con el pasado familiar mío. Una sorpresa inesperada en un mundo que es como un pañuelo. "Die Ewigkeit sitzt am Ufer des Augenblicks die Zeit schlägt Brücken", la eternidad se encuentra en la orilla del instante, el tiempo crea puentes, son sugerentes palabras del escritor austriaco Ernst Ferstl para recordarnos que el tiempo trae, pero también se lleva.

Francisco José Ynduráin ha fallecido hace una semana (el viernes 6 de junio) a los 67 años. Yndurán fue una de las figuras más relevantes de la investigación y docencia de la física teórica en España. Su entrada de wikipedia:

Francisco José Ynduráin Muñoz

Materia entre planetas, estrellas y galaxias

2008-06-10T08:39:00.007+02:00

¿Qué es lo que encontramos en el universo en el espacio entre planetas, estrellas y galaxias? Esta es una pregunta cuya respuesta depende de la escala que se considera. Vayamos por tanto desde lo más pequeño hasta lo más grande.

Entre planetas: el medio interplanetario

En el sistema solar, entre sus planetas, asteroides, etc., encontramos lo que se conoce como medio interplanetario, de una densidad de una docena de partículas de polvo por centímetro cúbico. Está formado básicamente por polvo que da lugar al fenómeno de la luz zodiacal, y también por un plasma caliente del viento solar.

El campo magnético de la tierra nos apantalla frente al viento solar y la atmósfera de la tierra frente al polvo interplanetario. Este medio por tanto no se encuentra a escalas menores en nuestro planeta.

La luz zodiacal a lo largo de la eclíptica creada por la luz solar reflejada en las partículas de polvo del medio interplanetario

Entre estrellas: el medio interestelar

Ahí lo que hay es el medio interestelar, con varias fases de densidad y composición. Hay regiones frías de polvo con unas mil partículas por centímetro cúbico. Hay también fases muy calientes en los interiores de las burbujas generadas por supernovas a temperaturas de un millón de grados y con unos 0.001 partículas (protones, electrones, etc.) por centímetro cúbico. Y hay también fases intermedias que suelen ser las regiones de HI o las de HII cerca de las estrellas, con densidades desde una a cien partículas por centímetro cúbico.

Una región HII del medio interestelar

El viento solar genera una presión que expulsa el medio interestelar de la región interplanetaria. Con ello este medio no se puede encontrar entre planetas sino únicamente a escalas mayores que planetas.

El viento solar crea la helioesfera e impide que el medio interestelar penetre en el sistema solar

Una interesante entrada en este blog sobre el medio interestelar:

El medio interestelar y la fascinación del cielo nocturno

Entre galaxias: el medio intergaláctico y el medio intracumular

Aquí hay algo conocido como medio intergaláctico y también algo usualmente conocido como medio medio intracumular.

El término medio intracumular refiere a un gas caliente a 10^7 K, con unas 0.001 partículas por centímetro cúbico emitiendo rayos-X, y que se encuentra envolviendo los cúmulos galácticos en un equilibrio hidroestático en ellos.

El medio intracumular en el cúmulo Abel 2199

El término medio intergaláctico refiere a lo que se encuentra entre las galaxias y no es medio intracumular. Su composición depende del desplazamiento al rojo. En el universo actual existen filamentos y paredes (en los que se encuentran también los cúmulos galácticos) con un medio intergaláctico de una temperatura algo menor que el medio intracumular y densidad algo mayor. Por otro lado, fuera de los filamentos, existen grandes vacíos de densidad muy baja aunque no vacíos del todo.

Simulación del medio intergaláctico en filamentos a desplazamientos al rojo bajos

A desplazamientos al rojo algo más altos la cantidad de cúmulos galácticos disminuye, ya que el colapso gravitatorio de muy grandes estructuras no ha empezado. El medio intergaláctico ahí está formado básicamente por las denominadas nubes de Lyman-alfa con HI.

Similar al caso anterior, el medio interestelar dentro de las galaxias básicamente impide que el medio intracumular entre en ellas. El medio intracumular y el intergaláctico se encuentran por tanto únicamente a escalas mayores que las galaxias.

Una interesante entrada en este blog sobre el medio intergaláctico a desplazamientos al rojo bajos:

¿Dónde están los bariones?

Hasta aquí la materia bariónica.

Entre galaxias y en la galaxia: la materia oscura

A escala galáctica e intergaláctica existe también una gran cantidad de materia no-bariónica (materia oscura). Esta envuelve toda la galaxia en un halo. La composición de esta materia es desconocida y sólo es postulada debido a observaciones indirectas. Promediando a grandes escalas la densidad media de la materia oscura es diez veces mayor que la de toda la materia bariónica.

La materia oscura penetra en la galaxia y debería envolvernos también a nosotros en el sistema solar. Esto es así porque los medios anteriores no interactúan con ella y la presión que ejercen no le afecta. La materia oscura es no-bariónica y no responde a la interacción electromagnética. Su distribución a gran escala es similar a la de la materia bariónica, ya que esta última sufrió colapso gravitatorio precisamente en las regiones en las que preexistía materia oscura.

La distribución de materia oscura a gran escala

En todo el universo: la energía oscura

También se cree que existe energía oscura. Esto es algún tipo de energía o campo que permea el espacio a todas las escalas de forma homgenea e isótropa. Igualmente la composición de esta energía es desconocida y sólo es postulada debido a observaciones indirectas. Promediando a grandes escalas la densidad media de la energía oscura es dos o tres veces mayor que la de toda la materia (bariónica y oscura).

Se cree que la energía oscura se encuentra en todas las escalas y todos los lugares del universo, distribuida de forma homogenea e isótropa. Con ello, llegamos por último a los fondos de partículas.

El orígen de la energía oscura y la constante cosmológica, un misterio para la física desde hace casi un siglo

En todo el universo: los fondos de partículas

Por último todo el universo está lleno de varios fondos de partículas cuya densidad energética media es muy baja. Uno de ellos es un fondo homgeneo e isótropo de fotones, conocido como fondo cósmico de microondas, con unos 400 fotones por centímetro cúbico. Otro fondo es un supuesto fondo de neutrinos, y probablemente también debería haber un fondo de gravitones.

Estas partículas, en concreto el fondo de fotones, se encuentran en cualquier lugar del universo. Lo mismo debería ocurrir para el resto de los fondos.

En análisis de las ligeras inhomogeneidades del fondo de fotones ha proporcionado dos premios Nobel en 2006

En este blog encontrarás varias entradas sobre el fondo de microondas siguiendo la etiqueta de abajo.

Estrellas de bosones

2008-06-09T13:28:00.001+02:00

La clave para entender la idea tras las estrellas de bosones es el principio de exclusión de Pauli y el concepto asociado de presión de degeneración.

El principio de exclusión de Pauli significa que dos fermiones no pueden estar en el mismo estado. El mismo estado significa mismos números cuánticos y misma posición. Es por ello por lo que dos electrones en el mismo orbital atómico, de los cuales existe cierta probabilidad de que estén en el mismo punto espacial, no pueden tener el mismo espín.

Relacionado con esto está en concepto de presión de degeneración. Si uno tiene un gas de fermiones, por ejemplo electrones, y lo comprime, aparece una presión dada por el principio de incertidumbre de Heisenberg. Este principio dice que dx dp > h, es decir, que la indeterminación simultanea del momento y la posición ha de ser siempre mayor que la constante de Planck. Siendo dp positivo, esto hace que a mayor confinamiento en la posición la indeterminación en el momento lineal de los fermiones es cada vez mayor, y con ello su momento lineal medio aumente.

En las estrellas enanas blancas la presión de degeneración de un gas de electrones es lo que las mantiene estables frente al colapso gravitatorio. Si la masa es mayor y el colapso más fuerte, los electrones acaban por ser confinados tanto que el principio de Pauli ya no puede cumplirse. Como este principio es extremadamente fundamental, la solución de la naturaleza a esta situación es convertir el gas de electrones en otra cosa, uniéndolos a los protones para dar lugar a neutrones.

Los neutrones, a su vez, también son fermiones y el principio de exclusión de Pauli se cumple para ellos. Otra vez, si la masa y el colapso gravitatorio son suficiéntemente fuertes, los neutrones acabarán por estar tan confinados que deberán convertirse en otra cosa a costa de mantener la validez del principio de exclusión de Pauli. El siguiente paso aquí es que, debido a las altísimas presiones, los quarks que componen a los neutrones pueden quedar libres (la interacción nuclear fuerte disminuye con la energía), dando lugar a una estrella de quarks.

En principio nada impide teóricamente que la gravitación sea aun más fuerte todavía. En general, hemos visto que la naturaleza procede de forma que convierte unos fermiones en otros con presión de degeneración mayor tan pronto que el principio de exclusión está en peligro de ser violado. El siguiente paso, a falta de partículas más fundamentales o posibles transformaciones más energéticas de los quarks, es ya la formación de un agujero negro en el cual la noción de fermión carece de sentido. En general, en el agujero negro las leyes físicas conocidas hoy no son válidas.

Ahora imaginemos la misma situación pero con bosones. Para ellos el principio de exclusión de Pauli no es válido. Dos bosones pueden estar perféctamente en el mismo estado y con ello en la misma posición. Si la gravitación de un gas de bosones es muy fuerte, éstos adquirirán una presión debido al principio de incertidumbre la cual podrá contrarrestar a la gravitación. Si la gravitación aumenta, los bosones adquirirán mayor presión debido al principio de incertidumbre. En principio, la presión que pueden adquirir es arbitrariamente grande. A diferencia de los fermiones, los bosones mantienen su identidad y todo se reduce a un equilibrio entre colapso y principio de incertidumbre.

El radio de una estrella así será no obstante extremadamente pequeño, de ahí la dificultad de diferenciarlas observacionalmente de los agujeros negros. Por otro lado, hay que notar que, al igual que los agujeros negros, las estrellas de neutrones tendrán discos de acreción de material interestelar. Estando compuesto este por fermiones, es de esperar que la estrella de bosones trague masa fermiónica, la cual empezará a ser dominante tarde o temprano, y acabe convertida también en un agujero negro.

La física de las estrellas de bosones es muy compleja y esto mencionado aquí es sólo una noción intuitiva. A mí me consta a que la objección de la acreción de material fermiónico mencionada en el párrafo anterior es bastante fuerte, y hace que la hipótesis quede algo de lado como alternativa a los agujeros negros centrales de galaxias. Aquí pongo un par de referencias diversas sobre el tema, el interesado puede buscar en google o en arXiv.org con "boson stars".

TOPICAL REVIEW: General relativistic boson stars: Un compendio general sobre el tema, tanto teoría como posibles experimentos

A supermassive boson star at the galactic center?: Un estudio sobre la posibilidad de que en el centro de la Vía Láctea haya una estrella de bosones y no un agujero negro supermasivo

Boson Stars: Alternatives to primordial black holes?: Las estrellas de bosones como posibles candidatos a materia oscura

Del sentido del humor. Lin Yutang

2008-06-05T15:53:00.002+02:00

Lin Yutang. La importancia de vivir.

DEL SENTIDO DEL HUMOR

Dudo que haya sido plenamente apreciada la importancia del humor, o la posibilidad de su empleo para modificar la cualidad y el carácter de toda nuestra vida cultural: el papel del humor en la política, en el estudio y en la vida. Porque su función es química, mas que física, altura la textura básica de nuestro pensamiento y experiencia.

La incapacidad de reír le costó al ex Kaiser Guillermo un imperio. Guillermo de Hohenzollern podría reír probablemente en su vida privada, pero siempre parecía terriblemente impresionante con sus bigotes hacia arriba en la vida pública, como si estuviera furioso con alguien. Y luego la calidad de su risa y las cosas de que reía- risa por la victoria, por el buen éxito, por ponerse sobre los demás- fueron factores igualmente importantes para determinar la fortuna de su vida. Alemania perdió la guerra porque Guillermo de Hohenzollern no sabía en que punto reír. Sus sueños no estaban contenidos por la risa.

Por otra parte, la tremenda importancia del humor en la política solo puede ser comprendida cuando imaginemos un mundo de gobernantes bromistas. Enviemos por ejemplo, cinco o seis de los mejores humoristas del mundo a una conferencia internacional, y démosles poderes plenipotenciarios de autócratas, y el mundo se salvará. Como el humor marcha necesariamente de la mano con el buen sentido y el espíritu razonable, mas algunos poderes excepcionalmente sutiles de la mente para notar inconsistencias y locuras y mala lógica, y como esta es la forma mas alta de la inteligencia humana, podemos estar seguros de que cada nación estará representada en la conferencia por su espíritu mas cuerdo y mas sano.

Porque, ¿quiénes iniciaron nuestras guerras? Los ambiciosos, los capaces, los hábiles, los que alientan designios, los cautos, los sagaces, los altaneros, los patriotas en exceso, los inspirados por el deseo de “servir” a la humanidad, los que tienen que hacerse una “carrera” y6 causar una impresión en el mundo, que esperan poder mirar al mundo con los ojos de una figura de bronce montada sobre un caballo de bronce en alguna plaza. Es curioso que los capaces, los hábiles y los ambiciosos y altaneros, son al mismo tiempo los mas cobardes y confusos, pues carecen de la valentía y la profundidad y la sutileza de los humoristas. Están siempre dedicados a trivialidades, en tanto que los humoristas, con su mayor alcance de espíritu, pueden pensar en cosas mas grandes.

Esto es lo que concibo como función química del humor: cambiar el carácter de nuestros pensamientos. Creo en verdad, que llega a la raíz misma de la cultura, y abre un camino para llegar a la Edad Razonable en el mundo humano del futuro. Para la humanidad no puedo imaginar ideal mas grande que el de la Edad Razonable. Porque eso, al fin y al cabo, es la única cosa importante: la llegada de una raza de hombres imbuidos de un espíritu razonable mas grande, con mayor predominio del buen sentido, con pensamientos sencillos, un temperamento apacible y una perspectiva culta. El mundo ideal para la humanidad no será un mundo racional, ni un mundo perfecto en sentido alguno, sino un mundo en el que se perciban con certeza las imperfecciones y se resuelvan razonablemente las disputas.

Es difícil imaginar esta especie de nuevo mundo, porque nuestro mundo actual es tan diferente. En conjunto, nuestra vida es demasiado compleja, nuestros estudios demasiado serios, nuestra filosofía demasiado sombría y nuestros pensamientos y estudios hacen que el mundo presente sea hoy tan desagradable. Debe darse por sentado que la sencillez de la vida y de pensamiento es el ideal más alto y más cuerdo de la civilización y la cultura, que cuando una civilización pierde su sencillez y los sofisticados no abandonan su sofisticación, la civilización se perturba cada vez más y degenera. El hombre se convierte en esclavo de las ideas, pensamientos, ambiciones y sistemas sociales que son su producto. Pero los humoristas manejan las ideas y los pensamientos, como los campeones de golf o de billar manejan sus palos o tacos. Hay en ellos una facilidad, una seguridad, una ligereza de toque que proviene de la maestría. Al fin y al cabo, solo el que maneja ligeramente sus ideas es dueño de ellas. La seriedad , es a fin de cuentas, solo un signo de esfuerzo, y el esfuerzo es un signo de imperfecta maestría.

La sencillez es, pues, paradójicamente, el signo externo y el símbolo de la profundidad de pensamiento. Me parece que la sencillez es lo más difícil de lograr en el estudio y en la literatura. Muy difícil es la claridad de pensamiento, y sin embargo, sólo cuando el pensamiento se hace claro resulta posible la sencillez.

Conservación de la energía y expansión del universo

2008-06-05T09:52:00.002+02:00

La expansión del universo es adiabática para todo volumen suficiéntemente grande. Esto es así porque para todo volumen suficiéntemente grande el principio cosmológico es aplicable, lo cual significa que no existen flujos de materia o energía a través del volumen mencionado. Por tanto, se puede aplicar la siguiente ecuación relacionando energía interna y presión de un gas:

La interpretación del trabajo es no obstante algo diferente de la de un gas en expansión adiabática en un volumen, donde el gas actúa con presión en las paredes del volumen. Aquí se trata más bien de un trabajo realizado en cada punto del espacio. Para un fluido perfecto, que en cosmología es asumido como modelo para los componentes del universo, se tiene y . Por tanto:

Esto se resuelve en:

Esto muestra que todo depende del parámetro de estado .

Si entonces la energía interna se conserva.

Si es mayor que cero, entonces la energía interna disminuye a medida que el volumen aumenta. Este es el caso de gases relativistas, como el fondo cósmico de microondas, en el cual el aumento de la longitud de onda de los fotones contribuye a que estos pierdan energía al expandir.

Si es menor que cero, entonces la energía interna aumenta. Este es el caso de la energía oscura. Si se trata de una constante cosmológica , por lo que , y la densidad de energía se mantiene constante . pese a la expansión del espacio. Esto no significa que la conservación de la energía se viole, ya que hay que tener en cuenta que existe una presión, realizando un trabajo, que contribuye a tal comportamiento.

La misma ecuación mencionada arriba se puede obtener de la relatividad general calculando la divergencia del tensor de energía-momento en un espacio cosmológico. Estos resultados son exactos para un espacio-tiempo cosmológico y no dependen de ninguna aproximación. No obstante, está por ver el significado físico de ese trabajo realizado durante la expansión. Uno podría pensar que va a la expansión del espacio-tiempo, pero faltando una definición de energía del espacio-tiempo ese trabajo también puede considerarse como perdido. Esto nos pone frente a uno de los problemas conceptualmente más complicados en la relatividad general: la definición de energía y su conservación.

Dilatación temporal gravitatoria

2008-06-03T13:37:00.004+02:00

En este artículo vamos a ver la diferencia ente la dilatación temporal en un espacio-tiempo de Schwarzschild y en uno cosmológico. En ambos calcularemos la dilatación temporal para dos observadores estacionarios que (i) intercambian rayos de luz y que (ii) leen relojes.

La dilatación temporal es la relación entre tiempos propios para dos observadores diferentes en el espacio-tiempo.

Dilatación temporal en el espacio-tiempo de Schwarzschild

Partamos del elemento de línea del cual no nos interesan las coordenadas angulares

Una señal luminosa sigue una geodésica nula

Consideremos dos observadores estacionarios en sistema coordenado en el cual el elemento de línea tiene tal forma. El primero en una posición y el segundo en . El primer observador lanza un rayo de luz hacia el segundo. Este rayo de luz es emitido en y recibido en .

Luego, el primer observador lanza otro rayo de luz hacia el segundo. Este rayo es emitido en y recibido en . La distancia recorrida por la luz es

El término de la izquierda es igual en ambos casos, al estar ambos observadores estacionarios. Por tanto

Separando en tramos de integración adecuadamente resulta en

Si el segundo rayo de luz fue emitido infinitesimalmente después del primero entonces

y

Es la dilatación temporal como relación diferencia entre los tiempos coordenados. La dilatación temporal se mide no obstante en tiempos propios. Para obtenerla debemos encontrar la relación entre tiempo coordenado y tiempo propio. Como ambos observadores son estacionarios y

Por tanto

¿Qué ocurre ahora si ambos observadores quieren leer relojes calibrados igualmente? Esto sólo es posible en el mismo punto espacial, ya que de otra forma o bien hay que usar señales para comunicar el resultado o bien hay que transportar los relojes. En el espacio-tiempo de Schwarzschild dos observadores en el mismo punto espacial en dos épocas diferentes tienen el mismo intervalo de tiempo propio al ser y el tiempo coordenado cubre todo el espacio-tiempo y es común a ellos.

Es decir, supongamos un observador que calibro su reloj para que avance de acuerdo a una determinada definición de segundo. Lo deja en el mismo lugar espacial y tras cierto tiempo otro observador observa su avance temporal. Asumiendo la misma definición invariante de segundo, este observador lo va a ver avanzar igual que un reloj que haya construido él mismo de acuerdo con tal definición.

Dilatación temporal en el espacio-tiempo cosmológico

Partamos del elemento de línea del cual no nos interesan las coordenadas angulares

Una señal luminosa sigue una geodésica nula

Consideremos dos observadores estacionarios en sistema coordenado en el cual el elemento de línea tiene tal forma. El primero en una posición y el segundo en . El primer observador lanza un rayo de luz hacia el segundo. Este rayo de luz es emitido en y recibido en .

Luego, el primer observador lanza otro rayo de luz hacia el segundo. Este rayo es emitido en y recibido en . La distancia recorrida por la luz es

El término de la izquierda es igual en ambos casos, al estar ambos observadores estacionarios. Por tanto

Separando en tramos de integración adecuadamente resulta en

Si el segundo rayo de luz fue emitido infinitesimalmente después del primero entonces

y

Es la dilatación temporal como relación diferencia entre los tiempos coordenados. La dilatación temporal se mide no obstante en tiempos propios. Para obtenerla debemos encontrar la relación entre tiempo coordenado y tiempo propio. Como ambos observadores son estacionarios dr = 0 y

Por tanto

¿Qué ocurre ahora si ambos observadores quieren leer relojes calibrados igualmente? Esto sólo es posible en el mismo punto espacial, ya que de otra forma o bien hay que usar señales para comunicar el resultado o bien hay que transportar los relojes. En el espacio-tiempo cosmológico dos observadores en el mismo punto espacial en dos épocas diferentes tienen el mismo intervalo de tiempo propio al cubrir el tiempo coordenado todo el espacio-tiempo y ser común a ellos.

Igual que en el caso anterior, supongamos un observador que calibro su reloj para que avance de acuerdo a una determinada definición de segundo. Lo deja en el mismo lugar espacial y tras cierto tiempo (cosmológicamente hablando) otro observador observa su avance temporal. Asumiendo la misma definición invariante de segundo, este observador lo va a ver avanzar igual que un reloj que haya construido él mismo de acuerdo con tal definición.

Conclusión

Pese a las diferencias entre ambas métricas se puede llegar a una conclusión simple. Tanto para el espacio-tiempo de Schwarzschild como para el cosmológico no hay diferencia en los intervalos de tiempos propios para observadores en el mismo punto espacial pero épocas diferentes. No obstante, tan pronto como el observador se encuentra a cierta distancia y usa señales luminosas para describir eventos, entonces aparece la dilatación temporal en ambos espacio-tiempos.

Referencias

En relación con este tema hay otro artículo interesante en este blog:

El desplazamiento al rojo cosmológico como resultado de la curvatura del espacio-tiempo

Stonehenge ¿nostalgia de un pasado mejor?

2008-06-02T13:26:00.002+02:00

Hace unos días he visto un documental donde el arqueólogo Lionel Sims presentaba su sorprendente teoría sobre el orígen y sentido de Stonehenge. Según Sims, la función central de Stonehenge vino determinada por la transición entre el culto a la luna y el culto al sol. Antes del culto al sol y las estaciones se adoraba la luna, y antes de ser agricultores sedentarios los humanos fuimos cazadores y recolectores. La luna determinaba las noches propicias para la caza, y la luna influía también la menstruación de las mujeres en pequeños grupos tribales, guiando la vida en los aspectos más importantes de abastecimiento y reproducción. Stonehenge fue construido cuando la humanidad estaba en transición. Por un lado aparece una necesidad de predecir condiciones climatológicas estacionales por medio de los periodos solares, determinantes para la siembra, etc. Por otro lado, no obstante, Sims va más allá y postula que Stonehenge fue construido con la intención de mostrar que el sol se comportaba igual que la luna y la seguía en su trayectoria celeste. Es decir, la función de Stonehenge fue mostrar que la nueva divinidad solar estaba subyugada o jerárquicamente por debajo de la divinidad lunar anterior. Su tesis la presenta Sims con detalle (demasiado detalle para legos como yo) en el siguiente artículo:

The ‘Solarization’ of the Moon: Manipulated Knowledge at Stonehenge
www.radicalanthropologygroup.org/pub_sims_solar_moon.pdf

Stonehenge, ¿una manifestación de la añoranza por un pasado mejor?

Aquí hay un interesante aspecto de manipulación de información por medio de una clase dominante que tenía el conocimiento y quería presentarlo de cierta manera para convencer y llevar al resto hacia una determinada forma de entender el mundo. Algo que se ha repetido a lo largo de toda la historia de la humanidad, pero que no es lo que me atrae en la idea de Sims. Lo interesante para mí es la añoranza por una época pasada más unida con la naturaleza. Una añoranza necesariamente presente entonces si se ha de creer a Sims, y que impulsó a la construcción del Stonehenge como mecanismo para aplacarla o encauzarla correctamente. Mostar la nueva relación entre sol y luna fue requerida para convencer a una nueva sociedad sedentaria, añorante del pasado más libre y sencillo de cazadores y recolectores, y forzada a la transición probablemente por unas nuevas condiciones climáticas que cambiaron ostensiblemente el entorno entonces propicio para la caza.

En este sentido es curioso notar las analogías que se presentan con la transición de la vida de agricultura sedentaria a la vida de la ciudad. Ahí no encontramos un Stonehenge como monumento a un pasado, sino sobre todo una monumental collección de obras de arte, presentes especialmente en el romanticismo europeo de los siglos XVIII y XIX, con intención de mostrar o recordar la naturaleza como lo verdadero y fundamental frente a la civilización.

El romanticismo y la vuelta a la naturaleza

Una figura especialmente interesante desde este punto de vista es el americano John Muir, el cual ya he mencionado una vez en este blog: Un paseo por el bosque - Homenaje a John Muir. No es su intención la de llevarnos a todos otra vez al campo, sino la de mostrarnos la importancia de la naturaleza y especialmente hacer crecer en nosotros el respeto hacia ella. Un respeto casi místico, pero muy concreto y bello. De ahí a las estrellas sólo hay un paso, pequeño para cualquier hombre, pero fundamental para la humanidad.

Malas noticias para la GP-B

2008-05-31T09:50:00.006+02:00

Los problemas con los torques inesperados en los giroscopios de la Gravity Probe B que hemos mencionado recientemente aquí requieren un análisis más detallado de los datos para llegar a resultados científicos definitivos. Esto ha llevado a la petición de una extensión en los fondos para la misión de 3.8 millones de dolares hasta 2010, cosa que ha sido rechazada por la NASA:

http://einstein.stanford.edu/highlights/status1.html

El equipo de la GP-B se enfrenta con esto a un inesperado rechazo para concluir el trabajo empezado. La negativa a proporciona los fondos parece estar relacionada con una reestructuración en la NASA que la ha dejado sin un departamento dedicado exclusivamente a proyectos de física fundamental. Por otro lado quizás también con el poco tirón popular de misiones como esta frente a otras como el Hubble, etc. y quizás también el hecho que los resultados preliminares no presenten excesivas sorpresas al presentar un resultado acorde con la relatividad general.

En cualquier caso, desde el punto de vista meramente científico, e independientemente de los costes o la relación resultados / coste de esta misión, estamos aquí frente a una mala noticia para lograr o finalizar un sólido paso adelante en la comprensión de la gravitación.

In March 2008 at NASA's invitation, we submitted a proposal to the Science Mission Directorate, Astrophysics Division Senior Review of Operating Missions (Sr. Review), requesting a final 18-month (October 2008 through March 2010), $3.8M extension of GP-B to complete the data analysis and publish the results. In April, as part of the Sr. Review process, GP-B Principal Investigator, Francis Everitt, and Program Manager, William Bencze, made a presentation to the Sr. Review Committee at NASA Headquarters, where it appeared to have been favorably received.

Thus, we were greatly surprised last week to discover that the Sr. Review had recommended that NASA not grant our final funding extension,...

Todo listo para el lanzamiento del GLAST

2008-05-30T12:47:00.006+02:00

El 3 de junio va a ser lanzado el muy esperado GLAST (Gamma-ray Large Area Space Telescope) desde Cabo Cañaveral. El lanzamiento depende del éxito del lanzamiento del Discovery el día 31 de mayo, y será retrasado si éste también se retrasa.

El GLAST es uno de los proyectos científicos más importantes que se incian este año junto con el LHC y el Planck:

http://glast.gsfc.nasa.gov/

Sus objetivos científicos:

* Explore the most extreme environments in the Universe, where nature harnesses energies far beyond anything possible on Earth.
* Search for signs of new laws of physics and what composes the mysterious Dark Matter.
* Explain how black holes accelerate immense jets of material to nearly light speed.
* Help crack the mysteries of the stupendously powerful explosions known as gamma-ray bursts.
* Answer long-standing questions across a broad range of topics, including solar flares, pulsars and the origin of cosmic rays.

Los primeros resultados estarán disponibles probablemente dentro de un año.

La evolución de la curvatura del espacio en los modelos FRW

2008-05-27T11:47:00.003+02:00

¿Cómo evoluciona la curvatura del espacio en la cosmología estándar basada en los modelos homogeneos e isótropos de Friedmann-Robertson-Walker? Esta es una pregunta interesante, que se puede responder con matemáticas sencillas. La primera ecuación de Friedmann sin constante cosmológica:

se puede reformular como

es decir

con un valor siempre positivo que es la relación entre la densidad y la densidad crítica necesaria para hacer el espacio plano. Si la densidad es menor que la crítica es menor que uno y el espacio es abierto. Si la densidad es mayor que la crítica es mayor que uno y el espacio es cerrado.

Para un modelo con materia por lo que

Si el espacio es cerrado y a medida que el factor de escala aumenta aumenta también (sólo tiene sentido físico la rama con positivo).

Si el espacio es abierto y a medida que el factor de escala aumenta disminuye (igualmente sólo tiene sentido físico la rama con positivo).

Para un modelo con radiación se puede mostrar lo mismo. Un modelo con constante cosmológica puede modelarse como , por lo que

e independiéntemente de el valor de tiende a uno (igualmente sólo tiene sentido físico la rama con positivo):

En definitiva, todo modelo que tiene constante cosmológica o energía oscura tiende a convertirse en plano. Todo modelo con materia o radiación tiende a hacerse más abierto o más cerrado. Modelos mezclados evolucionan haciéndose más abiertos o cerrados mientras domina la radiación o la materia, pero en esos modelos la energía oscura acaba tarde o temprano por dominar y empiezan a convertirse poco a poco en planos.

Finalmente, si el universo es exáctamente plano se queda plano siempre independiéntemente del contenido que tenga:

Dos caminos para la cuantización de la relatividad general

2008-05-07T16:47:00.005+02:00

Para cuantizar la relatividad general hay históricamente dos formas de proceder, ambas aparentemente con orígen en artículos de Bryce DeWitt.

La gravedad cuántica covariante

Una es considerar la métrica k como un campo tensorial, análogamente al resto de los campos de la teoría cuántica de campos. En tal caso existe un espacio-tiempo de fondo plano que determina la causalidad con su métrica n. El campo métrico en cuestión son perturbaciones del espacio-tiempo de fondo en el límite de campos débiles de forma que se tiene una modificación ligera de él g = n + k.

A partir de aquí, y manteniendose fieles a la covarianza de la teoría y el tratamiento homogeneo de espacio y tiempo, se puede pasar a cuantizar haciendo uso de la integral de caminos de Feyman con el Lagrangiano de Einstein-Hilbert para k, y procediendo con los métodos usuales usados en las teorías de gauge (Faddeev-Popov ghosts, etc.). La simetría de gauge aquí son los difeomorfismos espacio-temporales de la métrica k. Esta forma de proceder da lugar a una teoría cuántica de campos del gravitón y se conoce como gravedad cuántica covariante.

El principal problema es que todo indica que tal teoría no es renormalizable. Conceptualmente, además, esta teoría no es una teoría del espacio-tiempo ya que no explica el orígen de la parte n de g pese a ser de la misma naturaleza que k. Esto significa que la teoría no es independiente del fondo.

La gravedad cuántica canónica

Otra forma es partir del formalismo hamiltoniano de la relatividad general y considerar como variables dinámicas la métrica espacial h (tridimensional) y su momento conjugado p para un espacio-tiempo general cualquiera (aunque globalmente hiperbólico y causalmente bien definido). Las ecuaciones de Einstein derivadas de acción de Einstein-Hilbert para g quedan reformuladas en unas ecuaciones de movimiento para h y p seleccionando un eje temporal para describir su evolución.

Para establecer una teoría cuántica se procede entonces a imponer las relaciones de conmutación instantaneas (para un valor del tiempo) para h y p. Los difeomorfismos espacio-temporales de la métrica g quedan naturalmente separados en difeomorfismos temporales (o reparametrizaciones temporales) y difeomorfismos espaciales. Se puede mostrar que el Hamiltoniano de una teoría temporalmente reparametrizable es idénticamente nulo, por lo que las ecuaciones de movimiento hamiltonianas resultantes sufren del problema del tiempo.

Es esta segunda forma de proceder la que se asume que es más fundamental que la primera debido al problema de la dependencia del fondo en la primera forma de proceder. Es también esta forma de proceder la que sirve de inspiración a la gravedad cuántica canónica basada en la representación de lazos (gravedad cuántica de lazos o LQG) y, según me consta a mí, de la que se cree que en el límite apropiado debería poder derivarse una teoría cuántica de campos del gravitón consistente.

Una introducción al tema tomando como analogía el campo electromagnético es dada aquí:

The quantization of gravity - an introduction, David Wallace.

¿Qué fue de la Gravity Probe B?

2008-04-22T08:20:00.003+02:00

Reportamos hace tiempo sobre la física de la Gravity Probe B:

La GP-B y el gravitomagnetismo

y sobre el anuncio de sus primeros resultados:

Los primeros resultados de la GP-B

Estos primeros resultados de la GP-B indicaban una concordancia con la relatividad general para el frame dragging. Igualmente con la precesión geodética, aunque aquí los resultados no eran tan claros y se abría la posibilidad de discrepancia con la relatividad general.

Los resultados definitivos, no obstante, van a tardar en llegar. Se anunció hace tiempo que durante los meses de operación de la sonda se encontraron efectos inesperados que influyeron en la precesión de los giroscopios. Estos problemas son debidos a cargas electroestáticas acumuladas en los giroscopios que han dado lugar a torques adicionales. Ahora son necesarios análisis cuidadosos que retrasarán los resultados, ya que aparentemente estos fenómenos han resultado ser más complejos de lo que se creía en un principio. Una primera tanda está anunciada para septiembre de este año, pero el análisis final podría durar hasta el 2010. Hasta entonces es de esperar no obstante que los datos sean puestos a disposición pública.

No está dicha la última palabra aún sobre la relatividad general en la Gravity Probe B. Pero deberemos armarnos de paciencia...

Lorentz and Poincaré Invariance: 100 Years of Relativity

2008-04-21T16:01:00.005+02:00

Lorentz & Poincare Invariance: 100 Years of Relativity

La física del siglo veinte se caracteriza por un aspecto muy interesante: en un mismo formalismo matemático aceptado caben distintas interpretaciones físicas, radicalmente diferentes. Esto es válido para la relatividad especial, al igual que lo es para la mecánica cuántica. Dicho de forma algo más estricta: es válido para la simetría de Poincaré. La relatividad especial es ya una interpretación determinada de tal simetría de la naturaleza. Con interpretación me refiero aquí a una explicación ontológica de las matemáticas, una explicación que busca la razón de ser de tal formalismo.

Por ejemplo, al igual que una determinada interpretación de la mecánica cuántica nos dice a qué corresponde ese objeto matemático denominado función de onda, una interpretación de la simetría de Poincaré nos dice a qué tipo de principio cinemático ha de ser referida tal simetría. Desde otra perspectiva ilustrativa: la gravitación de Newton interpreta la gravitación como una acción a distancia entre masas, mientras que la relatividad general la interpreta como una deformación del espacio-tiempo. La relatividad general supera y anula a la gravitación Newtoniana en lo referente a la interpretación, aunque el formalismo de esta segunda sigue siendo válido como límite en la primera.

Este libro es una colección de publicaciones científicas que dan una visión diferente a la relatividad especial sobre la simetría de Poincaré. En la relatividad especial esta simetría es consecuencia de dos principios: (i) la constancia de la velocidad de la luz respecto de todo sistema inercial (ii) el principio de relatividad. Existen teorías que llevan a las mismas predicciones que la relatividad especial, y con ello a la simetría de Poincaré, a partir de principios diferentes. En algunos casos no acaba de estar claro si estas teorías son experimentalmente diferentes a la relatividad especial o si son completamente equivalentes. Es el caso por ejemplo de la convencionalidad en el concepto de simultaneidad. Es una cuestión interesante preguntarse si acaso es algo intrínseco de la física fundamental el darnos varias ontologías equivalentes para un mismo formalismo matemático.

En cualquier caso, dejando de lado el debate, el libro es una joya para el amante de la física moderna. Proporciona artículos históricos, y ya al abrir sus páginas queda claro que se trata de una colección seleccionada con cuidado, y que la edición del libro ha sido fruto de una sublime pasión por la ciencia.

Cosmología cuántica

2008-04-21T14:18:00.003+02:00

Mi nueva página personal ya está disponible:

http://www.geocities.com/cosmologiacuantica/

Mi página vieja ("El último monolito" en geocities.com/alschairn) mantiene contenidos, pero está condenada a desaparecer. Los contenidos más valiosos los migraré y el resto se perderá, like tears in the rain y expirando acorde con el principio de Landauer.

Puesta a punto del Planck

2008-04-18T13:57:00.004+02:00

El Planck va pasando sus últimos tests antes de ser lanzado el 31 de julio de este año: Planck Spacecraft Fine Balancing in LSS.

GRG special issue on dark energy

2008-04-09T09:15:00.001+02:00

La revista General Relativity and Gravitation ha publicado una colleción de artículos sobre la energía oscura: Special issue on dark energy. Algunos de ellos son antiguos, pero la lista refleja el estado del tema bastante bien:

- Editorial on the GRG special issue on dark energy, George Ellis, Hermann Nicolai, Ruth Durrer and Roy Maartens
- Supernovae and cosmology, Bruno Leibundgut
- Cosmology with galaxy correlations, Robert C. Nichol
- Is the evidence for dark energy secure?, Subir Sarkar
- Dark energy degeneracies in the background dynamics, Renée Hlozek, Marina Cortês, Chris Clarkson and Bruce Bassett
- Dark energy and dark gravity: theory overview, Ruth Durrer and Roy Maartens
- The dynamics of quintessence, the quintessence of dynamics, Eric V. Linder
- Extended theories of gravity and their cosmological and astrophysical applications, Salvatore Capozziello and Mauro Francaviglia
- The cosmological constant and dark energy in braneworlds, Kazuya Koyama
- Lemaitre–Tolman–Bondi model and accelerating expansion, Kari Enqvist
- Dark Energy from structure: a status report, Thomas Buchert
- Dark energy and gravity, T. Padmanabhan
- String cosmology: a review, Liam McAllister and Eva Silverstein
- The cosmological constant, Raphael Bousso
- The dark side of a patchwork universe, Martin Bojowald

El efecto Casimir y la energía negativa

2008-03-22T11:22:00.004+01:00

Cada campo tiene su vacío en la teoría cuántica de campos. Con el término vacío se entiende su estado de mínima energía. En general, en la teoría cuántica de campos los campos quedan descritos por una colección o serie de osciladores armónicos cuyos modos de oscilación posibles corresponden en principio con todas las longitudes de onda posibles. Esto se sigue del mero hecho de modelar el comportamiento del campo como una superposición de ondas a distintas frencuencias, y asumir unas ecuaciones de movimiento a nivel clásico.

Si hay un oscilador de estos "activado", es decir oscilando a una determinada frecuencia, se dice que existe una exictación del campo dando lugar a una o varias partículas de esa longitud de onda (o momento lineal según la relación de de-Broglie). Cuando no existen partículas el campo está en su estado vacío. No obstante, en su estado fundamental un oscilador armónico cuántico "desactivado" no tiene energía nula, sino , siendo la frecuencia y la constante de Planck normalizada. Esto es debido al principio de incertidumbre, que impide determinar posición y momento con precisión arbitrariamente grande, lo cual impide por tanto que la energía cinética y potencial en la ecuación de movimiento clásica del oscilador se anulen simultaneamente.

La energía del vacío del campo es una integral sobre todas las frecuencias de . Esta integral es infinita. No obstante, este valor se puede redefinir arbitrariamente a cero, ya que lo que interesa son valores respecto de él, que nos permitan distinguir lo que conocemos como "vacío", sin partículas, de excitaciones comportándose como partículas. Conviene por tanto restar ese infinito para poder seguir calculando y obteniendo resultados finitos.

El efecto Casimir aparece cuando se ponen dos placas muy cerca la una de la otra, de forma que debido a condiciones de contorno geométricas cualquier onda que sobreviva de forma estable en su interior ha de ser necesariamente estacionaria (ha de tener un nodo en cada placa). Está claro que esto hace que en la integral haya longitudes de onda (y por tanto frecuencias) que no contribuyen a ella y, por tanto, el resultado, aunque igualmente infinito, será menor que antes. Como antes hemos asumido la integral sobre todos los como valor cero de energía, ahora el resultado de la energía entre placas es negativo.

Todo esto vale si no se considera la relatividad general. Para la relatividad general la cosa cambia. Cambia porque en ella ya no está permitido tomar el cero de energía donde uno quiere y separar con ello entre energía positiva y negativa a placer. En la relatividad general la energía positiva es aquella que produce una deformación del espacio-tiempo como conocemos, generando gravitación y cumpliendo el principio de equivalencia, tal y como lo conocemos. La energía negativa se comporta de otra forma y su deformación inducida en el espacio-tiempo es o sería otra (por ejemplo, cierto folklore científico asume que la energía negativa podría ser usada para crear agujeros de gusano).

Por tanto, la pregunta es si la energía negativa obtenida en un experimento Casimir corresponde también con energía negativa gravitacional. Esto depende del valor en energía gravitacional que nos proporciona la energía del vacío de todos los campos juntos, aquella que por decreto en la teoría cuántica de campos tomamos como cero, pero que ahora debemos considerar. Aquí hay una sutileza respecto de la forma de calcular esta energía, ya que no es exáctamente igual a la integral de de todos los campos, sino que aparecen interacciones entre ellos que proporcionan otras contribuciones también. Pero esto lo vamos a olvidar aquí.

La pregunta es ¿cómo considerar esa energía y cómo saber cuál es su valor real a efectos gravitatorios? No tenemos otro modo de hacer esto salvo la observación experimental, ya que la respuesta teorica debería venir probablemente de una teoría que unifique cuántica y gravitación a un nivel fundamental. La observación experimental relevante aquí es la cosmología, concrétamente, los datos de distancias de luminosidad de la supernovas Ia, que indican una aceleración de la expansión del espacio. Esta se puede (pero no tiene por qué) deber a una energía del vacío. Los datos indican que esta energía es muy pequeña ("lambda" por constante cosmológica) pero no igual a cero.

Por tanto, para encontrar concordancia entre la teoría cuántica de campos, la relatividad general y la cosmología, asumimos que nuestro vacío cuántico tiene una energía que no tomamos como cero sino como el valor pequeño . Esto es, si ponemos dos placas muy cercanas, hay longitudes de onda que no pueden existir y que se restan a la energía total del vacío cuántico, por tanto, de . Si la distancia entre las placas es suficiéntemente pequeña, la cantidad de longitudes de onda que no pueden existir es suficiéntemente grande como para que la energía restada a "lambda" de lugar a un valor negativo. Este valor "suficiéntemente pequeño" no es extremadamente pequeño.

Para conocer este valor vamos a proceder de la siguiente forma. Se trata de un cálculo poco riguroso pero que creo debería valer en órdenes de magnitud. Simplemente consiste en restar a la densidad de energía lambda la densidad de energía que la configuración de dos placas roban al vacío cuántico. Para ello hay que calcular el incremento en la densidad de energía que la configuración de las placas produce entre ellas. Partiendo de la fuerza de Casimir por unidad de area, que atrae a las dos placas:

siendo la constante de Planck normalizada, la velocidad de la luz en el vacío y la distancia entre las placas, se puede calcular la pérdida de energía entre las placas como un trabajo negativo realizado por el vacío o por la fuerza a distancia :

Por lo que:

con la densidad de energía. La densidad energética total será la del vacío menos esta mencionada:

En unidades de Planck se tiene:

como se puede leer aquí. Por tanto, con , se tiene:

Para que sea menor que cero, se tiene que ha de ser menor que longitudes de Planck, que son metros.

In memoriam

2008-03-19T13:59:00.008+01:00

Muere Arthur C. Clarke:

Agujeros negros artificiales

2008-03-15T09:28:00.012+01:00

El término agujeros negros artificiales puede llevar a alguna confusión. Su uso en inglés no refiere tanto a los posibles mini-agujeros negros que quizás pudieran crearse en un acelerador de partículas, sino a fenómenos cuya descripción matemática es similar a los agujeros negros en cierto sentido y que presentan por tanto una afinidad con ellos.

La noticia de prensa que nos va a ocupar en relación con esto es: Artificial black hole created in lab. La explicación que sigue, algo técnica pero muy simplificada, pretende arrojar algo de luz sobre un asunto que parece tan complejo pero que realmente, en sus principios básicos, no lo es tanto.

Consideremos un fluido ideal, sin viscosidad o fricción interna, en el cual la velocidad de propagación de perturbaciones es . Imaginemos que el fluido fluye con velocidad constante de izquierda a derecha en la horizontal en un canal, y que hay un dispositivo que genera ondas planas en cierta parte del canal, las cuales fluyen en dirección contraria que el fluido, de derecha a izquierda. La velocidad de propagación de las perturbaciones será . Esto será así independiéntemente donde pongamos el dispositivo para la generación de ondas planas, dada la simetría traslacional del experimento.

Consideremos ahora que el mismo fluido fluye con velocidad variable, acelerando, en un canal que de izquierda a derecha se hace cada vez más estrecho, o que tiene una pendiente por ejemplo. Igual que antes, en cierta parte del canal se generan ondas planas que fluyen en dirección contraria que el fluido, de derecha a izquierda. La velocidad de propagación de las perturbaciones será , pero dependerá de la posición donde pongamos el generador de ondas. En cierta parte del canal, la velocidad del fluido llegará a ser mayor que , por lo que, si ponemos ahí el generador, las ondas no podrán escapar al fluido corriente arriba y serán transportadas por él.

Este es el análogo de un horizonte de eventos de un agujero negro, una analogía del físico canadiense Bill Unruh. En la siguiente imagen se representa la misma situación pero con peces en vez de ondas moviéndose en el fluido:

En cierta medida el fluido viene a representar el espacio-tiempo y la velocidad de propagación de perturbaciones representa la velocidad de la luz. En cierta parte del espacio-tiempo existe un lugar en el cual la velocidad de escape, dicho de forma probablemente no muy estricta, sobrepasa .

En la página de Ulf Leonhardt también se menciona la analogía siguiente para crear agujeros blancos: al dejar caer agua en una superficie plana se observa una zona circular sin ondas, mientas que las ondas quedan fuera de ella. No pueden entrar debido a la velocidad del agua saliendo de la zona circular. A este efecto se lo conoce como salto hidráulico y es evidentemente conocido, pero lo original es analizarlo como fuente de información posible para estudiar la física de la relatividad general.

La pregunta ahora es si es necesario tener un medio en movimiento acelerado para simular tal situación. Aparentemente no, ya que lo que importa es que uno sea capaz de romper la simetría traslacional del primer experimento mencionado. Esto es posible con fluido en movimiento acelerado, pero también modificando las propiedades de un medio estático.

Esto segundo es lo que hacen en el experimento que menciona la noticia enlazada. El experimento no se basa en la propagación de un fluido, sino de luz en una fibra óptica. Para eliminar la simetría traslacional se modifica el indice de refracción del medio a través de un pulso intenso de luz, sirviéndose de un fenómeno conocido como efecto Kerr. Este da lugar a una variación del indice de refracción de forma . Esto da lugar a una modificación en la propagación de luz que se emite tras el pulso intenso mencionado.

El experimento difiere algo del mencionado con fluido pero la idea básica es similar. En realidad es bastante complejo de realizar y existen puntos sutiles en su soporte teórico (velocidad de grupo vs. velocidad de fase) como menciona Leonhardt en su página. Quizás esto nos de para un segundo artículo en el futuro.

Lo curioso es que esta simulación de un horizonte de eventos también simula la radiación de Hawking. Mientras que una onda plana es observada como onda plana desplazada Doppler por un sistema inercial, se puede mostrar que una onda plana es observada como una distribución térmica de ondas planas por un observador acelerado. Este fenómeno vale tanto para perturbaciones en medios en movimiento, o simulados con índice de refracción variable, como para las ondas planas que contribuyen al vacío en un espacio-tiempo, cuando son observadas desde un sistema de referencia uniformemente acelerado.

La conexión con los agujeros negros viene del hecho que un sistema uniformemente acelerado equivale localmente a un sistema con campo gravitatorio uniforme y es posible establecer una relación teórica muy determinada entre ambas situaciones a través del principio de equivalencia. Desde la perspectiva del principio de equivalencia la radiación de Hawking es al fin y al cabo una consecuencia de ondas (ondas contribuyendo al estado fundamental de campos cuánticos) en sistemas acelerados: los campos en caída libre hacia un agujero negro observados por un observador estacionario (y por tanto unformemente acelerado) en el infinito.

Personalmente, este fenómeno, y su relación con otro tan complejo como los agujeros negros, me parece de gran belleza y elegancia. Experimentos como este nos deben recordar que la física y su relación con las matemáticas son algo extraordinario. Al que quiera profundizar más en el tema le recomiendo echar una ojeada a la página de Ulf Leonhadt que he enlazado arriba y a los papeles de Ulf Leonhardt.

WMAP - quinto año

2008-03-06T15:25:00.004+01:00

Los datos del quinto año del WMAP han sido reciéntemente publicados y están a disposición en una serie de papeles en:

Bibliography of WMAP Science Team Publications

Al comienzo bajo "Five Year Data Scientific Papers". Al contrario que los esperados datos del tercer año, estos han aparecido sin pena ni gloria. Y es que básicamente nada parece haber cambiado, y los datos refuerzan el modelo cosmológico vigente sin tampoco añadir cualitativamente nada nuevo.

La materia oscura y la cosmología

2008-02-20T11:44:00.005+01:00

El problema de la materia oscura tiene orígen astrofísico, en las observaciones de la rotación de las galaxias espirales, pero ha pasado a ser un problema de relevancia fundamental en cosmología. En cosmología no solo es importante la observación de que la materia oscura es algo necesario de acuerdo con el modelo estándar de cosmología, sino también es importante estimar su cantidad, es decir, su densidad media en el universo para determinar con precisión el modelo.

La materia oscura y su densidad media

La idea de densidad media de un componennte del universo está justificada debido al principio cosmológico, que nos indica que la distribución de cualquier componente en el universo (como materia o radiación) es homogenea e isótropa a muy grandes escalas. Con ello tiene sentido definir una densidad media que es válida en cada punto siempre y cuando estemos considerando el universo a grandes escalas. Para la determinación de la densidad media de cualquier componente del universo se hace uso del concepto de densidad crítica, que es la densidad que necesitaría nuestro universo para que su geometría espacial fuese plana. Esto significa que los ángulos de un triángulo (de dimensiones cosmológicas) sumarían 180°. Si la densidad media total es menor que la crítica, la geometría es abierta y los ángulos sumarían menos de 180° y si la densidad media total es mayor que la crítica la geometría es cerrada y los ángulos sumarían más de 180°. La densidad de cualquier componente se describe en relación a la crítica y se denonta con la letra y un subíndice para el componente en cuestión. Por ejemplo, una densidad de materia significa que la densidad de materia es 0.3 veces la densidad crítica.

Curvatura del universo según su densidad igual, mayor o menor que la crítica

La materia oscura es esencialmente materia no observada directamente, pero de la que se tienen indicios de su existencia debido a observaciones indirectas astrofísicas y cosmológicas. La naturaleza de esa materia es desconocida y básicamente se clasifica en dos grupos. La mayor parte se cree que es materia no-bariónica (no compuesta por quarks formando protones y neutrones), y que no interactúa electromagnéticamente sino solo gravitatoriamente y frente a la interacción débil, y otra menor parte es materia bariónica como objetos compactos o nubes de gas. De la parte no-bariónica hay razones para pensar que han de ser partículas exóticas deconocidas y que no pueden ser neutrinos. De la parte bariónica hay razones para pensar que ha de tratarse de nubes intergaláticas y que no pueden ser objetos compactos. Esto lo veremos a continuación.

Las curvas de rotación de las galaxias espirales

Primero, como he mencionado, el orígen del problema es meramente astrofísico y está en las curvas de rotación de las galaxias espirales. La velocidad de las estrellas en el disco galáctico es mucho mayor de lo que la gravitación que ejerce la materia visible galaxia sobre ellas debería permitir. Deberían salirse por la tangente. Para ajustar velocidad y gravitación hace falta hasta unas diez veces más materia que la observada en cada galaxia. Para la determinación de la cantidad total de materia oscura hace falta recurrir no obstante a métodos algo más generales. Aquí hay dos fuentes principales de información. Primera, los cúmulos galácticos y, segunda, la combinación de las observaciones del fondo cósmico de microondas con las supernovas Ia. Empecemos com los cúmulos.

Velocidades de rotación observadas y predichas según la materia visible

La materia oscura y los cúmulos galácticos

Análogamente al caso de las estrellas dentro de las galaxias, la dinámica de las galaxias dentro de los cúmulos sugiere la existencia de mucha más masa que la que se observa, , con un buen margen de error no obstante. Además, los cúmulos galácticos están immersos en un gas intracumular (un plasma de hidrógeno ionizado y electrones) con una masa de cinco a seis veces la masa de la materia galáctica visible. Este gas es visible en rayos-X al estar a temperaturas de varios millones de grados y es su luminosidad la que nos da información sobre su masa. Igualmente aquí las observaciones indican diez veces más masa que la bariónica. La existencia de una relación universal entre luminosidad del gas y masa total en los cúmulos se debe esencialmente al hecho que el gas está en equilibrio hidrostático en el pozo de potencial gravitatorio del cúmulo.

Otra prueba de la existencia de materia oscura es el efecto de lente gravitacional (desviación de la luz en un espacio-tiempo curvo) que los cúmulos ejercen sobre fuentes de luz situadas detrás de ellos, que es dependiente de la masa del cúmulo. Observando lentes gravitacionales se puede inferir sobre la masa de los cúmulos galácticos y se comprueba de hecho que la masa necesaria es hasta diez veces la observada. Por último, otra prueba más en relación con los cúmulos es el efecto Sunyaev-Zeldovich: Los fotones del fondo cósmico de microondas interactúan con los electrones libres del gas intracumular (scattering de Compton inverso) y obtienen energía de ellos saliéndose de la curva del cuerpo negro que conforman. El resultado es una anisotropía (un “fleco” en el mapa debido a fotones más calientes) visible en los mapas del fondo cósmico (WMAP, etc.). La potencia de este “fleco” depende de la temperatura y densidad de los electrones, que a su vez, dado un modelo de equilibrio hidrostático, proporciona información sobre el perfil de densidad del cúmulo y su masa.

Efecto de lente gravitacional producido por un cúmulo galáctico

Todo en uno hay que decir que las diferentes pruebas experimentales mencionadas, que son las más importantes, no acaban de converger con toda precisión necesaria todavía. No obstante, indican una densidad de materia de aproximadamente , que está en concordancia con las pruebas cosmológicas. Ahora, vayamos con el fondo de microondas y las supernovas Ia. Para ello conviene entender un poco el modelo cosmológico estándar.

La formación de estructuras de gran escala y la materia oscura

El universo empieza siendo homogeneo e isótropo una fracción de segundo tras su inicio. Esto es debido a un mecanismo denominado inflación que ocurre una fracción de segundo después del big-bang y que debido a la expansión extrema aplana cualquier condición inicial inhomogenea, dando lugar a homogeneidad. La inflación, además, proporciona un mecanismo físico por el cual las fluctuaciones cuánticas durante ese periodo del universo se convierten en perturbaciones reales de densidad energética o inhomogeneidades. Está claro que algo así es necesario, ya que de otra forma en un universo totalmente homogeneo nunca se podrían formar estructuras de materia por colapso gravitatorio.

Tras la inflación, la materia no-bariónica empieza a colapsar gravitatoriamente en las inhomogeneidades producidas por la inflación. Al no interactuar electromagnéticamente y no perder energía por disipación en procesos radiativos, su colapso es en principio más lento que el de la materia bariónica. La materia bariónica también empieza a colapsar, no obstante, su colapso se ve impedido por su fuerte interacción con los fotones que hay en el universo, cuya energía y su momento lineal son suficientes como para impedirlo. Este tira y afloja entre gravitación y presión de la radiación hace que el plasma de bariones y electrones existente antes de la recombinación sufra oscilaciones que son de gran importancia en el análisis del fondo.

Esa situación se da hasta la recombinación, unos 300.000 años tras el big-bang, cuando los fotones pierden suficiente energía debido a la expansión del espacio como para que se forme hidrógeno neutro (los fotones ya no pueden disociar el hidrógeno que se forma). La radiación y los bariones se desacoplan, quedando un fondo de radiación (que da lugar al fondo de microondas) y unos bariones libres en colapso, colapsando sobre las inhomogeneidades de materia no-bariónica. Debido a la casi homogeneidad perfecta el fondo de radiación está a una temperatura determinada y se comporta como la emisión de un cuerpo negro. El colapso de los bariones, disipativo, es a partir de entonces muy rápido. Los grumos de materia bariónica encuentran pozos de potencial preexistentes de materia oscura y empiezan a colapsar gravitacionalmente sobre ellos. Esto asumiendo que los grumos mencionados tienen una masa suficiente para ello, que resulta ser de unas .

Si los pozos de potencial de materia oscura no preexistiesen al colapso bariónico en la época de la recombinación, entonces no habría suficiente tiempo hasta hoy para que el grueso de masas iniciales de procediese por formación jerárquica de estructuras (colisiones, uniones, etc.) hasta la formación de las galaxias que observamos. Algunos de los fotones que quedan libres han de escapar de pozos de potencial preexistentes de materia o caer en ellos, cosa que produce un desplazamiento al rojo o al azul gravitacional desviándose muy ligéramente de la curva de cuerpo negro (una desviación de una parte en diezmil).

Anisotropías del fondo cósmico de microondas

Es decir, las regiones de mayor densidad y temperatura dan lugar a fotones menos energéticos y vice versa. Esto significa que en el mapa del fondo las regiones azules corresponden con zonas de sobredensidades y las regiones rojas con densidades menores. Las oscilaciones mencionadas son además visibles en el fondo debido a este efecto y son identificables debido a su escala angular, muy característica. Adicionalmente, las anisotropías que se ven en el mapa contienen además de ese otros efectos secundarios como el Sunyaev-Zeldovich mencionado anteriormente. Pero son las anisotropías correspondientes con las oscilaciones las que permiten determinar la curvatura del espacio. La idea es que la escala angular de las oscilaciones es una característica dependiente del modelo y si las observamos hoy, 13 mil millones de años después, somos capaces de indentificar si su imagen está distorsionada por una posible curvatura del espacio. Las observaciones del fondo indican que este no es el caso. Esto significa que la densidad total está cercana a la crítica.

No obstante, la utilidad de estas observaciones va más allá de todo esto. El cuadro que he descrito aquí del modelo cosmológico estándar con el colapso de materia oscura no-bariónica y consiguiente colapso de bariones, se ve verificado en las mediciones de las anisitropías. Sin embargo, hay que notar que existen cierta degeneración en los parámetros, es decir, existen otros modelos que también encajan con los datos y sólo con observaciones adicionales se pueden eliminar ambigüidades.

La energía oscura y la materia oscura

A esto vamos ahora. El fondo cósmico nos dice que la densidad total es igual a la crítica ¿Significa esto que la densidad de la materia es igual a la crítica, ? No, ya que existe otro componente en el universo, la radiación. No obstante, su densidad es 0.0005 veces la densidad de la materia. ¿Significa esto que la densidad de la materia es igual o casi igual a la crítica? No, tampoco, porque la observación independiente de las supernovas Ia indica que en el universo existe otro componente desconocido. La luminisidad de estas supernovas indica que están realmente más lejos de lo que deberían estar en un modelo en el cual hay solo materia, y nos revelan que la expansión del espacio está acelerando, en vez de decelerar como es de esperar en cualquier modelo cosmológico que contenga materia y radiación. A este componente extraño se lo denomina energía oscura.

La energía oscura tiene una densidad positiva, al igual que la materia, pero ejerce una presión negativa, al contrario que la radiación o la materia relativista. Esta presión hace que el la expansión del espacio acelere. Ambas se relacionan en una ecuación de estado . Los datos de las supernovas indican que la densidad de energía oscura es . El subíndice indica que la energía oscura se comporta como una constante cosmológica, lo que significa que . De esto se deduce que la densidad de la materia es en concordancia, más o menos, con el resto de los datos.

Expansión acelerada debido a la energía oscura según los datos de las supernovas Ia

La nucleosíntesis del big-bang y la materia oscura

Por otro lado, el modelo cosmológico estándar proporciona una medida muy exácta de la densidad media de bariones. Ésta queda delimitada por la nucleosíntesis del big-bang, un proceso que genera núcleos de dos o más nucleones determinando abundancias relativas de ellos. Ocurre en una época temprana del universo (un segundo después del big-bang), cuando los fotones pierden suficiénte energía como para no poder disociar más los núcleos. La teoría nos indica que la densidad media de bariones respecto de la crítica es . Este resultado se corresponde además con el que se sigue del análisis de las oscilaciones del fondo, las cuales dependen diréctamente de los bariones (“baryon drag”). Las abundancias relativas que produce la nucleosíntesis del big-bang encuentran su prueba fundamental en las observaciones de la cantidad de deuterio intergaláctico, un elemento que muy raramente se produce en estrellas y es, por tanto, netamente primordial. Está claro con esto que el grueso de la materia oscura no puede ser bariónica.

Abundancias relativas según la nucleosíntesis del big-bang (línea gris)

La materia oscura bariónica

No obstante, existe una gran parte de que no observamos ya que las estrellas y el medio interestelar de las galáxias son solo una fracción de esa densidad. Incluso el medio intracumular de los cúmlos galácticos, con una masa de seis veces la masa visible galáctica, no da de sí para completar . A esta materia oscura faltante se la denomina materia oscura bariónica. Está compuesta básicamente por enormes nubes de gas caliente en el espacio intergaláctico. No puede estar compuesta por objetos masivos, ya que estos existen sólo en las galaxias y, conociendo , se puede estimar la densidad de objetos masivos en una galaxia y con ello estimar la probabilidad de observar efectos de microlente gravitacional. No obstante, los experimentos de microlentes gravitacionales no corroboran esto. Por otro lado, existen ya observaciones de grandes nubes de gas en el espacio intergaláctico. Esto es además algo que encaja muy bien con el modelo actual de formación de estructuras, en el cual las colisiones y la formación jerárquica hacen que la formación galáctica no sea muy efectiva (y se deja gas sin colapsar).

La materia oscura no-bariónica

Nos queda por ver cuál es la naturaleza de la materia oscura no-bariónica. En el modelo cosmológico estándar la formación de estructuras es por acreción de menores en mayores (“bottom-up”). Tras la recombinación, primero se froman estructuras bariónicas de una masa de unas 10.000 masas solares que colapsan sobre los potenciales de materia oscura no-bariónica y más tarde se van uniendo hasta formar galaxias y cúmulos galácticos. Para ello es necesario que existan fluctuaciones de densidad suficientemente pequeñas que permitan las formación de las mencionadas estructuras después de la recombinación. La teoría predice que si la materia oscura no-bariónica fuesen neutrinos, las fluctuaciones de densidad serían eliminadas por su velocidad relativista en la época de la recombinación.

Esto es debido a un fenómeno de amortiguamiento. En este contexto significa la disminución de la profundidad del pozo gravitatorio de una perturbación. Para materia bariónica el amortiguamiento se da debido a la presión. Para partículas que no colisionan (al no interactuar electromagnéticamente) como la materia no-bariónica, el amortiguamiento se da debido a la capacidad de las partículas de escapar al pozo de potencial debido a su velocidad. Para partículas no-relativistas de materia no-bariónica fría, la distancia media de difusión es grande: su velocidad es grande de forma que se distribuyen de forma homogenea hasta una distancia determinada. A mayores distancias la gravitación es dominante y liga a las partículas en la perturbación. Esto es el amortiguamiento por difusión libre, el cual hace que las perturbaciones sólo pueden existir a partir de un determinado tamaño. La formación de estructuras bottom-up de acuerdo con las observaciones (espectro de potencia y correlación de galaxias) significa por tanto que la materia oscura no puede ser relativista o caliente.

La materia oscura no-bariónica es por tanto tal que durante la recombinación su velocidad es no-relativista. A este tipo de materia oscura se la denomina fría. Además, la masa estimada de los neutrinos no parece ser suficiente para que éstos proporcionen el total de la materia oscura no-bariónica. No se conocen partículas así, por lo que la conclusión es que todas las observaciones nos están poniendo de manifiesto los efectos de una partícula desconocida, cuya existencia está más allá del modelo estándar de partículas.

Resumen

Resumiendo. Debido a ciertos fenómenos gravitatorios se asume la existencia de materia oscura bariónica y materia oscura no-bariónica en el universo. La materia oscura bariónica ya no lo es realmente, porque poco a poco se ha ido identificandola y se sabe que existe en grandes nubes de gas intergaláctico. La materia oscura no-bariónica compone el grueso de la materia del universo y es fría, por lo que se asume que está formada por partículas que sólo interactúan a través de la gravitación y la fuerza nuclear débil, que, además, son masivas y no relativistas en la época de la recombinación. A estas partículas se las denomina genéricamente WIMPs, weakly interacting massive particles. Existen experimentos para su detección directa que se básan en la detección por choques contra núcleos atómicos que esperan tener resultados en los próximos años.

Composición del universo